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微专题08 导数压轴小题
【秒杀总结】
一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.
二、不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数
恒成立(
即可)或
恒成立（
即可）；
② 数形结合(
图象在
上方即可)；
③ 讨论最值
或
恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合
适的抽象函数.常见的构造方法：（1）若出现
形式，可考虑构造
；（2）若出现
，可考虑构造
；（3）若出现
，可考虑构造
；（4）若
出现
，可考虑构造
.
四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新
函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结
合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参
数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，利用数形结合的方法求解．
六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参
数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，
便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很
难研究，就不要使用分离参数法.
【典型例题】
例1．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）设
，
，
，则（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
在区间
上恒成立，
即
在区间
上单调递增，所以
，即
，
所以
，
令
，则
在区间
上恒成立，
即
在区间
上单调递增，所以
，即
，
所以
，所以
，
令
，则
在区间
上恒成立，
即
在在区间
上单调递增，所以
，即
，
所以
，
综上，
，
故选：D.
例2．（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意令
，则
，
因为
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
所以
，
，故A 不正确；
所以
，即
，即
，故B 不正确；
2
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又
，即
，即
，故C 错误；
因为
，即
，即
，故D 正确；
故选：D.
例3．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）设
且
，若函数
有三个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，
；
对
，其开口向上，对称轴为
，且
，
故当
，即
，也即
或
时，
在
恒成立，故
在
没有极值点；
当
，即
，也即
时，
存在
，使得
，
故
，
，
单调递增；
在
，
，
单调递减，
在
有一个极值点；
当
时，
，令
，
；
故当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，又
，
故当
，即
时，
在
恒成立，
在
单调递减，无极值点；
3
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当
，即
时，
，故存在
，满足
；
又当
趋近于
时，
趋近于，
趋近于
，
故存在
，满足
；
故当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
故此时
在
存在
个极值点；
综上所述，若
有个极值点，
则
在
有一个极值点，在
存在
个极值点，
此时
，且
，故
.
故选：C.
例4．（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）当
时，
恒成立，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，当
时，
恒成立，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，可得
，所以
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
4
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当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：D.
例5．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考开学考试）若函数
存在零点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，
设
，则
，∴
在
上单调递增，
∴
，∴
，
，
，即
．
所以
存在零点等价于方程
有解，
令
，则
，
当
时，
；
当
时，
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以
．
故选:B
例6．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）定义在
上的可导函数
满足
，当
时，
，若实数a 满足
，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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【答案】C
【解析】由
，得
.
令
，则
，即
为偶函数.
当
时，
，所以
在
上单调递增；
所以
在
上单调递减.
由
，
得
，即
.
又
为偶函数，所以
，
因为
在
上单调递减，
所以
，即
，解得
，或
，
所以a 的取值范围为
.
故选：C.
例7．（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知定义在
上的函数
，若存
在
，使得对任意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
当
时，
，
.
，
当
时，
，
在
上单调递减，没有最小值，不符合题意，
所以
，令
解得
，
所以
在区间
上
单调递减，
6
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在区间
上
单调递增，
若存在
，使得对任意
，都有
，
则
，
即
.
故选：D
例8．（2024·浙江湖州·高三统考期末）已知函数
，若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知：
，
设函数
上的切点坐标为
，函数
上的切点坐标为
，
且
，
，则公切线的斜率
，可得
，
则公切线方程为
，
代入
得
，
代入
可得
，整理得
，
令
，则
，
若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则方程
有两个不同的实根，
设
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
则
在
内单调递增，在
单调递减，可得
，
且当x 趋近于
时，
趋近于
；当x 趋近于
时，
趋近于，
7
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可得
，解得
，故实数
的取值范围为
.
故选：A.
例9．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）已知函数
有
两个不同的零点
，符号
表示不超过
的最大整数，如
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
的取值范围为
B．
C．
D．若
，则
的取值范围为
【答案】D
【解析】函数
的定义域为
，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
函数
在
上至多只有一个零点，与条件矛盾，故舍去；
当
时，由
可得
或
（舍去），
当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
因为函数
有两个不同的零点
，
可得
，
所以
，所以
，
8
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所以
，故A 错误，
由
，可得
，即
与
有两个交点，
令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
当
时，函数取得最大值，最大值为
，
当
时，
，当
时，
，又
，
函数
的图象如图所示，
不妨设
，则
，
，
结合图象，若
，此时
，此时
，故B 错误；
因为
，
，所以
，
，
当
时，
，则
，
当
时，则
，
所以
，当
时，
，
此时
，
，故C 错误，
因为
，
若
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
9
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所以
，
所以
，
若
，则
，
，
，且
，
所以
，
，
，
所以
，
，
所以
，
，
又
，所以
，所以
，故满足条件的
不存在，
所以
的取值范围为
，故D 正确，
故选：D.
