文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
小题限时卷07（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73 分 限时：50 分钟）
一、单选题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数
，继而得
的虚部.
【详解】由
，
则
，
的虚部为2.
故选：D.
2．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知集合
，则“
”是“
”
的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由交集的结果求出
的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】依题意，由
，得
，此时
成立；反之当
时，
不一定成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：C
3．（2024·辽宁·模拟预测）从
中任取
个不同的数，事件
“取到的
个数之和为偶数”，事
件
“取到两个数均为偶数”，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求得
和
的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意
,
,故
.故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当
时，
排除A，B，即可求解.
【详解】由题意，函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
所以函数
是奇函数，其图象关于原点中心
对称，排除C；
又由当
时，
排除A，B;
故选：D．
5．（2025·河南·模拟预测）已知正数
满足
，则当
取得最大值时，
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件可得得
，代入
可得
，设
对右侧进行换元，再结合基
本不等式求目标函数的最值，并确定取最值的条件.
【详解】由
，得
，
，
，
，
令
，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
．
故选：D．
6．（2025·陕西咸阳·一模）已知
在区间
内存在2 个极值点，则实数a 的取值范围为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，根据极值点可得
与
在
内有2 个交点，利用导数判断
的单
调性和最值，结合图象分析求解.
【详解】因为
，可知
在
内有2 个变号零点，
由
可得
，可知：
与
在
内有2 个交点，
又因为
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，则
，
且
，
，
结合图象可得
，所以实数a 的取值范围为
.
故选：B.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
7．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，
，
为
图象
的对称轴，且
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得，
为正奇数且
，结合
为
的零点，
为
图象的对称轴，
求出符合题意的解析式，并结合
在
上单调，可得
的最大值.
【详解】由
，
为
图象的对称轴，得
，则
，
由
在
上单调，得
，解得
，
当
时，
，由
，得
，此时
，
当
时，
，当
时
取得最大值1，
即
在
上不单调，不满足题意；
当
时，
，由
，得
，此时
，
当
时，
，此时
在
上单调递减，符合题意，
所以
的最大值为9.
故选：B
8．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16 的圆柱型筒中，放置两个半径均为3 的小球，两个小球
均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面
与两个小球也相切，平面
被圆筒所截得到的截面为椭
圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出截面图，由圆柱高和球的半径求出
的长，由勾股定理求得
的长，再由
三角形全等，求得长半轴长
，由圆柱得到短半轴长
，从而求得半焦距长，然后由离心率公式求得离
心率的值.
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】设平面α 被圆筒所截得到的截面为椭圆
，如图，作出圆柱过椭圆
的长轴的截面图，
设长轴A，B 与两圆的切点是
．连接
，记椭圆长轴与
交于点C，
过C 作
，且CD 交圆柱的母线于点D，连接
，
则
，
．
因为圆柱的高为16，球的半径是3，所以圆柱的底面半径为3，
．
根据对称性可知C 是
，AB 的中点，故
，则
．易得
，故
，则椭圆的长半轴长
．
由题意得椭圆的短半轴长
，所以半焦距长
，则椭圆的离心率为
，
故选：D．
二、多选题
9．（2025·河南·模拟预测）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测
试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于
2002 年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知某地区
进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩
（单位
）服从正态分布
，且
，现从该地区高三女生中随机抽取3 人，记
不在区间
的人数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断BC；利用对立事件
的概率公式计算判断D.
【详解】对于A，由
，得
，
则
，A 错误；
对于B，由A 知，
不在区间
的概率为
，
，
，
因此
，B 正确；
对于C，由B 知，
，因此
，C 正确；
对于D，
，D 错误.
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故选：BC
10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交抛物线于
，
两点，则（ ）
A．
B．取
中点
，直线
的斜率与直线的斜率之积为
C．以
为直径的圆与
轴相切
D．若
，
，则
【答案】ACD
【分析】设直线
的方程为
，联立方程组化简求
，由此可判断A，再求点
的坐
标，结合两点斜率公式求直线
的斜率，由此判断B，求
的中点到
轴的距离与圆的半径比较大小可
得结论，结合抛物线定义列方程求
，判断D.
【详解】抛物线
的焦点
的坐标为
，
由已知直线的斜率不为
，
设直线
的方程为
，
联立
，化简可得
，
方程
的判别式
，
由已知
，
，A 正确，
点
的纵坐标为
，横坐标为
，
所以直线
的斜率为
，
当
时，
直线
的斜率与直线的斜率之积为
，B 错误；
线段
，
点
到
轴的距离为
，点
到
轴的距离为
，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以线段
的中点到
轴的距离为
，
所以以
为直径的圆的圆心到
轴的距离等于该圆的半径，
所以以
为直径的圆与
轴相切，C 正确；
若
，
，由抛物线定义可得
，
，
所以
，
又点
在抛物线
上，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
，D 正确.
