文档文本内容
专题07 函数与导数常考压轴解答题
目 录
01 含参数函数单调性讨论...................................................................................................................2
02 导数与数列不等式的综合问题........................................................................................................3
03 双变量问题......................................................................................................................................7
04 证明不等式....................................................................................................................................12
05 极最值问题....................................................................................................................................15
06 零点问题........................................................................................................................................18
07 不等式恒成立问题.........................................................................................................................26
08 极值点偏移问题与拐点偏移问题..................................................................................................31
09 利用导数解决一类整数问题..........................................................................................................39
10 导数中的同构问题.........................................................................................................................42
11 洛必达法则....................................................................................................................................46
12 导数与三角函数结合问题..............................................................................................................49
01 含参数函数单调性讨论
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.讨论函数
的单调性.
【解析】由已知可得，
，定义域为
，
所以
.
（ⅰ）当
时，
.
当
时，有
，
在
上单调递增；
当
时，有
，
在
上单调递减.
（ⅱ）当
时，
，
解
，
可得
，或
（舍去负值），且
.
解
可得，
或
，所以
在
上单调递增，在
上单调递增；
解
可得，
，所以
在
上单调递减.
（ⅲ）当
时，
在
上恒成立，
所以，
在
上单调递增.
综上所述，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，讨论
的单调性．
【解析】由题设
且
，
当
时
在
上递减；
当
时，令
，
当
时
在区间
上递减；
当
时
在
上递增．
所以当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的增区间为
，减区间为
.
02 导数与数列不等式的综合问题
3．（2023·广东·高三执信中学校联考期中）设函数
，
，
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若对任意
，函数
均有2 个零点，求实数m 的取值范围；
(3)设
且
，证明：
．
【解析】（1）
的定义域为
，其中
，
，
当
，即
时，
恒成立，
在
上单调递增.
当
，即
时，令
解得
，
在区间
上
单调递增；
在区间
上
单调递减.
综上所述，
时
在
上单调递增；
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）得，
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
依题意可得对任意
，均有
恒成立，
即
恒成立，
设
，
，
令
解得
，
所以在区间
上，
单调递增，
在区间
上，
单调递减，
所以
.
所以
.
对于函数
当
和
时，
，所以
，
结合零点存在性定理可知，此时
有两个零点.
所以实数m 的取值范围是
.
（3）要证明
，
即证明
，
即证明
，
即证明
，
注意到
，
所以即证明
，
由（2）得
，
即
，
取
代入上式，
得：
，
，
所以
，
所以
.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若
，且
，求证：
．
【解析】（1）由
可得
，
所以
在
处的切线斜率
，
且
，故所求切线方程为
．
（2）设
在
处的切线斜率为k，
由（1）得
，
且
，故
在
处的切线方程为
，
设
，则
．
设
，则
．
因为
，所以
，仅在
时取等号，故
在
上单调递增．
列表如下．
单调递减
极小值
单调递增
所以
，即
．
令
，其中
，且
，
则有
，
，…，
，
累加得
，
即
，
取
，即得
，
当
时，
显然满足题意，
综上可得
.
5．（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数
.
(1)若曲线
在
处的切线与直线
平行，求函数
的极值；
(2)已知
，若
恒成立.求证：对任意正整数
，都有
.
【解析】（1）由
，可得
，
由条件可得
，即
.
则
，
令
可得
，当
时，
，当
时，
.
在
上单调递减，在
上单调递增，
的极大值为
，无极小值.
（2）
，即
对任意的
恒成立，
即
，其中
，
令
，则
，即
，
构造函数
，则
，令
，得
，列表如下：
+
0
-
极大值
所以，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以，
，
即
时，
恒成立，
取
，则
对任意的
恒成立，
令
，则
，
所以
，
所以
，即
.
