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考前回顾 05 立体几何与空间向量（知识清单+易错分析+23 年高考真
题+24 年最新模拟）
知识清单
1．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图 表面积 体积
直棱柱 长方形 S＝2S ＋S V＝S ·h
底 侧 底
圆柱 长方形 S＝2πr2＋2πrl V＝πr2·l
棱锥 由若干个三角形构成 S＝S ＋S V＝S ·h
底 侧 底
圆锥 扇形 S＝πr2＋πrl V＝πr2·h
S＝S ＋S ＋S V＝(S ＋＋S )h
上 下 侧 上 下
圆台 扇环
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) V＝π(r′2＋r′r＋r2)h
球 S＝4πr2 V＝πr3
2.外接球、内切球问题
(1)长方体的外接球的直径为体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(2)正四面体的外接球、内切球球心重合，且在垂线上，R ∶r ＝3∶1.
外接球 内切球
(3)直棱柱的外接球球心为上、下底面的外心连线的中点．
(4)棱锥中若有三条侧棱两两垂直，一般补成长方体．
(5)棱锥中若有一条侧棱垂直于底面，一般补成直棱柱，如图①②.
(6)三棱锥中，若对棱相等，一般补成长方体，使三棱锥的棱为面对角线．
(7)棱锥中若没有侧棱垂直于底面，一般找两个面，再找这两个面的外心，过外心作面的垂线，两垂线的交
点即为外接球球心．
3．直观图与斜二测画法
(1)空间几何体的直观图的画法常采用斜二测画法．斜二测画法的规则为“平行要保持，横长不变，纵长减
半．”
(2)任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间的关系为S′＝S.4．平行、垂直关系的转化示意图
(1)
(2)两个结论
①⇒a∥b；②⇒b⊥α.
5．用空间向量证明平行、垂直
设直线l的方向向量为a＝(a，b，c)，平面α，β的法向量分别为u＝(a，b，c)，v＝(a，b，c)．则有：
1 1 1 2 2 2 3 3 3
(1)线面平行
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔aa＋bb＋cc＝0.
1 2 1 2 1 2
(2)线面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a＝ka，b＝kb，c＝kc.
1 2 1 2 1 2
(3)面面平行
α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a＝λa，b＝λb，c＝λc .
2 3 2 3 2 3
(4)面面垂直
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔aa＋bb＋cc＝0.
2 3 2 3 2 3
6．用向量法求空间角
(1)直线l，l 的夹角θ满足cos θ＝|cos〈a，b〉|(其中a，b分别是直线l，l 的方向向量)．
1 2 1 2
(2)直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈a，n〉|(其中a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．
(3)平面α与平面β的夹角为θ，cos θ＝|cos〈n，n〉|(其中n，n 分别是平面α，β的法向量)．
1 2 1 2
易错提醒
1．混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面α内”的数学符号关系，应表示为A∈a，a⊂α.
2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，易
漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.
3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致
判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中
m⊂α的限制条件．
4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，
再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系．
5．几种角的范围两条异面直线所成的角：0°<θ≤90°；
直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°；
平面与平面的夹角：0°≤θ≤90°.
6．用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求直线与平面所成的角时，易把直线的
方向向量与平面的法向量所成角的余弦值当成线面角的余弦值，导致出错．
易错分析
易错点1 忽视组合体重叠部分致误
1.[山东日照2023一模]每逢春节人们会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图①，
某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相
同球冠剩下的部分.如图②，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫作球
冠的高，若球冠所在球面的半径为 ，球冠的高为 ，则球冠的面积 .如图①，已知该灯笼的
高为 ，圆柱的高为 ，圆柱的底面圆的直径为 ，若要用布料将灯笼全部包围，则所需布
料的面积为（ ）
易错点2 误认为直线在平面外是指直线与平面无公共点而产生错解
2. （多选）[河北邢台2023阶段练习]已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列说法
错误的是（ ）
易错点3 不能确定棱锥的外接球球心致错
3.[江西九所重点中学2022联考]已知在四棱锥 中，底面 为边长为4的正方形，侧面
底面 ，且 为等边三角形，则该四棱锥 外接球的表面积为（ ）特别提醒：在求棱锥的外接球的相关问题中，关键是球心和半径的确定.球心的确定本质上是过棱锥的任意
易错点4 空间点、线、面位置关系判断不清致误
4. [重庆一中2022月考]已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列结论正确的是（
）
易错点5 关于线面平行问题的易错点总结
5.[ 安 徽 淮 北 2022 一 模 ] 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 为 直 角 梯 形 ，
分 别 为 线 段 的 中 点 ， 底 面 ，
（1）作出平面 与平面 的交线 ，并证明 ；
（2）求点 到平面 的距离.