故选：ACD.
11．（2025·吉林·二模）数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数
. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生
是因为发声体在全段振动，产生频率为f 的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部
分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如
等，这些音叫谐音，因为振幅较小，
我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是
，记
，则（ ）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．
的最大值为
B．
在
上单调递增
C．
的周期为
D．
【答案】BCD
【分析】利用正弦函数性质得到
和
无法同时取得最大值判断A，利用正弦函数性质分
别判断得
，
，
的单调性求解B，利用周期性的定义求解C，利用导数结合
分类讨论证明
，再结合绝对值三角不等式放缩证明D 即可.
【详解】对于A，
，
若
的最大值为
，则
和
必须同时取得最大值，
由正弦函数性质得
和
无法同时取得最大值，
则
的最大值不为
，故A 错误；
对于B，由题意得
，
因为
，所以
，
，
由正弦函数性质得
，
，
在
上单调递增，
由函数的性质得，多个增函数相加，结果一定是增函数，
得到
在
上单调递增，故B 正确；
对于C，令
，
而
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
得到
的周期为
，故C 正确；
对于D，欲证
，则证
即可，
令
，而
，
，则
是偶函数，
则证当
时，
即可，此时
，
当
时，
，
，
故
在
上单调递减，得到
则
成立，当
时，同理可得
成立，
综上，结合
是偶函数，可得
恒成立，
故
，
则对于
时，
成立，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2025·河南·模拟预测）设
（其中
、
），则
．
【答案】
【分析】利用二项展开式计算
的值，即可得出
的值.
【详解】因为
，其中
、
，
故
.
故答案为：
.
13．（2025·福建漳州·模拟预测）若曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，则实
数
．
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】2
【分析】利用导数的几何意义得到斜率，进而写出切线方程，再联立方程组，令判别式为
，得到
，求解参数即可.
【详解】令
，则
，故切点为
，
设切线斜率为
，而
，则
，
则曲线在
处的切线方程为
，
由题意得曲线
在
处的切线也是曲线
的切线，
联立方程组
，
，
得到
，则
，解得
.
故答案为：2
14．（2025·吉林·二模）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，点E 在棱
上，且
，侧面
内一动点P 满足
，则点P 的
轨迹长度为 ；直线
与直线
所成角的余弦值的取值范围为 .
【答案】
/
【分析】分析
点的轨迹，可求
点的轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线
与直
线
所成角的余弦值的取值范围（或者用三余弦定理求直线
与直线
所成角的余弦值的取值范围）.
【详解】（法一）由
得，点P 轨迹是以A 为球心，1 为半径的球面，又
点P 在平面
内，
点P 在以A 为圆心，1 为半径，
为圆心角的圆弧上，因此点P 的轨迹长度为
.
建系如图，设
，则
.
.
令
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
.
故直线
与直线
所成角的余弦值的取值范围为
.
（法二）设直线
与直线
所成角为
，取
的中点
，根据三余弦定理可知，
，易知P 从点M 运动至N 处，
逐渐减小，则
逐渐增大，
由图可知，P 从点M 运动至N 处
逐渐增大，
则P 在点M 处时，
取得最小值，此时
，
则P 在点N 处时，
取得最大值，此时
，
故直线
与直线
所成角的余弦值的取值范围为
.
（模式：4+2+1 满分：37 分 限时：25 分钟）
一、单选题
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知角
的终边经过点
，将
的终边逆时针旋转
得到角
，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】先由条件求出
，再根据角的旋转及两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为角
的终边经过点
，
所以
，
所以
，解得：
.
故选：D
2．（2025·吉林·二模）已知双曲线
的右焦点为
，点
在双曲线上且满足
轴，若
，
则双曲线
的实轴长为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】利用给定条件求出
，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可.
【详解】因为
轴，且
，双曲线
的右焦点为
，
所以
，设双曲线方程为
，且
，
将
代入双曲线方程，得到
，联立解得
(负根舍去)，
则双曲线
的实轴长为
，故B 正确.
故选：B
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，向量
，若
不共线，记以OA，OB 为邻边的平行四边形的面积
．已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据条件设出向量
和
，以及向量
的坐标，代入条件中定义，即可求解.
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】依题意设
，
则
，
，
，
，
则
.
故选：C．
4．（2025·河南·模拟预测）已知
、
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简
、
、，求出
的取值范围，可得出
、
的取值范围，逐项判断
即可.
