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立体几何：线面平行的判定与性质、面面平行的判定与性质专项训练
1．（24-25 高一下·广东广州·阶段练习）如图，在多面体ABCDQP 中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，
60
ABC
Ð
=
° ，PAB
V
为正三角形，四边形ADQP 为直角梯形，
90
ADQ
DQP
Ð
= Ð
=
° ，
2
AB
AD
=
=
，E 为平面
ADQP 上的点．
(1)当点E 在直线AD 上时，求线段AE 的长度，使得CE ∥平面PAB ；
(2)若CE ∥平面PAB ，求线段CE 的最小值．
2．（24-25 高一下·河北·期末）如图，直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2,
2 2,
AB
BC
BB
AC
N
=
=
=
=
为线段AB 的中点.
(1)证明：
1 / /
AC
平面
1
B CN ；
(2)平面
1
B CN 将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值.
考点一
线面平行的判定
3．（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥P
ABCD
-
的底面为菱形，平面PAC ^ 底面ABCD ．
(1)求证：BD
PC
^
．
(2)若E 为侧棱PC 的中点，在侧棱PD 上是否存在点M ，使得
/ /
BE
平面MAC ？若存在，求出PM
MD 的值；若不存
在，请说明理由．
4．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F 分别为所在棱的中点，点
G 在棱BB¢上，且满足B G
aB B
¢
¢
=
.
(1)若
0.5
a =
，求证：
//
EG 平面D AC
¢
；
(2)若点M 在线段BD 上，且满足
/ /
D M
¢
平面EFG ，且a 的取值范围为1
[ ,1]
2
，求D M
¢
的取值范围.
5．（24-25 高一下·河北承德·期末）如图，在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
1
1
2
2
4
BC
BB
B C
=
=
=
．
(1)求证：
1 / /
BB
平面
1
ACD ；
(2)求点
1B 到平面
1
ACD 的距离．
6．（24-25 高二下·贵州安顺·期末）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面
ABC
V
是边长为2 的正三角形，
1
AA ^
底面ABC ，
1
3
AA =
，
,
D E 分别是
1
1
,
AC AC 的中点，点F 在线段
1
BB 上，且
1
1
3
BF
BB =
．
(1)证明：
/ /
DE
平面
1
1
ABB A ．
(2)求直线AF 与平面
1
DAB 所成角的正弦值．
7．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ^底面
ABCD ，底面ABCD 为正方形，E，F 分别为AB ，PC 的中点．
(1)求证：直线EF ∥平面PAD ；
(2)若
2
AD =
，求侧面PBC 与侧面PAD 所成角的余弦值．
8．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为1，E ，F 分别为
1
AD ，
1
CD 的中点．
(1)证明：
/ /
EF
平面ABCD ．
(2)求异面直线AF 与
1
BC 所成角的大小．
(3)求直线BD 与平面
1
D EF 所成角的余弦值．
1．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）如图所示，在三棱锥P
ABC
-
中，
2 2
AB
BC
=
=
，
4
PA
PB
PC
AC
=
=
=
=
，点O，M 分别为线段AC ，AB 的中点．
(1)若平面POM I 平面PBC
l
= ，证明：/ /
l
BC ；
(2)证明：OP ^ 平面ABC ；
(3)求PM 与AC 所成角的余弦值．
2．（24-25 高一下·广东汕头·期中）如图，四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，
2
PD
AB
=
=
，E 为PC 中点．
(1)求证：
/ /
PA
平面BDE ；
(2)求证：DE ^平面PCB ；
(3)设平面PAB Ç 平面PCD
l
= ，求证：/ /
l
平面ABCD ．
考点二
线面平行的性质
3．（23-24 高一下·广东中山·阶段练习）如图，正四棱锥P
ABCD
-
的底面为平行四边形．M 、N 、Q 分别为
PC 、CD 、AB 的中点，设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．
(1)求证：平面
/ /
MNQ
平面PAD ；
(2)求证：
/ /
BC
l ；
(3)若
5
4 2
PA
AB
=
=
，
，求四棱锥P
ABCD
-
的体积．
4．（24-25 高一下·辽宁朝阳·期末）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，AB
AC
^
，
1
2
BB
BA
=
，点Q 是线段
1
BB 的
中点，连接
1
1
,
,
,
QA QC QA QC ．
(1)求证：QA ^ 平面
1
1
QAC
(2)设平面QAC 与平面
1
1
QAC 的交线为直线l ．求证：
//
AC l
(3)若
1
AB
AC
=
= ，求二面角
1
C
QA
C
-
-
的正弦值．
5．（24-25 高一下·黑龙江·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，
//
BC AD ，平面PAB ^平面PBC ，且
2
AB
BC
=
=
，
4
PA
AD
=
=
.
