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第 34 讲 直线、平面平行的判定与性质
1.直线、平面平行的判定与性质
定理 文字语言 符号语言 图形语言 作用
直线与平
如果平面外一条直线与此平面内的一 a α ,b α, 证明直线与
面平行的
条直线平行,那么该直线与此平面平行 且a∥b a∥α 平面平行
判定定理
⊄ ⊂
直线与平 一条直线与一个平面平行,如果过该直 证明或判断
a∥α, a⇒ β ,
面平行的 线的平面与此平面相交,那么该直线与 两条直线平
α∩β=b a∥b
性质定理 交线平行 行
⊂
平面与平
如果一个平面内的两条相交直线与另 a β,b β⇒, a ∩ b=P , 证明两个平
面平行的
一个平面平行,那么这两个平面平行 a∥α,b∥α β∥α 面平行
判定定理
⊂ ⊂
⇒
平面与平 证明或判断
两个平面平行,如果另一个平面与这两 α∥β,α∩γ=a,
面平行的 两条直线平
个平面相交,那么两条交线平行 β∩γ=b a ∥ b
性质定理 行
⇒
2.与垂直相关的平行的判定
(1)
(2) ．
3.线线、线面、面面平行的转化示意图
4.常用结论
(1)中位线定理：在 中， 分别是 的中点，则 ；
(2)平行四边形常见证明方法：一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对边对应相等；两组对边对应
互相平行.
考点一 证明线线平行
考点二 证明线面平行
考点三 证明面面平行
考点一：证明线线平行
例1．如图，已知长方体 中， ， . 为 的中点，平面 交棱于点 .求证： ；
考点二：证明线面平行
例2．在长方体 中，矩形 和矩形 的中心分别为M、N．求证： 平面
ABCD．
考点三：证明面面平行
例3．如图所示，在三棱柱 中，E，F，G，H分别是AB，AC， ， 的中点．求证：平
面 平面BCHG．
一、解答题
1．如图，正方体 中， 分别为 的中点，求证：平面 平面 .2．已知四棱锥 的底面ABCD为矩形， 底面ABCD，且 ，设E、F、G分
别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图．
(1)求证： 平面PBD；
3．如图，已知正方体 的棱长为 分别是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
4．如图，三棱柱 中， ， ， ，点M，F分别为
BC， 的中点，点E为AM的中点．(2)证明： 平面 ；
5．（山东省聊城市2023届高三二模数学试题）如图，平面 平面 ，四边形 为矩形，
四边形 为直角梯形，且 ，点G在线段 上．
(1)若点G为线段 的中点，求证： 平面 ；
6．（2023·天津·校联考一模）已知底面 是正方形， 平面 ， ，
，点 、 分别为线段 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
7．（2023·甘肃·统考二模）已知四棱锥 中，底面 为平行四边形， 底面 ，若
， ， 分别为 ， 的重心．(1)求证： 平面 ；
8．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为直角梯形， ， ， 平面ABCD，Q为
线段PD上的点， ， ， ．
(1)证明： 平面ACQ；
9．（2023·重庆九龙坡·统考二模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是矩形，E为AD的中点，
平面 ， ，M为PB的中点.
(1)求证：直线 平面PCD；
10．（2023·上海松江·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD
的交点， ， ， 平面ABCD， ，M是PD的中点．(1)证明： 平面ACM
11．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，三角形 与梯形 所在的平面互相垂直， ，
， ， ， ， 、 分别为 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
12．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中， ， ，四边形CDEF为平
行四边形，平面 平面ABCD， ．
(1)证明： 平面ABE；
13．（2023·上海长宁·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， ， ， 分别为棱 中点．(1)求证：平面 平面 ；
14．（2023·陕西西安·统考二模）在如图所示的多面体中， 平面 ，四边形
为矩形.
(1)求证：平面 平面 ；
15．（2023·青海西宁·统考一模）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， ，
分别是 ， ， 的中点， 平面 ， ，且 ．
(1)证明： 平面 ；
16．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）如图，在四棱锥 中，底面 是等腰梯形，
，平面 平面 ，且 是正三角形， 分别是 的中点.
(1)证明：平面；
