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重难点专训09 导数中的零点问题及方程的根（含隐零点）
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题型一：利用导数判断或讨论零点（方程根）的个数....................................................................................3
题型二：已知函数零点（方程根）的个数求参数范围....................................................................................7
题型三：图象交点问题.......................................................................................................................................11
题型四：隐零点问题..........................................................................................................................................16
题型五：零点差问题..........................................................................................................................................21
题型六：同构代换解决零点问题......................................................................................................................28
题型七：max 函数和min 函数的零点问题......................................................................................................31
重难专题分层过关练..........................................................................................................................37
巩固过关...............................................................................................................................................................37
创新提升...............................................................................................................................................................46
一、极值与单调性分析法
该方法是通过导数深入分析函数性质，进而判断零点（根）个数的基础方法，核心在于结合极值符号
与单调性把握函数图象走势。
基本步骤：（1）求导确定函数的单调区间和极值点，明确函数在各区间的增减趋势；
（2）计算极值点处的函数值（极值）及区间端点的函数值或极限趋势；
（3）结合极值的正负、单调性及零点存在定理，判断零点个数。若极值与端点值异号，且函数在区
间内单调，则可确定存在唯一零点。
核心应用：①直接判断零点（根）个数：通过分析极值与0 的大小关系（如极大值小于0 则无零点，
极小值大于0 则无零点）；
②求参数范围：根据零点（根）个数要求，建立关于极值符号的不等式，进而解出参数取值范围。
关键技巧：关注函数在区间端点的极限趋势（如
时的函数值变化），辅助判断零点存在性。
二、数形结合法
通过图象直观分析零点个数，尤其适用于含参数的复杂问题，核心是将方程解的个数转化为函数图象
交点个数。
解题过程：将方程
变形为
，则函数
的零点个数等价于函数
与
图象的交点个数。
对于含参数问题，可通过观察参数变化对函数图象的影响（如平移、伸缩），结合交点个数要求确定
参数范围。例如，将参数分离后转化为
，分析直线
与
的交点个数。
三、构造辅助函数法
通过构造新函数将零点问题转化为更易分析的形式，核心是利用转化思想简化问题难度。
根据方程或不等式特征构造辅助函数，常见形式包括：
①移项构造差函数（如
构造为
；
②分离参数后构造函数（如
构造
分析值域）；
③结合不等式变形构造（如含指数、对数的方程可通过恒等变形简化）。
具体步骤：（1）对构造的函数求导，确定其单调区间、极值点和最值；
（2）结合零点存在定理，分析函数在给定区间内的零点分布；
（3）将零点问题、方程根问题与函数图象交点问题相互转化，凸显导数的工具作用。
特殊技巧：对于无法直接求解的“隐零点”，可设其为
，利用
建立关系，通过单调性分
析其范围。
四、隐零点的处理
隐零点问题的核心是：导函数的零点能确定存在，但算不出具体值，这时候不用硬求它的具体数，而
是利用它的性质来解题，关键思路是“设而不求、用性质、整体换”，具体分三步做：
第一步：确定隐零点
要先搞清楚导函数到底有没有零点，是不是只有一个，再把零点的范围缩小到好计算的区间里：
①先判断“有没有零点”：找两个数
和
（
），算导函数在
和
处的值，如果这两个值一
正一负，就能确定
和
之间一定有个隐零点；
②再判断“是不是只有一个零点”：求导函数的导数（二阶导数），看导函数本身是增还是减——如
果导函数单调，那它最多只有一个零点，就能确定隐零点是唯一的；
③最后缩小零点范围：用特殊值试算，比如导函数里有
，就试
；有
，就试
，最终把零点范围锁定在长度为1 的整数区间里，方便后续计算。
第二步：判断原函数单调性
隐零点是个“分界点”，能帮我们分清原函数什么时候增、什么时候减，进而找到最值：
以隐零点
为界，看
在
左边和右边时，导函数的符号：
如果
时导函数为正，
时导函数为负，那原函数在
时递增，
时递减，
处就
是原函数的最大值；
反过来，如果
时导函数为负，
时导函数为正，原函数就先减后增，
处是最小值。
简单说：隐零点处的函数值，就是原函数的最值。
第三步：整体代换
隐零点
满足
，我们就利用这个等式变形，把复杂的项换掉，再代入最值计算：
①先变形等式：比如
，就改成
；如果是
，就改成
；
②再代入计算：把变形后的式子代入原函数的最值里，消掉
或
这类复杂项，
题型一：利用导数判断或讨论零点（方程根）的个数
典例1-1．讨论
的零点个数．
【答案】答案见解析
【详解】因为
，所以
不是零点，
由
，可得
，
令
，求导可得
，
令
，可得
，解得
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，
作出函数
的图象的示意图如图所示
所以当
，函数
有两个零点；
当
时，函数
有一个零点，
当
时，函数
没有零点，
综上所述：当
时，函数
没有零点；
当
时，函数
有一个零点；
当
时，函数
有两个零点.
