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专题四 解析几何（解答题13 种考向）
1
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2
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考向一 基础题
【例1-1】（2025·山东淄博·一模）已知双曲线
，离心率
，点
在双曲
线上
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)点
分别是双曲线
的左右焦点，过点
的直线与双曲线的右支交于
两点，若
的周长为12，
求直线的方程．
3
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【例1-2】（2025·海南·三模）已知双曲线
的焦距为
，过点
的直线与
交
于
两点，且当
轴时，
．
(1)求
的方程；
(2)若点
都在
的左支上，且以
为直径的圆与
轴相切，求的斜率．
【例1-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆
过点
，离心率为
.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)已知O 为坐标原点，直线
与
相交于M，N 两个不同点.
①求k 的取值范围；
②若
，求
的面积.
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【例1-4】（2025·北京平谷·一模）已知椭圆
的离心率为
，短轴长为2，斜率为
的
直线与椭圆
交于
两点，与
轴交于点
，点
关于
轴的对称点为点
，直线
与
轴交于点
为
坐标原点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)求
的值.
考向二 定点
【例2-1】（2025·山西吕梁·一模）已知椭圆
的焦距为
，点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线交椭圆
于
两点，且线段
的中点
的横坐标为
，过
作直线
.证明：直线
恒过
定点，并求出该定点的坐标.
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【例2-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线与双曲线
的一条渐近线垂直，
分别为
的左、右顶点，且
到
的两条渐近线的距离之和为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设
为
上异于
的不同的两点，且直线
的斜率与直线
的斜率满足
，证明：直线
恒过定点.
【例2-3】（2025·吉林长春·二模）如图，矩形
中，
分别是矩形四条边的中点，
设
，其中
，直线
和
的交点
在椭圆
上．
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(1)求椭圆
的方程；
(2)设
，过点
的动直线与椭圆
交于
两点，直线
分别交圆
于
两点，设直线
的斜率分别为
．
①求证：
为定值；
②直线
是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【例2-4】（2025·福建）已知椭圆
的离心率是
，上、下顶点分别为
，
.圆
与
轴正半轴的交点为
，且
.
(1)求
的方程；
(2)直线与圆
相切且与
相交于
，
两点，证明：以
为直径的圆恒过定点.
考向三 定值
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【例3-1】（2025·广西·一模）已知直线
与椭圆
交于
、
两点，
为坐标原点．
(1)证明：
；
(2)已知
，证明：点
到直线的距离为定值．
【例3-2】（2025·新疆·二模）已知椭圆
的长轴长是短轴长的
倍，右焦点为
，
点
在
上，点
与点
关于
轴对称．
(1)求
的方程；
(2)设点
为
上异于
的任意一点，直线
与
轴分别交于点
，判断
是否为定值，若是，
求出定值；若不是，请说明理由．
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【例3-3】（2025·山东菏泽·一模）已知双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，点
在双曲线C 上.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)如图，过双曲线C 右支上一点P 作圆
的切线交双曲线C 左支于Q，右支于R，直线
与圆O
切于点M.
①求证：Q、R 两点关于原点O 对称；
②判断
是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求
的取值范围.
考向四 定直线
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
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【例4-2】（2025·四川成都·二模）已知双曲线
过点
，渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，过点
作动直线与双曲线右支交于不同的两点
，在线段
上取异于点
的点
.
（i）当
为
中点时，
的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线
分别与
轴交于点
，若
为
中点，证明：点
恒在一条定直线上.
【例4-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线
的左，右顶点分别为
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的右焦点
到渐近线的距离为
，过点
的直线与
的右支交于
两点（点
在第一象
限），直线
与
交于点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)证明：点
在定直线上；
(3)记
的面积分别为
，若
，求直线的方程.
考向五 最值
【例5-1】（2025·山东青岛·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，离心率为
.
点
在
的右支上，当
轴时，
.
(1)求
的方程;
(2)若直线
与
的另一个交点为
，求
面积的最小值.
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【例5-2】（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线C 的顶点为
，焦点为
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A、B 两点，若直线AO，BO 分别交直线l：
于M、N 两点，求
的最
小值.
