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第三章 一元函数的导数及其应用
§3.3 导数与函数的极值、最值
【高考考向预测】
近三年高考导数与函数极值最值为必考基础高频考点，大小题型均有考查，核心围绕极值判
定、极值点辨析、闭区间与开区间最值求解、含参最值分类讨论展开，常结合切线、单调性、零
点联合命题，是导数综合题型的解题根基；预测2027 年依旧作为导数核心基础重点考查，命题更
侧重含参多区间最值探究、隐藏极值点研判、最值与不等式范围结合设问，增多超越函数最值分
析，强化定义域优先原则与分类讨论标准划分，注重结合隐零点、参数分离综合运用，夯实基础
同时侧重实战应用能力考查。
【双基自测●明考向】
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有. ( )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值. ( )
(3)函数的极小值一定是函数的最小值. ( )
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值. ( )
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√
3
2.函数f(x)= x2-ln x的极值点为( )
2
(❑√3 )
A.(3，0) B. ，0
3
❑√3
C.3 D.
3
【答案】D
1 3x2−1
【解析】由题意知f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=3x- = .
x x
❑√3
当0<x< 时，f'(x)<0；
3
❑√3
当x> 时，f'(x)>0.
3
( ❑√3) (❑√3 )
所以f(x)在 0， 上单调递减，在 ，+∞ 上单调递增，
3 3
❑√3
故f(x)的极小值点为 ，无极大值点.
3
[ π]
3.函数f(x)=2sin x-x在区间 0， 上的最大值为( )
2π
A.1 B.2-
2
π π
C.❑√3- D.❑√3-
3 6
【答案】C
【解析】由f(x)=2sin x-x，求导得f'(x)=2cos x-1，
[ π)
当x∈ 0， 时，f'(x)>0；
3
(π π]
当x∈ ， 时，f'(x)<0，
3 2
[ π) (π π]
即f(x)在 0， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
3 3 2
(π) π
故f(x) =f =❑√3- .
max 3 3
4.若函数f(x)=x(x+a)在x=1处取得极小值，则实数a的值为 .
【答案】-2
【解析】由已知可得f'(x)=x+a+x=2x+a，
又函数f(x)=x(x+a)在x=1处有极小值，所以f'(1)=2+a=0，
解得a=-2，所以f'(x)=2x-2，
当x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在x=1处取得极小值，故a=-2.
【核心梳理●明考点】
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点
x=a附近的左侧 f ' ( x )<0 ，右侧 f ' ( x )>0 ，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小
值.
(2)函数的极大值
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点
x=b附近的左侧 f ' ( x )>0 ，右侧 f ' ( x )<0 ，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大
值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y=f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值.
解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x 处取得极大值，则x 为极大值点，极大值为f(x ).
1 1 1
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x )=0”是“x 为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)=x3，f'(0)=0，但0不是极值
0 0
点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
【题型突破●明方向】
题型一 利用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)已知函数y=f(x)，其导函数y=f'(x)的部分图象如图，则对于函数y=f(x)的描述正确的是(
)
A.在(-2，-1)上单调递增
B.在(1，2)上单调递增
C.-1为极值点
D.1为极值点
【答案】BC
【解析】由y=f'(x)的图象可得，
当x≤-3或-1≤x≤3时，f'(x)≥0；
当-3<x<-1或x>3时，f'(x)<0，
所以f(x)在(-∞，-3]和[-1，3]上单调递增，在(-3，-1)和(3，+∞)上单调递减，
所以-3和3为函数f(x)的极大值点，-1为函数f(x)的极小值点，
所以A，D错误，B，C正确.
命题点2 求已知函数的极值
例2 设函数f(x)=x-aex(a∈R)，求函数f(x)的极值.【解析】由题意可知f'(x)=1-aex.
①当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在R上单调递增，
∴f(x)没有极值.
1
②当a>0时，令f'(x)=0，得x=ln .
a
( 1)
当x∈ −∞，ln 时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
a
( 1 )
当x∈ ln ，+∞ 时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
a
1 ( 1) 1
∴f(x)在x=ln 处取得极大值f ln =ln -1，没有极小值.
a a a
综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；
1
当a>0时，f(x)有极大值ln -1，无极小值.
a
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)= .
【答案】-4
【解析】由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)，
所以f'(x)=(x-2)(x-a)+(x-1)(x-a)+(x-1)(x-2)，
因为x=2是函数f(x)的极值点，所以f'(2)=2-a=0，得a=2.