典例1-2．已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，讨论方程
的根的个数.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【详解】（1）
的定义域为
，则
，
因
，由
，解得
，
①当
时，
恒成立，
所以
的无递增区间，递减区间为
；
②当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
③当
时，
，
令
，得
；令
，得
，
所以
的递增区间为
，递减区间为
；
综上所述，
当
时，
无递增区间，递减区间为
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；
当
时，
的递增区间为
，递减区间为
；
（2）由题设
，
令
，则
，即
在
上单调递增，
故上式
中满足
，则有
，可得
，
令
，则
，由
解得
.
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
且
，当
时，
，
故
.
结合图象，可知，
当
时，方程
有0 个实根；
当
或
时，方程
有1 个实根；
当
时，方程
有2 个实根.
变式1-1．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求a，b；
(2)讨论
在
的零点个数．
【答案】(1)
，
．
(2)有且仅有两个零点.
【详解】（1）
，
令
，得
，
当
时，
，
递减；
当
时，
，
递增；
所以
的减区间是
，
的增区间是
；
（2）由（1）知当
时，
取得极小值
，无极大值；
（3）易知
，
，
，
由（1）作出函数
的大致图像，如图所示：
由图象知：当
或
时，方程
无实根；
当
时，方程
有2 个实根；
当
或
时，方程
有1 个实根；
题型二：已知函数零点（方程根）的个数求参数范围
典例2-1．若函数
有2 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
有两个零点，
故
有两个不同的解，
所以
有两个不同的解，
故
有两个不同的解，
设
，则
，故
为
上的单调增函数，
而
时，
，
时，
，故
的值域为
，
故
在
上有两个不同的零点，
设
，则
，
当
时，
；当
时，
；
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
故
即
，
此时当
时，
，
时，
，
故
时，
确有两个不同的零点，综上
.
故选：D.
典例2-2．已知函数
(1)若曲线
在点
处的切线斜率为
求
的值；
(2)若
有
个实数解，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
由导数的几何意义可得
，整理可得
，解得
.
（2）由
可得
或
，列表如下：
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，函数
的增区间为
和
，减区间为
，
函数
的极大值为
，极小值为
，如下图所示：
由图可知，当
或
时，直线
与函数
的图象有两个公共点，
此时，方程
有
个实数解.
故实数
的取值范围是
.
变式2-1．（多选）已知函数
在
上是增函数，在
上是减函数，且方程
有3 个实数根，它们分别是
.则（ ）
A．
B．若
是对称中心，则极小值是-12
C．
D．
【答案】ACD
【详解】已知函数
在
上是增函数，在
上是减函数，所以在
取得极
大值，则
，
由
，得
，所以A 正确.
方程
有一个根是
，则
，得
，
由函数对称中心是
，可得
，
代入得
，化简得
，
联立
，解得
，则
，
求导得
，令
，解得
或
，
可知函数在
单调递增，在
上单调递减，所以在
处取得极小值，
则
，所以B 错误.
已知
，可得
，因为
在
上是减函数，所以
，
即
，解得
.
由
，得
，则
，
由
，可得
，所以
，所以C 正确.
因为方程
有3 个实数根
，所以设
，
所以
，得
，
由
得
，
因为
，所以
，所以
，所以D 正确.
故选：ACD.
变式2-2．已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
的极小值小于
，求m 的取值范围；
(3)当
时，证明：
有2 个零点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，
整理得：
．
（2）函数
的定义域为
，且
，
① 当
时，易得
，
在
上单调递减，则
无极小值，不合题意；
② 当
时，由
，得
，即
在
上单调递增；
由
，得
时，即
在
上单调递减，
所以
的极小值为：
，
因为
的极小值小于
，所以
，即
．
令
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以由
可得
.
（3）
．
令
，得
，
令
，则
与
有相同的零点，
且
．
令
，则
，
因为
，则
，所以
在区间
上单调递增，
又
，
，所以
，使得
，
所以当
时，
，即
；当
时，
，即
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
的最小值为
．
由
，得
，
即
，
令
，
，则
，则
在
单调递增．
因为
，所以
，则
，
所以
，从而
，
，
所以
的最小值
．
当
趋近于0 时，
趋近于0 或
时，
趋近于
，
又因
，所以
，
所以
有2 个零点，故
有2 个零点．
【点睛】关键点点睛：求
单调性及最值，需要引入隐零点
，
因为这个隐零点不好代入消元求值，需要再同构函数
，则可得隐零点满足
，
，
从而再代入隐零点即可求出
的最小值
，再结合两边的极限值，从而问题得证．
题型三：图象交点问题
典例3-1．已知直线
与函数
的图象有两个不同的交点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
令
，得
，所以直线
与
的图象相切时的切点为
，此时
，
所以当
时，直线
与
的图象有两个不同的交点．
故选：A.