03 双变量问题
6．（2023·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期中）已知函数
(1)若
，证明：
在
上恒成立；
(2)若方程
有两个实数根
且
，证明：
【解析】（1）因为
，
，令
所以
，
下证
，
令
，
则
，
当
时,
，当
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上恒成立
（2）证明：先证右半部分不等式：
；
因为
，
，
所以
；
可求曲线
在
和
处的切线分别为
和
；
设直线
与直线，函数
的图象和直线
交点的横坐标分别为
则
则
；
因此
.
再证左半部分不等式：
.
设取曲线上两点
，
用割线
，
来限制
，
设直线
与直线
的交点的横坐标分别为
，
则
，且
，
所以
.
综上可得
成立
7．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求证：
在
上单调递减；
(2)若
有两个不相等的实数根
．
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）求证：
．
【解析】（1）当
时，
，
，令
，
，
令
，得
，
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，即
，
所以函数
在
上单调递减.
（2）（i）
有两个不相等的实数根
，
，即方程
有两个不相等的实数根
，
，
令
，
，
，当
时，
，即函数
在
上单调递减，函数
至多一个零点，不
合题意；
当
时，
，
，
，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，函数
有两个零点，则
，解得
，
又
，
，不妨设
，
，
所以实数
的取值范围为
.
（ii）要证
，即证
，
又
，
，
，即证
，
将
，
两式相减可得，
，
只需证
，
即证
，令
，即证
；
设函数
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，则
，即
，
所以原不等式得证.
8．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设函数
，当
有两个极值点
时，总有
成立，求实数的值．
【解析】（1）
时，函数
的定义域为
由
解得
．
当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
单调递增．
（2）
，则
．
根据题意，得方程
有两个不同的实根
，
，即
且
，所以
．
由
，可得
又
总有
对
恒成立．
①当
时，
恒成立，此时
；
②当
时，
成立，即
令函数
，则
在
恒成立
故
在
单调递增，所以
．
③当
时，
成立，即
由函数
，则
，解得
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减又
，当
时，
所以
．
综上所述，
．
04 证明不等式
9．（2023·山东青岛·高三统考期中）已知函数
（
……是自然对数底数）．
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，
∴
，
令
，显然
在
单增，且
，
所以当
时，
，
；当
时，
，
；
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）
，
令
，
，则
，
所以
在
上单调递增，
∵
，又
，
，
所以
，又
，
故
，使
，即
，
当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
故
在
处取得极小值，也是最小值；
所以
，
又
，∴
，
∴
，
令
，显然
在
单调递增，
∴
，
要证
，即证
，
即
，即
，
令
，
，则
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，∴
，
所以
，故
．
10．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
，
时，证明：
.
【解析】（1）因为
，所以
.
，
故曲线
在
处的切线方程为
，
即
.
（2）证明：令
，
则
.
因为
，所以
.
令
，则
.
令
，则
.
当
时，
单调递增，故
，
即
在
上恒成立，则
在
上单调递增，则
，
即
在
上恒成立，则
在
上单调递增，
故
，即
.
11．（2023·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知
，
是
的导函数，其中
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
，
与x 轴负半轴的交点为点P，
在点P 处的切线方程
为
．求证：对于任意的实数x，都有
.
【解析】（1）由题意得
，令
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，得
，
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）证明：由（1）可知
，
令
，有
或
，
故曲线
与x 轴负半轴的唯一交点P 为
．
曲线在点
处的切线方程为
，
则
，
令
，则
，
所以
，
当
时，若
，
，
若
，令
，
则
，
故
在
时单调递增，
．
故
，
在
上单调递减，
当
时，由
知
在
时单调递增，
，
在
上单调递增，
所以
，即
成立．
05 极最值问题
12．（2023·广东韶关·统考一模）已知函数
.
(1)若
在
处的切线与
的图象切于点
，求
的坐标；
(2)若函数
的极小值小于零，求实数
的取值范围.
【解析】（1）
.所以
即切线斜率为
，
又
，所以
，令
解得
，
则
，故点
坐标为
.
（2）
，
因为
，
令
得
，
①当
由
的变化可得
1
+
0
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
符合题意；
②当
由
的变化可得
1
0
+
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
不符合题意；
③当
，
，
单调递减，没极值点；
④当
，
由
的变化可得
1
0
+
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
，
解得
；
综上所述，
.
