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微专题21 圆锥曲线经典难题之一类探索性问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、基本思路
（1）探索性问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行
推理论证.
（2）若导出矛盾，则否定先前假设（否定型）；若推出合理的结论，则说明假设正确（肯定型），
由此得出问题的结论.
（3）“假设一推证一定论”是解答此类问题的三个步骤.
2、技巧总结
（1）解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛
盾就不存在，否则就存在.
（2）解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明.
（3）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二
次方程，利用判别式得出是否有解（存在）.
（4）解决是否存在最值问题时，可依据条件，得出函数解析式，依据解析式判定其最值是否存在，
然后得出结论.
【典型例题】
例1．（2024·高三·山西·阶段练习）已知
为平面上一个动点，
到定直线
的距离与到定点
距离的比等于
，记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)若
轴上是否存在定点
，使过
点且斜率为
的直线与曲线
相交于
（均不同
于
两点，且
分别为直线
的斜率）？若存在，求出定点
的坐标；若不存在，
请说明理由．
例2．（2024·河南·一模）已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，其长轴长为6，离
心率为e 且
，点D 为E 上一动点，
的面积的最大值为
，过
的直线，
分别与椭
圆E 交于A，B 两点（异于点P），与直线
交于M，N 两点，且M，N 两点的纵坐标之和为11.过坐标
原点O 作直线
的垂线，垂足为H.
1
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(1)求椭圆E 的方程；
(2)问：平面内是否存在定点Q，使得
为定值？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
例3．（2024·广东佛山·二模）已知以下事实：反比例函数
（
）的图象是双曲线，两条坐标轴是
其两条渐近线．
(1)（ⅰ）直接写出函数
的图象
的实轴长；
（ⅱ）将曲线
绕原点顺时针转
，得到曲线
，直接写出曲线
的方程．
(2)已知点
是曲线
的左顶点．圆
：
（
）与直线：
交于
、
两点，直
线
、
分别与双曲线
交于
、
两点．试问：点A 到直线
的距离是否存在最大值？若存在，
求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
例4．（2024·广东广州·一模）已知
为坐标原点，双曲线
的焦距为
，且经过点
.
(1)求
的方程：
(2)若直线与
交于
，
两点，且
，求
的取值范围：
(3)已知点
是
上的动点，是否存在定圆
，使得当过点
能作圆
的两条切线
，
时（其中
，
分别是两切线与
的另一交点），总满足
？若存在，求出圆
的半径：
若不存在，请说明理由.
例5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知中心在原点、焦点在x 轴上的圆锥曲线E 的离心率为2，过E 的右
焦点F 作垂直于x 轴的直线，该直线被E 截得的弦长为6．
(1)求E 的方程；
2
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(2)若面积为3 的
的三个顶点均在E 上，边
过F，边
过原点，求直线
的方程：
(3)已知
，过点
的直线l 与E 在y 轴的右侧交于不同的两点P，Q，l 上是否存在点S 满足
，且
？若存在，求点S 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
例6．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
，其焦点为F，过
点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，
，角
（如图）．
(1)求抛物线S 的方程；
(2)在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，
请说明理由．
例7．（2024·高三·重庆·阶段练习）设
、
是椭圆
上的两点，点
是线段
的中点，
线段
的中垂线与椭圆交于
，
两点；
(1)求
的方程，并确定
的取值范围：
(2)判断是否存在
，使
、
、
、
四点共圆，若存在，则写出圆的标准方程；若不存在，请说明原因．
例8．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）设
是平面直角坐标系
上的两点，现定义由点
到点
的一种折线距离
为
.对于平面
上给定的不同的两点
.
3
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(1)若点
是平面
上的点，试证明：
；
(2)若
两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面
上是否存在点
，同时满足：①
；②
？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明
理由．
例9．（2024·重庆·模拟预测）已知点
和直线
，点
到
的距离
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)不经过圆点
的直线与点
的轨迹交于
，
两点. 设直线
，
的斜率分别为
，
，记
，
是否存在值使得
的面积为定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【过关测试】
1．（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线与
交于
两点.
(1)若点
为
上一动点，求
的最大值与最小值；
(2)若
，求的斜率；
(3)在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出定点
的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（2024·北京丰台·一模）已知椭圆
(
)的焦距为
，以椭圆
的四个顶点为顶点
的四边形的周长为16．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的直线交椭圆
于
，
两点，线段
的中点为
．是否存在定点
，使得
？
若存在，求出
的坐标；若不存在，请说明理由．
4
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3．（2024·江苏·一模）已知椭圆C：
的右焦点为
，右顶点为A，直线l：
与x 轴交于点M，且
，
(1)求C 的方程；
(2)B 为l 上的动点，过B 作C 的两条切线，分别交y 轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ 的斜率成等差数列；
②⊙N 经过B，P，Q 三点，是否存在点B，使得，
？若存在，求
；若不存在，请说明理
由.
