第二十五章锐角的三角比(讲义)(原卷版)_2026语数英7-9年级上《举一反三系列》多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上多版本_2026《初中数学•举一反三系列》9上(沪教)

                                                                           
                                                                       
第二十五章  锐角的三角比（举一反三讲义）全章题型归纳

 ...................................................................................................................................................................4
 1   !" ....................................................................................................................4
 2  #$% !" ........................................................................................................................5
 3  &'()*+,-./ 0 ........................................................................................................6
 4  .1/ 0 ....................................................................................................................................7
 5  2340%./5 0 ....................................................................................................................8
67 .................................................................................................................................................................10
 6  89/ 0 !" ......................................................................................................10
 7  :;< !" ..............................................................................................................11
 8  =>+./ 0 ..................................................................................................................12
 9  89/ 0?@ABCDEF ..............................................................................................13
 10 ./ 0DG) ..........................................................................................................................14
知识点1  锐角的三角比
1. HIJKIJHLJKLDMN
OPQRS2Rt △𝐴𝐵𝐶%S∠C = 90°STUV A DW4XY4D!Z[∠ADHIS\]sin 𝐴S^
sin 𝐴=
𝒂
𝒄_
V A D`4XY4D!Z[∠ADKIS\]cos 𝐴S^cos 𝐴=
𝒃
𝒄_
V A DW4X`4D!Z[∠ADHLS\]tan 𝐴S^tan 𝐴=
𝒂
𝒃_
V A D`4XW4D!Z[∠ADKLS\]tan 𝐴S^cot 𝐴=
𝒃
𝒂_
2.  A DHLJKLJHIJKIab A D !_
3. cd/ 0DY4edfgh,/4SQij0 < sin 𝐴< 1k0 < cos 𝐴< 1Stan 𝐴> 0_
知识点2  特殊角的三角比的值
                                                                           
                                                                       
1. lmD !DMNn/ 0Dopqrst
30°
45°
60°
sin 𝛼
1
2
2
2
3
2
cos 𝛼
3
2
2
2
1
2
tan 𝛼
3
3
1
3
cot 𝛼
3
1
3
3
知识点3  锐角的三角比间的关系
2Rt △𝐴𝐵𝐶%S∠C = 90°S∠𝐴，∠𝐵S∠𝐶DW4uvw aSbSc_cxyMzqr𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2_
{1|} !~D
sin2𝐴+ cos2𝐴= ( 𝑎
𝑐)
2 + ( 𝑏
𝑐)
2
= 𝑎2+𝑏2
𝑐2
= 1_
{2|tan 𝐴Xsin 𝐴Scos 𝐴~D
sin 𝐴
cos 𝐴=
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
= 𝑎
𝑏= tan 𝐴
知识点4  解直角三角形的概念
h€S/ 0%S‚/ƒS„j…†‡ˆS^ ,4n‰†_c/ 0%D*+‡ˆS
Š‹K>+‡ˆDŒSZ[./ 0_
知识点5  解直角三角形的依据
2Rt △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐶= 90°S∠𝐴，∠𝐵S∠𝐶DW4uvw aSbSc_
{1| 4Ž~D
𝒂𝟐+ 𝒃𝟐= 𝒄𝟐{xyMz|
{2|‰Ž~D
∠𝑨+ ∠𝑩= 𝟗𝟎°{‰K|
{3|4Ž~D
sin 𝐴=
𝒂
𝒄Scos 𝐴=
𝒃
𝒄Stan 𝐴=
𝒂
𝒃_
知识点6  解直角三角形的基本类型及解法
./ 0j3‘’“”
•*+Y4nh/4–*+‰/4—*+Y4nh˜*+
h/4nh_‹.™š›tOs
𝛂
 !
                                                                           