13．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，求
的最小值.
【解析】（1）因为
定义域为
，则
，
当
时，令
，解得
，令
，解得
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
当
时，令
，解得
，令
，解得
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
综上，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
（2）因为
，所以
，
所以
，即
令
，则有
，
设
，则
，由
得
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
，即
，又因为
，
所以
，当且仅当
时等号成立
所以
，从而
，所以原式
设
，则
，由
得
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，所以所求最小值为
.
14．（2023·四川成都·统考二模）已知函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
是
的最大的极大值点，求证：
.
【解析】（1）∵
，∴
又
，所以
在
处的切线方程为
，
（2）由（1）得
，所以
，
当
时，
，所以
在
无极大值点.
当
时，令
，则
在
上单调递增，
又
，
，
所以存在
，使得
，即
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
又
，
，
所以当
时，
，即
，
所以
是
的极小值点，
在
内无极大值点
∵
，
，
所以存在
，使得
，即
，即
，
当
时，
；当
时，
，
所以
是
的极大值点，也是
的最大的极大值点.
因为
在
上单调递减，所以
，
.
所以
06 零点问题
15．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)曲线
在点
处的切线方程为
，求实数
的值．
(2)在（1）的条件下，若
，试探究
在
上零点的个数．
【解析】（1）由
，
得
，则有
所以切线方程为
．
又因为曲线
在点
处的切线方程为
，
所以
．
（2）由（1）知
，
则
．
令
，则
．
当
时，
，则
单调递减，
所以
．
所以
在
上单调递增．
当
时，
；当
时，
．
所以
在
上存在零点，且只有一个零点．
当
时，
，则
单调递减，
，
，
所以存在
，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减．
而
，所以
在
上无零点．
综上，
在
上只有1 个零点．
16．（2023·四川南充·阆中中学校考一模）已知函数
(1)当
时，求
在
上的最小值；
(2)若
在
上存在零点，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
，
，
令
，
，
，
则
在
上是增函数，则
>0，所以
，
即
在
上是增函数，则
.
（2）
，
，
，
令
，
，
，
（1）当
时，
，则
在
上是减函数，则
，
①若
，易得
，则
在
上是减函数，
，不合题意；
②若
，因
，
，则根据零点存在定理，必
，使
，即
，
变化时，
，
的变化情况如下表：
0
单调递
增
极大值
单调递减
则
，故要使函数
在
上存在零点，需使
，即
；
（2）当
时，
，而
，
当
时，
，
故
在
上是增函数，
，不合题意；
（3）当
时，
在
上是增函数，
在
上是增函数，
则
在
上是增函数，
，不合题意，
综上所述，
的取值范围是
.
17．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，其中
，e 为自然对数的底数.
(1)若
，求
的图象在点
处的切线方程；
(2)若对任意
，不等式
，求a 的取值范围；
(3)若
，
，判断方程
的解的个数，并说明理由.
【解析】（1）若
，则
，
，
，
，
故
的图象在点
处的切线方程为
.
（2）（1）当
时，
，所以
.
（2）当
时，
恒成立，
令
，则
.
令
，
，
，
，易知
，
所以
，
在
上单调递增，
，即
.
综上，a 的取值范围是
.
（3）设
，
，
①当
时，
单调递增，
，
单调递减，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
故
在
上有1 个零点.
②当
时，
，
单调递增，
所以
；
，
单调递增，又
，
所以
，故
在
上无零点.
③当
时，
，
在
上单调递减，
易知
单调递增，从而
在
上单调递减，
又
，
，
所以
在
上有1 个零点.
综上，
在
上有2 个零点，即所求方程的解有2 个.