4．（2024·辽宁抚顺·一模）已知双曲线
的中心为坐标原点，其右焦点到渐近线的距离为
，离心率为
，
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)记双曲线
的左、右顶点分别为
，点
为双曲线
的右支上异于点
的动点，直线
与直线
相交于点
，直线
与双曲线
的另一个交点为
，直线
垂直
于点
，问是否存在点
，使得
为定值？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由，
5．（2024·内蒙古包头·一模）已知椭圆
：
，
是
的一个焦点，
是
上一点，
为
的左顶点，直线
与
交于不同的两点
，
．
(1)求
的方程；
(2)直线
，
分别交
轴于
，
两点，
为坐标原点；在
轴上是否存在点
，使得
，若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．
5
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6．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）已知
分别是椭圆
的左､右焦点，
分
别为椭圆
的左右顶点，且
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
为直线
上的一动点（点
不在
轴上），连接
交椭圆于
点，连接
并延长交椭圆于
点，试问是否存在
，便得
成立，若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
7．（2024·高三·北京海淀·开学考试）已知椭圆
，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点
，且与
椭圆G 相交于
两点，弦
的中点为M，直线
与椭圆G 相交于
两点．
(1)若直线l 的斜率为1，求直线
的斜率；
(2)是否存在直线l，使得
成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
8．（2024·福建·模拟预测）在
中，
，
，
的平分线交AB 于点D，
.平面α 过直线AB，且与
所在的平面垂直.
(1)求直线CD 与平面
所成角的大小；
(2)设点
，且
，记E 的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ 是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB 重合的直线l 过点D 且交Γ 于P，Q 两点，试问：在平面α 内是否存在定点T，使得无论
l 绕点D 如何转动，总有
？若存在，指出点T 的位置；若不存在，说明理由.
9．（2024·安徽阜阳·一模）已知双曲线
的左、右顶点分别为
，动直
6
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线过点
，当直线与双曲线
有且仅有一个公共点时，点
到直线的距离为
．
(1)求双曲线
的标准方程．
(2)当直线与双曲线
交于异于
的两点
时，记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
．是否存
在实数
，使得
成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
10．（2024·高三·上海·阶段练习）如图，设椭圆
为
的左､右焦点，过点
的
直线与
交于
两点.
(1)若椭圆
的离心率为
的周长为6，求椭圆
的方程；
(2)求证：
为定值；
(3)是否存在直线，使得
为等腰直角三角形？若存在，求出
的离心率的值，若不存在，请说明
理由.
11．（2024·广东·一模）在平面直角坐标系中，
，
，M 为平面内的一个动点，满足：
．
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)设动直线
与曲线C 有且只有一个公共点P，且与直线
相交于点Q，该平面上是否存在
定点H，使得以PQ 为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．
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12．（2024·广东江门·一模）已知椭圆
的离心率是
，过点
的动直线与
椭圆相交于
，
两点，当直线与
轴垂直时，直线被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)是否存在与点
不同的定点
，使得
恒成立?若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说
明理由.
13．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知椭圆
与双曲线
的离心率的平方和
为
.
(1)求
的值；
(2)过点
的直线与椭圆
和双曲线
分别交于点
，
，
，
，在
轴上是否存在一点
，直
线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，使得
为定值？若存在，请
求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
14．（2024·福建厦门·二模）已知
，
，
为平面上的一个动点.设直线
的斜率分别为
，
，且满足
.记
的轨迹为曲线
.
(1)求
的轨迹方程；
(2)直线
，
分别交动直线
于点
，过点
作
的垂线交
轴于点
.
是否存在最大值？
若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
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15．（2024·北京怀柔·模拟预测）椭圆
的离心率为
，
，
是椭圆的左、右焦点，
以
为圆心、
为半径的圆与以
为圆心、
为半径的圆的交点在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程和长轴长；
(2)已知直线
与椭圆C 有两个不同的交点A，B，P 为x 轴上一点.是否存在实数k，使得
是以
点P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由.
16．（2024·福建漳州·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
是
上的点，直
线
的斜率为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
作两条相互垂直的直线分别交
于
两点和
两点，
的中点分别记为
，且
为垂足．试判断是否存在点
，使得
为定值？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，
请说明理由．
17．（2024·高三·甘肃定西·开学考试）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在
我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．
步骤1：设圆心为E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2 和3，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为6 的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上
9
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述方法折纸．
(1)以点F、E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C 的标准方程；
(2)若过点
且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点
，使得直线TM，TN 的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．
18．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xQy 中，圆O：
．
(1)P 为直线l：
上一点．
①若点P 在第一象限，且
，求过点P 的圆O 的切线方程；
②若存在过点P 的直线交圆O 于点A，B，且B 恰为线段AP 的中点，求点P 纵坐标的取值范围；
(2)已知
，M 为圆O 上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使
为定值，若存在，求出
D 坐标；若不存在，说明你的理由．
19．（2024·四川成都·模拟预测）已知点
是椭圆
的右焦点，过原点的直线交椭圆
于
两点，△
面积的最大值为
，
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知过点
的直线与椭圆
交于
两点，是否存在定点
，使得直线
的斜率之和为
定值？若存在，求出定点
的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
20．（2024·高三·天津南开·阶段练习）已知椭圆C：
，若椭圆的焦距为4 且经过点
，过点
的直线交椭圆于P，Q 两点．
(1)求椭圆方程；
10
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(2)求
面积的最大值，并求此时直线
的方程；
(3)若直线
与x 轴不垂直，在x 轴上是否存在点
使得
恒成立？若存在，求出s 的值；
若不存在，说明理由．
21．（2024·广东深圳·一模）已知动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离的比为常数
．
其中
，且
，记点
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点
，若曲线
上两动点
均在
轴上方，
，且
与
相交于点
．
①当
时，求证：
的值及
的周长均为定值；
②当
时，记
的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数
，使得
恒成立？若
存在，求
（用
表示）；若不存在，请说明理由．
11
