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专题 02 导数切线应用培优归类
题型1 导数基础：两个计算
导数基础计算技巧：
1.任何导数值f（x），都是具体的数，求导时候，可以作为常数对待。
0
2.复杂多项式形式的函数求导，可以利用整体代换法来换元对待。
1.（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数
，则 （ ）
A． 11520 B． 23040 C．11520 D．23040
2.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 ，则函数在 处的切线方程是
（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）已知 是 的导函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列 中， ，若函数 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
题型2 导数基础：切割意义
导数的几何意义，直观结果，就是对应点处的切线斜率，而在实际做题思维中，有两个方向：
1. 定义方向：导数就是切线斜率。需要注意的是原函数增减，不仅仅对应着导函数正负，还要适当的
对比，原函数的上凸下凹，还对应着导函数函数值的绝对值大小，可以适当借鉴物理学中的加速度来让
学生理解。
2. 切割线极限方向：导函数作为切线斜率，还要用极限思想，对应着割线的斜率。注意对应的极限逼
近数值逼近思维。
1.（23-24高二下·吉林·阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示， 为 的导函数，则
（ ）
A． B．
C． D．
2.（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数 的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）A． B．
C． D．
4.（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数 ，它们在平面直角坐标系中的图象如图
所示，则 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 “在点”型切线：求双参
“在点”型切线，列方程求参
1．（24-25高二下·北京延庆·期末）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则 值
为（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
2．（24-25高二下·重庆·期中）已知直线 为 的一条切线，将 的图象向右平移
个单位，向上平移1个单位后仍与直线 相切，则 （ ）A．1 B． C．0 D．
3．（2024·山西·模拟预测）已知函数 ，若 的图象在 处的切线方程
为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河南郑州·二模）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
题型4 “过点”型切线：判断切线条数
“过点”型切线，核心在于先设切点
“过点”型判断切线条数，最终需要转化为关于切点横坐标的方程求根，大致有
如下构造方程求根的思路：
方法一：直接因式分解解；
方法二：构造函数求导再判断交点个数
1.（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点 可作曲线 的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
2.2．（22-23高三上·四川内江·阶段练习）已知曲线 ，则过点 可向 引切线，其切线条
数为（ ）
A． B． C． D．
3．（19-20高三·安徽蚌埠·阶段练习）已知函数 ，则曲线 过点 的切线条数为
（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，过点 可作曲线 的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4题型5 “过点”型切线：求参
若已知函数 过平面上一点 ，且 或点 其中一项含有参数，但已知过该点切线
数量，可参考考向四，设切点 ，此时 ,由切点 与斜率 写出切线方程
，再将点 代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
1．（2023·全国·模拟预测）若过点 可作函数 图象的两条切线，则必有（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数 ，若经过点 且与曲线 相切
的直线有三条，则（ ）
A． B． C． D． 或
3．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期末）过直线 上一点 可以作曲线 的两条切线，则
点 横坐标 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·山东潍坊·三模）过点 有 条直线与函数 的图像相切，当 取最大值时，
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型6 分段型函数切线
分段型函数切线，多是符合以下这些图形所表示的类型1．（24-25高三上·北京朝阳·期中）已知函数 若直线 与函数 的图象
有且只有一个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知函数 （ ，且 ）在 上单
调递增，且关于 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高二下·福建泉州·期中）已知函数 ，若 的图像
与 轴有3个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·河北·阶段练习）已知函数 ，若方程 恰有四
个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．题型7 公切线：公切线基础型
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数 ，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
1．（24-25高二下·福建·阶段练习）函数 与函数 公切线的斜率为（ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
2．（24-25高三上·海南·开学考试）函数 与函数 公切线的纵截距为（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或 D．-1或
3．（23-24高二下·河北·期末）若直线 是曲线 与 的公切线，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知直线 是曲线 与曲线
的公切线，则 （ ）
A．2 B． C． D．
题型8 公切线：函数解析式有参求函数 和 的公切线.
1：设函数 的切点为 ，设函数 的切点为 ；
2：求导数 与 ，得函数 的斜率 ，函数 的斜率 ；
3：函数 的切线 ，函数 的切线
；
4：化简得 ， ；
5：对比得 ，联立解方程得公切线.