易错点6 忽视两条直线相交的条件
6.[ 山 西 运 城 2022 期 末 ] 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 是 平 行 四 边 形 ，
， 是 的中点， 是线段 上的
动点.（1）证明： 平面 ；
（2）若点 到平面 的距离为 ，求 的值.
易错点7 误认为“两点之间线段最短”，直接连接两个点求长度
7.[ 宁 夏 银 川 一 中 2022 第 六 次 月 考 ] 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 中 ，
为棱 上的一动点，则当 最小时， 的面积
为 .
易错点8 误认为直线 的方向向量 与平面的法向量 的夹角就是直线和平面的夹角.
8.[福建福州2022质量检测]如图，在直三棱柱 中， 为 的中点，点 在
上，且 .（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，且三棱锥 的体积为 ，求 与平面
所成角的正弦值.
高考真题
一．选择题（共9小题）
1．（2023•全国）长方体的对角线长为1，表面积为1，有一面为正方形，则其体积为
A． B． C． D．
2．（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表
面积为A．24 B．26 C．28 D．30
3．（2023•上海）如图所示，在正方体 中，点 为边 上的动点，则下列直线中，始
终与直线 异面的是
A． B． C． D．
4．（2023•甲卷）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ， ，则该
棱锥的体积为
A．1 B． C．2 D．3
5．（2023•天津）在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足
，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为
A． B． C． D．
6．（2023•乙卷）已知圆锥 的底面半径为 ， 为底面圆心， ， 为圆锥的母线，，若 的面积等于 ，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
7．（2023•北京）刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，
展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体 ，四边形 和 是全等的等腰梯形，
和 是全等的等腰三角形．若 ， ，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的
面与底面夹角的正切值均为 ．为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为
A． B． C． D．
8．（2023•乙卷）已知 为等腰直角三角形， 为斜边， 为等边三角形，若二面角
为 ，则直线 与平面 所成角的正切值为
A． B． C． D．
9．（2023•甲卷）在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ， ，
则 的面积为
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
10．（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位： 的正方体容器（容器壁厚度忽
略不计）内的有A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
11．（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， 为底面直径， ， ，
点 在底面圆周上，且二面角 为 ，则
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
三．填空题（共6小题）
12．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2，高
为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
13．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台 中， ， ， ，则该棱台的体积
为 ．
14．（2023•甲卷）在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则以 为直径的球
面与正方体每条棱的交点总数为 ．
15．（2023•上海）空间中有三个点 、 、 ，且 ，在空间中任取2个不同的点 ，
（不考虑这两个点的顺序），使得它们与 、 、 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法
有 种．
16．（2023•甲卷）在正方体 中， ， 为 的中点，若该正方体的棱与球 的球
面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
17．（2023•乙卷）已知点 ， ， ， 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角形，
平面 ，则 ．
四．解答题（共11小题）
18．（2023•北京）如图，四面体 中， ， ， 平面 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小．
19．（2023•甲卷）在三棱柱 中， ， 底面 ， ， 到平面
的距离为1．
（1）求证： ；
（2）若直线 与 距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
20．（2023•乙卷）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， ，
， 的中点分别为 ， ， ，点 在 上， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．21．（2023•全国）在直三棱柱 中， ， ， ．
（1）求直三棱柱 的体积；
（2）求直三棱柱 的表面积．
22．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ， ，
分别在棱 ， ， ， 上， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．23．（2023•上海）已知直四棱柱 ， ， ， ， ， ．
（1）证明：直线 平面 ；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角 的大小．
24．（2023•甲卷）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 ， ，求四棱锥 的高．25．（2023•天津）在三棱台 中，若 平面 ， ， ，
， ， 分别为 ， 中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
26．（2023•上海）已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为
中点，过点 分别作平行于平面 的直线交 、 于点 ， ．
（1）求直线 与平面 所成角的大小；
（2）证明：平面 平面 ，并求直线 到平面 的距离．27．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥 中， ， ， ，
为 中点．
（1）证明 ；
（2）点 满足 ，求二面角 的正弦值．
28．（2023•乙卷）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
， ， ， 的中点分别为 ， ， ，点 在 上， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）证明：平面 平面 ；（3）求二面角 的正弦值．最新模拟
