微专题15 数列与其他知识的交汇
问题
近几年高考：1.数列与三角的交汇主要有数列{an}的通项中有
三角函数,另一类是数列{an}中的通项an作为三角函数中的角
出现等.
2.数列与集合的交汇主要体现在对数列与集合元素的关系的考
查与应用等.
3.数列与圆锥曲线融合交汇的综合题是高考中的热点题型.这类
试题体现了以能力立意的命题指导思想,呈现出立意新、角度
活、思维跨度大、综合性强等特点.
4.数列与导数的交汇主要考查利用导数研究函数的性质,再运
用结论解决数列问题.
二．典型例题
1. 数列与三角的交汇
例1 已知f(x)=x+2sin x,等差数列{an}的前n 项和为Sn,记Tn=
n
∑
i=1
f(ai).
(1)求证:函数y=f(x)的图象关于点(π,π)中心对称;
(2)若a1,a2,a3是某三角形的三个内角,求T3的取值范围;
(3)若S100=100π,求证:T100=100π.反之是否成立?并请说明理由.
训练1 (2025·汕头二模)已知数列{an},an=n2
(co s
2 n π
3 −sin
2 n π
3 ),其前n 项和为Sn.
(1)求a1+a2+a3;
(2)求S3n;
(3)若数列{bn}的前n 项和为Tn,且bn= S3n
n·2
n−1,证明:Tn<22.
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2. 数列与集合的交汇
例2 (2025·湖北八市联考)有穷等差数列{an}共有m 项(m>2),公
差为1,前n 项和为Sn,a1=a2,am=b2(a,b 为正整数).T 为集合
A={ak|ak为完全平方数,k=1,2,…,m}中所有元素之和.
(1)当a=2,b=6 时,求T
Sm
;
(2)从数列{an}中任取一项ai,若ai∈A 的概率为1
100
,试求出所
有的数对(a,b);
(3)设X 为正整数,将X2从正中间分割为两个数(若X2的位数是
奇数,在数的前面补上0 再分割),若这两个数的和恰好等于X,
则称X2为“漂亮数”.例如:92=81,8+1=9,所以81 是一个“漂亮
数”,2972=88 209,88+209=297,所以88 209 是一个“漂亮数”.
当a=32,b=99 时,从集合A 中任取一个元素,求该元素为“漂亮
数”的概率.
训练2 用符号|A|表示集合A 中元素的个数.对于实数集合A 和
B,且|A|≥2,|B|≥2,定义两个集合:
①和集A+B={a+b|a∈A,b∈B};
②邻差集D(A)={ak+1-ak|k=1,2,…,|A|-1},
其中a1,a2,…,a|A|为集合A 中元素按照从小到大排列.
(1)已知集合A={1,3,5},B={2,4},求|D(A+B)|,|D(A)∪D(B)|的值;
(2)已知集合A={2n|n=1,2,…,100},B={4n|n=1,2,…,100},求|
A+B|的值;
(3)若A 与B 都是由m(m≥3,m∈N*)个实数构成的集合,证明:|
A+B|=2m-1 的充要条件是|D(A)∪D(B)|=1.
2
3. 数列与圆锥曲线、导数的交汇
例3 已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C 上,k 为常数,
0<k<1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…),过点Pn-1作斜率
为k 的直线与C 的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y 轴的对称
点,记Pn的坐标为(xn,yn).
(1)若k=1
2
,求x2,y2;
(2)证明:数列{xn-yn}是公比为1+ k
1−k
的等比数列;
(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对于任意的正整数
n,Sn=Sn+1.
训练3 已知正项数列{an},a1=1,an+1=1
2
ln(an+1),n∈N*.求证:
(1)an+1<an;(2)an-2an+1<an·an+1;
(3) 1
2
n <an≤1
2
n−1.
3
【精准强化练】
1.(2025·北京东城区模拟)对于一个递增正整数数列{an},如果它
的奇数项为奇数,偶数项为偶数,则称它是一个交错数列.规定
只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列.将每项都取自集
合{1,2,…,n}的所有交错数列的个数记为An.例如,当n=1 时,
取自集合{1}的交错数列只有1 一种情况,则A1=1;当n=2 时,取
自集合{1,2}的交错数列有1 和1,2 两种情况,则A2=2.
(1)求A3和A4的值;
(2)证明:取自集合{1,2,…,n}(n≥3)的首项不为1 的交错数列的
个数为An-2;
(3)记数列{An}的前n 项和为Sn,求使得Sn>2 025 成立的n 的最
小值.
2.(2025·郑州质检)已知一列椭圆Cn:x2+ y
2
bn
2
=1,0<bn<1,n=1,2,….若椭圆Cn上有一点Pn,使Pn到右准线ln
的距离dn是|PnFn|与|PnGn|的等差中项,其中Fn,Gn分别是Cn的左、
右焦点.
(1)求证:bn≤√3
2
(n≥1).
(2)取bn=√2n+3
n+2
,并用Sn表示△PnFnGn的面积,求证:S1<S2且
Sn>Sn+1(n≥3).
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