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第 35 讲 直线、平面垂直的判定与性质
1.直线、平面垂直的判定与性质
定理 文字语言 符号语言 图形语言 作用
直线与平 如果一条直线与一个平面内
证明直线与平
面垂直的 的两条相交直线垂直，那么 l⊥α
面垂直
判定定理 该直线与此平面垂直
⇒
直线与平
垂直于同一个平面的两条直 证明或判断两
面垂直的 a ∥ b
线平行 条直线平行
性质定理
⇒
平面与平 如果一个平面过另一个平面
证明两个平面
面垂直的 的垂线，那么这两个平面垂 α ⊥ β
垂直
判定定理 直
⇒
两个平面垂直，如果一个平
平面与平
面内有一直线垂直于这两个 证明直线与平
面垂直的 a⊥β
平面的交线，那么这条直线 面垂直
性质定理
与另一个平面垂直
⇒
2.常用结论
(1)三线合一定理：在等腰 中， ， 是 的中点，则 ；
(2)垂直于同一条直线的两平面平行，即 .
(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，即 .
(4)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即 .
考点一 证明线线垂直
考点二 证明线面垂直
考点三 证明面面垂直
考点一：证明线线垂直
例1．如图， 平面 ，四边形 为矩形， ， ，点 是 的中点，点 在边 上移动.
(2)证明： .
考点二：证明线面垂直
例2．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）如图，在四棱柱 中，底面ABCD为平行四
边形， ，∠BAD=60°，平面 平面ABCD， ， ，E为 上的一
点．
(1)求证： 平面 ；
考点三：证明面面垂直
例3．（2023·陕西榆林·统考三模）如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 底面ABCD．
(1)证明：平面 平面PCD．一、解答题
1．如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
2．如图，在底面是菱形的四棱锥 中， 为 中点， ， ，已知
.
(1)若 ，证明： ；
3．如图，斜三棱柱 的底面是直角三角形， ，点 在底面 上的射影恰好是
的中点，且 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)求证： .
4．如图1，在四边形ABCD中， ， ，AE=BE=2CD=2， .将四边形AECD沿AE折
起，使得 ，得到如图2所示的几何体.
(1)若G为AB的中点，证明： 平面ABE；
5．（2023·宁夏中卫·统考一模）如图，四棱台 中，底面 是菱形，点 分别为棱
的中点， ， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在的平面垂
直， 是弧 上异于 ， 的点.平面 与平面 的交线为 .
(1)证明： ⊥平面 ；
7．（2023·四川达州·统考二模）如图，四棱锥 的底面ABCD是平行四边形，平面 平面ABCD， ， ， .O，E分别是AD，BC中点.
(1)证明： 平面POE；
8．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，平面五边形ABCDE中， 是边长为2的等边三角形，
，CD＝AE， ，将 沿AD翻折，使点E翻折到点P．
(1)证明：PC⊥BC；
9．（2023·北京延庆·统考一模）如图，四棱锥 中，底面 是梯形， ， 面 ，
是等腰三角形， ， ， 是 的中点.
(1)求证： ；
10．（2023·湖南·校联考二模）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 与 交于点 ，
， ， ，平面 平面 ， 为线段 上的一点．(1)证明： 平面 ；
11．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱 中，底面 平面 ， 是正三角
形， 是棱 上一点，且 ， .
(1)求证： ；
12．（2023·河北唐山·统考二模）在四棱锥 中， ， ， ，
， ， ，点 是棱 上靠近点 的三等分点
(1)证明： 平面 ；
13．（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角，
， 为侧棱 的中点.(1)求证： 平面 ；
14．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD，底面ABCD是直
角梯形， ， ， ， .
(1)求证： ；
15．（2023·陕西汉中·统考二模）如图，多面体 中，底面四边形 为菱形，
平面 且
(1)求证： ；
16．（2023·贵州黔西·校考一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，
. 是底面的内接正三角形，P为DO上一点， ．
△(1)证明：平面 平面PBC；
17．（2023·辽宁·校联考二模）在四棱锥 中，四边形 为等腰梯形， ，
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
18．（2023·浙江台州·统考二模）已知三棱柱 棱长均为 ，且 ， .
(1)求证：平面平面；