                                                                       
*+”
*+,-
.™š
PR
Y4 cJh/
4{O a|
{1|𝑏=
𝑐2−𝑎2
{2|csin 𝐴= 𝑎
𝑐S∠𝐴
{3|∠𝐵= 90°−∠𝐴
‰4
‰/4
{aSb|
{1|𝑐=
𝑎2 + 𝑏2
{2|ctan 𝐴= 𝑎
𝑏S∠𝐴
{3|∠𝐵= 90°−∠𝐴
Y4 cJh
{O∠𝐴|
{1|∠𝐵= 90°−∠𝐴
{2|csin 𝐴= 𝑎
𝑐Sr𝑎= 𝑐⋅sin 𝐴
{3|ccos 𝐴= 𝑏
𝑐Sr𝑏= 𝑐⋅cos 𝐴
h4
h
h/4J
h{O
aJ∠𝐴|
{1|∠𝐵= 90°−∠𝐴
{2|ctan 𝐴= 𝑎
𝑏Sr𝑏=
𝑎
tan 𝐴
{3|csin 𝐴= 𝑎
𝑐Sr𝑐=
𝑎
sin 𝐴
Rt △𝐴𝐵𝐶%S∠C = 90°S∠𝐴，
∠𝐵S∠𝐶DW4uvw aSbS
cSOPQR
知识点7  解直角三角形在实际问题中的应用
1. œ)./ 0.žŸ D™š
{1|¡žŸ ¢£w S^¤Š¥¦P0S;§w./ 0D 
{2|lm %D,-S¨©ª) !:./ 0
{3|r« D¬­
{4|r«žŸ D¬­_
2. ®¯”
{1|°J±
©²A2³¥A´µ¶S²AX³¥AQ·DZ[°©²A2³¥Asµ¶S²AX³¥AQ·D
Z[±_
OP{1|QRSOC w³¥ASOD w¸¹ASOASOB w²ASTUV∠𝐴𝑂𝐶ºw°S∠𝐵𝑂𝐶ºw±_
P
1
P{2|
                                                                           
                                                                       
{2|µ»
H¼µ½CH¾µ½X¿Àµ½Q0·DÁd 90°DZ[µ»_
OP{2|QRSOA QtRDµ»b¼Âà 55°SOB QtRDµ»b¾Âà 45°SOC QtRDµ»
b¾ÂÄ 70°SOD QtRDµ»b¼ÂÄ 30°_
{3|ÅÆJÅ
ŦD¸/ÇÆn³¥ÈÆD!Z[ŦDÅÆ{CÅ!|S\] iS^𝑖=
𝒉
𝒍SÅÆɮʷℎ∶𝑙D0Ë_
ŦX³¥¦DÌZÅ{CÍY|S\]αSdbj𝑖= 𝐭𝐚𝐧𝜶_
【培优篇】
【题型1  设参数法求锐角三角比值】
Î 1{24-25 ÏÐÑ´·ÒÓÔ³·ÕÖ|OPS2×0𝐴𝐵𝐶𝐷%S𝐷𝐸⊥𝐴𝐵Ø AB dÙ ESÚ5𝐵𝐷SÛ
𝐵𝐸=
1
3𝐴𝐵SÜcos∠𝐷𝐵𝐸D"b          
_
ÝË 1-1{2025·Þ¾¥ßà· á|OPS2â0𝐴𝐵𝐶𝐷%S𝐴𝐵= 3S𝐴𝐷= 5SÙ𝐸2𝐷𝐶´S¡â0𝐴𝐵𝐶𝐷
ã𝐴𝐸äåSÙ𝐷æçè2𝐵𝐶4´DÙ𝐹éSêëtan∠𝐸𝐹𝐶=      
ÝË 1-2OPS2:4 △𝐴𝐵𝐶%S𝐶𝐷⊥𝐴𝐵S¹ìw𝐷Si𝐴𝐷S𝐶𝐷w`4]â0𝐴𝐷𝐶𝐸SÚ5𝐵𝐸Ø𝐶𝐷4
dÙ𝐹SÜcos∠𝐶𝐵𝐸D"w{    |
                                                                           
