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第 2 讲 转化思想在解三角形中的应用
转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的
问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，
逐步探索出解决问题的有效方法。
解三角形作为高中数学教学的重要内容之一，对于学生数学思维品质有着较高要求，需要学生运用三
角形相关知识，结合已有条件求出三角形的三个边或三个角，其中便涉及到对转化思想的运用，例如将题
干内的抽象语言转化为直观的图形、“爪型”问题的相关求解、边角互化的应用及三角形内角转化在解三
角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】转化思想在解三角形边角互化中的应用
形如我们在学习解三角形时，会学习正弦定理及其变化的相关应用，对于基础型的“对边对角”类
型，我们可以利用正弦定理直接求解，但有时也会遇到形如“ 、
、 、
”等类型的等式来求对应角的问题，那么此时我们该如何求解呢？我们不妨重新学习一下正弦定理，
基本公式为 （其中 为 外接圆的半径），可变形为
①
②
③
其实上面3个变形已经解释了边角互化的本质，即 能否被抵消掉，能同时被抵消则可以实现边角互
化。
我们在做题过程中遇见“边是一次”时，通常边化角；遇见“正弦乘积是二次或边与正弦乘积是二次”
时，通常角化边后用余弦定理求解；例如下面这两道例题：
【例1.1】（2022秋·云南保山·高三统考阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.(1)求角A；
(2)若 ， 的面积为 ，求 .
本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，
通过刚才分析，我们发现这是边为一次的齐次类型，我们可以边化角，即得到
，此时我们发现有三个角，于是我们可以利用三角形内角和为 ，
进行角度转化，那么要替换哪个角呢？通过观察我们发现， 角的正余弦值是乘积关系，于是我们可
以替换 角，即 ，进而化简得到 ，利用辅助
角公式化简即可求值。
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，把边化为角，结合三角形的内角和定理，利用三角恒等变换化简可得
，进一步求得 ；
（2）根据（1）的结论，根据三角形的面积公式可得 ，再利用余弦定理变形可得 .
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 即 ；
（2）因为 的面积为 ， ， ，
由三角形的面积公式得 ，化简得 ，
又根据余弦定理 得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【例1.2】（2023春·江西宜春·高三上校考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
(1)求角B；
(2)若 ，求BC边上的高.
本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，
通过刚才分析，我们发现这是正弦值为二次的齐次类型，我们可以角化边，即得到 ，利用
余弦定理求解即可。
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出 ，可得角 的值；
（2）利用正弦定理整理条件得到 ，再由余弦定理即可解出c，进而得到BC边上的高.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理得
又 ，所以 ．（2）由 ，得 ，
由余弦定理 ，得 ，
因为 ，解得 ，
所以BC边上的高为
【思维提升】
通过两题我们不难发现，对于已知边的一次齐次式、正弦值或边与正弦值的乘积的二次齐次式，我们
都可以用边角互化来求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法
来研究解三角形中其他形式的求值问题
【变式1.1】（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）在 中，角 的对边分别为
.
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换化简已知条件，从而求得 .
（2）利用三角形的面积求得 ，进而求得 ，根据余弦定理求得 ，从而求得 的周长.
【详解】（1）由 得，
，
，
由正弦定理得 ，
，.
（2） 的面积为 ，即 ，得 ，
，
，
，
由余弦定理可得 ，
，
三角形的周长为 .
【变式1.2】（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知在锐角 中， 分别为内角
的对边，若 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理求出 ，即可求出角 作答.
（2）由（1）及正弦定理求出三角形的周长表达式，再利用三角函数变换及正弦函数的性质求解作答.
【详解】（1）在锐角 中，由 及正弦定理，
得 ，由余弦定理得 ，则 ，而 为锐角，所以 .
（2）由（1）知 ，由正弦定理得 ，
因此 的周长
，
由 是锐角三角形，得 ， ，即有 ， ，
于是 ，则 ，即 ，
所以 周长的取值范围为 .
【变式1.3】（2023春·四川自贡·高一统考期中）已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，且
.
(1)求A；
(2)点D在AB边上， ，且 ，求sin∠BCD.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角形的性质，化简得到 ，进而得到
，即可求解；
（2）根据题意求得 ，得到 为等边三角形，所以 ，在 中，求得 ，再在 中，利用正弦定理，即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，
整理的 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，
可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 .
（2）解：因为 ，所以 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
因为 ，且 ， 为等边三角形，所以 ，
在 中，可得 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理得 .