18．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，过点
与函数
相切的直线有几条？
(2)若
有两个交点，求实数
的取值范围．
【解析】（1）当
时，函数
，设切点为
，
因为
，所以
；
所以切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
化简得：
，即
；
记
，则
，
令
，解得
或
；
当
时
，所以
在
上单调递增，
当
时
，所以
在
上单调递减，
当
时
，所以
在
上单调递增；
，
，当
趋向
时
，故
在
无零点，
，故
在
内有1 个零点，
，故
在
内有1 个零点，
综上，
有2 个零点，即过点
与函数
相切的直线有2 条．
（2）令
，
则
有两个交点等价于
有两个零点，
易得
，
当
时
，
在
上单调递增，则
至多有一个零点，
因此
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，且
，
所以存在
，使得
，则
，
当
时，
，即
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，即
，所以
在
上单调递增；
因此，
，且
，
所以
，则
，
故
；
当
时，
，则
在
上没有零点，不符合；
当
时，
，则
在
上只有一个零点，不符合；
当
时，
；则
在
上有两个零点，又
，
此时
，所以
，
因为
，
所以
在
上有且只有一个零点，即
在
上有且只有一个零点；
易得
，
设
，则
，易知
在
上递增，
则
，故
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上有且只有一个零点，即
在
上有且只有一个零点，
综上，实数
的取值范围为
．
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的最值；
(2)若方程
有两个不同的解，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）由题意可得：
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
所以
的最小值为
，无最大值．
（2）令
，
则
，
若方程
有两个不同的解，则
有两个不同的零点．
（ⅰ）若
，则
，由
得
．
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
．
①当
时，
，即
，故
没有零点，不满足题意；
②当
时，
，
只有一个零点，不满足题意；
③当
时，
，即
，
当
时，
，
，
又因为
，故
，所以
，
又
，
故
在
上有一个零点．
设
，
则
，
单调递增，所以
，
故当
时，
，
又
，所以
，因此
在
上有一个零点，
所以当
时，
有两个不同的零点，满足题意；
（ⅱ）若
，则由
得
，
．
①当
时，
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增．
又
，
所以
至多有一个零点，不满足题意；
②当
时，
，则
，
所以
单调递减，至多有一个零点，不满足题意；
③当
时，
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
，所以
至多有一个零点，不满足题意；
综上，实数a 的取值范围为
．
07 不等式恒成立问题
20．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，所以
，
令
，
可得
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也为最大值，且
，
所以
，所以
在
上单调递减.
（2）由
，得
，
即
在
上恒成立.
令
，可得
，
令
，可得
，
令
，可得
；
令
，可得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
又
，
所以在
中存在唯一的
使得
，
在
中存在唯一的
使得
，
即有
.
因为
在
单调递减，在
单调递增，
所以当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
.
又
，
所以当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
在
单调递减，在
单调递增，
所以
时，
的极小值为
时，
的极小值为
因为
，
可得
，所以
，
所以
.
代入
和
，
则有
，
同理可得
，
所以
，
所以
，
所以
，即实数
的取值范围为
21．（2023·河北·校联考模拟预测）已知函数
，
．
(1)若
的最大值是0，求
的值；
(2)若对任意
，
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）
的定义域为
，
．
若
，则
，
在定义域内单调递增，无最大值；
若
，则当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也是最大值，为
，解得
，
显然
符合题意，所以
的值为
（2）对任意
恒成立，
即
在
上恒成立．
设
，则
．
设
，则
，所以
在
上单调递增，且
，
，
所以
有唯一零点
，且
，
所以
．
构造函数
，则
.
又函数
在
上是增函数，所以
．
由
在
上单调递减，在
上单调递增，
得
，
所以
，
所以
的取值范围是
22．（2023·河南·高三校联考期中）已知函数
．
(1)若
在区间
上无零点，求实数m 的取值范围；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】（1）令
，得
，令
，
则
，
当
时，
，
，故
，
则
在区间
上单调递减，
因为
，当
时，
，
故实数m 的取值范围为
．
（2）依题意
在
时恒成立，
令
，解得
．
下证当
时，不等式
在
时恒成立．
先证明：当
时，
．
令
，则
，
令
，则
，
易知
，所以
在
上单调递增，
，即
，
所以
在
上单调递增，得
，即当
时，
．
再证明：当
时，
，（*）
因为当
时，
，故只需证明
．
令
，
则
．
①当
时，
，
在
上单调递增，
；
②当
时，由
知
，
所以
，
所以（*）成立．
综上所述，实数m 的取值范围为
．
23．（2023·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数
.