典例3-2．已知函数
的定义域为
，导函数为
，满足
，
.
(1)讨论函数
(
)在
上的单调性，并证明：
；
(2)求函数
的图象与函数
的图象的交点个数.
【答案】(1)单调性见解析，证明见解析
(2)2
【详解】（1）令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，由
，得
，
①当
时，
，
在
上单调递增；
②当
时，
对任意
恒成立，
此时
在
恒成立，
在
上单调递减；
③当
时，
，所以
对任意
恒成立，
此时
在
恒成立，
在
上单调递增；
④当
时，令
得
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增,
在
上单调递减；
因此，
取
得，
，即
；
取
得，
，即
;
故
.
（2）法一：题意等价于方程
的不同解的个数，
令
，又等价于函数
的不同零点个数，
则
.
令
，则
.
因此
在
上单调递增，由于
为增函数，
，
故
，
因此存在
，使得当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
而
，
，
故
在
，
分别存在唯一零点
因此函数
的图象与函数
的图象的交点个数为
.
法二：题意等价于方程
的不同解的个数，
令
，又等价于函数
的不同零点个数，
则
，
令
，则
，
，
故
在
上单调递增，且
，
，
因此存在
，使得当
时，
；当
时，
，
故
在
递减，在
递增，
而
，
，
，
故
在
，
分别存在唯一零点，
因此函数
的图象与函数
的图象的交点个数为
.
变式3-1．已知函数
．
(1)若
，求函数
在
内的最值；
(2)若
，证明：当
时，曲线
与曲线
在
内有一个交点．
【答案】(1)最小值为5，最大值为
；
(2)证明见解析.
【详解】（1）当
时，
，
所以
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
因此当
时，
取得最小值，最小值为
，
因为
，
故
在
内的最小值为5，最大值为
；
（2）根据题意有
，
要证当
时，曲线
与曲线
在
内有一个交点，
即证当
时，方程
在
内有一个根，
因为
，所以
，令
，
即证直线
与函数
的图象在
内有一个交点，
所以
,
令
，所以
，
则当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
则
，
故当
时，
，所以
单调递增,
又
，则
在
内的值域为
,
因为
，则当
时，直线
与函数
的图象在
内有一个交点恒成立,
所以当
时，曲线
与曲线
在
内有一个交点成立．
变式3-2．设函数
．
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)
，是否存在
，使得曲线
在点
处的切线与
至少有2 个
交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)存在唯一实数
.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以
在
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为R，
，
不等式
（*）恒成立，
令
，则
，函数
为奇函数，
显然
，则由（*）可得，当
时，
恒成立，
求导得
，
，
当
，即
时，令
，求导得则
，
令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，
函数
在
上单调递增，则
，
函数
在
上单调递增，因此
符合题意；
当
时，
，由函数
图象连续不断，则存在
，使得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，当
时，
，不符合题意，
因此当
时，
恒成立，可得
，
由奇函数性质知，当
时，
恒成立，即
时，
恒成立，
故
的取值范围为
.
（3）令函数
，其定义域为
，求导得
，
则
，曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，整理得
，
令函数
，求导得
，
由
，得
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
函数
所有的极大值为
，
当
时，极大值等于0，即
；当
为正整数时，极大值全部小于0，即
在
无零点，
当
为负整数时，极大值全部大于0，
函数
所有的极小值为
，
当
时，极小值
，
函数
在R 上的图象连续不断，因此在区间
上的图象与
轴有一个交点，
因此函数
至少有2 个零点，
所以对任意实数
，曲线
在点
处的切线与
至少有2 个交点.
题型四：隐零点问题
典例4-1．已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）求证：函数
的图象在
轴上方.
【答案】（1）单调递增区间
，单调递减区间为
；（2）证明见解析.
【详解】（1）由题意，函数
，则
令
，解得
，
当
时，
，所以函数
单调递增，
当
时，
，所以函数
单调递减，
所以函数
在区间
单调递增，在区间
单调递减.
（2）由题意，函数
，则
，
可得函数
的递增，
因为
，
所以在
上存在一个
，使得
即
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
所以
，
所以
，
所以
的图象在
轴的上方.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能
力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相
应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值
问题．
典例4-2．已知函数
，
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数
在区间
有唯一零点
，证明：
.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）求导得
， 分
，
，
，三种情况讨论可得
单调区间.
（Ⅱ）由（1）及
可知：仅当极大值等于零，即
且
所以
，且
，消去
得
，构造函数，证明
单调且零点存在且唯一即可.