【变式1.4】（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）在 中，内角 的对边分别为 ，且．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 是边 的中点，且 ，求 的内切圆的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理角化边得 ，再根据余弦定理可求出结果；
（2）由余弦定理得 ，根据 推出 ，联立得 ，
，从而得 ，再根据三角形面积公式列式可求出 的内切圆的半径．
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ．
（2）由余弦定理得 ，即 ．
又D是边 的中点，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ， ，所以 ．
设 的内切圆的半径为r，所以 ，所以 ．
【应用二】转化思想在借助内角和为180度转化角度的解三角形中的应用
我们在学习解三角形时，经常会遇到利用三角形内角和为 180度的角度转化。即在三角形中有
， 不 妨 表 示 为 ， 即 有 ， ，
。我们有时也经常结合边角互化把待求问题转换为角度问题，进一步由三角形内角
和、三角函数值的符号或三角函数范围可求解相关问题，例如下面这道例题：
【例2】（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
本题第二问，求 的最小值，我们首先可以进行边角互化，即求 的最小
值，通过观察发现，转化代数式中仍然有 三个角，我们需要利用三角形内角和关系进行角度转化，
那么该转化哪个角呢？通过第一问我们得到 ，即 ，进而得到
，所以 两个角都可以用 角来表示，即得到
，进而利用基本不等式求出最小值即可。当然我们还
需要考虑能否取等，即 能否成立，于是我们还需要对角的范围进行计算，由
可得 ，又由 ，得到 ，从而验证等号成立。【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再
结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于边长型最值或正余弦型最值等相关问题，我们可以边角互化转化为关于
三角函数角度的讨论或值域问题，过程中很重要的是要利用三角形内角和的关系用一些角来表示另一些角，当然也要对角度的范围进行讨论。通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样
的方法来研究解三角形中其他形式的最值问题
【变式2.1】（2023秋·广东肇庆·高二校考开学考试）记钝角 的内角 的对边分别为 ，已
知 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简整理得到 ，结合 求出 ，从而得到 ；
（2）由（1）知 ，分 与 两种情况，利用正弦定理得到
，由对勾函数可得解.
【详解】（1）由已知得， ，
即 ，
即 ，
即 ．
若 ，则 ，
因为 ，故 ．
从而 ．（2）由 得 ，
若 ，则 ，即 ，与 为钝角三角形矛盾．
因此 ，得 ，故 ，
所以
，
因为 ，所以 ， ，
所以 的取值范围为 ．
【变式2.2】（2023春·山西朔州·高三校考阶段练习）记△ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最小值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用正弦的二倍角公式以及两角和的余弦公式求解；
（2）利用正弦定理以及基本不等式求解.
【详解】（1）因为 ，
即 ，
所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，所以 ，则 ，
而 ，
所以 ，即有 ,
所以
,
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
【变式2.3】（2023秋·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考开学考试）记 的内角 的对边分
别为 ，已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)求 的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合
，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即 ，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
【应用三】转化思想在“爪型”图形类解三角形中的应用
我们在学习解三角形时，经常会遇到关于图形类解三角形的相关问题求解。此类问题中，如果题目中
带有图形，则可直接分析作答；若题干中无图形，我们需要根据题干条件先转化作图后再分析作答。常见
的“爪型”图形类关联问题有“高线类型”、“中线类型”和“角平分线类型”，解题的关键在于转化到
某个三角形或某些三角形中，利用正弦定理、余弦定理或面积公式来求解，例如下面这道例题：【例3.1】（2023·全国·统考高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
本 题 第 一 问 结 合 已 知 条 件 易 求 得 ， 即 ， 可 求 得 ，
第二问是关于高线的求解，我们不妨先作图，如图所示：
求高线长即求CD长，我们可以转化到三角形ABC中的面积求解。通过刚才的求解，我们知道了A角、C
角和c边，如果我们能求出b边，则可表示出三角形的面积，进而建立等式求解。那么我们该如何求解 b
边呢，通过观察发现，如果我们能表示出 B 角，则可用正弦定理求解，则
，由正弦定理， ，可得
，则 ，求解即可
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求 ,再由正弦定理求出 ，根据等面积法求解即可.
【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于图形类问题中求解边角问题时，我们常常转化到一个三角形或一些三角
形中，利用正弦定理、余弦定理或面积公式来求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来
我们也可以用同样的方法来研究解三角形中其他较复杂的图形类问题
【变式3.1】（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为
， 为 中点，且 ．(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出 ，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积
公式求出 ，作出 边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出 即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
【变式3.2】（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线
交BC于D，则 ．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出 ，再根据等面积法求出 ；
方法二：利用余弦定理求出 ，再根据正弦定理求出 ，即可根据三角形的特征求出．【详解】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
【变式3.3】 （2023·全国·统考高考真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长 的值为 ，然后由余弦定理可得 ，最后由同角
三角函数基本关系可得 ；
(2)由题意可得 ，则 ，据此即可求得 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.
