文档文本内容
第 3 讲 数形结合思想在三角函数中的应用
我国著名数学家华罗庚曾针对数形结合思想作了一首著名的诗：“数缺形时少直观，形少数时难入
微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合，主要指的是数与形之间的一种对应关系。数形结合
就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，达到“以形助数”或“以数解
形”， 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
在三角函数的学习过程中，如三角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性，对称性等都可以
从三角函数的图象上直观的显现出来，而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质。因此，
明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，即数形结合思想，来拓宽思维空间，提高解
决问题的能力。
例如数形结合思想在含绝对值的三角函数、在三角函数已知零点或极值点求ω及在三角函数求交点个
数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）中都有广泛的重要应用，而本文会
重点就数形结合思想在三角函数中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】数形结合思想在含绝对值的三角函数中的应用
我们在学习三角函数的图象与性质时，经常会遇到给定
（ ）的函数解析式，求周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心及判断奇偶
性，此时我们可以直接利用公式或整体思想计算而得。但有时也会遇到这样一类题，给定的三角函数解析
式中含有绝对值，例如： 、 、 、
等，此时仍然考查周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心及判断奇偶
性，那么我们该如何求解呢？面对这类题，如果我们能把对应三角函数的图象画出来，借助数形结合思想
则可求解上述问题，例如下面这道例题：
【例1】（2023春·山东·高三统考）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数图像关于 对称B．函数在 上单调递增
C．若 ，则
D．函数 的最小值为
通过观察及上述方法介绍的学习，本题用数形结合思想来求解，那么我们应该怎么去化简函数和画出
图象呢？首先先分类讨论去绝对值，
当 时，即 ，
当 时，即 ，
即可绘出函数图像，如下所示：
结合图象即可得到答案
【答案】A
【分析】本题首先可以去绝对值，将函数 变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后
结合函数图像即可得出答案.
【详解】由题意可得：
，
即可绘出函数图像，如下所示：故对称轴为 ，A正确；
由图像易知，函数在 上单调递增， 上单调递减，B错误；
要使 ，则 ，
由图象可得 或 、 或 ，
故 或 或 ，C错误；
当 时，函数取最小值，最小值 ，D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的
最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于给定 、 、 、
等函数解析式,可以先去掉绝对值，再画出图象，从而利用数形结合思想来求
解相关问题，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型带绝对
值的同类题型求解。
【变式1.1】（2022·湖南·校联考三模）已知函数 ，现有下述四个结论：① 的最小正周期为 ；②曲线 关于直线 对称；
③ 在 上单调递增；④方程 在 上有4个不同的实根.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【分析】结合二倍角公式对函数进行变形可得 ，作出 在 上的图象，
可知四个命题的正确性.
【详解】解： ，
作出 在 上的图象（先作出 的图象，再利用平移变换和翻折变换得到
的图象），如图所示，由图可知①②④正确，③错误.故所有正确结论的编号是①②④.
故选:D.
【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了分段函数的图像的做法，考查了三角函数的图像，考查了三角函
数的性质，考查了数形结合.本题的关键是对已知函数进行整理变形后，画出其函数的图像.
【变式1.2】（2022·安徽·高三模拟）（多选）已知函数 ， ，则下列
说法正确的是（ ）A． 的增区间为 ，
B． 的对称轴为 ，
C． ，使得 对 恒成立
D． ，若 ，则 ，
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性和周期性，得出函数 为偶函数且周期为 周期函数，进而只需要研究
上图象即可，先画出函数 在 上图象，利用性质即可画出函数 在 上图象，结合
图象即可以判断各选项.
【详解】
为偶函数，
为函数 的周期，
因此只需要研究 上图象即可，
当 时， ，再根据偶函数和周期性得到 ， 的
图象，如图所示由图可知： 的增区间为 ， ，故A正确；
的对称轴为 ， ，故B正确；
的最小正周期为 ，故C不正确；
， ，故D正确.
故选:ABD.
【变式1.3】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中学校考期中）（多选）已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A． 的最正周期为
B．若 ，则
C． 在区间 上是增函数
D． 的对称轴是
【答案】ABD
【分析】把函数 化成分段函数，作出函数图象，根据图象判断AC，由余弦函数的性质判断C，再结合
图象利用函数对称性的性质判断D.【详解】依题意， ，函数 部分图象如图，
由图象知函数 是周期函数，周期为 ，故A正确；
因 且 ，则当 时， 且 ，
则 且 ， ，因此， ， ，B正确；
观察图象知， 在区间 上不单调，所以 在区间 上不是增函数，故C不正确；
观察图象知， ， 是函数 图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，
事实上 ，即 图象关于 对称，
同理有 图象关于 对称，而函数 的周期是 ，所以函数 图象对称轴
，D正确.
