文档文本内容
专题六 函数与导数
第3 讲 导数与函数的单调性、极值、最值
一、考点透析
考点1 导数与函数单调性
1．（25-26 高三上·北京朝阳·期中）若函数
在区间
上是单调函数，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，
，而
在区间
上是单调函数，
则
或
在
时恒成立，
当
在
恒成立时，
，
由幂函数性质可知
在
上递增，则
，
故当
在
恒成立时，等价于
，即
；
当
在
恒成立时，
，
此时
，即
.
综上，
.
1
故选：A
2．（2025 高三·全国·专题练习）若对于
，都有
成立，
则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，
所以
，即
．
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减．
故
时满足题意，所以
的最大值为1．
故选：B．
考点2 导数与函数极值
1．（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
【答案】
【详解】由题意有
，
所以
，
因为
是函数
极值点，所以
，得
，
当
时，
，
当
单调递增，当
单调递减，
2
当
单调递增，
所以
是函数
的极小值点，符合题意；
所以
.
故答案为：
.
2．（25-26 高三上·吉林长春·期中）已知函数
有两个极值点
与
，若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意
的两个根为
与
，
即
，所以
，
同理
，即
，
令
，则
为方程
的两个不相等实根，
，则
，
所以判别式
，解得
.
又
，所以
，
综上，实数
的取值范围
.
故答案为：
3
3.（2025·浙江宁波·三模）已知函数
，其中
，5 为
的极小值
点.若
在
内有最大值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题设
，
由
，所以
，
当
或
时，
，即
在
、
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
所以极小值点为
，极大值点为
，
而
，
且
，
所以，只需
，即
，
所以
.
故选：D
考点3 恒成立与能成立问题
1.若函数h（x）＝ln x－1
2ax2－2x 在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为
（）
A.[－1，＋∞） B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－7
16］
D.（－∞，－7
16）
【答案】D
4
【详解】 因为函数h（x）＝ln x－1
2ax2－2x 在[1，4]上存在单调递增区间，
所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝1
x －ax－2＞0 成立，
即存在x∈[1，4]，使a＜1
x
2－2
x 成立，令G（x）＝1
x
2－2
x ，x∈[1，4]，
变形得G（x）＝（1
x －1）2－1，
因为x∈[1，4]，所以1
x ∈［1
4 ，1］，
所以当1
x ＝1
4 ，即x＝4 时，G（x）max＝－7
16 ，所以a＜－7
16，
故选D.
2.（2025·昆明三诊一模）已知函数f（x）＝ln x
x +1.当x≥1 时，f（x）≤a（x－1），求a 的
取值范围.
【答案】a 的取值范围为［1
2，＋∞）
【详解】当x∈[1，＋∞）时，f（x）≤a（x－1）等价于ln x≤a（x2－1），
令g（x）＝a（x2－1）－ln x，x∈[1，＋∞），则ln x≤a（x2－1）在[1，＋∞）上恒成
立，即g（x）≥0 在[1，＋∞）上恒成立.
g'（x）＝2ax－1
x ＝2a x
2－1
x
，
当a≤0 时，g'（x）＜0，g（x）在[1，＋∞）上单调递减，
所以g（x）≤g（1）＝0，不符合题意；
当0＜a＜1
2时，由g'（x）＝0 得，x＝√
1
2a
＞1，
x∈［1，√
1
2a
）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
所以x∈［1，√
1
2a
）时，g（x）≤g（1）＝0，不符合题意；
当a≥1
2时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2－1≥0，则g'（x）≥0，
g（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，符合题意.
综上所述，a 的取值范围为［1
2，＋∞）.
3.（2025·上海·高考真题）已知
．
5
(1)略
(2)若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
【答案】(1)略
(2)
且
.
【详解】（1）略
（2）
在
有极大值即为有极大值点.
，
若
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极小值点，无极大值点，故舍；
若
即
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极大值点，符合题设要求；
若
，则
时，
，
无极值点，舍；
若
即
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极大值点，符合题设要求；
综上，
且
.
考点4 切线问题
1.（2025·全国一卷·高考真题）若直线
是曲线
的切线，则
.
【答案】
6
【详解】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
2.若曲线y＝（x－a）ex有两条过点（1，0）的切线，则a 的取值范围是
.
【答案】（－∞，1）∪（5，＋∞）.
【详解】由y＝（x－a）ex得y'＝（x－a＋1）ex，
设切点坐标为（x0，（x0－a）e
x0），则切线斜率k＝（x0－a＋1）e
x0，
切线方程为y－（x0－a）e
x0＝（x0－a＋1）e
x0（x－x0），
又因为切线过（1，0），所以0－（x0－a）e
x0＝（x0－a＋1）e
x0（1－x0），
整理得x0
2－（a＋1）x0＋2a－1＝0，又曲线有两条过点（1，0）的切线，
所以该方程有两个实数解，所以Δ＝（a＋1）2－4（2a－1）＞0，解得a＜1 或a＞5，
所以a 的取值范围是（－∞，1）∪（5，＋∞）.
