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第 34 讲 空间几何体外接球、内切球、棱切球、截面问题、
轨迹问题
【典型例题】
例1．（2024·陕西西安·一模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定
气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原
子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，
则该正八面体结构的内切球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）如图，棱长为 的正方体 的内切球为球 ， ，
分别是棱 ， 的中点， 在棱 上移动，则（ ）
A．对于任意点 ， 平面
B．直线 被球 截得的弦长为
C．过直线 的平面截球 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D．当 为 的中点时，过 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为
例3．（2024·河南信阳·模拟预测）把 沿三条中位线折叠成四面体 ，其中 ，
， ，则四面体 的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
例4．（2024·四川绵阳·三模）如图，正方体 的棱长为3，点 是侧面 上的一个
动点（含边界），点 在棱 上，且 ．则下列结论不正确的是（ ）
A．若保持 ．则点 的运动轨迹长度为
B．保持 与 垂直时，点 的运动轨迹长度为
C．沿正方体的表面从点 到点 的最短路程为
D．当 在 点时，三棱锥 的外接球表面积为
例5．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱 的侧面积为36，则与三棱柱 各棱均
相切的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原
理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等
高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球
的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线
和 均是以2为半径的半圆，平面 和平面 均垂直于平面 ，用任意平行于帐篷底面
的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷
同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（
）A． B． C． D．
例7．（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱
都相切）的表面积分别为 ，则 ．
例8．（2024·山东临沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面
的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的
直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如
图1，一个球面的半径为 ，球冠的高是 ，球冠的表面积公式是 ，与之对应的球缺的体积公式是
.如图2，已知 是以 为直径的圆上的两点， ，则
扇形 绕直线 旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 .
例9．（2024·陕西西安·三模）如图，已知球 的半径为 ， 在球 的表面上， ，连接球心 与
，沿半径 旋转 使得点 旋转到球面上的点 处，若此时 ，且球心 到 所
在截面圆的距离为 ，则球 的表面积为 ．【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为 ，下底面半径为 的圆台存在内切球（与
上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南·二模）如图，在四面体 中， 平面 ，则此
四面体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥 中， ， ，底面 是边长为1的正
三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知正四面体 的棱长为 ，则该四面体的外接球与以 点为
球心， 为半径的球面的交线的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东·模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当
此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题6．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子
位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则
（ ）
A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
7．（2024·高三·江西·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面
体），如六氟化硫（化学式 ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体
（如图1），已知正八面体 的（如图2）棱长为2，则（ ）
A．正八面体 的内切球表面积为
B．正八面体 的外接球体积为
C．若点 为棱 上的动点，则 的最小值为
D．若点 为棱 上的动点，则三棱锥 的体积为定值
8．（2024·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，
下面结论正确的是（ ）
A．以四个球球心为顶点的四面体体积为B．以四个球球心为顶点的四面体体积为
C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为
D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为
9．（2024·高三·山东菏泽·期末）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由
转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员
发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相
交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 的棱长为2，则（ ）
A．勒洛四面体 被平面 截得的截面面积是
B．勒洛四面体 内切球的半径是
C．勒洛四面体的截面面积的最大值为
D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
10．（2024·高三·浙江·开学考试）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点 在同一个
平面内，如果四边形 是边长为2的正方形，则（ ）
A．异面直线 与 所成角大小为
B．二面角 的平面角的余弦值为
C．此八面体一定存在外接球D．此八面体的内切球表面积为
11．（2024·高三·江西·期末）在棱长为2的正方体 中，点 ， ， 分别是线段 ，
线段 ，线段 上的动点，且 .则下列说法正确的有（ ）
A．
B．直线 与 所成的最大角为
C．三棱锥 的体积为定值
D．当四棱锥 体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为
12．（2024·湖南长沙·模拟预测）四棱锥 的底面为正方形，PA与底面垂直， ， ，