4
当a=2时，f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4)，令f'(x)=0，得x=2或x= ，
3
( 4) (4 )
当x∈ −∞， 时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈ ，2 时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
3 3
当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意，故a=2.
所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4.
(2)(2025·大同模拟)已知函数f(x)=ex(x3+a)既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是( )
A.(-4，0) B.[-4，0]
C.(0，4) D.[0，4]
【答案】A
【解析】由题设f'(x)=ex(x3+3x2+a)，令g(x)=x3+3x2+a，
则g'(x)=3x2+6x=3x(x+2)，
当x<-2或x>0时，g'(x)>0，
则g(x)在(-∞，-2)和(0，+∞)上单调递增；
当-2<x<0时，g'(x)<0，则g(x)在(-2，0)上单调递减，
g(-2)=-8+12+a=4+a，g(0)=a，且当x→-∞时，g(x)→-∞；当x→+∞时，g(x)→+∞，
要使函数f(x)=ex(x3+a)既有极大值又有极小值，
则f'(x)至少有两个变号零点，即g(x)至少有两个变号零点，
{4+a>0,
所以 ⇒-4<a<0.
a<0
【思维升华】根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
【跟踪训练】1 (1)已知函数f(x)=3(2-m2)x-mx3在x=1处取得极小值，则f(x)的极大值为( )
A.4 B.2 C.-2 D.-4
【答案】A
【解析】由题意得f'(x)=3(2-m2)-3mx2，因为函数f(x)在x=1处取得极小值，
所以f'(1)=3(2-m2)-3m=-3(m2+m-2)=0，解得m=-2或m=1.
当m=-2时，f(x)=-6x+2x3，f'(x)=-6+6x2=-6(1-x2)=-6(1+x)(1-x)，
所以当x<-1或x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以函数f(x)在x=1处取得极小值，符合题意，
所以函数f(x)在x=-1处取得极大值，为f(-1)=4；
当m=1时，f(x)=3x-x3，f'(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x)，
所以当x<-1或x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当-1<x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)在x=1处取得极大值，不符合题意，
综上，f(x)的极大值为4.
(2)若函数y=x3-2ax在(0，❑√3)上无极值，则实数a的取值范围是( )
( 9)
A. 0，
2
B.(-∞，0]
[9 )
C.(-∞，0]∪ ，+∞
2
(9 )
D.(-∞，0]∪ ，+∞
2
【答案】C
【解析】由函数y=x3-2ax在(0，❑√3)上无极值，得y'=3x2-2a在(0，❑√3)上无变号零点，
9
而函数y'=3x2-2a在(0，❑√3)上单调递增，则-2a≥0或9-2a≤0，解得a≤0或a≥ ，
2[9 )
所以实数a的取值范围是(-∞，0]∪ ，+∞ .
2
题型二 利用导数求函数的最值
命题点1 不含参函数的最值
[ π]
例4 (2025·全国Ⅰ卷改编)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间 0， 的最大值.
4
【解析】方法一 f'(x)=5(sin 5x-sin x)=5[sin(3x+2x)-sin(3x-2x)]=10cos 3xsin 2x，
[ π] π
令f'(x)=0，因为x∈ 0， ，解得x=0或x= ，
4 6
( π) (π π) π
当x∈ 0， 时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈ ， 时，f'(x)<0，f(x)单调递减，故当x= 时，
6 6 4 6
[ π] (π)
f(x)取得极大值即最大值，f(x)在 0， 上的最大值为f =3❑√3.
4 6
方法二 由和差化积公式f'(x)=-5sin x+5sin 5x=10cos 3xsin 2x，
( π) ( π)
因为当x∈ 0， 时，2x∈ 0， ，故sin 2x>0，
4 2
π ( π)
又当0<x< 时，3x∈ 0， ，则cos 3x>0，即f'(x)>0，
6 2
π π (π 3π)
当 <x< 时，3x∈ ， ，则cos 3x<0，即f'(x)<0，
6 4 2 4
( π) (π π)
故f(x)在 0， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
6 6 4
[ π] (π) π 5π
故f(x)在 0， 上的最大值为f =5cos -cos =3❑√3.
4 6 6 6
方法三 f'(x)=-5sin x+5sin 5x，
令f'(x)=0，得sin 5x=sin x，
[ π]
因为x∈ 0， ，
4
[ 5π]
所以5x∈ 0， ，
4
所以5x=x或5x+x=π，
π
所以x=0或x= ，
6
(π) (π)
因为f(0)=4，f =3❑√3，f =3❑√2，
6 4[ π] (π)
所以当x∈ 0， 时，f(x) =f =3❑√3.