(1)求
的单调区间，
(2)当
时，对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）
，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，令
，得
或
，令
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
恒成立，则
在
上单调递增，
当
时，令
，得
或
，令
，得
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
（2）
，即
，
整理得
，因为
，所以
，
令
，
因为
，所以
在
上单调递减，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，令
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
08 极值点偏移问题与拐点偏移问题
24．已知函数
，
且
为定义域上的增函数，
是函数
的导数，
且
的最小值小于等于0．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设函数
，且
，求证：
．
【解析】（Ⅰ）解：
，
由
为增函数可得，
恒成立，即
，得
，
设
，则
，
由
，得
，由
，得
．
在
上减，在
上增，在1 处取得极小值即最小值，
（1）
，则
，即
，
当
时，易知
，当
时，则
，这与
矛盾，从而不能使得
恒成立，
；
由
可得，
，即
，
由之前讨论可知，
，当
时，
恒成立，
当
时，由
，得
，
综上
；
（Ⅱ）证明：
，
，
，
，
即
，
则
，
令
，
，
则
，
在
上增，在
上减，
（1）
，
，
整理得
，
解得
或
（舍，
．
25．已知函数
，其定义域为
．（其中常数
，是自然对数的底数）
（1）求函数
的递增区间；
（2）若函数
为定义域上的增函数，且
，证明：
．
【解析】解：（1）易知
，
①若
，由
，解得：
，
故函数
在
递增，
②若
，令
，解得：
，或
，
令
，解得：
，
故
在
递增，在
，
递减，在
递增，
③若
，则
，
故函数
在
递增，
④若
，令
，解得：
或
，
令
，解得：
，
故
在
递增，在
递减，在
，
递增，
综上，若
，
在
递增，
若
，
在
，
递增，
若
，
在
递增，
若
，
在
，
，
递增；
（2）
函数
在
递增，
，即
，
注意到
（1）
，故
（1），
即证
，即证
，
令
，
，
只需证明
（1），
故
，
下面证明
，即证
，
由熟知的不等式
可知
，
当
时，即
，
故
，
易知当
时，
，
故
，
故
，
故
，即
递增，即
（1），
从而
．
26．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知函数
，a 为实数．
(1)当
时，求函数在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若函数
在
处取得极值，
是函数
的导函数，且
，
，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，
，
，故
，
故函数在
处的切线方程为
，即
；
（2）
定义域为
，
，
令
，解得
，令
，解得
，
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（3）由题意得
，解得
，
故
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
可知函数
在
处取得极值，故
符合题意，
因为
，
，
令
，
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
且当
时，
恒成立，
，当
时，
，
画出
的图象如下：
故
，
令
，
，
则
，
因为
，所以
，
，
故
在
上单调递减，
又
，故
在
上恒成立，
即
，
，
因为
，所以
，
其中
，故
，
其中
，
，
在
上单调递增，
故
，即
，
令
，
，
则
，
当
时，所以
单调递增，
由复合函数可得
在
上单调递增，
又
，
故存在
，使得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
，
故当
时，
恒成立，
因为
，故
，即
，
又
，故
，
其中
，
，
在
上单调递增，
故
，故
，
综上，
.
27．（2023·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知函数
，
．（
为自然对数的底数）
(1)当
时，求函数
的极大值；
(2)已知
，
，且满足
，求证：
．
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
则
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
的极大值为
；
（2）由题意知，
，由
可得
，
所以
，令
，
由（1）可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
令
，
，又
，
，所以
，
，则
，
①若
，则
，即
，所以
；
②若
，设
，且满足
，如图所示，
则
，所以
，下证：
．
令
，
，
则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，
，
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，即
．
由①②可知，
得证.