【例5-3】（2025·山东烟台·一模）已知椭圆
的焦距为
，离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为坐标原点，
为
上两个动点，且
，作
，垂足为
.
（i）线段
的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点
的轨迹为
，过点
作
的切线交
于点
（异于
），求
面积的最小值.
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【例5-4】（24-25 高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求C 的方程；
(2)若斜率为1 的直线与C 相交于E，F 两点，且
，求l 的方程；
(3)椭圆C 与x 轴相交于A，B 两点，P 为椭圆C 上一动点，直线PA，PB 与直线
交于M，N 两点，设
与
的外接圆的半径分别为
，
，求
的最小值.
【例5-5】（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x 轴或y 轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴
长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆
，抛物线
与
有一个相同的焦点F.过点F 作互相垂直的两条直线l 与
，直线l 与
交于点G、B，直线
与
交于点
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C、D.
(1)求该椭圆的相关椭圆
方程及抛物线
的方程
(2)四边形GCBD 的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
(3)过椭圆
左顶点A 且斜率为
的直线
与椭圆
交于点M，与
轴交于点
，设点
为
MA 的中点.若
轴上存在点
，对于任意的
，都有
（
为原点），若
，求
的值.
考向六 共线、共圆
【例6-1】（2025·山西临汾·一模）已知点
在椭圆
上，直线与
交于
，
两点，直线
，
的斜率之和为0，点
关于
轴的对称点为
，线段
的中点为
.
(1)证明：
，
，
三点共线；
(2)求
面积的最大值.
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【例6-2】（2025·安徽·一模）已知动点
满足关系式
.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)设动点
的轨迹为曲线
，抛物线
的焦点为
，过
上一点
作
的两条切线，切点分别为
，弦
的中点为
，平行于
的直线与
相切于点
.
①证明：
三点共线；
②当直线与
有两个交点时，求
的取值范围.
【例6-3】（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系
中，椭圆
的长轴长为4，离心
率为
，直线交
于
两点.
(1)求
的方程；
(2)若直线过
的右焦点，当
面积最大时，求
；
(3)若直线不过原点，
为线段
的中点，直线
与
交于
两点，已知
四点共圆，证明：
.
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【例6-4】（2025·陕西西安·二模）已知
为椭圆
的右焦点，过点
作与
轴平行的直线，该直线与椭圆
交于
两点（点
在第一象限），当
时，
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与
轴交于点
，证明：
四点共圆.
考向七 长度比值
【例7-1】（2025·重庆·一模）已知抛物线
，过点
的直线与抛物线交于
、
两点，
在
轴
上方，
，
均垂直于
的准线，垂足分别为
，
．
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(1)当
时，求直线的方程；
(2)已知
为坐标原点，证明：
．
【例7-2】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为
，直线
与椭圆交于另一点
，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知点
在椭圆
上，过
向直线
引垂线交于点
，若
，求直线
的方程.
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【例7-3】（2025·广东江门·一模）已知椭圆
的焦距为
，以椭圆
短轴一个端点和两
个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点
的直线
分别交椭圆
于点
，点
始终在第
一象限且与点
关于
轴对称，直线
分别交
轴于点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)求点
的坐标；
(3)证明：
．
【例7-4】（2025·云南·校联考三模）如图，已知椭圆
的上、下顶点为
，
右顶点为
，离心率为
，直线
和
相交于点
，过
作直线交
轴的正半轴于
点，交椭圆于
点，
连接
交
于点
.
(1)求
的方程；
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(2)求证：
.
考向八 角度转化
【例8-1】（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点
到
的距离比
到直线
的距离小1，
记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)设点
的坐标为
，过点
作曲线
的切线，切点为
（
在第一象限），若过点
的直线
与曲线
交于M，N 两点，证明：
．
【例8-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆
的左焦点为
，过点
的直线
交
于
，
两点，分别过点
作的垂线，交
分别于
两点（异于
两点）.当的斜率不存在时，
四边形
的面积为6.
(1)求
的标准方程；
(2)证明：
.