4 max 6
命题点2 含参函数的最值
1
例5 (2026·淮安模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex- ax2，a>0，求f(x)在[1，2]上的最小值.
2
【解析】f'(x)=xex-ax=x(ex-a).
若0<a≤e，当x∈[1，2]时，f'(x)≥0，f(x)在[1，2]上单调递增，
1
此时f(x) =f(1)=- a；
min 2
若e<a<e2，当x∈[1，2]时，
令f'(x)>0，得ln a<x≤2，
令f'(x)<0，得1≤x<ln a，
则f(x)在[1，ln a)上单调递减，在(ln a，2]上单调递增，
1
此时f(x) =f(ln a)=a(ln a-1)- a(ln a)2；
min 2
若a≥e2，当x∈[1，2]时，f'(x)≤0，f(x)在[1，2]上单调递减，
此时f(x) =f(2)=e2-2a.
min
1
综上，当0<a≤e时，f(x) =f(1)=- a；
min 2
1
当e<a<e2时，f(x) =f(ln a)=a(ln a-1)- a(ln a)2；
min 2
当a≥e2时，f(x) =f(2)=e2-2a.
min
【思维升华】求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断
函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
a
【跟踪训练】2 (1)已知函数f(x)=ln x+ (a∈R)的最小值为1，则a等于( )
x
1 1
A. B.e C. D.1
e 2
【答案】D
1 a x−a
【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)= - = ，
x x2 x2
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，此时f(x)无最小值；
当a>0时，由f'(x)>0，得x>a，由f'(x)<0，得0<x<a，
所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增，故当x=a时，f(x)取得最小值，
即f(x) =f(a)=ln a+1=1，故a=1.
min
4
(2)若函数f(x)=x+ +3ln x在(a，2-3a)上有最小值，则实数a的取值范围是 .
x[ 1)
【答案】 0，
3
【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
4 3 x2+3x−4 (x+4)(x−1)
f'(x)=1- + = = ，
x2 x x2 x2
令f'(x)=0，得x=1或x=-4(舍去)，
当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
所以f(x)在x=1处取得极小值，即最小值，
又因为函数f(x)在(a，2-3a)上有最小值，
1
故0≤a<1<2-3a，解得0≤a< .
3
常见组合函数的图象
在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.
x f(x )−x f(x )
典例 (多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x ，x (x ≠x )都有 1 1 2 2 >0，则称函数
1 2 1 2 x −x
1 2
y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是( )
A.f(x)=ex B.f(x)=x2
C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x
【答案】ACD
【解析】依题意，函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数.
对于A，g(x)=xex，g'(x)=(x+1)ex，
当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0，∴g(x)在(-∞，-1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)=x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)=xln x，x>0，g'(x)=1+ln x，( 1)
当x∈ 0， 时，g'(x)<0，
e
( 1)
∴g(x)在 0， 上单调递减，
e
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)=xsin x，g'(x)=sin x+xcos x，
( π )
当x∈ − ，0 时，g'(x)<0，
2
( π )
∴g(x)在 − ，0 上单调递减，故D中函数不是“F函数”.
2
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1
1.函数f(x)= x3+x2-3x-1的极小值点是( )
3
( 8)
A.1 B. 1，−
3
C.-3 D.(-3，8)
【答案】A
【解析】f'(x)=x2+2x-3，
由x2+2x-3=0，得x=-3或x=1，
1
易得函数f(x)= x3+x2-3x-1在(-∞，-3)上单调递增，在(-3，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
3
故f(x)在x=1处有极小值，极小值点为1.
2.(2025·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则( )
A.f(x)在(-2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2个极值点
D.f(x)在x=-3处取得最大值
【答案】B【解析】由f'(x)的图象可知，当x∈(-2，2)或x∈(4，5)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A错误；
当x∈(-3，-2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x=2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；
由f'(x)的图象结合单调性可知，当x=-2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；
当x∈(-3，-2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(-3)<f(-2)，f(x)在x=-3处不能取得最大值，故D错误.