(1)若平面PBC 与平面PAD 相交于直线l ，求证：
//
BC l ；
(2)求l 与AC 所成的角；
(3)求二面角C
PD
A
-
-
的余弦值．
6．（24-25 高二下·四川凉山·期末）如图，在圆锥PO 中，ABCD 为底面圆的内接四边形，对角线AC 过圆心O ，圆
锥母线长为2 2 ，
2
BC =
，
π
3
ACB
Ð
=
.
(1)若
//
AD BC ，平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，证明：
//
AD l ；
(2)若
2
AD =
，求平面PAD 与平面PBC 所成角的正弦值.
7．（24-25 高一下·陕西汉中·期末）在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD 为平行四边形，O 为底面中心，M,E 分别
为PA,PD 的中点，
PDC
△
为等腰直角三角形，且DP
DC
=
.
(1)若平面PBC I平面PAD
l
= ，判断直线l 与BC 的位置关系并证明；
(2)求异面直线MO 与EC 所成角的余弦值；
(3)若F,N 分为CE,DE 的中点，点G 在线段PB 上，且|
|
|
|
PG
GB
l
=
，若平面
//
GFN
平面ABCD，求实数l 的值.
8．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，
/ /
BC
AD ，平面PAB ^平面PBC ，且
1
AB
BC
=
= ，
2
PA
AD
=
=
.
(1)若平面PBC 与平面PAD 相交于直线l ，求证：
/ /
BC
l ；
(2)求证：AB
BC
^
；
(3)求二面角C
PD
A
-
-
的余弦值.
1．（24-25 高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，E，F 分别为线段
1
AC ，
1
1
AC 上的点，
1
AE
AC
l
=
uuur
uuuur
，
1
1
1
A F
AC
l
=
uuuur
，
(0,1)
l Î
．
(1)求证：
/ /
EF
平面
1
1
BCC B ．
(2)在线段
1
BC 上是否存在一点G，使平面EFG / / 平面
1
1
ABB A ？请说明理由．
2．（24-25 高一下·云南临沧·期末）如图1，等腰梯形ABCD 中，
//
AD BC ，E 为AD 边上一点，且
2
AB
AE
BE
CD
=
=
=
=
，
4
BC
ED
=
=
，O 为BE 中点，F 为BC 中点.将ABE
V
沿BE 折起到
'A BE
V
的位置，如图
2 ．
(1)证明：CD ^ 平面
'AOF ；
(2)若
'AO
OF
^
，求点F 到平面
'A EC 的距离；
(3)试在线段
'A D 上确定一点G ，使得平面
//
GCE
平面
'AOF ，并给出证明．
考点三
面面平行的判定
3．（24-25 高一下·青海海南·期末）如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
,
,
E F G 分别是棱
1
1
1
,
,
AB BB A B 的中点.
(1)证明：
1
/ /
C G
平面CEF .
(2)在棱
1
AA 上是否存在点H ，使得平面
1
/ /
C GH
平面CEF ？若存在，求出
1
1
A H
A A 的值；若不存在，请说明理由.
4．（24-25 高一下·陕西汉中·期末）由正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
截去三棱锥
1
1
1
C
B CD
-
后得到的几何体如图所示，O
为AC 与BD 的交点.
(1)求证：
1
/ /
AO
平面
1
1
B CD ；
(2)求证：平面
1
/ /
A BD
平面
1
1
B CD .
5．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，
BCD
△
为等边三角形，
2 3
BD =
，
3
PA =
，AB
AD
PB
PD
=
=
=
，
120
BAD
Ð
=
° ，点E，F 分别为PC ，CD 的中点.
(1)求证：平面
/ /
BEF
平面PAD ；
(2)求二面角P
BD
A
-
-
的余弦值.