试题解析：（Ⅰ）
，
，
令
，
，
若
，即
，则
，
当
时，
，
单调递增，
若
，即
，则
，仅当
时，等号成立，
当
时，
，
单调递增.
若
，即
，则
有两个零点
，
，
由
，
得
，
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增.
综上所述，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，
在
上单调递减.
（Ⅱ）由（1）及
可知：仅当极大值等于零，即
时，符合要求.
此时，
就是函数
在区间
的唯一零点
.
所以
，从而有
，
又因为
，所以
，
令
，则
，
设
，则
，
再由（1）知：
，
，
单调递减，
又因为
，
，
所以
，即
点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数
较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在
零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，
往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形
结合的数学思想方法.
变式4-1．已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程.
(2)讨论
的单调性.
(3)求证：若
，
有且仅有一个零点.
【答案】(1)
；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以函数
的图象在
处的切线方程为
，即
.
（2）函数
的定义域为
，
求导得
，
①当
时，由
，得
，由
，得
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
②当
时，由
，得
，由
，得
，
则函数
在
上单调递增，在
，
上单调递减；
③当
时，
，函数
在
上单调递减；
④当
时，由
，得
，由
，得
，
则函数
在
上单调递增，在
，
上单调递减，
所以当
时，函数
的递增区间为
，递减区间为
；
当
时，函数
的递增区间为
，递减区间为
，
；
当
时，函数
的递减区间为
；
当
时，函数
的递增区间为
，递减区间为
，
.
（3）①当
时，函数
在
上单调递减，而
，
，
因此存在唯一
使
，则
有且仅有一个零点；
②当
时，函数
在
处取得极小值
，
令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
，即
，
，当
时，
，则
，
因此存在唯一
使
，则
有且仅有一个零点；
③当
时，函数
在
处取得极小值
，
，
同理存在唯一
使
，则
有且仅有一个零点，
所以
有且仅有一个零点.
变式4-2．已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
对
恒成立，求a 的取值范围；
(3)证明：若
在区间
上存在唯一零点
，则
．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题设
，
当
时，令
，则
，
若
，则
，
在
上递减；
若
，则
，
在
上递增；
综上，
时
的递减区间为
，递增区间为
.
（2）由
，
当
时，
在
上恒成立，故
在
上递增，则
，满足要求；
当
时，由（1）知：
在
上递减，在
上递增，而
，
所以
在
上递减，在
上递增，要使
对
恒成立，
所以，只需
，
令
且
，则
，即
递减，
所以
，故在
上
不存在
；
综上，
.
（3）由（2）知：
时，在
恒有
，故不可能有零点；
时，
在
上递减，在
上递增，且
，
所以
上
，无零点，即
，且
趋向于正无穷时
趋向正无穷，
所以，在
上存在唯一
，使
，
要证
，只需
在
上恒成立即可，
令
，若
，则
，
令
，则
，即
在
上递增，故
，
所以
，即
在
上递增，故
，
所以
在
上恒成立，得证；
故
.
【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定
在某一单调区间上存在唯一零点的a 的范围后，应用分
析法证
恒成立即可.
题型五：零点差问题
典例5-1．已知
，函数
的图象在点
处的切线方程为
.
(1)求a，b 的值;
(2)若方程
（e 为自然对数的底数）有两个实数根
，且
，证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为
，所以
，
由题意知
，所以
，
联立方程组
，解得
.
（2）由（1）可知
，
，
，设
，
，
所以
即
在
上单调递增.
又
，所以存在
，使得
，
且
时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
设
，令
，
则
，
因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增.
又
，所以当
时，
，当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
故
，即
，当且仅当
时，等号成立.
因为方程
有两个实数根
，且
，
也就是
，且注意到
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
.
设
的根为：
，则
，
又
在
上单调递增，所以
，
故
①.
易知
的图象在坐标原点处的切线方程为
，
令
，
则
，
因为
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增.
又
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
，
，当且仅当
时，等号成立.
因为
，所以
，即
.
设
的根为
，则
，
又
在
上单调递减，
所以
，所以
，
从而
②.
由①②可知：
.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是构造适当的函数分别得到
，
，由此即
可顺利得解.