3.已知函数f(x)=xe-x，则当x∈[0，2]时，f(x)的最大值为( )
3 1 2 4
A. B. C. D.
e e e e
【答案】B
【解析】由f(x)=xe-x，
可得f'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)，
当0≤x<1时，f'(x)>0；
当1<x≤2时，f'(x)<0，
故f(x)在[0，1)上单调递增，在(1，2]上单调递减，
1
故当x∈[0，2]时，f(x)在x=1处取得极大值，也是最大值，为f(1)= .
e
4.(2025·保定模拟)已知f(x)=x2(x-k)的一个极值点为2，则实数k等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
2
【解析】f'(x)=3x2-2kx，令f'(x)=0，得x= k或x=0，
3
2
又f(x)的一个极值点为2，则 k=2，解得k=3，经检验，满足题意.
3
5.已知函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个不同的极值点x ，x ，则实数a的取值范围为( )
1 2
( 1) (1 1)
A. −∞， B. ，
2 4 2
( 1) ( 1]
C. 0， D. 0，
2 2
【答案】C
【解析】因为函数f(x)=x2+aln(x+1)，x>-1，
2x2+2x+a
所以f'(x)= ，
x+1
由题意得f'(x)在(-1，+∞)上有两个变号零点，令g(x)=2x2+2x+a，则g(x)在(-1，+∞)上有两个变号零点，
{ Δ=4−8a>0, 1
故 解得0<a< ，经检验，满足题意.
g(−1)=2×(−1) 2+2×(−1)+a>0, 2
6.已知函数f(x)=2x-2-x+2，若关于x的不等式f(xln x)+f(-x2-ax)>4有解，则实数a的取值范围为( )
A.(-∞，-1) B.(-∞，0)C.(-∞，1] D.(-∞，2]
【答案】A
【解析】设g(x)=f(x)-2=2x-2-x，
由y=2x，y=-2-x在R上单调递增，可知g(x)在R上单调递增，
又g(-x)=2-x-2x=-g(x)，∴g(x)为奇函数，
由f(xln x)+f(-x2-ax)>4，
可得g(xln x)+g(-x2-ax)>0，
∴g(xln x)>g(x2+ax)，xln x>x2+ax，
∴a<ln x-x在(0，+∞)上有解，
1−x
设h(x)=ln x-x，则h'(x)= ，
x
易知当x∈(0，1)时，h'(x)>0，
当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，
∴h(x)=ln x-x在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，故h(x) =h(1)=-1，
max
∴a<-1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
1
7.已知函数f(x)= x2+x-2ln x，则下列结论正确的是( )
2
A.f(x)有两个极值点
3
B.f(x)的极小值为
2
C.f(x)在(1，2)上单调递减
D.函数f(x)无零点
【答案】BD
【解析】f(x)的定义域为(0，+∞)，
2 x2+x−2 (x+2)(x−1)
f'(x)=x+1- = = ，令f'(x)=0，得x=1或x=-2(舍去)，
x x x
当x∈(0，1)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递减；
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，
3
所以1是f(x)的极小值点，极小值为f(1)= ，故B正确，A，C错误；
2
3 3
则f(x)的最小值为f(1)= ，所以f(x)≥ ，即函数f(x)无零点，故D正确.
2 2
8.(2025·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则( )
A.f(0)=0
B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-x-2C.f(x)≥2当且仅当x≥❑√3
D.x=-1是f(x)的极大值点
【答案】ABD
【解析】对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确；
对于B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2，故B正确；
对于C，f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2， 故C错误；
对于D，当x<0时，f(x)=(3-x2)e-x-2，则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x，
令f'(x)=0，解得x=-1或x=3(舍去)，
当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增，
当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，此时f(x)单调递减，
则x=-1是f(x)的极大值点，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
1
9.若 是函数f(x)=sin πx+acos πx的一个极大值点，则f(❑√3a)= .
3
❑√3
【答案】-
3
【解析】因为函数f(x)=sin πx+acos πx，所以f'(x)=πcos πx-πasin πx，
1
因为 是函数f(x)=sin πx+acos πx的一个极大值点，
3
(1) π π
所以f' =πcos -πasin =0，
3 3 3
π ❑√3 ❑√3
所以 -πa× =0，得a= ，经检验，满足题意，
2 2 3
❑√3
则f(x)=sin πx+ cos πx，
3
❑√3 ❑√3
则f(❑√3a)=f(1)=sin π+ cos π=- .
3 3
10.(2026·云南师大附中模拟)已知函数f(x)=(x2+x-1)ex-a有三个零点，则实数a的取值范围是
.
( 5 )
【答案】 0，
e3
【解析】因为函数f(x)=(x2+x-1)ex-a有三个零点，所以关于x的方程(x2+x-1)ex=a有三个实数根.