例10．（2024·四川·校联考模拟预测）已知函数
和
有相同的最小值.若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，
，可知
时，
，此时
单调递减；
时，
，此时
单调递增；
则
时，
取得极小值
，也即为最小值；
又
时，
，此时
单调递减；
时，
，此时
单调递增；
则
时，
取得极小值
，也即为
最小值.
由
，解得
.
因为
，所以
，
可知
，且
，所以
，
10
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令
，则
，当
，此时
单调递增；
当
，此时
单调递减；
故
时，
取极大值
，也即为最大值.
故选：A.
例11．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数
，设曲线
在点
处切线的斜率为
，若
均不相等，且
，则
的最小值为 ．
【答案】18
【解析】由于
，
故
，
故
，
，
则
，
由
，得
，
由
，即
，知
位于
之间，
不妨设
，则
，
故
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故则
的最小值为18，
故答案为：18
例12．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最大值为
.
【答案】
/
【解析】设
，则
，
11
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设切点为
，则
，
则切线方程为
，整理可得
，
所以
，解得
，
所以
，所以
，
设
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
例13．（2024·四川德阳·统考模拟预测）已知函数
在
处取得极大值，则
的取值
范围是 .
【答案】
【解析】
的定义域是
，
，
由于函数
在
处取得极大值，
所以
，
且
在
上
单调递增，
在
上
单调递减，
所以
单调递减，
所以
，
所以
，构造函数
，显然
，
，所以
在区间
上
单调递增，
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在区间
上
单调递减，
所以
是
的极大值也即是最大值，
所以
，也即
的取值范围是
.
故答案为：
例14．（2024·山东临沂·高三统考期末）已知函数
，若关于x 的不等式
（e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围 ．
【答案】
【解析】
在
上恒成立，等价于
的图象恒在直线
的上方，
，两边平方后得
，
所以
的图象是以
为圆心，半径为1，并且在
轴的下半部分的半圆，
，
，得
，
当
时，
，函数
在
单调递减，
当
时，
，函数
在
单调递增，
当
时，函数
取得最小值
，
如图，画出函数
的图象：
直线
恒过定点
，当直线
与
相切时，
设切点
，
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，可得
，由
，解得：
，
则切线的斜率为2，
当直线
与
，
相切时，直线
与半圆
相切，由
，解得：
，
由图可知，
的取值范围是
.
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）若对任意实数
，恒有
成立，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
设
，则
，
设
，则
在
上恒成立，
在
上单调递增，且
，
当
时，
在
单调递增，
，即
，
当
时，则
，不妨取
，即
，
当
时，
，
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
14
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，
，即
，而
有
在
上恒成立，
，即
，
综上可得
.
故选：C.
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）下列不等关系中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 项，因
，故A 项正确；
对于B 项，设
，则
在
上恒成立，故函数
在
上单调递增，
因
，故
，即
，故
，故B 项正确；
对于C 项，因
，故构造
，
则
则
在
上单调递增，
，故C 项错误；
对于D 项，
，
，构造函数
则
单调递增，
，故D 项正确．
故选：C.
3．（2024·四川成都·统考模拟预测）若函数
对任意的
都有
成立，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法比较大
【答案】A
【解析】令
，则
，
∵对任意的
都有
成立，
15
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∴
，即
在
上单调递减，又
，
∴
，即
，可得
.
故选：A.
4．（2024·全国·高三专题练习）若函数
恰好有两个零点，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
不是
的零点，
当
时，令
，得
，
令
，
由对勾函数性质可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
令
，
则
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，且当
时，
，如图所示，
所以当
时，
与
的图象有且仅有两个交点，此时函数
恰好有两个零点.
故选：A.
5．（2024·全国·校联考模拟预测）设
为
的图象在
轴两侧的点，则
在
处的
切线与
轴围成的三角形的面积的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
16
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【答案】D
【解析】
对函数
求导得
，设
、
，且
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，可得
，
同理可知，曲线
在点
处的切线方程为
，
联立
可得
，即点
，
在直线方程
中，令
，得
，即
，同理得
，
所以，
，
，
令
，
，
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，则
.
当且仅当
时，
的面积取得最小值.
故选：D.