28．（2023·辽宁·高二统考期末）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
.
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得则
，由
得
，
若
，当
时，
，则
单调递减，当
时，
，则
单调递增，
若
，当
时，
，则
单调递增，当
时，
，则
单调递减；
所以当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由
，两边取对数得
，即
，
由（1）知，当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，而
，
时，
恒成立，
因此当
时，存在
且
，满足
，
若
，则
成立；
若
，则
，记
，
，
则
，
即有函数
在
上单调递增，
，即
，
于是
，
而
，
，
，函数
在
上单调递增，因此
，即
，
又
，则有
，则
，
所以
.
09 利用导数解决一类整数问题
29．（2023·浙江台州·统考一模）设
(1)求证：
；
(2)若
恒成立，求整数
的最大值．（参考数据
，
）
【解析】（1）要证：
，（
，
），
只要证：
，又当
时，
，当
时，
，
即
与
同号，故只要证：
，即证：
，
令
，（
，
），则
，
当
时，
，
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，故原不等式得证．
（2）因为
，当
时，有
，
则
，所以整数
．
当
时，由（1）可得
，
下证：
，
，只要证：
．
令
，
，
因为
，
所以
在
上单调递减，故
，所以得证,
综上所述，整数
的最大值为2．
30．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点，求整数
的最大值．
【解析】（1）
．
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，令
，可得
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增．
（2）由（1）得，当
时，
在
上单调递增，所以
至多有一个零点，
要使函数
有两个零点，
则
，且
，
令
，则
，
令
，则
，
∴
即
在
上单调递减．
∵
，
，
∴
，使得
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，
且
，
且
，
所以函数有两个零点，符合题意；
当
时，
，不符合题意,
所以整数a 的最大值为-2．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的定义域为
．当
时，若
在
上恒成立，求整数
的最大值．
（注释：其中e 为自然对数底数，
，
，
，
）
【解析】当
时，
，
恒成立，即
，
恒成立，
当
时，
，
，
则
为不等式恒成立的必要条件，又
，
下证，当
时，
，
设
，
，
则
，所以
，
故整数
的最大值为1．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
．
(1)求函数
的极值；
(2)若m 为整数，对任意的
都有
成立，求实数m 的最小值．
【解析】（1）由
（
），
得
（
），令
，解得
，令
，解得
，
∴函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
，
故函数
的极大值是
，函数
无极小值．
（2）设
，
则
（
）.
当
时，
，
，
，
∴
，故
在
上单调递增，
又
，不满足题意，∴舍去．
当
时，令
，得
，令
，得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
的最大值
．
令
（
），显然
在
上单调递减，
且
，
，
故当
时，
，满足题意，故整数m 的最小值为1．
10 导数中的同构问题
33．已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，若对任意
，
，
，且
，都有
，求实数
的取值
范围．
【解析】解：（Ⅰ）当
，函数定义域为
，
，
恒成立，此时，函数
在
单调递增；
当
，函数定义域为
，
，则
，
，
恒成立，此时，函数
在
单调递增；
（Ⅱ）
时，
在
，
上递增，
在
，
上递减，
不妨设
，则
．
，
等价于有
，
即
，
令
，
等价于函数
在
，
上是减函数，
即
在
，
恒成立，分离参数，
得
，
令
，
．
在
，
递减，
（1）
，
又
，故实数
的取值范围为
，
．
34．已知函数
．
（1）求函数
的极值；
（2）求证：若
对
恒成立，则
；
（3）设
，对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围．
【解析】解：（1）
，
若
，则
在
上恒成立，
在
上单调递增，原函数无极值；
若
，则当
时，
，当
时，
，
在
上为减函数，在
上为增函数，
则
的极小值为
（a）
；
证明：（2）由（1）知，当