令g(x)=(x2+x-1)ex，则g'(x)=(x2+3x)ex=x(x+3)ex，
当x<-3或x>0时，g'(x)>0；
当-3<x<0时，g'(x)<0，
所以g(x)在(-∞，-3)，(0，+∞)上单调递增，在(-3，0)上单调递减，当x<-3时，x2+x-1>0，所以g(x)>0.
5
又g(-3)= ，g(0)=-1，
e3
当x→+∞时，g(x)→+∞，
所以函数g(x)=(x2+x-1)ex的大致图象如图.
( 5 )
因此，实数a的取值范围是 0， .
e3
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2-2x在x=1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式及单调区间；(7分)
(2)求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值与最小值.(6分)
【解析】(1)f'(x)=3x2+2ax-2，
由题意得f'(1)=0，即3+2a-2=0，
1
解得a=- ，
2
1
故f(x)=x3- x2-2x，定义域为R，
2
则f'(x)=3x2-x-2，
2
令f'(x)>0，得x>1或x<- ；
3
2
令f'(x)<0，得- <x<1，
3
( 2) ( 2 )
故f(x)在 −∞，− ，(1，+∞)上单调递增，在 − ，1 上单调递减，
3 3
1
显然f(x)在x=1处取得极值，故a=- ，符合题意，
2
1
f(x)=x3- x2-2x，
2
( 2) ( 2 )
f(x)的单调递增区间为 −∞，− ，(1，+∞)，单调递减区间为 − ，1 .
3 3
( 2) ( 2 )
(2)由(1)知，f(x)在 −1，− ，(1，2)上单调递增，在 − ，1 上单调递减，
3 3
x ( −1，− 2) - 2 ( − 2 ，1 ) 1 (1，2)
3 3 3f'(x) + 0 - 0 +
22 3
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值- 单调递增
27 2
1
又f(-1)= ，f(2)=2，
2
3
故f(x)在[-1，2]上的最大值为2，最小值为- .
2
12.(14分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分)
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(9分)
【解析】(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
(2)方法一 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x<ln a，
可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
1
则g'(a)=2a+ >0，
a
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x<ln a，
可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
[13题5分，14题6分，共11分]
13.(2025·上饶模拟)利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所
学的知识，探究函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，下列说法正确的是( )
A.f(x)有且只有一个极大值点
( 1)
B.f(x)在 0， 上单调递增
e
1
C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=
e
1
D.f(x)有最小值，最小值为 1
ee【答案】D
【解析】由x>0，则f(x)=xx=eln xx =exln x，x∈(0，+∞)，
令g(x)=xln x，x>0，则g'(x)=1+ln x，
1
令g'(x)=0，解得x= ，
e
1 ( 1)
当0<x< 时，g'(x)<0，g(x)在 0， 上单调递减，
e e
1 (1 )
当x> 时，g'(x)>0，g(x)在 ，+∞ 上单调递增，
e e
f(x)由函数y=eu与u=g(x)复合而成，而y=eu在(-∞，+∞)上单调递增，
( 1) (1 )
故f(x)在 0， 上单调递减，在 ，+∞ 上单调递增，
e e
1
1 (1) 1
所以f(x)在x=
e
处取得极小值f
e
=
e
− e= 1，且无极大值，
ee
(1) 1 1 1
又f(x)
min
=f
e
=
e
− e>e-1=
e
，故不存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=
e
.
故A，B，C错误，D正确.
14.(多选)已知可导函数y=f(x)(x≠0)的导函数为f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，则( )
A.y=f(x)有2个极值点
B.y=f'(x)有3个零点
C.y=f(x)只可能在x=1或x=-1处取得最小值
D.对∀x∈(-1，0)∪(1，+∞)，f'(x)>0恒成立
【答案】ACD
【解析】由f'(x)=x(ln|x|+x2-1)，易知f'(x)为奇函数，令h(x)=ln|x|+x2-1，
1
当x>0时，h(x)=ln x+x2-1，h'(x)= +2x>0，故h(x)在(0，+∞)上单调递增，
x
h(1)=0，显然函数h(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，所以函数f'(x)在(0，+∞)上存在唯一零点，
则当x∈(0，1)时，f'(x)<0，
当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，
故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，则x=1为f(x)的极小值点，
同理可得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，0)上单调递增，
x=-1为f(x)的极小值点，所以函数f(x)有2个极值点，
由函数f'(x)为奇函数，h(1)=0，可得f'(x)存在2个零点：-1，1，故A，C，D正确，B错误.