                                                                       
A_
5
14 7
B_
2
7 7
C_
1
14 21
D_
1
7 21
ÝË 1-3{2025·3í¾î·há|OPSVâ0𝐴𝐵𝐶𝐷ãWA𝐴𝐶ïäSÙ B è2Ù𝐵′éS𝐴𝐵′Ø𝐶𝐷d
Ù ESÛ
𝐴𝐷
𝐷𝐶=
1
2SÜsin∠𝐷𝐴𝐸D"w{    |
A_
5
5
B_
1
2
C_
3
5
D_
2 5
5
【题型2  网格中求锐角三角比值】
Î 2OPS #$%DÙ AJBJCJD a2ÁHµ0ßÙ´SÚ5𝐴𝐵J𝐶𝐷ØdÙ PSÜ∠𝐵𝑃𝐶DHL"
b{    |
A_2
B_
3
2
C_
5
2
D_
2 3
3
ÝË 2-1OPS2 4×4 D#$%Sð†ÁHµ0D4ñw 1SÙ ASBSC ò2$Ù´SD b AB X#$
ADØÙSÜ𝑠𝑖𝑛
∠𝐴𝐷𝐶
2 D"b      
_
                                                                           
                                                                       
ÝË 2-2{2025·óôõö·á÷øù|OPbc 6 †0úJeÁûüý}D×0þ·D#$S×0Dß
Ùºw$ÙS*+×0Dh†∠𝐴𝑂𝐵= 60°SÙ𝐴,𝐵,𝐶a2$Ù´SÜcos∠𝐴𝐵𝐶D"b       
_
ÝË 2-3{2025·ôÿĀā·Ăá|OPS24 × 3D#$P%SÙ𝐴J𝐵J𝐶J𝐷a2ÁHµ0DßÙ´S
𝐴𝐵J𝐶𝐷ýØdÙ𝐸SÜsin∠𝐵𝐸𝐷D"b      
_
【题型3  灵活运用已知条件解直角三角形】
Î 3{24-25 ÏÐÑ´·ăĄñą·ÕÖ|OPS2 △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐶= 45°S∠𝐴= 60°S𝐴𝐷= 1_Ćis™
š]P
①uviÙ𝐵nÙ𝐶wćĈJed
1
2𝐵𝐶DñwĉĊ]ćċS‰ċýØdÙ𝑀nÙ𝑁②]/A𝑀𝑁Ø
𝐴𝐶dÙ𝐷SÜ𝐶𝐷Dñw{    |
A_ 6
B_2 3
C_ 3 +1
D_ 3
ÝË 3-1{24-25 ÏÐÑs·ČÄÄč·Õ%|OPS2 △𝐴𝐵𝐶 %S 𝐴𝐵= 5 S tan∠𝐴=
1
2 S tan∠𝐵=
1
3 SÜ 𝐵𝐶 Dñw{    |
                                                                           
                                                                       
A_2 5
B_3
C_2
D_ 10
ÝË 3-2{2025·ĎďôeĐ·%đĒ|OPSRt △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐴𝐵𝐶= 90°S∠𝐵𝐴𝐶= 60°S𝐴𝐵= 2_2𝐴𝐵
n𝐴𝐶´uvēĔ𝐴𝑀S𝐴𝑁Sĕ𝐴𝑀= 𝐴𝑁_uvi MSN wćĈJied
1
2𝑀𝑁DñwĉĊ]ċS‰ċ2∠𝐵𝐴𝐶
ĖØdÙ F_]ėA𝐴𝐹Ø𝐵𝐶dÙ DSÜÙ D «𝐴𝐶DĘęw     _
ÝË 3-3{2025·ČÄĚě·á÷øù|OPS2 △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐵= 45°,𝐵𝐶= 3,tan𝐶=
1
2SÜ%A𝐴𝐷Dñ
w{    |
A_ 5
B_2
C_
3
2
D_
5
2
【题型4  解双直角三角形】
Î 4{24-25 ÏÐÑ´·àÃĜĝ·Õ%|OPS¡ Ğ𝐴𝐵𝐶n Ğ𝐷𝐸𝐹åğ2hĠS/4𝐴𝐶X𝐷𝐸
ûüġĢS*+𝐴𝐵ñw16 cmSÛ Ğ𝐷𝐸𝐹ã𝐶𝐵µ½ģĤSĥ¶ùr𝑂𝐵ñb 6cmSÜģĤĘę𝐶𝐷b
{   |
A_2cm
B_5 3 cm
C_(5 3−3) cm
D_(8 3−5) cm
ÝË 4-1{24-25 ÏÐÑ´·ČÄÄč·ÕÖ|OPS2Rt △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐴𝐶𝐵= 90°S𝐴𝐵D¹/¥uAØ𝐴𝐶
XÙ ESÛtan∠𝐷𝐸𝐴=
4
3S𝐵𝐶= 6SÜ𝐶𝐸Dñw     _
                                                                           