时，函数
在
上是增函数，
而
（1）
，
当
时，
，与
恒成立相矛盾，
不满足题意；
当
时，函数
在
上是增函数，在
上是减函数，
（a）
（1）
，
当
时，
（a）
（1）
，此时与
恒成立相矛盾．
；
解：（3）由（2）可知，
当
时，函数
在
，
上是增函数，又函数
在
，
上是减函数，
不妨设
，
则
，
，即
．
设
，
则
等价于函数
在区间
，
上是减函数．
，
在
，
上恒成立，
即
在
，
上恒成立，即
不小于
在
，
内的最大值．
而函数
在
，
是增函数，
的最大值为
．
，
又
，
，
．
35．已知函数
，
，
．
（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；
（2）若
，且对任意
，
，
，都有
，求实数
的取值范围．
【解析】解：（1）
时，
，
，
（1）
，
（1）
，
则曲线
在
处的切线方程是：
；
（2）当
时，
，
故函数
在
，
上是增函数，
又函数
在
，
上是减函数
不妨设
则
，
即
，
设
，
则
等价于函数
在区间
，
上是减函数，
因为
，所以
在
，
上恒成立，
即
在
，
上恒成立，即
不小于
在
，
内的最大值，
而函数
在
，
是增函数，所以
的最大值为
，
所以
，又
，所以
，
．
36．已知函数
和
有相同的最大值．
（1）求
；
（2）证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等比数列．
【解析】解：（1）
，
，
又
与
有相同的最大值，
，且
与
的符号草图分别为：
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
两函数的最大值
（1）与
（e）相等，
即
，又
，
；
（2）证明：根据（1）知当直线
过两函数的交点
时，满足题意，
设
，
，直线
与
在
的左边交点为
，
，
直线
与
在
的右边交点为
，
，
则
，
且
，
，
，
，
，
即
，又
，
，且
在
上单调递增，
，
，又
，
，即
，
又
，
，且
在
上单调递减，
，
，
，
，
，
，
成等比数列．
故原命题得证．
11 洛必达法则
37．已知
．
（1）求
的单调区间；
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
令
，则
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，所以
时，
（1）
，
即
在
上单调递增，
所以
的增区间为
，无减区间．
（2）对任意
，不等式
恒成立等价于对任意
，
恒成立．
当
，
对任意
，不等式
恒成立等价于对任意
，
恒成立．
记
，则
，
记
，
则
，
所以
在
单调递减，又（1）
，
所以，
时，
，即
，
所以
在
单调递减．
所以
，
综上所述，
的取值范围是
．
38．已知函数
．
（1）若函数
在点
，
（1）处的切线经过点
，求实数
的值；
（2）若关于
的方程
有唯一的实数解，求实数
的取值范围．
【解析】解：（1）
，
在点
，
（1）处的切线的斜率
（1）
，
又
（1）
，
切线的方程为
，
即
，由经过点
，
可得
．
（2）证明：易知
为方程的根，
由题只需说明当
和
时原方程均没有实数解即可．
①当
时，若
，显然有
，而
恒成立，此时方程显然无解，
若
，
，
，
令
，故
在
单调递增，在
单调递减，
故
在
单调递减
，
从而
，
，此时方程
也无解．
若
，由
，
记
，则
，
设
，则
有
恒成立，
恒成立，
故令
在
上递增，在
上递减
（1）
，可知原方程也无解，
由上面的分析可知
时，
，方程
均无解．
②当
时，若
，显然有
，而
恒成立，此时方程显然无解，
若
，和①中的分析同理可知此时方程
也无解．
若
，由
，
记
，则
，
由①中的分析知
，
故
在
恒成立，从而
在
上单调递增，
当
时，
，
如果
，即
，则
，
要使方程无解，只需
，即有
如果
，即
，此时
，
，方程
一定有解，不满足．
由上面的分析知
时，
，方程
均无解，
综合①②可知，当且仅当
时，方程
有唯一解，
的取值范围为
．
39．已知函数
在
处取得极值，且曲线
在点
处的切
线与直线
垂直．
（1）求实数
的值；
（2）若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）
，
；
函数
在
处取得极值，
；
又
曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
；
解得：
；
（2）不等式
恒成立可化为
，即
；
当
时，恒成立；当
时，
恒成立，
令
，则
；
令
，则
；
令
，则
；
得
在
是减函数，故
，进而
（或
，
，
得
在
是减函数，进而
）．
可得：
，故
，所以
在
是减函数，
而
要大于等于
在
上的最大值，但当
时，
没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，
，故答案为
．
12 导数与三角函数结合问题
40．（2023·江西景德镇·高一统考期中）已知
.