6．（24-25 高一下·甘肃白银·期末）如图，一个水平放置的边长为
3 的等边三角形ABC 绕着中心点O 逆时针旋转
π
3 ，再沿竖直方向
OO¢
uuuur
平移一定距离后，连接AA¢，AC¢，BB¢，BA¢，CC¢ ，CB¢ ，此时侧面三角形AA B
¢
，
A BB
¢
¢，BB C
¢
，ACC¢正好都是等边三角形.
(1)证明：平面
/ /
B C C
¢ ¢
平面AA B
¢
.
(2)求平面A B C
¢ ¢ ¢与平面A AB
¢
所成角的余弦值.
7．（24-25 高一下·四川成都·期末）如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
AB
AA
=
，
,
E F 分别是
1
1
,
AB A B 的中
点．
(1)求证：CE ^ 平面
1
1
ABB A ；
(2)求证：平面
1//
AFC
平面
1
CEB ；
(3)求直线
1
AC 与直线
1
CB 所成角的大小．
8．（24-25 高一下·贵州铜仁·期末）如图，在以
, ,
,
,
,
A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均
为等腰梯形，
/ /
,
/ /
BC
AD EF
AD ，
4
=
AD
，
2
AB
BC
EF
=
=
=
，
7
ED =
，
3
FB = ，M 为AD 的中点．
(1)证明：平面
/ /
BMF
平面CDE ；
(2)求平面ABF 与平面CDE 所成角的正弦值；
(3)求点M 到平面ABF 的距离．
1．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）如图，在直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，底面ABCD 是菱形，
60
ABC
Ð
=
° .
(1)证明：AC ^平面
1
1
BB D D ；
(2)若
1
2
=
=
BC
BB
，求二面角
1
B
AC
B
-
-
的正切值；
(3)若点P 在
1A D 上，
1
1
BC
CB
E
=
I
，直线BP 与平面
1
AB C 交于点F，求证：
1
C P
EF
∥
.
2．（24-25 高一下·江西上饶·期末）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点.已知M ，N 分
别是PC ，AB 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于HG.
(1)求证：
//
MN
平面PAD ；
(2)求证：
/ /
AP
HG .
考点四
面面平行的性质
3．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，
/ /
AB
CD ，四边形ACFE 为矩形，
1
AB
AE
=
= ，
2
AD
CD
=
=
.
(1)求证：
/ /
DF
平面ABE ；
(2) AB
AD
^
，平面AED ^ 平面ABCD ，求直线DF 与平面BEF 所成角的正弦值.
4．（2025·北京·三模）如图，在四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中， 侧面
1
1
ADD A 和底面ABCD 均为菱形， 且
2
AD = ，
1
π
3
A AD
DAB
Ð
= Ð
=
， E 为
1
1
AD 的中点，
1
1
B C 与平面CDE 交于点F ，
(1) 求证: F 为
1
1
B C 的中点；
(2) 若平面
1
1
ADD A ^ 平面ABCD ，求二面角
1
B
AA
D
-
-
的余弦值.
5．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA ^ 底面
1
1
1
A B C ，
ABC
V
与
1
1
1
A B C
△
都是等腰直角
三角形，
BAC
Ð
1
1
1
90 ,
2,
4
AB
AA
A B
=
°
=
=
=
，E 、F 分别为
1
AA 、
1
1
B C 的中点．
(1)证明：
/ /
EF
平面
1
AB C ；
(2)求异面直线EF 与
1
BB 夹角的余弦值．
6．（24-25 高三上·云南楚雄·期末）如图，在正四棱锥P
ABCD
-
中，
3,
2,
,
,
PA
AB
E F G
=
=
分别为棱
,
,
AD PC PD 的
中点.
(1)证明：PB ∥平面EFG .
(2)求
平面AFG 与平面ABCD 的夹角的余弦值.
7．（24-25 高二上·重庆·期末）如图，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，
1
3
AA =
，点
D ，E 分别在线段
1A B ，
1
1
B C 上，且
1
2
A D
DB
=
，
1
1
2
C E
EB
=
.
(1)求证：
//
DE
平面
1
1
ACC A
(2)求直线DE 与平面
1
1
BCC B 所成角正弦值.
8．（24-25 高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，PA ^底面ABC ，
90
BAC
°
Ð
=
．点D ，E ，
N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，
4
PA
AC
=
=
，
2
AB =
．
(1)求证：MN ∥平面BDE ；
(2)求直线AC 与平面EMN 的夹角的正弦值；