一．选择题（共10小题）
1．（2024•如皋市模拟）已知 ， 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
2．（2024•浙江模拟）柳编技艺在我国已有上千年的历史，如今柳编产品已经入选国家非物质文化遗产名
录．如图所示；这是用柳条编织的圆台形米斗，上底直径 ，下底直径 ，高为 ，则该米斗
的容积大概为
A．9升 B．15升 C．19升 D．21升
3．（2024•城西区校级一模）如图所示，该图形由一个矩形和一个扇形组合而成，其中矩形和扇形分别是
一个圆柱的轴截面和一个圆锥的侧面展开图，且矩形的长为2，宽为3，扇形的圆心角为 ，半径等于矩
形的宽，若圆柱高为3，则圆柱和圆锥的体积之比为
A． B． C． D．
4．（2024•榆林二模）如图，网格纸中小正方形的边长为 1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该
几何体的表面积为A． B． C． D．
5．（2024•贵州模拟）若一圆锥的内切球半径为2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
6．（2024•红谷滩区校级模拟）已知 ， 是空间两个不同的平面， ， 是空间两条不同的直线，则给
出的下列说法中正确的是
① ， ，且 ，则 ；
② ， ，且 ，则 ；
③ ， ，且 ，则 ；
④ ， 、且 ，则 ．
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④
7．（2024•温州二模）在正三棱台 中，下列结论正确的是
A．
B． 平面
C．D．
8．（2024•市中区校级模拟）在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点
满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为
A． B． C． D．
9．（2024•龙岗区校级模拟）已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是
A． B． ， ， C． D． ， ，
10．（2024•怀柔区校级模拟）如图，已知正方体 中， 为线段 的中点， 为线段
上的动点，则下列四个结论正确的是
A．存在点 ，使 平面
B．三棱锥 的体积随动点 变化而变化
C．直线 与 所成的角不可能等于
D．存在点 ，使 平面
二．多选题（共6小题）
11．（2024•重庆模拟）远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其
基础主体结构可以看作是一个倒扣的正四棱台 ．如图所示，过 作底面 的垂线，垂足为 ．记 ， ， ，面 与面 所成角为 ，面 与面
所成角为 ， ， ，
A．正四棱台 的体积为
B．
C．
D．
12．（2024•河北模拟）如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，
为线段 上的动点，则下列结论正确的是
A．存在点 ，使得直线 与直线 为异面直线
B．存在点 ，使得
C．若 为线段 的中点，则三棱锥 与三棱锥 体积相等D．过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
13．（2024•齐齐哈尔一模）已知四面体 的各个面均为全等的等腰三角形，且 ．
设 为空间内任一点，且 ， ， ， ， 五点在同一个球面上，则
A．
B．四面体 的体积为
C．当 时，点 的轨迹长度为
D．当三棱锥 的体积为 时，点 的轨迹长度为
14．（2024•来宾一模）下列物体中，能够被整体放入棱长为2的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内
的有 （参考数据： ，
A．底面直径为1，高为 的圆锥
B．底面边长为1，高为0.8的正三棱柱
C．直径为0.8的球体
D．底面直径为0.5，高为0.9的圆柱体
（多选）15．（2024•佛山模拟）对于棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列
说法正确的是（ ）
A．底面半径为1m，高为2m的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体
B．以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为
C．该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m，高为0.7m的圆锥
D．该正方体内能整体放入一个体积为 的圆锥
16．（2024•泰州模拟）已知正方形 的边长为4，点 在线段 上， ．沿 将 折起，
使点 翻折至平面 外的点 ，则A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得直线 平面
C．不存在点 ，使得
D．不存在点 ，使得四棱锥 的体积为8
三．填空题（共3小题）
17．（2024•甘肃模拟）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个
球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．在一个“圆柱容球”模型中，
若球的体积为 ，则该模型中圆柱的表面积为 ．
18．（2024•南湖区校级一模）半径为 的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为
．
19．（2024•佛山一模）在正三棱台 中， ，其外接球半径为 ，则该棱
台的高可以为 ．
四．解答题（共8小题）
20．（2024•临沂一模）如图，在直三棱柱 中， ， ，点 ， 分别在棱
， 上， ， ， 为 的中点．
（1）在平面 内，过 作一条直线与平面 平行，并说明理由；
（2）当三棱柱 的体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值．21．（2024•庄浪县校级一模）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， ，平面 平面 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 余弦值．
22．（2024•重庆模拟）如图，在斜三棱柱 中，所有棱长均相等， ， 分别是 ， 的
中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，且 ，求平面 与平面 所成角的余弦值．23．（2024•龙岗区校级模拟）如图，已知四边形 为平行四边形， 为 的中点， ，
．将 沿 折起，使点 到达点 的位置，使平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
24．（2024•青岛一模）如图，在三棱柱 中， 与 的距离为 ， ，
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若点 在棱 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．25．（2024•青羊区校级模拟）如图，圆锥 的底面半径为2，高 ． ， ， 为底面圆周上三
点，且 ． 是线段 的中点，满足 ．
（1）求三棱锥 的体积；
（2）记二面角 的大小为 ，二面角 的大小为 ．求 的值．
26．（2024•山东一模）如图，在三棱台 中， ， ， 为
的中点，二面角 的大小为 ．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ？27．（2024•鹿城区校级一模）如图，正三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两垂直，且长度均
为2． 、 分别是 、 的中点， 是 的中点，过 作平面与侧棱 、 、 或其延长线
分别相交于 、 、 ，已知 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小．