6．（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知实数
分别满足
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
17
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【答案】D
【解析】由
，则
，令
，
，
则
，
则当
时，
，故
在
上单调递增，
故
，
即
，即
，
由
，则
，
令
，
，则
，
令
，则当
时，
恒成立，
故
在
上单调递增，又
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，故
，
即
，即
，故
.
故选：D.
7．（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）已知
为函数
图象上一动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】由函数解析式可知函数
关于
对称，设
，不妨设
则
，当
，
，
即当
时的值要大于
时的值，所以只需研究
的情况即可，
当
时，
，设
，
18
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则
，
根据复合函数单调性可知：
时，
递增，当
，
递减.
，所以的几何意义是函数
上一点与点
的斜率，
设过点
的切线与函数
的交点坐标（即切点）为
，
，
所以切线的斜率
，切线方程为
，把点
代
入切线方程整理得：
，所以
或
，设
，
，
所以
在
单调递增，所以
，
即
不合题意，所以
，此时切线的斜率
，
如图：
根据数形结合思想可知的范围为
，所以当
时，
最大，
此时
.
故选：A
8．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
、
，
则
，故
在
上为增函数，故
，
，其中
，故
，即
，故
；
19
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而
，
故
，故
；
又
，故
在
上为增函数，
故
，
，其中
，
故
，即则
，故
；
故
.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·广东·高三统考阶段练习）若过点
可作曲线
的n 条切线
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，且
，则
C．若
，则
D．过
，仅可作
的一条切线
【答案】ABD
【解析】设切点
，则
，
切线为
，
代入
整理得
，
令
，
，
令
得
．
当
时，
，
，所以
在
上单调递增，
，
，所以在
上单调递减，
，在
两侧均有可能为负，同时极大值可能为正，
所以
至多有2 个零点，故A 正确；
20
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当
时，
和
时，
，所以
在
上单调递减，
，
，所以
在
上单调递增，
，
，
当
时，
，所以
，
结合图象，值域为
，所以
，B 正确；
若
，则
，即
，
同理当
时，
，即
，C 错误；
若
时，
，
单调递减；
结合图象，
，
则当
时，
有1 个零点，即
，D 正确．
故选：ABD.
10．（2024·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）假设直线
与曲线
相切，若切点唯一，则称直线
与曲线
单切；若切点有两个，则称直线
与曲线
双切；若
还与曲线
相交，则称直线
与曲线
交切.已知函数
，则（ ）
A．直线
与曲线
双切
21
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B．直线
与曲线
单切
C．直线
与曲线
交切
D．存在唯一的直线，与曲线
单切且交切
【答案】AC
【解析】令
，则
，
令
或
；令
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
的极大值为
，极小值为
，
且
时，
或
，
由此可得
的图象，继而可作出
的图象，如图：
对于A，C，直线
与曲线
相切，切点为
，
故直线
与曲线
双切，同时
还与曲线
相交，
故直线
与曲线
交切，A，C 正确；
对于B，由于
，则
，故曲线
不存在斜率为
的切线，
令
，解得
，即曲线
斜率为4 的切线的切点横坐标位于
内，
结合
的图象知：曲线
斜率为
的切线的切点横坐标位于
内，故作出直线
与
曲线
相交，B 错误；
对于D，由于
定义域为R，满足
，故
为偶函数，其
图象关于y 轴对称，
故不存在唯一的直线，与曲线
单切且交切，
否则若存在直线与曲线
单切且交切，如图，则必存在关于y 轴对称的直线
与曲线
单
切且交切，D 错误，
故选：AC
22
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11．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】A，令
，解得
，故
在
上单调递减，
令
，解得
，故
的一条对称轴为
，故
，
因为
，
，所以
，即
，A 正确；
B，
，
，
令
，
，则
，
当
时，
，
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，故
，所以
，故
，
由于
在
上单调递减，所以
，B 正确；
C，
的一条对称轴为
，故
，
其中
，故
，故
，
而
，故
，所以
，
关于
中心对称，故
，
其中
，则
，
其中
，
，
下面证明
，
令
，
，则
，
23
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令
，则
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
又
，故
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，故
，故
，
所以
，则
，两边取对数得
，
故
，故
，
又
在
上单调递减，故
，故
，C 错误；
D，
，故
，
，
因为
，所以
，故
，
而
，故
，则
，
其中
，
，故
，则
，
由于
在
上单调递增，故
，
故
，故
，D 错误.
