文档文本内容
专题六 函数与导数
微专题6 极值点与拐点偏移问题
一、考点透析
考点1 双变量转化减元
1.(2025·山东省菏泽市·期中)已知函数f ( x)=e
x−asin x +b在x =0处取得极值1．
(1)求实数a、b的值；
(2)证明：f ( x)在(−2π ,−π )上有两个零点，且两个零点的和小于−3 π．
2.(2025·天津市·联考)已知函数f ( x)= ln x−ax(a∈R ,e为自然对数的底数)．
(1)当a= 1
2
时，求f ( x)的极值；
(2)设函数g( x)= f ( x)−2 x +1，若g( x)≤0在其定义域内恒成立，求实数a的最小值；
(3)若关于x的方程f ( x)= x
2恰有两个相异的实根x1
，x2
，求实数a的取值范围，并证明
x1 x2>1．
考点2 构造对称函数解决含参偏移问题
1．（2025·河北邢台·三模）已知函数
.
(1)当
时，点
在曲线
上运动，过点
作切线可得到一系列的切线，
，
，
，称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平行于
轴；
（写出推理依据）
(2)若
分别是
的两个不等的极值点.
1
①求实数
的取值范围；
②证明：
.
2.(2025·湖南省郴州市·模拟)已知函数f ( x)=2aln x + 1
2 x
2−(a+2)x，其中a为常数．
(1)当a>0时，试讨论f ( x)的单调性；
(2)若函数f ( x)有两个不相等的零点x1，x2，
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：x1+ x2>4．
考点3 整体换元解决偏移问题
1．（24-25 高二上·河北沧州·期末）定义：
，
，
是函数
的三个
零点，若
，则称
为“增差函数”，若
，则称
为“减
差函数”，若
，则称
为“增比函数”，若
，则称
为“减比函数”．
(1)已知函数
，判断
是否为“增差函数”“减差函数”“增比
函数”“减比函数”．
(2)已知函数
有三个零点．
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）证明：
为“增差函数”，为“减比函数”．
2．（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）已知函数
.
2
(1)若
，求
的单调区间.
(2)若
是函数
的两个零点.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
.
考点4 对数均值不等式解决偏移问题
1.已知函数f(x)＝x ln x－mx2－x(m∈R).
(1)若直线y＝x＋b 与f(x)的图象相切，且切点的横坐标为1，求实数m 和b 的值；
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上存在两个极值点x1，x2，且x1<x2，证明：ln x1＋ln x2>2.
考点5 拐点偏移问题
1.已知函数f(x)＝ex－1
2x2－x－1，若实数x1＜x2满足f(x1)＋f(x2)＝0，求证：
x1＋x2＜0.
二、跟踪练习
1．（24-25 高二下·重庆·期中）定义：若函数
与
在公共定义域内存在
（
互不相等，
），使得
，
3
则称
与
为“
阶相似函数”，
称为
与
的“
阶相似点”.
(1)已知
，函数
，
，判断函数
与
是否为“三阶相似
函数”，并说明理由.
(2)已知函数
，
，
与
为“二阶相似函数”，
，
称为
与
的“二阶相似点”.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）证明：
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）设
为定义在
上的函数，记
的导函数为
的导函数为
的导函数为
．已知
满足：
·
；
·
使得
；
·
；
令为
的所有零点构成的集合，为
的所有零点之和．
(1)求
．
(2)判断和
的大小关系并说明理由．
4
3.已知函数f(x)＝x ln x－1
2 x
2+ 1
2，若实数x1＜x2满足f(x1)＋f(x2)＝0，求证：x1
＋x2＞2.
5