（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
巩固练习
1.（2023·河南开封·统考三模）在 中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．(1)求角B；
(2)若 ， 的内切圆半径 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得到 ，进而求出 ，求出 ；
（2）由余弦定理和三角形面积公式求出 ，从而得到答案.
【详解】（1）因为 ，
由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ．
又 ，
所以
（2）由余弦定理得： ，则 ，
由三角形面积公式， ，即 ，
则 ，
所以 ，解得 ，
所以 .2．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）在 中，角 的对边长分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边得 ，再根据余弦定理可求出结果；
（2）根据三角形面积公式求出 ，由 配方得 ，再将
代入求出 可得结果.
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
由（1）知， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周长为 .
3．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、
、 ，且满足 .
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合和差公式求解可得；
（2）利用三角恒等变换公式化简，根据锐角三角形性质求得B的范围，再由正弦函数性质可得.
【详解】（1） ，
，
，
或
（2） 是锐角三角形，则
，
是锐角三角形， ，即 ，
，
，
的取值范围为 .
4．（2022·陕西汉中·校联考模拟预测） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件结合正弦定理以及两角和的正弦公式化简可得出 的值，结合角 的取值范
围可求得角 的值；
（2）由三角形的面积公式可求得 ，利用余弦定理可求得 的值，即可求得 的周长.
【详解】（1）解：因为 ，
由正弦定理得 ，
所以， ，则 .又 ，且 、 ， ，所以， ，故 .
（2）解：因为 的面积为 ，即 ，可得 ，
由余弦定理，得 ，
所以， ，故 的周长为 .
5．（2021·陕西榆林·陕西省神木中学校考三模）在 中，角 的对边分别是 ，且
.
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得证；
（2）先求出边 ，再利用余弦定理求出角 ，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得： ，
由余弦定理得： ，
，
；
（2）由 ，
得 ，，
又 ， ，
.
6．（2023春·青海海东·高一统考阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，运用正弦定理将角化成边，再根据余弦定理、二倍角公式计算即可求解；
（2）根据平方关系求出 ，再由面积公式求出 ，即可求解周长.
【详解】（1）由正弦定理得 ，即 ，
所以由余弦定理可得 ，
故 ；
（2）由（1） ， 得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
故 的周长为 ．7．（2023春·四川德阳·高一统考期末）记 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
.
(1)若 ，求c的值；
(2)以a、b、c为边长的正三角形的面积分别记为 、 、 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化切为弦结合两角和余弦公式及二倍角公式化简计算 ，利用余弦定理即可求解.
（2）先通过诱导公式及正弦函数单调性求出 ，然后把面积化为 的最值问题，
利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由 得： ，
即 ，
由于 ，所以 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 （负值舍），从而 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得： ，
即 .
（2）由（1）知 ，所以 ，即 ， ，
所以 ，由于 ，且 在 上单调递增，所以 ，由 得： ，从而 ，
所以 ，
由已知及正弦定理得：
.
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 的最小值为 .
8．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在 中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
.
(1)求角A；
(2)若 ，AD为BC边上的中线，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角形内角和以及两角和的正弦公式化简，即可求得答案；
（2）由题意利用正弦定理角化边可得 ，继而设 ，利用面积关系 可得
，结合两角差的正弦公式化简，即可得答案.【详解】（1）由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
又 ，所以 ，
即 ，又 ，
所以 ，所以 .
（2）因为 ，所以由正弦定理得 ，
设 ，则 ，
因为AD为BC边上的中线，所以 ，
即 ，
即 ， ，
即 ，显然 ，所以 ，
即 .
9．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角， ．
(1)求A；
(2)若 ，BC边上的高为 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求出 ，再结合A为锐角即可求解；
（2）先利用面积相等求得 ，再代入余弦定理求出 ，进而求解即可．
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
又由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
又因为A为锐角，所以 ．
（2）结合（1），由题意得 ，得 ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，解得 ，或 （舍去），所以 ．
10．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，已知
，
(1)求角 的大小；
(2)若 的角平分线交 于点 ，且 ，求 的最小值，
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式化简题设条件，从而得到 ，由此得解；
（2）利用三角面积公式推得 ，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
由于 ，则 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 .
（2）因为 的角平分线交 于点 ，且 ， ，根据三角形面积公式可得 ，
等式两边同除以 可得 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等式成立，
故 的最小值为 .