动点M在线段PC上，则（ ）
A．不存在点M，使得
B． 的最小值为
C．四棱锥 的外接球表面积为5π
D．点M到直线AB的距离的最小值为
13．（2024·江苏·一模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点 满足
，则（ ）A．当 时， 平面
B．任意 ，三棱锥 的体积是定值
C．存在 ，使得 与平面 所成的角为
D．当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为
14．（2024·吉林延边·一模）如图，在多面体 中，底面 是边长为 的正方形，
平面 ，动点 在线段 上，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点 ，使得 平面
C．三棱锥 的外接球被平面 所截取的截面面积是
D．当动点 与点 重合时，直线 与平面 所成角的余弦值为
15．（2024·高三·全国·专题练习）M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，
使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A． 平面ABD
B．异面直线AC与MN所成的角为定值
C．设菱形ABCD边长为a， ，当二面角 为120°时，棱锥 的外接球表面积为
D．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则∠ABC的取值范围是
16．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知棱长为1的正方体 的棱切球（与正方体的各条
棱都相切）为球 ，点 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．球 在正方体外部的体积大于
C．球 内接圆柱的侧面积的最大值为
D．若点 在正方体外部（含正方体表面）运动，则
17．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知正方体 的棱长为 是 中点， 是
的中点，点 满足 ，平面 截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积
分别为 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 时，截面面积为 B． 时，
C． 随着 的增大先减小后增大 D． 的最大值为
18．（2024·广东·一模）将圆柱 的下底面圆 置于球 的一个水平截面内，恰好使得 与水平截面圆
的圆心重合，圆柱 的上底面圆 的圆周始终与球 的内壁相接（球心 在圆柱 内部）．已知球
的半径为3， ．若 为上底面圆 的圆周上任意一点，设 与圆柱 的下底面所成的角为
，圆柱 的体积为 ，则（ ）
A． 可以取到 中的任意一个值
B．
C． 的值可以是任意小的正数
D．
19．（2024·高三·重庆·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲
线.如图，当平面垂直于圆锥的轴时，截口曲线是一个圆.当平面不垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭曲
线”，则是椭圆；若平面与圆锥的一条母线平行，得到抛物线（部分）；若平面平行于圆锥的轴，得到双曲线（部分）.已知以 为顶点的圆锥 ，底面半径为1，高为 ，点 为底面圆周上一定点，圆锥侧面
上有一动点 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的轨迹为椭圆
B．点 可能在以 为球心，1为半径的球外部
C． 可能与 垂直
D．三棱锥 的体积最大值为
20．（2024·高三·广东广州·阶段练习）如图，八面体 的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点
在同一个平面内．若点 在四边形 内（包含边界）运动， 为 的中点，则（ ）
A．当 为 的中点时，异面直线 与 所成角为
B．当 平面 时，点 的轨迹长度为
C．当 时，点 到 的距离可能为
D．存在一个体积为 的圆柱体可整体放入 内
21．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）如图，已知正方体 的棱长为 ，点 为 的中点，
点 为正方形
A B C D
内 包含边界 的动点，则（ ）
1 1 1 1A．满足 平面 的点 的轨迹为线段
B．若 ，则动点 的轨迹长度为
C．直线 与直线 所成角的范围为
D．满足 的点 的轨迹长度为
三、填空题
22．（2024·安徽安庆·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径 ．圆锥的内切球和外
接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为 ．
23．（2024·青海·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个
长方体沿对角面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体 中， ，
， ，将长方体 沿平面 一分为二，得到堑堵 ，下列结论
正确的序号为 ．
①点C到平面 的距离等于 ；
② 与平面 所成角的正弦值为 ；
③堑堵 外接球的表面积为 ；
④堑堵 没有内切球．
24．（2024·四川宜宾·二模）所有棱长均为6的三棱锥，其外接球和内切球球面上各有一个动点 ，则
线段 长度的最大值为 .25．（2024·全国·模拟预测）将菱形 沿对角线 折起，当四面体 体积最大时，它的内切
球和外接球表面积之比为 ．
26．（2024·高三·山东济宁·开学考试）三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，顶点 在底面
上的射影是 的中心，且 ．三棱锥 的内切球为球 ，外接球为球 ，若球 的
半径为 ，球 的半径为 ，则 ；若 为球 上任意一点， 为球 上任意一点，则线段
的最小值为
27．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知正六棱锥的高是底面边长的 倍，侧棱长为 ，正六棱柱
内接于正六棱锥，即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上，则该正六棱柱的外接球表面积的
最小值为 ．
28．（2024·山东烟台·一模）在三棱锥 中， ，且
分别是 的中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为
，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为 .
29．（2024·高三·江苏·专题练习）直角三角形 中，斜边 长为2，绕直角边 所在直线旋转一周
形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为 ，则 长为
30．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥 的四个面是全等的等腰三角形，且 ， ，
则三棱锥 的外接球半径为 ；点 为三棱锥 的外接球球面上一动点， 时，
动点 的轨迹长度为 ．
31．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积为 .
32．（2024·高三·江苏·专题练习）在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ，点M在该三棱锥的外接球O的球面上运动，且满足 ，则三棱锥
的体积最大值为
33．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知正三棱柱 的体积为 ，若存在球 与三棱柱
的各棱均相切，则球 的表面积为 .
34．（2024·高三·全国·专题练习）已知有大、小两个球外切．若大球与某正四面体的所有棱都相切，小球
与该正四面体的三条侧棱都相切，记大球与小球的半径分别为 ，则 ．