1.（22-23高三下·浙江·开学考试）已知曲线 与 的两条公切线的夹角正切值为 ，则
．
2.（23-24高二上·重庆·期末）若函数 与函数 的图象存在公切线，则实数t的取值范围
为 .
3.（2023·山东日照·二模）已知曲线 与 的两条公切线的夹角余弦值为 ，则
．
4.（2024·广东江门·二模）若曲线 与曲线 存在公切线，则a的最大值 ．
题型9 公切线：公切线条数判断
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和
过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关
的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；
②切点在切线上；
③切点在曲线上
而解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合解答：
1. 转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就
是函数零点的个数。
2. 转化为 的交点个数的图象的交点个数问题.
1．（2024·重庆·模拟）若函数 与函数 有两个公切线，则实数 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
2．（2025·山东·模拟）已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·海南·模拟预测）若函数 与 的图象有且只有一条公切线，则
实数 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4.（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数 其中 ，当两函数图象对应
曲线存在2条公切线时则 的取值范围是 ．
题型10 切线法：距离型
距离型试题，多是曲线上一点，到一条直线的距离最值，可以转化为与直线平行的切线，这两条直线
之间的距离，如下图所示的解题转化思想
1.（22-23高三·河北石家庄·阶段练习）已知实数 满足 ，其中 是自然对数的底数，
则 的最小值为
A． B． C． D．
2.（2024·湖北·模拟预测）设 ，其中 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
3.（21-22高二下·贵州遵义·阶段练习）若x、a、b为任意实数，若 ，则最小值为( )
A． B．9 C． D．
4.（2015·贵州·二模）实数 满足 ，则 的最小值是
题型11 切线法：切线分隔法求零点
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
函数零点个数求法，可以通过“分涵”，转化为直线与曲线交点的问题。直线与曲线的交点问题，借助切
线寻找分界情况。要注意函数凸凹的情况。如下图的极端情况，要注意区分
1．（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）函数 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，当
时， ，若函数 恰有一个零点，则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024河南·模拟）若函数 ，函数 有两个零点，则 的值是
A．0或 B． C．0 D．
3.（22-23高三上·山东菏泽·模拟）已知 ，若方程 有一个零点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．4.（24-25高三上·山东德州·期中）已知函数 ，若函数 有三个不同
的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型12 切线法：切线逼近整数解型
对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
1. 一侧是可求导画图的函数
2. 一侧是含参型动直线。
3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。
1.（2023·四川内江·三模）若关于x的不等式 有且只有一个整数解，则正实数a的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若不等式 恰有3个整数解，则实数a
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．3.（21-22高三下·山东德州·阶段练习）已知不等式 恰有2个整数解，求实数k的取值范
围（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
4.（2021·安徽淮北·二模）若关于 的不等式 有且只有两个整数解，则正实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
题型13 切线法：两根型
1.（21-22高三上·北京昌平·期末）已知函数 ， ，曲线 上总存
在两点 ， ，使曲线 在 两点处的切线互相平行，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24高二下·河北张家口·期末）过点 作两条直线与曲线 （e是自然对数的底数）相切，
切点的横坐标分别为 ， ，则 的值为（ ）
A． e B．e C． 3 D．3
3.（20-21高三下·四川南充·阶段练习）关于函数 ，下列说法错误的是（ ）
A． 是 的极小值点；
B．函数 有且只有1个零点；
C．存在正整数 ，使得 恒成立；
D．对任意两个正实数 ，且 ，若 ，则 .
4.（23-24高二下·湖南·期中）已知 ，过点 可作曲线 的两条切线，切点为 ，
．求 的取值范围（ ）
A． B． C． D．题型14 切线法：双切线存在型
1.（22-23高三·湖北·模拟）若以曲线 上任意一点 为切点作切线 ，曲线上总存在异于 的
点 ，以点 为切点作线 ，且 ，则称曲线 具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性
的编号为 ．（写出所有的满足条件的函数的编号）
① ② ③ ④
2.（2023·湖北荆州·模拟）在函数 的图像上任意一点处的切线为 ，若总存在函数
的图像上一点，使得在该点处的切线 满足 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
3.（2020·辽宁辽阳·二模）若对函数 的图象上任意一点处的切线 ，函数
的图象上总存在一点处的切线 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2024湖南·模拟）若对于函数 图象上任意一点处的切线 ，在函数
的图象上总存在一条切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
结束