故选：ABD
【应用二】数形结合思想在三角函数已知零点或极值点求ω的应用
我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，给出对应的三角函数的
解析式，已知单调性、奇偶性或对称性求ω的范围，我们可以借助整体思想求解即可。但有时也会遇到这
样一类题，给定三角函数在确定区间内有几个零点或几个极值点求ω的范围，那么此时我们应该如何求解
呢？考虑到题干当中已经给出了确定的零点或极值点个数，如果我们能画出图象，并且能够直观的从图象
中读出零点或极值点个数，从而确定区间范围，再而可确定参数ω的范围，则所求问题可求解，那么问题
关键是我们能不能作出图象？又该怎样作出图象呢？我们还是可以结合三角函数的图象和性质借助五点作图法来作图，不妨先看下面这道例题：
【例2】（2022秋·山西运城·高三校考）已知函数 ，若 在区间
上有且仅有4个零点和1个极大值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
观察本题，角度是统一的，但函数名及次数不统一，我们可以先用辅助角公式把函数名统一，即
，此时我们可以换元作图，令 ，由 ，则
，则 ， ，作图如下：
有4个零点和1个极大值点，即右端点 即可求解
【答案】D
【分析】先利用辅助角公式得到 ，设 ，将问题转化为 在区间
上有且仅有4个零点和1个极大值点，再结合图象进行求解.
【详解】 ，
令 ，由 ，则 ；
因为 在区间 上有且仅有4个零点和1个极大值点，
即 在 上有且仅有4个零点和1个极大值点.作出 的图象（如图所示），
则 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
故选：D.
【思维提升】
通过本题我们不难发现，在三角函数已知零点或极值点求ω,往往可以数形结合思想来作图求解，如较复
杂型函数则可通过诱导公式或三角恒等变换公式,将其转化为形如 （
）等形式，进而结合三角函数图象与性质可求解，可通过学习这一道题会一类题的
效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数中已知的其他综合条件来求ω的综合问题。
【变式2.1】（2022秋·北京·高三统考阶段练习）设函数 在区间 上恰有两个
极值点和三个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，由已知可得 ，根据已知可得，应使 在 上有两个
极值点、三个零点，根据余弦函数的图象即可得到关于 的不等式，求解即可得到 的取值范围.
【详解】令 ，因为 ，所以 ，要使函数 在区间 有两个极值点、三个零点，只需函数 在 上有两个极值点、三个零点即可.
又因为 的极值点即为 的最值点，即在对称轴处取得极值.
作出 的图象， ， .
根据函数 图象可知，需满足 ，即 ，
即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C.
【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数 在区间 恰有3个零点，4个
极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出 的范围，然后结合函数图象、零点个数和极值点个数可 ，进而
求出 可得答案.【详解】因为 ，所以 ，
因为 在区间 内恰好有3个零点，4个极值点，
结合函数图象可得： ，
解得 ， 的取值范围是 .
故选：A.
【变式2.3】（2022·江苏高三校考阶段练习）已知函数 在 内有且
仅有3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为 ，由 ，得
，结合正弦函数的图像求得 的范围，从而求得 的范围.
【详解】
当 时，在 有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，
解得：
故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为
形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题.
【应用三】数形结合思想在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根
及零点个数（零点之和）中的应用
我们在学习函数的应用时学习到函数零点的定义和函数零点存在性定理的应用，我们知道求函数的零
点可以等价转化为对应方程的根或图象交点的横坐标。而在学习三角函数的图象与性质时，我们仍然会遇
到已知关于三角函数的解析式求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之
和）的系列问题。在学习函数应用时我们也曾作出图象求解，那么在三角函数的相关问题求解中，我们同
意可以利用数形结合思想求解，例如下面3道例题：
【例3.1】（2023春·高三练习）方程 的解的个数是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
本题不难，分别作出 和 的图象，观察图象，即可得到交点个数【答案】D
【分析】先在同一坐标系中分别作出函数 ， 的图象，数形结合即可得图象交点个数，即方
程的根的个数.