典例5-2．已知函数
．（
）在
处的切线l 方程为
．
(1)求a，b，并证明函数
的图象总在切线l 的上方（除切点外）；
(2)若方程
有两个实数根
，
．且
．证明：
．
【答案】(1)
；证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解：将
代入切线方程
，有
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
若
，则
，与
矛盾，故
，
．
∴
，
，
，
设
在
处的切线方程为
，
令
，
即
，所以
，
当
时，
，
当
时，设
，
，
故函数
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，当
时，
，
综合得函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故
，
即函数
的图象总在切线的上方（除切点外）．
（2）解：由（1）知
，
设
的根为
，则
，
又函数
单调递减，故
，故
，
设
在
处的切线方程为
，
因为
，
，所以
，所以
．
令
，
，
当
时，
，
当
时，设
，则
，
故函数
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，当
时，
，
综合得函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，即
．
设
的根为
，则
，
又函数
单调递增，故
，
故
，又
，
所以
．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
变式5-1．已知函数
在点
处的切线和直线
垂直．
求a 的值；
对于任意的
，证明：
；
若
有两个实根
，
，求证：
．
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】解：
由点
处的切线与直线
垂直，
得该切线斜率为2，即
．
又
，令
，解得
，
．
令
，
，
显然
时
，当
时，
，
函数
在
上单调递减．
当
时，
，
函数
在
上单调递增，
．
对于任意的
，
；
证明：由
可得
，
，
函数
在点
处切线的斜率
，
可得在
处切线方程为
根据图象可得
，
记直线
，
分别与
交于
，
，
可得
，
，
，
故
因等号成立的条件不能同时满足，故
．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想、属于难题．
变式5-2．已知函数
．
（1）当
时，求函数
在
处的切线方程；
（2）当
时恒有
成立，求满足条件的m 的范围；
（3）当
时，令方程
有两个不同的根
，
，且满足
，求证：
．
【答案】（1）
；（2）
（3）证明见解析.
【详解】（1）由题意，当
时，
，
．
．
∵
．
∴函数
在
处的切线方程为：
．
（2）由题意，当
时恒有
成立，
即
对任意
成立．
∵当
时，
恒成立，
∴
对任意
恒成立．
∴
．
∴m 的取值范围为
．
（3）证明：由题意，当
时，
．
．
①令
，即
，
根据图，很明显交点的横坐标在1 与之间，设为
，
即
的解为
，（
），且
．
②令
，即
x，解得
；
③令
，即
，解得
．
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，在
处取得极小值．
∵
，
．
∴根据题意，画图如下：
由图，①设函数
在
处的切线为，
∵
．
∴直线的直线方程：
，
令
，解得
；
②设函数
在
处的切线为
，
∵
．∴直线
的直线方程：
，
令
，解得
．
∴
【点睛】1. 恒成立问题一般是通过分离变量，转化为最值问题.
2. 函数的零点或者方程的根有关的问题常用数形结合的思想来解决.
题型六：同构代换解决零点问题
典例6-1．已知函数
，若函数
在区间
内存在零点，求实数
的取值
范围.
【答案】
.
【详解】解：方法一：由
可得
，
设
，
，
，则
，令
，
在
单调递减，在
单调递增，
故
.
①当
时，令
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
，此时
在区间
内无零点；
②当
时，
，此时
在区间
内有零点；
③当
时，令
，解得
或或
，且
，
此时
在
单减，
单增，
单减，
单增，
当
或
时，
，此时
在区间
内有两个零点；
综合①②③知
在区间
内有零点
.
方法二：由题意可得
，即
，
因为
当
时等号成立，
所以
，即
，
，令
，
，
易知
在
单减，在
上单增，所以
，
又
趋近于
和正无穷时，
趋近于正无穷，
所以
.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
典例6-2．已知函数
和函数
，且
有最大值为
．
(1)求实数a 的值；
(2)直线y＝m 与两曲线
和
恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为
，
，
，且
，证明：
．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【详解】（1）
的定义域为R，且
，
，
当
时，
，
递增；当
时，
，
递减；
所以
，
所以
，解得
，又
，所以a＝1.
（2）证明：由（1）可知：
在
递增，在
递减，
又
，所以
在
递增，在
递减，
和
的图象如图所示：
设
和
的图象交于点A，则当直线y＝m 经过点A 时，
直线y＝m 与两条曲线
和
共有三个不同的交点，
则
，且，
，
，
因为
，所以
，即
，
因为
，
，且
在
递增，所以
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，
，且
在
递减，
所以
，所以
，
所以
，即
．
【点睛】函数
零点问题：
（1）转化为方程
的根；
（2）转化为函数
与
轴交点的横坐标；
（3）转化为两个函数图象交点的横坐标.
变式6-1．已知
，函数
，函数
．
(1)若对
，
恒成立，求a 的取值范围；
(2)若方程
有两个根，求a 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）由题设
且
，故
时
，
时
，
所以
在
上递减，在
上递增，即
，
要使
，
恒成立，则
，可得
.
所以a 的取值范围为
.
（2）由题设，
在
上有两个根，
所以
，
令
，则
，即
单调递增，而
，
所以
，问题转化为
在
上有两个根，
若
，则
，故
时
，
时
，
所以
在
上递增，在
上递减，则
，且在
、
上的值域均为
，
综上，
，故
.
【点睛】关键点点睛：第二问，应用同构思想，将等量关系化为
，构造
研究单调性，进一步转化为
在
上有两个根.