                                                                       
ÝË 4-2{2025·àÃĜĝ·%đĒ|OPS2 0Ħħ𝐴𝐵𝐶%S∠𝐵= 57°S∠𝐶= 38°S¡ĦħãĨ
ŒÙ A D/AäåSĕÙ𝐵è2𝐴𝐶4´DÙ𝐸éSäĩ𝐴𝐷Ø𝐵𝐶dÙ𝐷Ī¡ĦħãĨŒÙ𝐸D/AäåSĕ
Ù𝐶è2𝐵𝐶4´DÙ𝐺éSäĩ𝐸𝐹Ø𝐵𝐶dÙ𝐹_s›īĬ·ĭDb{   |
A_𝐷𝐺= 𝐸𝐺
B_𝐺𝐸⊥𝐴𝐸
C_∠𝐷𝐴𝐸= 42°
D_𝐷𝐸= 2𝐺𝐹
ÝË 4-3{2025·čĮįİ·há|OPS2 △𝐴𝐵𝐶%S𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 12S𝐵𝐶= 10SÙ𝐷w𝐵𝐶%ÙSÙ𝑃i
ðı 1 †IJ»DijÆĴ𝐵Šĵã𝐵→𝐴→𝐶(Ĥ_© △𝑃𝐶𝐷w:Ķ 0¶S𝑡D"w{   |
A_
25
6 C 18
B_
25
6 C 18 C 19
C_
25
6 C 18 C 19 C
119
6
D_
25
6 C 18 C 19 C 20
【题型5  在四边形中解直接三角形】
Î 5{2025·ķ¾ĸĹ· á|OPS2â0𝐴𝐵𝐶𝐷%S𝐴𝐷= 2𝐴𝐵= 8,𝐸,𝐹uvw𝐴𝐷,𝐵𝐶4´DÙSk
𝐵𝐹= 3S¡â0𝐴𝐵𝐶𝐷ã/A𝐸𝐹äåSr«340𝐸𝐹𝑁𝑀SÙ𝐴,𝐵DWGÙuvwÙ𝑀,𝑁{Ù𝑀è2𝐴𝐷´
µ|SÚ5𝐶𝑁S©𝐶,𝑁,𝑀 لA¶S𝐴𝐸Dñw{    |
                                                                           