【详解】解：在同一坐标系中分别作出函数 ， 的图象如图：
由图可知函数 ， 的图象有3个交点，
即方程 的解有3个.
故选：D.
【点睛】本题考查了方程的根和函数的交点间的转化，正弦函数、一次函数的图象及画法，考查了数形结
合求交点个数的方法，是基础题.
【例3.2】（2023秋·福建龙岩·高三统考）函数 在区间 上的所
有零点之和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
观察本题， 的系数里有 ，不能直接作出 的图象，那么我们该怎样把问题等价转换呢？结合函数零点的定义，我们可以转换成对应方程的根或对应两个图象的交点，我们不妨先把函数化简，
，令 ，即
，于是我们可以转换成两图象交点问题，可以发现 与 均关于点
对称，作图如下：
结合图象即可求得零点之和即交点横坐标之和
【答案】B
【分析】根据题意整理可得 ，将函数 的零点问题转化为 与 的交
点问题，利用图象结合对称性分析运算.
【详解】由题意可得：
，
令 ，且 ，可得 ，
∵ 与 均关于点 对称，
由图可设 与 的交点横坐标依次为 ，
根据对称性可得 ，故函数 在 上所有零点之和为 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法
（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数；
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数
的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；
（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数
形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例3.3】（2022·北京·高三专题练习）若 方程 有两个不同的实数根，则k
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
观察本题，角度是统一的，但函数名及次数不统一，我们可以先用辅助角公式把函数名统一，即
，此时我们可以换元作图，原方程可等价于 ，于是我们可以画出 ，如图：
结合图象即可求得 即 的取值范围
【答案】D
【分析】由题意结合三角恒等变换转化条件为 在 上有两个不同的实数根，作
出函数 的图象，数形结合即可得解.
【详解】由题意 ，
所以 在 上有两个不同的实数根，
作出函数 的图象，如图：由题意要使直线 与函数 的图象有两个不同交点，
则 ，解得 .
所以k的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】本题考查了三角恒等变换与三角函数图象的综合应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属
于基础题.
【例3.4】（2023·高三练习）函数 和 的图象在区间 上交点的横坐标之和为
（ ）
A．6 B．4 C．8 D．12
通过计算和类比思想，我们可以发现故 是函数 和 的对称中心，
则本题直接可以作出 与 的图象，如图所示：结合图象和对称性即可求得交点横坐标之和
【答案】C
【分析】由题意求得 的最小正周期和对称中心及 的对称中心，分别作出它们的图
像，得交点的个数与特征，即可求交点的横坐标之和.
【详解】解： ， ，
令 ，则 ，所以函数 的对称中心为 ，
因为 是由函数 向右平移2个单位得到的，
所以 关于 对称，
故 是函数 和 的对称中心，
画出两函数的图像如图所示：
故两函数有四个交点，设从左到右依次为 ，
根据对称性，则 关于 对称， 也关于 对称，
所以 ，即函数 和 的图象在区间 上交点的横坐标之和为8.
故选：C.
【思维提升】
通过两题我们不难发现，对于在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个
数（零点之和）中的问题中，我们都可以用数形结合的思想结合具体函数作出图象。从而可直观求解出对
应问题，未来我们也可以用同样的方法来研究较为复杂型的三角函数的性质及零点、交点、方程的根的综
合问题。
【变式3.1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）设常数 使方程
在区间 上恰有五个解 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 ，作出函数在 上的图像，判断方程
在区间 上恰有五个解的条件，解方程.
【详解】
作出函数 在 上的图像:由图像可知， 在区间 上恰有五个解，只有 时才能成立，
由 ，
解得： ， ， ， ，
，
故选：C
【变式3.2】（2022·全国·高三专题练习）设 ，关于 的方程 有 个不同的实数解，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 且 有 个不同的实数解，可知 与 有两个交点，结合
图象并列不等式，即可求出 的范围
【详解】∵
∴ ，则
由于关于 的方程 有 个不同的实数解，结合如下图示∴
故选：D
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，根据三角函数在某一区间内实数解的个数求参数范围
【变式3.3】（2022春·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）若方程 在
内有解，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题得 ，令 ， ，再利用二次函数的图象和性
质求解.