3.（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex＋x 在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a
的切线，则a＝
；
【答案】ln 2
【详解】（1）由y＝ex＋x 得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，
7
故曲线y＝ex＋x 在点（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，
由y＝ln（x＋1）＋a 得y'＝1
x +1，
设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a 相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），
由两曲线有公切线得y'｜x＝x0＝
1
x0+1＝2，解得x0＝－1
2，则切点为（－1
2，a＋ln1
2），
由切点在直线y＝2x＋1 上得，a＋ln1
2＝0，故a＝ln 2.
考点5 导数与其他知识综合
1．（25-26 高三上·吉林长春·月考）等差数列
的前
项和为
，
，
是函数
的极值点，则
【答案】45
【详解】
，
令
，可得
或
，
由二次函数图象与性质可知，在2 和8 两侧函数值符号相反，
所以2 和8 是函数
的极值点，
所以
，
所以
，
故答案为：
2．（25-26 高三上·河北保定·期中）已知
，其中
.
(1)当
时，求证：
是函数
的极小值点；
(2)求
在
上的最小值；
(3)若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数
的取
值范围.
8
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）当
时，
，函数
的定义域为
，
则
，
∵
在
上单调递增，
在
上单调递增，
∴
在
上单调递增，
∵
，
∴当
时，
，则函数
单调递减，当
时，
，则函数
单调递增，
∴
是函数
的极小值点.
（2）
，则
，
当
时，
，∴函数
单调递增，
当
时，
，∴函数
单调递减，
当
时，
，∴函数
单调递增，
当
时，
，∴函数
单调递减，
，
，
，
∴
在
上的最小值为
.
9
（3）由（2）可知，当
时，
.
对任意
，总存在
，使得
成立，
即对任意
，使得
恒成立，
即
在
上恒成立.
令
，则
，
由（1）可知
在
上单调递增，
又∵
时，
，
时，
，
故一定存在
，使得
，
即当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
∴
，
又∵
，即
，
则
恒成立.
令
，
，
则
，
，
∴
，∴
，
即函数
在
上单调递减，且
，
10
∴
，
则
令
，
，故函数
在
上单调递减，
∴
.
二、跟踪练习
1.（2025·湖南长沙·二模）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得
在
上恒成立，
则
.
因为
，
要使得不等式恒成立，则
．
故选：D.
2.已知函数f（x）＝－1
2x2－3x＋4ln x 在（t，t＋2）上不单调，则实数t 的取值范围是
.
【答案】[0，1）
【详解】由f（x）＝－1
2x2－3x＋4ln x（x＞0），得f'（x）＝－x－3＋4
x ，
∵函数f（x）在（t，t＋2）上不单调，
∴f'（x）＝－x－3＋4
x 在（t，t＋2）上有变号零点，
∴x
2+3 x－4
x
＝0 在（t，t＋2）上有解，
∴x2＋3x－4＝0 在（t，t＋2）上有解，由x2＋3x－4＝0，得x＝1 或x＝－4（舍去），
∴1∈（t，t＋2），∴t∈（－1，1），又f（x）的定义域为（0，＋∞），
∴t≥0，∴t∈[0，1），故实数t 的取值范围是[0，1）.
11
3.已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，设两曲线y＝f
（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝
5
.
【答案】5
【详解】依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同.
∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，
∴f'（x）＝2x，h'（x）＝6
x －4，
∴{
f （x0）＝h（x0),
f '( x0）＝h'( x0),即{
x0
2－m=6 ln x0－4 x0，
2 x0＝6
x0
－4，
∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5.
4.（2025·四川·三模）已知直线
是曲线
的一条切线，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，
，
设切点为
，根据切线斜率为1，则
，
解得
，则
，则切点坐标为
，则
，解得
.
故选：C.
5．（25-26 高三上·辽宁·期中）已知
，函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
存在唯一的极值点；
(3)若存在
使得
对任意
成立，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
12
【详解】（1）
，
则
，可得切线方程为：
，
即
；
（2）证明函数
存在唯一的极值点，即证明
在
上存在唯一变号零点；
，设
，
求导得
，则
在
上单调递减，
而
，
，
在
上存在唯一变号零点，所以
存在唯一的极值点；
（3）根据题意，存在
，对任意
，
考虑到
，
令
，则其导函数为：
，
由（2），设
的变号零点为
，
即
，
可得
，则有
，
并且可知在
上
，得
在
上递增，
在
上
，得
在
上递减，
则
,
13
命题转化为：存在
，
令
，
，
当
时，
在
上递减；
当
时，
在
上递增；
则
，
，即
.
14