                                                                       
A_2
B_
4
3
C_
16
3
D_1
ÝË 5-1{2025·àÃĺİ· á|OPS2340𝐴𝐵𝐶𝐷%S𝐴𝐸= 𝐵𝐸S𝐷𝐹= 𝐹𝐵S𝐷𝐹⊥𝐶𝐸S𝐴𝐹∥𝐷𝐶S
tan∠𝐴𝐵𝐷=
1
4S𝐸𝐹= 2SÜ𝐵𝐶Dñw{   |
A_3 2
B_4 2
C_2 5
D_4 5
ÝË 5-2{2025·ĎďôĻļĽ·á÷øù|OPS340𝐴𝐵𝐶𝐷w4ñw 4 DHµ0SÙ E w𝐴𝐷D%ÙS
Ú5𝐵𝐸ľĿñŀÙ FSÚ5𝐴𝐹SÚ5𝐹𝐷ľĿñØ𝐵𝐶ĿñAdÙ GSÛtan∠𝐹𝐴𝐸=
4
5¶SÜ𝐶𝐺Dñw      
_
ÝË 5-3{2025·Þ¾Łł·Ăá|*+
OPS2 △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐵𝐴𝐶= 90°,𝐷wAB𝐴𝐶´hÙSk𝐴𝐵= 𝐴𝐷,𝐸
wAB𝐵𝐶D%ÙSÚ5𝐵𝐷J𝐸𝐷SĿñ𝐵𝐴«Ù𝐹Sĕr𝐴𝐹= 𝐵𝐴SÚ5𝐷𝐹SŒÙ𝐵]𝐷𝐹D¥@AØ𝐷𝐴DĿ
ñAdÙ𝐺_
(1)340𝐵𝐷𝐹𝐺bHµ0ŃńŅņŇzc
                                                                           
                                                                       
(2)Ûtan∠𝐵𝐶𝐴=
3
5,𝐶𝐷= 2SAB𝐷𝐸DñÆ_
【拔尖篇】
【题型6  构造直角三角形求锐角三角比值】
Î 6{2025·Ďďôň§·á÷øù|2¥@340𝐴𝐵𝐶𝐷%SF b𝐴𝐷D%ÙSÙ E 2ėA𝐵𝐶´Sk
𝐶𝐸=
1
2𝐵𝐶SÚ5𝐸𝐹_Û𝐴𝐵= 4,𝐴𝐷= 6,∠𝐵= 60°SÜtan∠𝐹𝐸𝐶D"w     _
ÝË 6-1{24-25 ÏÐÑ´·àÃʼnŊ·ÕÖ|OPS2 △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐴𝐶𝐵= 90°S𝐴𝐶= 2 5S𝐵𝐶= 6S𝐶𝐷
b𝐴𝐵4´D%ASÜcos∠𝐴𝐷𝐶D"b{   |
A_
2
7
B_
5
7
C_
5
7
D_
3 5
7
ÝË 6-2{24-25 ÏÐÑ´·3íŋě·ÕÖ|OPS2¥¦/ŌÀ%S340𝑂𝐴𝐵𝐶D4𝑂𝐶2 x ō´S
𝑂𝐴2 y ō´k𝐴𝐵∥𝑂𝐶SAB𝑂𝐴S𝐴𝐵Dñuvbµ𝑥2−9𝑥+ 20 = 0D‰†l{𝑂𝐴< 𝐴𝐵|SPJQ uvw
𝑂𝐴J𝑂𝐶´‰ÙS𝑂𝑄= 5S¡ △𝑃𝑂𝑄ïäSĕÙ O è24𝐴𝐵´DÙ D éSÜtan∠𝑃𝑄𝐷=        
_
ÝË 6-3{2025·ôÿ¾É·á÷øù|OPSHµ0𝐴𝐵𝐶𝐷%S¡4𝐵𝐶ŎÙ𝐵ŏ¶Őő;ŀ𝐵𝐸SÚ5𝐶𝐸S
𝐷𝐸SÛ∠𝐶𝐸𝐷= 90°SÜsin∠𝐸𝐶𝐷D"b{   |
A_
1
2
B_
3
2
C_
5
5
D_
2 5
5
                                                                           