故选：AB
12．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）记函数
的最小正周期为
，若
，且
在
上的最大值与
最小值的差为3，则（ ）
A．
B．
C．
在区间
上单调递减
D．直线
是曲线
的切线
【答案】BD
【解析】由
，又
，可得
，
24
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又
，则
，即
，
若
在
上单调，则
，即
，
令
，则
，
即
在
上单调递减，
即
，即
，
此时
，此时
，不符合题意，
所以
在
上不单调，
即
在
上不单调，
又
，即
，即
，
即
，
，
若
，
此时
，符合题意；
若
，
此时
，不符合题意；
综上可得，
，即
，
对于A，
，故错误；
对于B，
，
，故B 正确；
对于C，当
，则
，
25
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且
在
上先递减后递增，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，
，可得
是
在
处的切线，故D 正确；
故选：BD
13．（2024·山东德州·高三统考开学考试）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不
动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数
，
存在一个实数
，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，
为函数的不动点.现新定义：
若
满足
，则称
为
的次不动点.设函数
，若
在区间
上存在次不动点，则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】根据题意，若
在区间
上存在次不动点，
则
在区间
上有解，
即
，
即
有解，
令
，
，则
，
令函数
，
且单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
，所以
为偶函数，
所以
在
上单调递减.
，
，
故
，
，
则
.
故选：AD.
14．（2024·浙江·高三校联考开学考试）已知函数
，曲线
.过不在
上的点
恰能作两条
的切线，切点分别为
，则（ ）
26
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A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为
，所以
，
所以经过
的切线方程为
，
由切线过点
知
，
令
，则
恰有两个零点
，且
，
当
时，
，则
在
单调递增，不可能有两个零点；
当
时，则若
，当
或
时
，当
时
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
若
，当
或
时
，当
时
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
故
或
时，函数
才可能有两个零点，
又
，故
，此时显然有两条切线，
所以
，即
，当
时，
，故选项A 错误，B 正确；
由上述分析，
，当
时，
，
在
和
上单调递增，
在
上单调递减，示意图如图：
显然
，且
，所以
，
当
时，
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
示意图如图：
27
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显然
，
，由
得
，
所以
，即
，
综上，
，
，故选项C 和D 正确.
故选：BCD
15．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
有且只有一个极值点
B．
在
上单调递增
C．不存在实数
，使得
D．
有最小值
【答案】ABD
【解析】由
得
，令
，则函数
可以看作为函数
与函数
的复
合函数，
因为
为增函数，所以
与
单调性、图象变换等基本一致，
，由
得
，列表如下：
-
0
+
↘
↗
由表知，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
时，取得极小值（最小值）
，
所以，
在
上单调递增，在
上单调递增，即B 正确；
在
时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）
，即A、D 都正确，C 错误.
故选：ABD.
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16．（2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）已知函数
，则下列说法正
确的是（ ）
A．函数
的图象关于
轴对称，且在
上不单调
B．导函数
的图象关于原点对称，且在
上单调递增
C．函数
在
上单调递增
D．对于任意
都有
，且
【答案】ABD
【解析】
，
，
又
，
所以
为偶函数，其图象关于
对称，
又
，而
，
所以
为奇函数，其图象关于原点对称，
令
，
则
，所以
在R 上单调递增，
又
，则当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故函数
在
上不单调，故A，B 正确，C 错误；
因为函数
在
上单调递增，且为偶函数，所以
，
，故D 正确.
故选：ABD.
17．（2024·江苏常州·高三统考期末）关于函数
，下列说法正确的有（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
在
上单调递增，在
上单调递减
C．若方程
恰有一个实数根，则
29
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D．若
，都有
，则
【答案】BD
【解析】对于A，
，
不是关于
对称，故A 错误；
对于B，
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，故B 正确；
对于C，
时，
，
时，
，
且
在
上单调递增，
如
时，
只有一个根，故C 错误；
对于D，由
时，
单调递减，
时，
单调递增，
所以
，
，即求
最小值，
当
时，
，且
，
所以
，
．故D 正确.
故选：BD．
三、填空题
18．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数
在
上有两个极值点，则实
数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数
在
上有两个极值点，
所以
在
上有两个变号零点，
30
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因为
，令
，即
，可得
，
令
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，作出函数
在
上图象，
当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为
、
，且
，由图可知，
当
或
时，
，此时
，
当
时，
，此时
，
所以函数
在
上递增，在
上递减，在
上递增，
此时，函数
有两个极值点，合乎题意.因此，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
19．（2024·全国·高三专题练习）若实数a，b，c 满足条件：
，则
的最
大值是 ．
【答案】
【解析】由基本不等式，得
，
即
，当且仅当
，即
时等号成立.