(1)求函数
的值域；
(2)当
时，
①讨论函数
的零点个数；
②若函数
有两个零点
，
，证明
.
【解析】（1）
，
设
，
，对称轴为
，
则
，
则函数
的值域为
，即函数
的值域为
；
（2）①，
即
，
当
时，
，
，题设即
，
当
或
，即
或
时，方程
无解；
当
，即
时，方程
仅有一解
，此时
；
当
，即
时，方程
有两解，此时函数
有两个零点；
综上所述，当
时，函数
没有零点；
当
时，函数
有一个零点；
当
时，函数
有两个零点；
②，由①可知
，
满足方程
，
则
，
则
，
由于
，则
，
则
，则
，
则
，
由于
，
，则
，即
，即证.
41．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知
，
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求证：对于
和
，且
，都有
；
(3)请将（2）中的命题推广到一般形式，井用数学归纳法证明你所推广的命题．
【解析】（1）因为
，所以
，
又
，所以求
在
处的切线方程为
．
（2）不妨设
，
令
，
，
则
，
因为
，
所以
，
所以
在
上恒成立．
在
上单调递减，
所以
，即
．
（3）对于任意的
，任意的
，
，
都有
，
证明：①当
时，由（2）知，命题显然成立．
②假设当
时命题成立．
即对任意的
，
，
，…，
及
，
，2，3，…，k，
．
都有
．
现设
，
，
，…，
，
及
，
，2，3，…，k，
，
．
令
，
，2，3，…，k，则
．
由归纳假设可知
所以当
时命题也成立．
综上对于任意的
，任意的
，且
，
都有
．
42．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知函数
.
(1)
，求实数
的值；
(2)若
，且不等式
对任意
恒成立，求
的取值范围；
(3)设
，试利用结论
，证明：若
，其中
，则
.
【解析】（1）由函数
，可得
，所以
，
.
又由
，所以
，解得
.
（2）若
，可得
，
则
，则不等式
可化为
，
即
对任意
恒成立，
令
，则
，设函数
，可得
，
因为
，所以
恒成立，所以函数
在
上严格递增，
所以
，故
，即实数
的取值范围为
.
（3）解法1：由
，
因为
，可得
，
当且仅当
时，等号成立；
所以
，当且仅当
时，等号成立，
故
，
当且仅当
时等号成立.
因此有
，
，
，
以上
个式子相加得：
.
解法2：由
，
可得
，
当且仅当
时等号同时成立.
故
，
，
，
以上
个式子相加得：
.
43．（2023·湖北孝感·高三校联考阶段练习）已知：函数
，且
，
.
(1)求证：
；
(2)设
，试比较
，
，
，
的大小.
【解析】（1）由对称性，不妨设
，
，
则
由于
，欲证
，即证：
，
.
设
，
，由切线不等式
得
，
故
，
单调递增，
，
得证.
（2）证法一：由
，得
在
上单调递减，且
，
在
上单调递增且
；
由（1）知
当
时，
在
上单调递增，
故
，即
.
当
时，
由上面的结论，得
时，
有
，即
由
在
上单调递增，
故
，
即
.综上，得
∵
，∴
，
∵
，
关于
单调递减，
∴
，
.
综上，得
.
证法二：∵
，∴
，
∵
，在
上是减函数，
∴
，即
；
，在
上是减函数，
∴
，即
下面证明：当
时，
.（1）
设
，则
，
∴
，即
；
设
，则
，
∴
即
，
∴（1）式成立
下面证明：
（2）
∵
，∴
，
∴（2）式成立.