                                                                       
【题型7  等角转换法求锐角三角比值】
Î 7{2025·3íŒà·há|OPSÙ𝐸bâ0𝐴𝐵𝐶𝐷%𝐶𝐷4´DhÙS △𝐵𝐶𝐸ã𝐵𝐸äåw △𝐵𝐹𝐸SÙ𝐹
è2𝐴𝐷´_Û∠𝐷𝐹𝐸DeÁw𝛼Skœì
sin𝛼−cos𝛼
cos𝛼+2sin𝛼= −
1
10SÜtan∠𝐵𝐸𝐶D"w       
_
ÝË 7-1{2025·àÄŔŕ· á|OPS2340𝐴𝐵𝐶𝐷%S𝐴𝐵= 𝐵𝐶S𝐴𝐶⊥𝐶𝐷S𝐵𝐷¥u∠𝐴𝐷𝐶S𝐴𝐶X𝐵𝐷
ýØdÙ𝐸SÛ𝐶𝐷= 3S𝐴𝐶= 4SÜAB𝐵𝐸Dñw        
_
ÝË 7-2OPS2Rt △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐶𝐴𝐵= 90°,𝐴𝐵= 𝐴𝐶SÙ𝐷wY4𝐵𝐶´hÙSk𝐵𝐷= 3𝐶𝐷S¡ △𝐴𝐵𝐷
ã/A𝐴𝐷ïäSÙ𝐵DWGÙw𝐵′SÜsin∠𝐶𝐵′𝐷=     _
  
ÝË 7-3{2025·ķ¾Ŗě·há|OPS*+Ù𝐶b/A𝑙ƒhMÙS𝐴𝐵b/A𝑙´DĤABS𝐴𝐵= 5SÚ
5𝐴𝐶J𝐵𝐶S𝑆△𝐴𝐵𝐶= 15_©𝐴𝐶+ 𝐵𝐶ĔŗÁ"¶sin∠𝐶𝐵𝐴D"_ÁŘ2.Œ%ĵř
“ŚśŜzŝ
DýW(ĤŞşSÛ¡𝐴𝐵Š]šABSÜÙ𝐶2¥@d/A𝑙D/A´(Ĥ”_ŅŢđÁŘDŞţ©
𝐴𝐶+ 𝐵𝐶ĔŗÁ"¶sin∠𝐶𝐵𝐴=           
_
                                                                           
                                                                       
【题型8  巧设未知数解直角三角形】
Î 8{2025·ŤÃťŦ·á÷øù|2:Ķ △𝐴𝐵𝐶%S𝐴𝐵= 𝐴𝐶SD b BC ´hÙSŒÙ D ]𝐷𝐸⊥𝐴𝐷Ø𝐴𝐶
ĿñAdÙ ESÛtan∠𝐵𝐴𝐶=
24
7 S
𝐵𝐷
𝐴𝐵=
2
5SÜ
𝐴𝐶
𝐶𝐸D"w        
_
ÝË 8-1{2025·3퍇·%đĒ|340𝐴𝐵𝐶𝐷%S𝐴𝐶X𝐵𝐷ØdÙ OSO b𝐴𝐶D%ÙS𝐵𝑂= 2𝐷𝑂S
*+𝐴𝐵= 4S𝐴𝐷= 2Stan∠𝐴𝐶𝐷=
3
5 SÜ𝐴𝐶Dñw        
_
ÝË 8-2{24-25 ŧÐÑs·¼Ũ·ÕÖ|OP 1S2 △𝐴𝐵𝐶%S∠𝐵𝐶𝐴= 90°S𝐴𝐵= 5S¡‹uũ·ⅠJ
ⅡJⅢ ŪuSūŬĪŭ·OP 2 D×0𝑃𝑄𝑀𝑁{ŮġåJĀůŰ|SÛ𝑁𝐻−𝑃𝐺= 1SÜ𝑄𝐻Dñw      
_
ÝË 8-3{24-25 ÏÐÑs·űŲűě·Õ%|OPS2×0𝐴𝐵𝐶𝐷%SŒßÙ D ]𝐷𝐸⊥𝐴𝐵S𝐷𝐹⊥𝐵𝐶S¹
ìuvw ESFSÚī𝐸𝐹_Ûcos𝐴=
1
3S △𝐵𝐸𝐹D¦ųw 4SÜ×0𝐴𝐵𝐶𝐷D¦ųw        
_
                                                                           