变式6-2．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)设函数
，若函数
有两个零点，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为
；单减区间为
(2)
【详解】（1）函数的定义域为
，
．
函数
的单调递增区间为
；单减区间为
．
（2）要使函数
有两个零点，即
有两个实根，
即
有两个实根．
即
．
整理为
，
设函数
，则上式为
，
因为
恒成立，所以
单调递增，所以
．
所以只需使
有两个根，设
．
由（1）可知，函数
）的单调递增区间为
；单减区间为
，
故函数
在
处取得极大值，
．
当
时，
；当
时，
，
要想
有两个根，只需
，解得：
．
所以a 的取值范围是
．
【点睛】对于导函数求解参数取值范围问题，同构是一种很重要的方法，特别是当条件中同时出现了指数
函数与对数函数，比如同时出现了
与
的时候，要能从同构的角度去思考.
题型七：max 函数和min 函数的零点问题
典例7-1．已知函数
，其中
表示
，
中的最大值，若函
数
有3 个零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】
令
，
，
当
时，
，
在区间
内无零点；
当
时，
，
，
当
，即
时，
为函数
的零点.
当
时，令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
在区间
上单调递减，区间
上单调递增，
，
.
当
时，
在区间
内有两个零点.
综上，当
时函数有三个零点.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键是题干中“
表示
，
中的最大值”的理解，然后再分区间讨论
零点情况.
典例7-2．已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
的导数分别为
，且
，求a 的取值范围；
(3)用
表示m，n 中的最小值，设
，若
，判断函数
的零点个数．
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)
(3)
时，
无零点，当
时
有2 个零点
【详解】（1）
，令
得，
或
（不合题意舍去），
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值．
（2）由（1）得，
时，
，
对
求导得，
，
时，
恒成立，
所以
时，
恒成立，设
，
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
所以
，即a 的取值范围是
．
（3）因为
，设
，则
，
①若
，令
，解得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
时，
没有零点；
②若
，由（1）知，
当
时，
，
在
上单调递增，
又
，所以
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，且
，
存在唯一
，使得
，则
，
当
时，
，即
在
单调递增，
所以
，
当
时，
在
上单调递减，且
，
所以存在唯一
，使得
，
综上所述，
时，
无零点，当
时
有2 个零点．
变式7-1．已知函数
，
.
(1)若曲线
与曲线
在
处的切线平行，求实数
的值；
(2)定义
，记函数
，若函数
有三个零点，求实数
的
取值范围.
【答案】(1)
.
(2)
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
，所以
，
解得
.
（2）令
，解得
，易知
在R 上单调递增.
当
时，
，由
，得
，
此时函数
有三个零点，符合题意.
当
时，
.由
，得
或
，
则
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，若函数
有三个零点，则
，
解得
.
当
时，
.由
，得
或
，
(ⅰ)当
，即
时，则
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
，此时函数
没有零点，不符合题意；
(ⅱ)当
，即
时，因为
在
上单调递减，且
，此时函数
无零点，
不符合题意；
(ⅲ)当
，即
时，
在
，
上单调递减，在
上单调递增.
①若
，则函数
至多有两个零点，不符合题意；
②若
，则
，
此时
，
此时函数
有三个零点，符合题意；
③若
，得
，
，
记
，因为
，
，单调递增；
所以
，此时函数
有四个零点，不符合题意.
综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：(ⅲ)当
，通过讨论
，
，
三类情况确定零点个数.
变式7-2．已知函数
.
(1)若
是
的极大值点，求
的值；
(2)用
表示
中的最大值，设函数
，试讨论
零点的个数.
注：若
，当
时，
，当
时，
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）解：由函数
，可得
，
因为
是
的极大值点，则
，解得
，
当
时，可得
，
当
时，
，令
，则
，
所以
在
上单调递减，则
，即
，
此时
在
上单调递增；
当
时，令
，可得
，则
，
故
即
单调递减，
又因为
，所以当
时，
单调递减，
所以，当
时，
是
的极大值点，符合题意.
（2）（I）由函数
，
当
时，
，
，此时
无零点；
（II）当
时，可得
，
①若
，即
时，
，
此时
不是
的零点；
②若
，即
时，
，
此时
是
的零点；
（III）当
时，
，
零点个数等于
零点个数，
显然
是
的一个零点；
当
时，
可转化为
，
令
，则
，
由（1）知，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增，
且当
时，
，当
时，
，
可得
，函数
的图象所示：
①当
或
或
时，
有1 个零点；
②当
或
时，
有2 个零点；
③当
时，
无零点.
综合（I）（II）（III）得：
当
或
时，
有2 个零点；
当
或
或
时，
有3 个零点；
当
或
时，
有4 个零点.