【详解】解：由题得 ，
令 ， ，
二次函数的对称轴为 ，
由二次函数的图象得当 时， ；
当 时， .所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
【变式3.4】（2022秋·江苏·高三专题练习）已知函数 ， 有三个不同的零
点 、 、 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】A
【分析】作出函数 在区间 内的图象以及函数 的图象，利用对称性可求得
的值.
【详解】画出函数 在 内的图象以及 的图象如下图所示，令 ， ，则 ，可得 或 ，
解得 或 ，
令 ，可得 ，解得 .
由图象可知点 、 关于直线 对称，点 、 关于直线 对称，
故 ， ，所以 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用正弦型函数的零点求零点之和，考查了正弦型函数图象对称性的应用，考查数形结
合思想的应用，属于中等题.
【变式3.5】（2022春·河南安阳·高一林州一中校考阶段练习）函数 在 上有
两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】转化条件得 在 上有两个零点，令 ，
，画出 的图象后数形结合即可得解.
【详解】令 ，得 ．
因为 ，
令 ， ，因为函数 在 有2个零点，
所以直线 和 的图象有两个交点．
作出 的图象，如图，数形结合可知， ．
故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质以及函数的零点问题，考查了转化化归思想和数形结合思想，
属于中档题.
【变式3.6】（2020秋·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）设函数 ，
若函数 恰有5个零点， ， ， ， ， ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得 有5个根，作出 的图像，利用正弦型函数图像的对称
性，找出 间的关系，即可求得结果.
【详解】由函数 恰有5个零点，知 有5个根，由五点法作图，
0 2π
x
0 1 0 0
如图，可知 过点 ， ， ，
又
则 ， ， ，
故选：D.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解
【变式3.7】（2022秋·四川广安·高三四川省岳池县第一中学校考阶段练习）已知函数 ，
，若方程 有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数 的值可
能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等比中项以及余弦函数的对称性列式求得 ，进而可得结果.
【详解】
如图，设方程 的三个不同的实数根从小到大依次为 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
【变式3.8】（2022秋·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）已知关于 的方程
在区间 上存在两个根，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】令 ，问题等价于直线 与函数 在区间 上的图象有两个交
点，利用数形结合思想即可得解.
【详解】由 ，可得 ，，令 ，问题等价于直线 与函数 在区间 上的图象有
两个交点，如下图所示：
由图象可知，当 时，即当 时，直线 与函数 在区间 上的图象有
两个交点.
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用三角方程根的个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数来求解，考查数形结合
思想的应用，属于中等题.
【变式3.9】（2023·福建·高三福建高三校考）函数 ， ，满足 ，
若 ，在 有两个实根，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对称性求得 的解析式，方法1：换元后画图研究交点个数可得m的范围；
方法2：直接画 的图象研究交点个数可得m的范围.
【详解】∵ ，
∴ 关于 对称，∴ ， ，解得： ， ，
又∵ ， ∴ ，
∴
方法1： ， ，即： ， ，
设 ，
则 在 有两个实根，
即： 在 有两个交点，
如图所示，
当 时， ，
∴ ，即： ，
故选：A.
方法2：∵ 在 有两个实根，
∴ 在 有两个交点，
如图所示，当 时，
∴ ，即：即： ，
故选：A.
【变式3.10】（2022·贵州贵阳·高三统考）已知函数 ，若直线 与 的
图象恰有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A．（-2，2） B．（-1，2） C．（1，2） D．（0，2）
【答案】C
【分析】化简函数解析式为 ,做出函数的图象,数形结合可得 的取值范围.
【详解】因为 ,所以 .
由 , 做出 的图象如图所示:
直线 与 的图象恰有两个交点,只需满足 有两个解.即 即可.
故选:C.【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性,函数 的图象变换规律,正弦函数的图象特
征,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.
【变式3.11】（2022·广东中山·高三校考阶段练习）函数 的图象与函数 的图
象所有交点的横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题及函数性质可知，两个函数的图象均关于点 对称，分别作出两个函数的图象，由函数
的对称性性质即可求解.
【详解】由题意，函数 的图象与函数 的图象
均关于点 对称，作图如下：所以由图可知，两个函数在 上共有 个交点，且两两关于点 对称，
设对称的两个点的横坐标分别为 ，
则 ，
个交点的横坐标之和为 .
故选：D
【点睛】本题考查函数的对称性，考查数形结合思想,且其关键点是能正确作图，属于中档题.