                                                                       
【题型9  构造直角三角形进行线段或角的计算】
Î 9{24-25 ÏÐÑ´·ġĐ·Õ%|OPSÙ𝐷b △𝐴𝐵𝐶ƒhÙS𝐷𝐵= 𝐷𝐶S𝐴𝐵X𝐶𝐷ýØdÙ𝐸S
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶SÚ5𝐷𝐴SÛ𝐴𝐶= 4S𝐷𝐴=
13Stan∠𝐷𝐵𝐴=
1
2SÜ𝐷𝐵=        
_
ÝË 9-1OPS2 △𝐴𝐵𝐶%S𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 4Scos𝐵=
1
4S𝐵𝐷b%AS¡ △𝐴𝐵𝐶ã/A𝐵𝐷ïäŬSÙ𝐴è
2Ù𝐸Sêë𝐶𝐸Dñw        
_
ÝË 9-2OPS2𝑅𝑡𝛥𝐴𝐵𝐶%S∠𝐴𝐵𝐶= 90°S𝐴𝐵= 3S𝐴𝐶= 5S∠𝐴𝐵𝐶n∠𝐴𝐶𝐵D¥uAýØdÙ𝐷SŒ
Ù𝐷]𝐷𝐸//𝐴𝐶Ø𝐵𝐶dÙ𝐸Sêë𝐷𝐸Dñw        
_
  
ÝË 9-3OP_2△ABC %S∠ACB=60°SAC=1SD b4 AB D%ÙSE b4 BC ´hÙ_Û DE ¥u△ABC
DŴñSÜ DE Dñb     _
                                                                           
                                                                       
【题型10  解直角三角形的应用】
Î 10{2025·ġĐ·%đĒ|wŵŶŷĄŸŹSźĄŻż)ŽžſƀXĀŽƁƂ²‰‘µËƃùŷĄƄ
ƅ_OPSASBSCSD 2}h¥¦Ė_A bſƀƆSźh¶ƇSƈù«ƉĀŽƁ»d A DHõ½ 10 Ɗ
ƋD B éSƌĀŽƁ»d A D¾ÂÄ30°µ½ 20 ƊƋD D é_‰ĀŽƁ}¶ƍƎ C éƂ²SD »d C DH
ĵ½´SB »d C D¼ÂÄ30°µ½´_{đm
 2 ≈1.41S 3 ≈1.73S 5 ≈2.24S 7 ≈2.65|
(1)𝐵𝐷DñÆ{īƏƐƑÁÙŬh»|
(2)ƉJƌ‰ĀŽƁ}¶uvĴ BSD Šĵã𝐵𝐶S𝐷𝐶Ǝ C é?@Ƃ²SƌĀŽƁijÆwƉĀŽƁijÆD 2
ƒ_©‰ĀŽƁýĘ 20 ƊƋ¶SƓUqiƔƕý5Ɩ«	_Ņ ƉĀŽƁƍę B éƗƘƊƋ¶S‰Ā
ŽƁqiƔƕý5Ɩ«	{īƏƐƑÁÙŬh»|ń
ÝË 10-1{2025·Þ¾·á÷øù|ƙÇƚŹƁƛŽbh‘qƜƝƞŸƟƠŽơ?ƢƣƤƥƦ?@ƚŹ]
ƧDƨ‘ƁƛŽ_OP 1 bhƩƙÇƚŹƁƛŽDžŜPSP 2 b‹ž]RgPSƁƛŽĹƪqŠ]â0
𝐴𝐵𝐶𝐷S𝐴𝐵= 1mSƫƬƭ𝐸𝐹= 𝐹𝐺= 3mSÙ𝐺nÙ𝐸2}h¸¹A´{^𝐺𝐸⊥𝐴𝐷|S∠𝐹= 110°SƫƬƭ
𝐺𝐻DŗeñÆw9mSP%DÙò2}hƮ/¥¦ĖS𝐺𝐻∥𝐸𝐹_©ƫƬƭ𝐺𝐻Ư«ŗeñƶSƙÇƚŹ
ƁƛŽDŗÇÙ𝐻«¦DĘę_{đm
sin35° ≈0.57Scos35° ≈0.82Stan35° ≈0.70|
                                                                           
