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第 35 讲 直线、平面垂直的判定与性质
1.直线、平面垂直的判定与性质
定理 文字语言 符号语言 图形语言 作用
直线与平 如果一条直线与一个平面内
证明直线与平
面垂直的 的两条相交直线垂直，那么 l⊥α
面垂直
判定定理 该直线与此平面垂直
⇒
直线与平
垂直于同一个平面的两条直 证明或判断两
面垂直的 a ∥ b
线平行 条直线平行
性质定理
⇒
平面与平 如果一个平面过另一个平面
证明两个平面
面垂直的 的垂线，那么这两个平面垂 α ⊥ β
垂直
判定定理 直
⇒
两个平面垂直，如果一个平
平面与平
面内有一直线垂直于这两个 证明直线与平
面垂直的 a⊥β
平面的交线，那么这条直线 面垂直
性质定理
与另一个平面垂直
⇒
2.常用结论
(1)三线合一定理：在等腰 中， ， 是 的中点，则 ；
(2)垂直于同一条直线的两平面平行，即 .
(3)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，即 .
(4)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即 .
考点一 证明线线垂直
考点二 证明线面垂直
考点三 证明面面垂直
考点一：证明线线垂直
例1．如图， 平面 ，四边形 为矩形， ， ，点 是 的中点，点 在边 上移动.
(2)证明： .
【答案】(2)证明见解析
【分析】（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可.
【详解】（2）证明： 平面 ， ，
又 ，且点 是 的中点， ，
又 ， ， ， 平面 ，
又 平面 ， ，
由 ， ， ， 平面 ，
平面 ， .
考点二：证明线面垂直
例2．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）如图，在四棱柱 中，底面ABCD为平行四
边形， ，∠BAD=60°，平面 平面ABCD， ， ，E为 上的一
点．
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质，可得 平面 ，从而 ，结合 ，即可证明
平面 ；
【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ；
因为四边形ABCD为平行四边形，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 .
考点三：证明面面垂直
例3．（2023·陕西榆林·统考三模）如图，在底面为矩形的四棱锥 中， 底面ABCD．
(1)证明：平面 平面PCD．
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由 ， ，证得 平面PAD，则有平面 平面PCD．
【详解】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，得 ．
因为 底面ABCD， 平面ABCD，所以 ．
因为 ， 平面PAD，所以 平面PAD．
因为 平面PCD，所以平面 平面PCD．一、解答题
1．如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
【答案】(2)证明见解析
【分析】（2）由面面垂直的性质得AM⊥平面MBCN，再由线面垂直的性质、判定证BC⊥面AMC，最后
由线面垂直的性质证线线垂直即可.
【详解】（2）因为AMND是矩形，所以AM⊥MN．
因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM 面AMND，
所以AM⊥平面MBCN，而BC 平面MBCN，所以AM⊥BC．
因为MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM 面AMC，所以BC⊥面AMC，
因为AC 面AMC，所以BC⊥AC．
2．如图，在底面是菱形的四棱锥 中， 为 中点， ， ，已知
.
(1)若 ，证明： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由已知可推得 为等边三角形， ，推得 .根据勾股定理，可推得
.即可证明 平面 ，根据线面垂直的性质，即可推得线线垂直；
【详解】（1）连结 ，由于 为 中点，且 ，
所以， 为等边三角形，故 .
因为 ，所以 .
因为 ， ，
所以 .
因为 ，
在 中，有 ，
则 .
又 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，故 .
3．如图，斜三棱柱 的底面是直角三角形， ，点 在底面 上的射影恰好是
的中点，且 .(1)求证：平面 平面 ；
(2)求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）设 的中点为 ，得到 平面 ，证得 ，再由 ，利用线面垂
直的判定定理证得 平面 ，进而证得平面 平面 ；
（2）连接 ，得到 ，根据 ，证得 ，利用线面垂直判定定理证得 平面
，进而证得 .
【详解】（1）证明：设 的中点为 ，
因为点 在底面 上的射影恰好时点 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又由 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）证明：连接 ，因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
在斜三棱柱 中，因为 ，
所以四边形 为菱形，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .4．如图1，在四边形ABCD中， ， ，AE=BE=2CD=2， .将四边形AECD沿AE折
起，使得 ，得到如图2所示的几何体.
(1)若G为AB的中点，证明： 平面ABE；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取BE的中点O，连接OC，OG，易证四边形CDGO为平行四边形，则 ，再应用
线面垂直的判定及性质、等腰三角形性质得 、 ，最后根据线面垂直的判定有 平面
ABE，即可证结论；
【详解】（1）如图，取BE的中点O，连接OC，OG，则 ， ，
因为 ， ，故 且CD=OG，
所以四边形CDGO为平行四边形，则 .
因为 ， ， ， 面BCE，
所以 平面BCE， 面BCE，所以 .
因为BC=CE，所以 .
因为 ， 面ABE，所以 平面ABE，所以 平面ABE.
5．（2023·宁夏中卫·统考一模）如图，四棱台 中，底面 是菱形，点 分别为棱
的中点， ， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）先证明 ，结合 由线面垂直判定定理证明 平面 ，
由此证明 ．再证明 ，并由线面垂直判定定理证明 平面 ；
【详解】（1）因为底面 是菱形，所以四边形 的对角线 ，
因为点 分别为棱 的中点，，
所以 ，故 ，
又因为 .