【变式3.12】（2022春·安徽安庆·高三校联考阶段练习）函数 与 的图像有 个
交点，其坐标依次为 ， ， ， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【分析】由已知函数解析式可知两个函数对称中心均为为 ，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结
合图象根据对称性即可得到答案．
【详解】 ， 两个函数对称中心均为为 ，在同一坐标系中作出两
个函数的图象，如图：由图可知共有四个交点，且关于 对称，故 ．
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数的图象，中心对称图形的特点，属于中档题．
巩固练习
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出 图象，再利用图象翻折得到 观察图象可得周期.
【详解】由 的图象可知， .
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数型的图像与性质.
三角函数周期的求解公式法： 或 的最小正周期为 ，
的最小正周期为
2．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）关于函数 有下述四个结论：① 是偶函数；
② 在 上是减函数；③ 在 上有三个零点；④ 的最小值是0.其中所有正确结论编号是
（ ）A．①②④ B．②③ C．①③ D．①④
【答案】A
【解析】作出函数 的图象，结合图象逐一核对四个命题得答案．
【详解】解：作出函数 的图象如图，
由图可知， ，故 是偶函数，故①正确； 在区间
上单调递减，故②正确；
在 上有无数个零点，故③错误； 的最小值是0.，故④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，作出函数的图象是关键，是中档题．
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
①函数 图象的一条对称轴的方程为 ；
②函数 在闭区间 上单调递增；
③函数 图象的一个对称中心为点 ；
④函数 的值域为 .
A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A
【分析】根据题意写出分段函数 的解析式，利用三角函数图象和性质逐一进行分析即可．
【详解】由题意可知，函数
即 ，作出函数 的图象，如下图所示：
由图象可知函数 关于 对称，故①正确；
由图象可知函数 闭区间 上单调递增，故②正确的；
当 时， ，可知③错误；
由解析式和图象可知 ，故④错误的.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质与图象，本题的关键是作出函数的图象，属于中档题．
4．（2022秋·福建·高三校考阶段练习）函数 的图象与直线 有且仅有两
个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数 的解析式，然后画出函数 与 的图象进行判断.【详解】 ，
如图所示，
要使 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则只需 .
故选：C.
【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键.
5．（2023·高三模拟）函数 在区间 内的零点个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．200
【答案】B
【解析】化简函数 ，令 ，转化为方程 ，结合指数函数和 的图象，
即可求解.
【详解】由题意，函数 ，
令 ，即 ，即 ，
在同一个坐标系中分别作出 和 的图象.
结合指数函数和 的图象，可得一个周期内有2个交点，即一个周期内有2个零点，
所以所求交点的个数为 (个).
故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及正弦函数和指数函数图象与性质的应用，其中解答
中结合指数函数和正弦函数的图象，求得一个周期内零点的个数是解答的关键，属于基础题.
6．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数 的零点为x轴上的所有整
数，则函数 的图象与函数 的图象的交点个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】先确定出 ，然后数形结合可得结果.
【详解】因为函数 的图象与 轴交于所有的整数点，所以函数
的最小正周期为2，则 又 ，且 ，则 ，所以
.
解法一：作出函数 ， 的大致图象，根据图象可以得到两个函数图象的交点个数为11，
故选：D.解法二：因为 ，当 时， ，此时 与 的图象无交点.当 时，
与 的图象有交点，且交点个数为5，根据对称性可知，当 时， 与 的图象的交点个数
为5. 与 的图象均经过原点，则函数 的图象与 的图象的交点个数为11.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据已知条件求出 .
7．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数 的最小正周期为 ，若
在 上有两个实根 ， ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设可得 ，将问题转化为在 上 与 有两个交
点且交点横坐标之差 ，应用数形结合确定 的取值范围.
【详解】由题设， ，则 ，即 ，
又 在 上有两个实根 ， ，且 ，
上， ，则 的图象如下：∴要使 ，则对应 ，
∴当 时， 有两个交点且 .
故选：D
8．（2022春·安徽滁州·高三校考开学考试）已知函数 ， 有三个不同的
零点 ， ， ，且 ，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，将函数 的零点问题，转化为函数 的
图象与直线 的交点横坐标问题进行研究.根据正弦函数的图象的对称性质得到 ,进而得
到 ，结合图象和正弦函数的最大值，得到 的取值范围，进而得到 的取值
范围.