巩固过关
1．已知函数
，
，若函数
有5 个零点，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，可知：
当
时，
，故
为
的1 个零点；
故当
时，函数
有4 个零点，即
有4 个非0 实数根，
即
有4 个非0 实数根，
即
与
图象有4 个交点，
当
时，
，
当
时，则
，令
得
，
所以当
时
，当
时
，
则函数
在
单调递增，在
上单调递减，
又
，
时
，
时
，
且
时
，
时，
，
所以
图象如图所示：
由图可得
，解得
.
故选：D.
2．已知函数
（
），
．
(1)若
，
的导数分别为
，
，且
，求a 的取值范围；
(2)用
表示a，b 中的最小值，设
，若
，判断
的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为
（
），所以
，由
得
，
因为
，所以
，
所以问题转化为
时
恒成立，即
时
恒成立，
设
（
），则
，
时
，
单调递减，
时
，
单调递增，
所以
，
所以
，即a 的取值范围是
．
（2）因为
，设
，则
，
（ⅰ）若
，
时
，
单调递增，
时
，
单调递减，
所以
，
所以
时
，
，
，
没有零点，
（ⅱ）若
，
由（1）知
，
当
时，
，
在
上单调递增，且
，所以
，
当
时，
单调递增，且
，
，
存在唯一
使得
，则
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
在
上单调递减，
且
，
，
所以存在唯一
使得
，
，
综上，
时
没有零点，
时
有2 个零点．
3．函数
，函数
，若方程
恰有3 个不相等的实数
根，则实数m 的取值范围是
【答案】
【详解】对于方程
，
当
时，则
，可知0 为方程
的一个根；
当
时，则
，整理得
；
当
时，则
，整理得
；
构建
，由题意可知：
与
有且仅有2 个交点，
若
，则
，
当
时，
；当
时，
；
可知
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
且当x 趋近于0 时，
趋近于
；当x 趋近于
时，
趋近于0；
若
，可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
且当x 趋近于
或0 时，
趋近于
；
据此可作出函数
的图象，如图所示：
若
与
有且仅有2 个交点，结合图象可知：
，
所以实数m 的取值范围是
.
故答案为：
.
4．已知函数
.若
恰有4 个零点，则实数
的取值范围是
.
【答案】
【详解】由题意有：
恰有4 个零点，令
，即
，所以
与
的函数图像
有4 个交点，
当
时，设
与
相切于点
，
即
，解得
，
即
与
相切，
当
时，
，所以
，
令
，解得
，由
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
的极小值为
，
设
与
相切与点
，
所以
，
所以切线方程为：
，又
过点
，
所以
，解得
，即
，
所以
与
相切，
作出
的函数图像：
由图可知：当
时，
与
有3 个交点，
当
时，
与
有两个交点，
所以
与
的函数图像有4 个交点，即
，
故答案为：
.
5．已知函数
，若方程
有两个不同的实数解，则实数a 的取值范
围是 .
【答案】
【详解】由题目条件可得：
，又
.
令
，可得：
，则
，
即
，则
，且
，
令
，则
；
.
因为
，所以
，
则函数
在区间
上单调递增，
所以
，即
，
所以方程
有两个不同的实数解等价于方程
有两个实数解，
即函数
与
的图象有两个不同的交点.
因为
，
令
，得
；令
，得
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，则
.
又因为当
时，
；当
时，
，
所以
，解得：
.
又因为
，所以
.
故答案为：
6．已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若关于x 的方程
在区间
内有根，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)单调增区间是
，单调减区间是
；
(2)
.
【详解】（1）依题意，
，
，
由
，得
；由
，得
，
故函数
的单调增区间是
，单调减区间是
；
（2）原方程可化为
，即
，亦即
，
若原方程在
有实根，则
与
在
上有交点，
因为
，所以
在
上单调递增，又
，
且
时，
且速度远远快于x，所以
，所以
，
所以要使
与
在
上有交点，则
，
综上，当
时，关于x 的方程
在区间
内有实根.
7．已知函数
，
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)求证：当
时，
；
(3)求
的零点个数．
【答案】(1)
(2)见详细解析
(3)2
【详解】（1）将
代入
可得
，又
，
，所以切线方程为
，即
．
（2）当
时，
，即证明当
时，
，
令
，
，则
，
因为
，有
，所以当
时
，
在
上单调递减，
所以当
时，
，也即
．
（3）
，令
，再求导得
，
因为
，有
，且
，故
，即
在
上单调递减，
又因为
时，
，
，且
单调递减，
可知
在
上有且仅有一个零点
，其中
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
又因为
，则
，且
时，
，
时，
，
所以
有2 个零点，
综上，
的零点个数为2．
8．已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
存在两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）依题意得
，要证
，只需证
，
令
，所以
.
设
，
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
所以当
时,
，即
，所以
在区间
上单调递增，
故当
时,
.
故当
时，
，即
.