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【例8-3】（2025·山东济宁·一模）已知椭圆
的离心率为
分别为
的左．右顶点，
为
的上顶点，且
．
(1)求
的方程；
(2)过
的右焦点
作斜率不为0 的直线交
于
两点，设直线
与
交于点
．
①证明：点
在定直线上；
②求
的最大值．
【例8-4】（2025·山东泰安·一模）已知椭圆
的离心率为
分别为椭圆
的左､
右焦点，
分别为椭圆
的上下顶点，且
､
.
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(1)求椭圆
的方程；
(2)已知过
的直线与椭圆
交于
两点，且直线不过椭圆四个顶点.
（i）设
的面积分别为
，若
，求
的最大值；
（ii）若
在
轴上方，
为
的角平分线，求直线的方程.
【例8-5】（2025·北京延庆·一模）已知椭圆
的左，右顶点分别为A，B，且
，离
心率为
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设直线
与x 轴交于点Q，点P 是直线
上不同于点Q 的一点，直线BP 与椭圆E 交于点M，直线AM
与直线
交于点N，判断是否存在点P，使得
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明
理由.
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考向九 轨迹
【例9-1】（2024 湖南长沙）已知椭圆C：
，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．
(1)点
为椭圆C 上的动点（与点A，B 不重合），若直线PA，直线PB 的斜率存在且斜率之积为
，试
探究直线l 是否过定点，并说明理由；
(2)若
．过点O 作
，垂足为点Q，求点Q 的轨迹方程．
【例9-2】（2025·广东湛江·一模）已知抛物线
的焦点为F，A，B 分别为C 上的点（点A 在
点B 上方）．过点A，B 分别作C 的切线，
，交于点P．点O 为坐标原点，当
为正三角形时，其面积
为
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线
经过点F，求动点P 的轨迹以及点P 到直线
的距离的最小值．
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【例9-3】（2025·山东聊城·一模）已知圆
，圆
，动圆
与
、
都外
切.
(1)求圆心
的轨迹方程；
(2)设
，
、
是圆心
轨迹上的不同两点，过点
作
，垂足为
，若直线
与
的斜
率之积等于
，求动点
轨迹的长度.
【例9-4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点
的直线交双曲线
于
两点，曲线
的左右顶点分别为
，虚轴长与实轴长的比值为
．
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(1)求曲线
的方程；
(2)如图，点
关于原点
的对称点为点
，直线
与直线
交于点，直线
与直线
交于点
，求
的轨迹方程．
考向十 存在性
【例10-1】（2025·广东深圳·一模）已知抛物线
，斜率为
的直线交抛物线于
两点，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)试探究：抛物线
上是否存在点
，使得
？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由.
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【例10-2】（2025·福建莆田·二模）已知椭圆
的离心率为
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)设椭圆
．若过
的直线交
于另一点
交
于
两点，且
在
轴上方．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）
为坐标原点．
为
右顶点．设
在第一象限内，
，是否存在实数
使得
的面积与
的面积相等？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【例10-3】（2025·江西赣州·一模）已知椭圆E：
，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ
交直线
于R，且
（其中O 为坐标原点）.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点N 在x 轴上，过点N 作直线l 与E 交于A，B 两点，问：是否存在定点N，使得
为定值，若存
在，求出所有点N 的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由.
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考向十一 三角形的四心与形状
【例11-1】（2025·云南昆明·一模）椭圆
的右焦点为
，过
且斜率为
的直线
与
交于
，
两点，
为坐标原点，
，设直线
的斜率为
，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
为椭圆
上一点，且
为
的重心，求
.
