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微专题11 导数解答题之极最值问题
【秒杀总结】
1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极
最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，
确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新
函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
【典型例题】
例1．（2024·山东济南·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)讨论
极值点的个数.
例2．（2024·湖南邵阳·二模）设函数
.
(1)求
的极值；
(2)若对任意
，有
恒成立，求
的最大值.
例3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)求证：
的极大值恒为正数．
例4．（2024·辽宁·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线的方程；
(2)讨论
的极值.
1
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例5．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的最小值．
例6．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知函数
，其中
.
(1)若曲线
在
处的切线在两坐标轴上的截距相等，求
的值;
(2)是否存在实数
，使得
在
上的最大值是
?若存在，求出
的值;若不存在，说明理由.
例7．（2024·北京·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的图象在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调区间；
(3)若对任意
，都有
，求
的最大值.（参考数据：
）
例8．（2024·天津河东·一模）已知函数
．
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的最小值；
(3)函数
，证明：
．
2
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例9．（2024·北京石景山·一模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
在区间
上的最大值与最小值；
(3)当
时，求证：
．
【过关测试】
1．（2024·广东汕头·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
既存在极大值，又存在极小值，求实数
的取值范围.
2．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知函数
有极值，与函数
的极值点相同，其中是自然对数的底数.
(1)直接写出当
时，函数
在
处的切线方程；
(2)通过计算用
表示
；
(3)当
时，若函数
的最小值为
，证明：
.
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调递增区间；
(3)若函数
在区间
上只有一个极值点，求a 的取值范围.
3
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4．（2024·四川成都·二模）已知函数
的导函数为
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
存在两个极值点，求a 的取值范围．
5．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知函数
.
(1)是否存在实数
，使得函数
在定义域内单调递增；
(2)若函数
存在极大值
，极小值
，证明：
.（其中
是自然对数的底数）
6．（2024·云南大理·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
，且
是
的极值点，证明：
（i）
时，
取得极小值；
（ii）
.
7．（2024·高三·北京昌平·期末）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)判断
极值点的个数，并说明理由．
4
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8．（2024·高三·北京房山·期末）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调递增区间；
(3)若函数
在区间
上只有一个极值点，求
的取值范围.
9．（2024·高三·全国·专题练习）已知
，
，
(1)若
在
处取得极值，试求的值和
的单调增区间；
(2)如图所示，若函数
的图象在
连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在
，
使得
，利用这条性质证明：函数
图象上任意两点的连线斜率不小于
．
10．（2024·高二·浙江温州·阶段练习）已知函数
有两个极值点为
，
.
(1)当
时，求
的值；
(2)若
（为自然对数的底数），求
的最大值.
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11．（2024·高三·河南周口·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若
是函数
的极大值点，求实数
的取值范围．
12．（2024·高三·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若对
，
，且
在
处取得极小值，求
的取值范围.
13．（2024·海南·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，若函数
有最小值2，求
的值.
14．（2024·高三·湖南岳阳·开学考试）已知
，函数
，
.
(1)判断函数
在
上的单调性；
(2)是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直？若存在，求出
的值；若
不存在，请说明理由．
15．（2024·贵州·三模）已知函数
的图象经过点
，且
是
的极值
点.
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(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调区间和最值.
16．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知
，其中
为自然对数
底数．
(1)讨论
的单调性；
(2)已知
有极值，求
的所有极值之和的最大值．
17．（2024·陕西西安·一模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个极值点
，
，证明：
.
18．（2024·河北唐山·一模）已知函数
，
，
(1)求曲线
在点
处的切线方程：
(2)当
时，求
的值域．
19．（2024·四川泸州·二模）已知函数
．
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(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若在区间
内存在
，
，使得
，求实数
的取值范围．
20．（2024·高三·四川·阶段练习）已知函数
的导函数为
.
(1)当
且
时，求
的最小值；
(2)当
且
时，若
存在两个极值点，求
的取值范围.
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