【详解】令 ，当 时， ， 的图象如图所示，由对称性可知 ，∴ ,
又∵ ，
∴ ，
,故 ，
∴ ,
故选： .
9．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 有且只有三个零点
，则 属于
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 有且仅有三个不同零点等价于 与 有且仅有三个不同交点，数形
结合知当 与 相切时，满足题意，利用导数的几何意义可得
，进一步得到 ，所以
，再求出 的范围即可得到答案.
【详解】由已知， 有且仅有三个不同零点等价于方程 有且仅有三个不同实根，等价于 与 有且仅有三个不同交点，
如图
当 与 相切时，满足题意，因为 ，
所以 ，且 ，消a得
由诱导公式，有 ，
又 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查已知函数的零点个数求范围问题，涉及到导数的几何意义，考查学生数形结合的思想，
转化与化归思想，是一道有一定难度的题.
二、多选题
10．（2023秋·湖南湘潭·高一湘潭县一中校考期末）已知函数 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． 的值域为
B．当且仅当 时，函数 取得最大值
C． 的最小正周期是D．当且仅当 时，
【答案】BD
【分析】先对 化简，然后作出 的图像如图所示，利用函数的图像逐个分析判断即可
【详解】因为 ，作出函数 的图象，如图所
示：
所以， 的值域为 ，A错误；
函数 的最小正周期是 ，C错误；
当且仅当 时，函数 取得最大值，B正确；
当且仅当 时， ，D正确.
故选：BD.
11．（2023春·陕西渭南·高一统考期末）已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 为偶函数
B． 的最小值为
C． 在区间 上单调递增
D．方程 在区间 内的所有根的和为
【答案】ACD
【分析】运用函数奇偶性定义可判断A项，研究函数的周期性并画出 图象可判断B项、C项，（也可运用整体法研究函数单调性可判断C项）运用对称性可判断D项.
【详解】对于A项， 的定义域为 ， ，故A项正确；
对于B项，由 得： ，
所以 ，
又因为 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
所以 ， ，
即 ，
故函数 的图象如图所示．
则 ，
所以函数 的最小值为 ，故B项错误；
对于C项，方法1：如图，当 时，函数 在 上单调递增，故C项正确；
方法2：当 时， ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增，故C项正确；对于D项，如上图可知，方程 在区间 有四个根 ，且 ，
所以 ，故D项正确．
故选：ACD．
二、填空题
12．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
13．（2023春·高三模拟）若方程 在 上有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】先求出 时 的值域，采用数形结合法可求 的范围，进而得解.
【详解】作出 ， 与 的大致图像，如图所示：由图像可知，当 ，即 时, ， 的图像与 的图像有两个交点，
即方程 在 时有两个不同的实数根.
故答案为:
14．（2022秋·河北·高三统考阶段练习）定义在 上的函数 满足 且
.当 时， .则函数 在区间 上所有的零点之和为
.
【答案】
【解析】由 是周期函数，奇函数，得对称中心，又 也有对称性，利用对称性及单调性
得 的图象与 图象的交点的性质，也即 零点的性质，从而可得和．可画出图象说明．
【详解】 得 ， 是偶函数， ， 是周期为4的周期函数，
因此可得 的图象也关于直线 对称．
是奇函数，它关于直线 对称，也关于 对称，
函数 在区间 上所有的零点，即为方程 的解，
在同一坐标系中作出 和 的大致图象，如图，
它们在 上有6个交点，横坐标从小到大依次为 ，其中 ， ，由对称性知 ，
∴ ，
∴题中零点和为 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：本题考查函数零点之和，解题时把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，作出函数
图象，利用函数的性质特别是对称性，观察出交点的对称性，得出交点横坐标的和．
15．（2022·高三阶段练习）方程 的所有根的和为 ．
【答案】8
【分析】由于函数 与 都关于点 成中心对称，结合图像以 为中心的两个
函数有8个交点，利用对称性得解.
【详解】设 ， ，等价于求两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点 成中心对称，作出两个函数的图象，如图所示，
函数 在 上出现1.5个周期的图象，在 和 上是减函数；在 和 上是增函数．
函数 在 上函数值为负数，且与 的图象有四个交点 、 、 、 ，
相应地， 在 上函数值为正数，且与 的图象有四个交点 、 、 、 ，
且： ，
故所求的横坐标之和为8，故答案为：8．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解
