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空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练
考点目录
动点存在性问题 最值与范围问题
考点一 动点存在性问题考点二 最值与范围问题
例1．（25-26高二上·广东东莞·期中）在 中， 分别是 上的点，满足
，且 ．将 沿 折起到 的位置，使 在棱 上移动（包含端点）．
(1)求证： ；
(2)当 为棱 的中点时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
(3)设直线 与平面 所成角为 ，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）因为 ，则 ，且 ，可得 ，
将 沿 折起到 的位置，始终有 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
由 平面 ，可得 ，
所以 .
（2）翻折前，因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，翻折后 ，由勾股定理得 ．
由（1）可知 平面 ，又 ，所以 平面 ，又 ，所以 两两垂直．
以 为原点，直线 分别为 , , 轴建立如下空间直角坐标系，
则 ，
可得 .
设平面 的法向量是 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ．
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
，
所以二面角 的余弦值为 ．
（3）设 , .
，
当 时， ，当 时， ，
当 时， 的最大值为 ．
例2．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，在四棱锥 中， 底面 ， .
(1)证明：面 面 ；
(2)设 ， ， ，且点 ， ， ， 均在球 的球面上.
（i）证明：点 在线段 上；
（ii）设 与面 所成角为 ，求 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）
【详解】（1）证明：因为 底面 ，所以 .
又 ， ，所以 面 .
又 面 ，所以面 面 .
（2）解法一（i）取 的中点 .因为 ，所以 .
又 ，所以 ， ， ， 四点共圆，圆心为 .
取 的中点 ，连接 ，则 ， 底面 .
因为 ， ，所以 .
所以 为点 ， ， ， 所在球的球心，
又三棱锥 的外接球的球心是唯一的.
所以 即为 ，点 在线段 上.（ii）如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， .
设 ，则 .
所以 ， ， .
设面 的法向量为 ，则
取 ， ， ，所以 .
所以 .
因为 表示点 到直线 的距离，又点 在圆 上.
所以当 为直线 与圆 的交点 时， 取得最大值，最大值为
.
所以 的最大值为 .
解法二：（i）取 的中点 .因为 ，所以 .
又 ，所以 ， ， ， 四点共圆，圆心为 .因为 为三棱锥 的外接球的球心，则 底面 .
如图，以 为原点，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .
设 ，则 ，所以 ，解得 .
所以 ， 为 的中点.所以点 在线段 上.
（ii） ， ， ， ， .
设 ，则 .
所以 ， ， .
设面 的法向量为 ，则
取 ， ， ，所以 .
所以 .
令 ， ，其中 ，则
当 时， 取得最大值 .
解法三：（i）因为 ，所以 .
又因为 底面 ，所以 .
又 ，所以 面 ， .
由（1）可知， 面 ， .
取 的中点 ，则 .
所以 为点 ， ， ， 所在球的球心，又三棱锥 的外接球的球心是唯一的.
所以 即为 ，点 在线段 上.（ii）取 的中点 .因为 ，所以 .
又 ，所以 ， ， ， 四点共圆，圆心为 .
取 的中点 ，连接 ，则 ， 底面 .
接下来同解法一.
例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，点 ， 在以 为直径的圆 上， ， 与点 ， 不重合.