                                                                       
ÝË 10-2{2025·´ưñõ·há|OPbźsƱƲDƳ¦PSźƴĢžƵÁþ¡ĀŽƁğ2ÅƶĠÙ
A éSƷĀŽƁƍ«Ù𝐷éS𝐴𝐷XĹƸ𝐵𝑅¥@Sùr𝐴𝐷= 11.6ƋSĥ¶2Ù𝐷éƹùrÅƶ𝐴𝐵´DÙ𝐶D
±w26.6°_5ĨƷĀŽƁƍ«Ù𝐸éS𝐷𝐸⊥𝐴𝐷S𝐶𝐸XĹƸ𝐵𝑅¥@Sùr𝐷𝐸= 1.8Ƌ_
 
(1)Åƶ𝐴𝐵DÅƏ
(2)*+¦𝑄𝐴JsƱƲDßƸ𝐹𝐺aXĹƸ𝐵𝑅¥@kƓU«ĹƸ𝐵𝑅DĘęý:SĀŽƁĴÙ𝐴ƍ«Ù𝑃éS
𝐴𝑃⊥𝐴𝐷Sùr𝐴𝑃= 16.4ƋSĥ¶2Ù𝑃éùrÙ𝐹D±w45°S2Ůđƺ‹ƻƼˆDƽƾsSjhƿÇÆ
w 3 ƋDǀƱǁǂ?ƢǃsƱƲńŅņŇzc_
{đm
sin26.6° ≈0.45Scos26.6° ≈0.89Stan26.6° ≈0.5|
ÝË 10-3wùDŽDžŬàÇÆSdžLJÁþ'ĤŒOs
  
(1)ùDŽÅ
OP 1SŬàhLjj BýW¥/DàÅ𝐴𝐵S𝐵𝐶S𝐶𝐷SàDÇÆ^w BŦD¸/ÇÆ𝐵𝐻S𝐶𝑄S𝐷𝑅Ž
nSŦDñÆqi/5ùDŽr«SljàÅÇÆNJNjlj+ƶÅeÁ_
                                                                           
                                                                       
OP 2S}U¡‰l/nj𝑀𝑁S𝑀𝑃DhǍğ2ŦĠƕǍ A éS/nj𝑀𝑃ãŦ𝐴𝐵µ½ğǎS2/nj𝑀𝑁
ǏhǍ N )ǐAÁġŜ GS©/nj𝑀𝑁X¸¹A𝑁𝐺ġĢ¶Sùr‰njÌ𝛼DÆScĥqràÅ AB Å
𝛽DÆ_Ņ/5ʊ𝛼S𝛽Ž~DDŽ_
(2)ùDŽàÇ
}UùràÅ𝐴𝐵S𝐵𝐶S𝐶𝐷DÅñǑǒw 40 ƋS50 ƋS40 ƋSÅǑǒw24°S30°S45°w𝐵𝐻SÁ
Ǔ}2]Ƨ“´¤ǔh†Ǖ24°DRt △𝑇𝐾𝑆{OP 3|SDŽr𝐾𝑇≈5cmS𝑇𝑆≈2cm_àÇ
𝐷𝐹_{ 2 ≈1.41SīƏǖǗ« 1 Ƌ|
(3)ùDŽǘ?
cdùDŽž]DŽǙeS}UǚŎOǛ§ùDŽ?@ǔťƢǜǝSjǔisǞDùDŽµ_
  
OP 4S5S2DžǟŻ´S¡/nj NP ǎd𝑀𝑁DßǍS©𝑀𝑁X¸¹A𝑁𝐺ġĢ¶S;Ĥ/nj𝑁𝑃SĕÙ NS
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