设
，令
，
31
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所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
，即
，
令
，得
，所以
，
解得
，由
，得
．
所以
，当且仅当
时，取得等号．
故
的最大值是
．
故答案为：
20．（2024·广东·高三统考阶段练习）若圆C 与抛物线
在公共点B 处有相同的切线，且C 与y 轴
切于
的焦点A，则
．
【答案】
【解析】抛物线
的焦点为
，准线l 为
，依题意不妨令C 在第一象限，
，
则圆C 的半径
，设
，则圆C 的方程为
，
由
，则
，所以抛物线在点B 处的切线m 的斜率
，
因为圆C 与抛物线
在公共点B 处有相同的切线，所以直线CB 与m 垂直，
所以
，则
①，
又点B 在圆C 上，所以
，则
②，
所以
，整理可得
，解得，
或
（舍去），
所以
，所以
，
所以
．
32
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故答案为：
21．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知动点P，Q 分别在圆
和曲线
上，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得
，即圆心
在
上，半径为
，
故
的最小值等于
的最小值减去半径
，
设
，由于
与
关于
对称，
的最小值等于
到直线
的距离的最小值的2 倍，
由
，可得
，令
，解得
，
故
在点
处的切线与
平行，此时
到
的距离最小，
最小值为
，
故
的最小值为
，
则
的最小值等于
.
故答案为：
22．（2024·湖北·校联考模拟预测）若函数
在不同两点
，
处的切
33
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线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 .
【答案】
【解析】由题意有
，设
，
所以函数
在点A 处的切线方程为
，
所以原点O 到点A 处切线的距离为
，
因为
，
所以
当且仅当
时等号成立，
因为
是偶函数，且
在A，B 两点处切线互相平行，
所以
，即
在A，B 两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为
.
故答案为：
.
23．（2024·河南焦作·高三统考期末）若函数
在
上没有零点，则实数
的取
值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
，则
，
令
，显然
，则
，
令
，
，
34
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则
，
令
，得
，
，列表如下：
增
极大值
减
减
极小值
增
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
、
，
且极大值
为，极小值为
．
当
时，
，当
时（从左边趋于），
；
当
时（从右边趋于），
，
当
时（从右边趋于），
.
由图象可知，当
时，直线
与曲线
没有交点，
即
在
上没有零点．
因此，实数
的取值范围是
，
故答案为：
.
24．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）已知a，b，c 为某三角形的三边长，其中
，
且a，b 为函数
的两个零点，若
恒成立，则M 的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】由a，b 为函数
的两个零点，故有
，
即
恒成立，
35
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故
，
，则
，
，
由a，b，c 为某三角形的三边长，且
，
故
，且
，则
， 因为
必然成立，
所以
，即
，解得
，
所以
，
则
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递增，
故
，
故
恒成立，故
的最小值为为
.
25．（2024·浙江·高三镇海中学校联考开学考试）已知函数
若函数
有唯一零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
或
【解析】当
时，
单调递减，图象为以
和
轴为渐近线的双曲线的一支；
当
时，有
，可得
在
单调递减，在
单调递增
且
，
，画出图象如下:
36
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由题意，
有唯一解，设
，
则
，（否则至少对应2 个
，不满足题意），
原方程化为
，即
，
该方程存在唯一解
，且
.
转化为
与
有唯一公共点，且该点横坐标在
，画图如下：
情形一：
与
相切，联立得
，
由
解得
，此时
满足题意：
情形二：
与
有唯一交点，其中一个边界为
(与渐近线平行)，
此时交点坐标为
，满足题意；
另一个边界为
与
相切，即过点
的切线方程，
设切点为
，则
，解得
，
所以求得
，此时左侧的交点D 横坐标为
满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到；
所以
的范围为
.
综上，
的取值范围为
或
.
37
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故答案为：
或
26．（2024·山西晋城·统考一模）若函数
在
上至少有两个极大值点和两个
零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令
，
，得
的极大值点为
，
，则存在整数
，使得
，
解得
．
因为函数
在两个相邻的极大值点之间有两个零点，
所以
．
当
时，
．当
时，
．
当
时，
．又
，
所以
的取值范围为
．
故答案为：
27．（2024·山西吕梁·统考一模）已知
分别是函数
和
图象上的动
点，若对任意的
，都有
恒成立，则实数
的最大值为 ．
【答案】
【解析】点
到直线
的距离
，
则
，
又
，
由
知，
和
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，其值域为
，
又
，令
，
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令
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
，
因为对任意的
，都有
恒成立，所以
，
所以实数
的最大值为
.
故答案为：
.
39