平面 ， 为 的中点， 为 的中点， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)当 时，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在 上取点 ，使得 ，取 中点 ，
连接 、 、 ，由 ， 为 的中点，
故 ， ， ， ，
故 且 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）由 为直径，故 ，由 ，
则 ， ，以 为原点， 、 为 、 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由 平面 ，故 轴，
则 、 、 、 、 ，
则 ， ， ， ，
又 ，则 ，故 ，
由 在圆 上，可设 ， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，
取 ，则 ， ，故 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
则当 ，即 或 时， 有最大值 ，
当 时， ，则 ，与点 重合，不符；
当 时， ，则 ，符合要求；
故 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .例4．（25-26高三上·陕西·期末）如图，已知四棱锥 的底面为正方形，顶点S为动点，满足平面
平面 ，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求 的值；
(3)以正方形 为底面作正方体 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 或 ．
(3)
【详解】（1） ， 交于点O，连接 ，
在平面 内过点A作 ，垂足为H．
因为 ，所以垂足H不与点O重合．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
在正方形 中， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）以 为x轴， 为y轴，过点A的平面 的垂线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设 ，则 ， ， ， ．
设 ，则 ， ．
因为 ，所以 ．①
由（1）可知， ，所以 ，即 ．②
设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，取 ．
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ．
因为平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ．③
由①②③，解得 ， ， ，或 ， ， ，
即 或 ．
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ．
综上所述， 或 ．
（3）以正方形 为底面作正方体 ，
不妨取 ，则 ．设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，取 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
平方得 ，
又因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，此时可取 ，符合题意，
故 的最大值为 ．
变式1．（25-26高二上·云南·月考）如图，平面 平面 ，四边形 为矩形， 平面 .
(1)证明： .
(2)已知 .
①求几何体 体积的最大值；
②若 分别为棱 的中点， 为线段 上的动点，当几何体 的体积取得最大值时，求直线
与 所成角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
① ②【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 .
（2）①延长 至点 处，使得 ，连接 ，则 ，且 ，所以几何体 为三
棱柱.
因为 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，则 .
设 ，则 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又四边形 为矩形，所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
则几何体 的体积 ，
所以几何体 的体积的最大值为 .
②当几何体 的体积取得最大值时，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
，
则 .
设 ，则 ，
所以 .
令 ，
则 .令 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
，所以直线 与 所成角的余弦值的取值范围为 .
变式2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图1，在梯形 中， ，点 在线段 上，
， ．现将 沿 翻折到 的位置，使得二面角 为直二面角，如图
2所示．
(1)若 是 的中点，证明： 平面 ；
(2)若 分别是 的中点，直线 与平面 所成角为 ．
①设 ，求 的取值范围；
②求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2) ；②
①
【详解】（1）由题意知 ，
而 是 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
（2）对于①，在平面 内作 的垂线作为 轴，所以 轴，如图以 为坐标原点，分别以 为 轴正半轴建立空间直角坐标系：
因为 ，设 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
.
设平面 的法向量 ，
得 ，
取 ，可得
，解得 ，
对于②，设平面 的法向量 ，
得 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则
，
由于 在 时单调递增，故 ，
故 ，
得到平面 与平面 所成锐二面角余弦值的取值范围是 ；
变式3．（25-26高二上·广东揭阳·月考）如图，在正四棱锥 中，所有棱长都等于4，点 分别是棱
的中点，点 在棱 上，且 ．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角余弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接 交 于 ，连接 ， ， ，
因为正四棱锥 ，所以四边形 是正方形， 是 中点，又因为点 分别是棱 的中点，且当 时 是 中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形， ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为正四棱锥 ，所有棱长都等于4，
所以 是顶点 在底面投影， 两两垂直，
以 为坐标原点， 分别为 轴建立如图所示坐标系，
易知 ，由 可得
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，解得平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，解得平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即平面 与平面 夹角余弦值的取值范围为 .
变式4．（25-26高二上·广东中山·月考）在四棱锥 中，侧面 平面 ，四边形 为直角梯
形， ， ， ， 为等边三角形，点 ， 分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)点 为线段 上的动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接 ，因为点 ， 分别为 的中点，所以 ，
因为四边形 为直角梯形， ， ， ，
所以 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 为等边三角形，点 为 的中点，所以 ，
又因为侧面 平面 ，侧面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ，可得 ，
又 平面 ，又 平面 ，所以 ，以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
，令 ，则 ，
则平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ；
（3）设 ，则 ，
又 ，
又平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成的夹角为 ，则 ，
令 ， ，
则 ，
令 ，可得 ，
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ．