【详解】由题可得
，
，
，
因为
、
，则
，
故
，
，
所以，
，
，
，所以
．
故选：B．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】设
，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】因为
，设
对A，知
，易知
.选项A 正确.
对C，因为
，
，
，所以
，
，
，
于是
，选项C 正确.
对D，若
，则
，即
，则
.
由
知
.选项D 正确.
对B，取
，则
，由
知
，
知
，所以
，即
，
，此时
，选项B 错误.
故选：ACD.
6．（2025·贵州黔东南·模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何
体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2 的
“刍童”
，其中
，则（ ）
A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点
B．该“刍童”的所有侧棱与下底面
所成角的正弦值均为
C．该“刍童”外接球的表面积为
D．该“刍童”外接球表面上的点到平面
的距离的最大值为
【答案】CD
【分析】判断“刍童”不是棱台，可判断A 的真假；求出侧棱与底面所成角的正弦，判断B 的真假；求
“刍童”外接球半径，进而求外接球表面积，判断C 的真假；先求球心到平面
的距离，再求“刍
童”外接球表面上的点到平面
的距离的最大值，判断D 的真假.
【详解】对A：根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交
于一点，故A 错误；
对B：如图：
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面
所成角均相等.
设上下底面的中心分别为
，则
,
,
，
设
，则
，且
为锐角，所以
，故B 错误；
对C：如图：
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为
，
，
（
）
则
，
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：
.
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为
，
，
（
）
则
，不合题意，故舍去.
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：
.故C 正确；
对D：如图：
等腰梯形
中，
，
，
，所以
，
即等腰梯形
外接圆的半径
.
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以该“刍童”的的外接球球心到平面
的距离为：
，
所以该“刍童”外接球表面上的点到平面
的距离的最大值为
，故D 正确.
故选：CD
【点睛】结论点睛：球面上任意点到某平面的距离的最大值，等于球的半径与球心到平面的距离之和.
三、填空题
7．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列
满足：
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据两个式子相加和相减可得
和
分别为等比数列，即可利用等比数列的通
项求解.
【详解】由题意可得
，
则
，
，
又
，
则数列
是以4 为首项，公比为4 的等比数列，
数列
是以2 为首项，公比为2 的等比数列，
所以
①，
②，
①②联立得
，所以
．
故答案为：
（模式：1+1+1 满分：16 分 限时：15 分钟）
一、单选题
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，点
在该椭
圆上，若满足
为直角三角形的点
共有8 个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】数形结合，问题转化成
，进而利用
的关系求离心率的取值范围.
【详解】如图：
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为使
为直角三角形的点
有8 个，所以在
中，必有
，即
，
所以
，即
，可得
.
又椭圆的离心率
，所以
.
故选：A
二、多选题
2．（2025·吉林·二模）已知
是定义在
上的函数，对于任意实数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
有3 个零点
D．若
，则
或
【答案】ACD
【分析】利用赋值法求值判断A，利用赋值法得到
判断B，利用赋值法求解零点个数判断
C，对参数范围分类讨论结合奇函数的性质判断D 即可.
【详解】对于A，已知
，
令
，则
，
故
；令
，则
，解得
，故A 正确；
对于B，令
，则
，
解得
；令
，则
，
得到
是奇函数，不满足
，故B 错误；
对于C，令
，则
，
而
，得到
是奇函数，且在
上有定义，
则
，
，得到
有3 个零点，故C 正确，
对于D，结合
，解得
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
显然
，而
，若
，则
即可，
当
时，此时
，则
，符合题意，
而在
时，
，则
，
，不符合题意，排除，
当
时，
，
，故
，
由奇函数性质得
，符合题意，
当
时，
，此时
，
由奇函数性质得
，不符合题意，排除，
综上，若
，则
或
，故D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解题关键是对参数范围分类讨论，然后结合奇函数的性质得到符合条件的解集即可．
三、填空题
3．（2025·河南·模拟预测）在棱长为3 的正方体
中，
为线段
的三等分点（
在
之间），一动点
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建系，根据空间间距离公式分析可知点
的轨迹为以
为圆心，半径
的球，根
据数量积可得
，结合球的性质可得
的范围即可得结果.
【详解】如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
，设
，
因为
，则
，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
整理可得
，
可知点
的轨迹为以
为球心，半径
的球，
取
的中点分别为
，
的中点为
，
则
，
可得
，
又因为
，则
在球外，
则
，即
，
可得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：1.利用空间直角坐标系求点点
的轨迹；
2.根据数量积的性质可得
，进而可求范围.
19