【例11-2】（2025·广东·一模）已知抛物线
，过点
作两条直线
分别交抛物线于
和
（其中
在
轴上方）．
(1)当垂直于
轴，且四边形
的面积为
，求直线
的方程；
(2)当
倾斜角互补时，直线
与直线
交于点
，求
的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
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【例11-3】（2025·广东佛山·一模）已知
的顶点
在
轴上，
，
，且边
的中点
在
轴上，设
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程；
(2)若正三角形
的三个顶点都在
上，且直线
的倾斜角为
，求
．
【例11-4】（24-25 高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：
的右焦点
与抛物线
的焦
点重合．
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知
为抛物线
上一个动点，直线
，
，求点
到直线
的距离之和的最小值；
(3)若点
是抛物线
上一点（不同于坐标原点
），
是
的内心，求
面积的取值范围．
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【例11-5 】（2025·江西九江·一模）已知椭圆
的左右焦点为
，
是椭圆
上
不同的三点，四边形
是边长为
的正方形．
(1)求椭圆
的标准方程：
(2)在
轴上是否存在一点
，使得
为等边三角形？若存在，求
的长；若不存在，请说明理由．
考向十二 多个专题综合
【例12-1】（2025·辽宁·模拟预测）抛物线
的焦点为
，
为
上一点，
的纵坐标为
，
点
在
轴上，
轴，线段
的中点为
，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)已知
为
上三个不同的点，点
在第一象限．
（ⅰ）若点
在原点，
，
，点
的横坐标
满足
，求
．
（ⅱ）在
中，内角
所对的边分别为
，且满足
，
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，
的重心
在
轴上，求点
的坐标．
【例12-2】（2025·陕西咸阳·一模）已知圆
，圆
．若动圆M 与圆
外切，
与圆
内切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若P 为直线
与x 轴的交点，Q 为直线
上的另外一点，直线l 过
且与曲线C 交于A，B 两点，求证：
①
；
②直线
，
，
的斜率成等差数列．
【例12-3】（2025·云南大理·模拟预测）已知点
在抛物线
上，过点
作斜率为
的
直线交
于另一个点
，设
与
关于
轴对称，再过
作斜率为
的直线交
与另一个点
，设
与
关
29
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于
轴对称，以此类推一直做下去，设
.
(1)求的值；
(2)求数列
的通项公式，并求数列
的前
项和
的取值范围；
(3)求
的面积.
【例12-4】（2025·吉林·二模）已知
在抛物线
上，其中
关于y 轴
的对称点为
，记直线
的斜率为
且
.
(1)证明数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(2)求
的面积
；
(3)记
为数列
的前n 项和，是否存在正整数
，使
成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
30
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【例12-5】（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
的左、右焦点分
别为
，
，经过点
且倾斜角为
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点其中点A 在x 轴上方
连接
，
将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角
为直二面角，折叠后A，B 在新图形中对应点记
为
，
.
(1)当
时，
①求三棱锥
的外接球的表面积；
②求三棱锥
的体积；
(2)是否存在
，使得折叠后
的周长为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
考向十三 新定义
【例13-1】（2025·江西萍乡·一模）如图所示，由椭圆
（
）和抛物线
（
）组合成曲线
，若
与
存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线
为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
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(1)求“等差椭圆”的离心率；
(2)在“七星瓢虫曲线”
中，若
是“等差椭圆”，且
.
（ⅰ）求与
和
都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线
（
），且l 与
相交所得弦的中点为M，与
相交所得弦的中点为N，证明：直
线OM，ON（O 为原点）的斜率之积
为定值.
【例13-2】（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系
中，若圆
与抛物线
有公共点
，且圆
与抛物线
在点
处有相同的切线，则称
为抛物线
的和谐数，
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圆
为
的和谐圆.
(1)试判断3 是否为抛物线
的和谐数.若是，求出3 的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设
，
，…，
均为抛物线
的和谐数，且
，记
，
，…，
的和谐圆分别为圆
，
，…，
，设圆
，
，…，
与抛物线
的公共点分别为
，
，…，
，已知
，且
，圆
与
外切.
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）设点
，记
的面积为
，证明：
.
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【例13-3】（2025·陕西榆林·二模）已知双曲线
的实轴长为2，顶点到渐近线的距离
为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线与
的右支及渐近线的交点自上而下依次为
，
，
，
，证明：
；
(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的整数解.例如：求二元二次方程
的正整数解，由
可先找到该方程的初始解
，记此解对应的点为
，进一步可得点
，
，
，
，
.设由“循环构造法”得到方程
的正整数解对应的点列为：
，
，
，
，
，
，
，记
，试判断
是否为定值？
若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
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