因为多面体 是四棱台，
所以A，C，G，E共面，
又 ， 平面 ，所以 面 ，又因为 平面 ，
所以 ，又因为 ，
因为 与 是相交直线， 平面 ，
所以 平面 ；
6．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在的平面垂
直， 是弧 上异于 ， 的点.平面 与平面 的交线为 .
(1)证明： ⊥平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直得到 平面 ，再根据线面平行得到 ，从而证明出结论；
【详解】（1）∵平面 平面 ，交线为 ， ， 平面 ，
平面 ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵平面 与平面 的交线为 ， 平面 ，
∴ ，
平面 .
7．（2023·四川达州·统考二模）如图，四棱锥 的底面ABCD是平行四边形，平面 平面
ABCD， ， ， .O，E分别是AD，BC中点.
(1)证明： 平面POE；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得 ，由余弦定理和勾股定理可得 ，结合线面垂直
的判定定理即可证明；【详解】（1）∵ ，O是AD的中点，∴ .
∵平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PAD，
∴ 平面ABCD.
∵ 平面ABCD，∴ .
设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
∴ ，∴ .
∵E是BC中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，∴ .
∵PO，OE是平面POE内的两条相交直线，∴ 平面POE.
8．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，平面五边形ABCDE中， 是边长为2的等边三角形，
，CD＝AE， ，将 沿AD翻折，使点E翻折到点P．
(1)证明：PC⊥BC；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）在平面图形中取 中点 ，则有 、 ，再应用线面垂直的判定、性质证
结论；
【详解】（1）在平面图形中取 中点 ，连接 ， ，
∵ 是边长为2的等边三角形，
∴ ， ，故翻折后有 ，
又∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，且 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ ，∴ ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ．
9．（2023·北京延庆·统考一模）如图，四棱锥 中，底面 是梯形， ， 面 ，
是等腰三角形， ， ， 是 的中点.
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而由线线垂直即可求证，
【详解】（1）因为 是 的中点,所以 ,
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ,
所以 平面 .因为 平面 ,所以 .
10．（2023·湖南·校联考二模）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 与 交于点 ，
， ， ，平面 平面 ， 为线段 上的一点．(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，由面面垂直的性质得到 平面 ，从而
得到 ，再由菱形的性质得到 ，即可得到 平面 ，即可得到 ，最后结
合 ，即可得证；
【详解】（1）连接 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，
∵平面 平面 ，且交线为 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ，
又∵四边形 为菱形，∴ ，又∵ ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面 ．
11．（2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱 中，底面 平面 ， 是正三角
形， 是棱 上一点，且 ， .(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取 的中点 ，根据等腰三角形三线合一性质、面面垂直的性质，结合线面垂直的
判定可证得 平面 ，由平行关系和线面垂直的性质可证得结论；
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
为等边三角形， ；
， 为 中点， ，
， 为 中点， 为 中点，又 为 中点，
， ；
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ；， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，又 ， .
12．（2023·河北唐山·统考二模）在四棱锥 中， ， ， ，
， ， ，点 是棱 上靠近点 的三等分点
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证 平面 ，得 ，然后可证明 平面 ；
【详解】（1）在 中， ， ， ，
由余弦定理可得， ，
从而有 ，所以 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
∵ ， ， 平面 ，
∴ 平面 ；
13．（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角，
， 为侧棱 的中点.(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明出 ， ，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
【详解】（1）解：因为 是等腰直角三角形，且 ，则 ，
因为在直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
因为 ， 、 平面 ，故 平面 .
14．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，在四棱锥 中，平面 平面ABCD，底面ABCD是直
角梯形， ， ， ， .
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合等腰三角形的性质进行证明即可；
【详解】（1）设线段 的中点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
所以 ；
15．（2023·陕西汉中·统考二模）如图，多面体 中，底面四边形 为菱形，
平面 且
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；
【详解】（1）连接 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，且 ，
， 平面 平面 ，
∴ 平面 ，
且 ，故 .
16．（2023·贵州黔西·校考一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，. 是底面的内接正三角形，P为DO上一点， ．
△
(1)证明：平面 平面PBC；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可；
【详解】（1）∵ , 是底面的内接正三角形，
△
∴ , ,
∴ ,
∴在△ 中， ,即 , 同理 ,
又∵ , 平面 ，
∴ 平面 ，
∴平面 平面 .
17．（2023·辽宁·校联考二模）在四棱锥 中，四边形 为等腰梯形， ，
， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证 ，由线线垂直证线面垂直即可；【详解】（1）证明：在等腰梯形 中， ， ， ，
过点C作 于E，则 ，可知 ，
由余弦定理知 ，
则 ，所以 .
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
18．（2023·浙江台州·统考二模）已知三棱柱 棱长均为 ，且 ， .
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取 中点 ，通过证明 平面 ，再利用面面垂直的判定定理即可得到结论；
（2）作 ，垂足为 ，连接 ，通过二面角的定义可知 即为平面 与平面 所
成夹角，再求出 的各边即可求出结果.
【详解】（1）如图，取 中点 ，连接 ，
因为 是等边三角形，所以 ，
又因为 ， ，则 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