（2）
，
.
若
，则
，所以
在
上单调递增，所以
至多有1 个零点，舍去；
若
，令
，解得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
因为
，所以当
时，
;当
时，
;
由
存在两个零点，得
，即
，所以
,所以
.
综上所述，
的取值范围是
.
设
，
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，从而
，即
，
此时
，由(1)知，
，且
，
所以
在区间
和区间
内分别存在唯一零点，符合题意.
综上所述，若
在定义域内存在两个零点，则
的取值范围是
.
解法二：
因为
，所以
不是
的零点.
所以
存在两个零点等价于关于
的方程
有两个不同的解，
即函数
的图象与常数函数
的图象有两个不同的交点.
因为
，
当
或
时，
；当
时，
.
所以
在区间
和
上单调递减，在区间
上单调递增.
当
时，
；当
时，
.
当
时，因为
在区间
上单调递减，
此时
与
至多一个交点，舍去；
当
时，要使得
与
有两个交点，需满足
，
在
的条件下，
因为
及
，且
在区间
上单调递减，
所以
与在区间
上恰1 个交点；
由(1)知，
，
又因为
，且
在区间
上单调递增，
所以
与
在区间
上恰1 个交点.
综上所述，若
在定义域内存在两个零点，则
的取值范围是
.
创新提升
1．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若函数
在区间
上有零点，求
的取值范围.
【答案】(1)
的极大值为0，无极小值．
(2)
【详解】（1）当
时，
，
则
，
由
得，即
，得
，
由
得，即
，得
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
得
在
处取得极大值，
，无极小值．
故
的极大值为0，无极小值．
（2）
，
当
时，因为
，所以
，
在区间
上单调递增，且
，
因为
在区间
上有零点，
所以
， 解得
，
所以
；
当
时，
由
，得
，
当
时，即
，得函数
在
上单调递减，
而
，
则
在区间
上没有零点，
当
时，即
，
由
得，即
，得
，
由
得，即
，得
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，
因为
在区间
上有零点，
，
得
令
，
因为函数
，
在
上是增函数，
所以函数
在
上是增函数，
又
，所以
，
综上所述，
的取值范围是
.
2．已知函数
.
(1)求函数
在
上的单调递减区间；
(2)当
时，
，求
的最大值；
(3)证明：方程
在
上有唯一实数解.
【答案】(1)
(2)e
(3)证明见解析
【详解】（1）因为
，所以
,
，
则
，
当
时，即
时，
，
单调递增；
当
时，即
时，
，
单调递减；
当
，即
时，
，
单调递增.
故所求单调递减区间为
.
（2）因为
，所以
，故由
得
.
设
，则
.
①当
时，则
，所以
在
上单调递增.
从而
，解得
，此时，
.
②当
时，
在
上恒成立，
单调递增，
则需
，即
，此时
；
当
时，则
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
所以
，变形可得
.
此时，
.
设
，
，则
.
当
时，
，
为增函数；
当
时，
，
为减函数.
所以
，即
，当且仅当
，
时取等号.
综合可知
的最大值为e.
③当
时，
在
上单调递减.
从而
，解得
.
此时
.
综上，
的最大值为e.
（3）证明：设
，
则
，
设
，则
，
设
，则
，
而
的导数
，
所以
在
上单调递减.
因为
，
，
所以存在唯一
，使得
.
当
时、
，
单调递增，当
时，
，
单调递减.
又因为
,
,
.
所以存在唯一
，使得
.
当
时，
即
单调递增，当
时，
单调递减，
又因为
，
，
，
所以存在唯一
，使得
.
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
又因为
，
，
，
所以存在唯一
，使得
，
即方程
在
上有唯一实数解.
3．已知函数
，
．
(1)当
时，求
图象在
处的切线方程；
(2)若不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若函数
有两个不同的零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
【详解】（1）
时，
，∴
，
，则
，即切线的斜率为
.
∴
图象在
处的切线方程为
.
（2）
，即
，
∴
由题意，得
对
恒成立.
令
，则
.
.
由
，得
，∴
在
上单调递增；
由
，得
，∴
在
上单调递减.
所以
，
故
.
（3）
，令
，
，
，
因
是单调函数，故
有两个零点，等价于
在
上有两个零点.
方法1：
①当
时，
，则
在
上递减，
最多有一个零点，故不满足题意；
②当
时，
令
可得
，即
在
上单调递增；
令
可得
，即
在
上单调递减.
且当
时，
，则
当
时，与一次函数相比，指数函数
呈爆炸性增长，故
要使
在
上有两个零点，则
，解得
方法2：
在
上有两个零点，等价于方程
有两个实根，即
有两个根
也等价于
与
图象有两个公共点
，则可得
在
递增，
递减
且
，当
时，
，则
当
时，与一次函数相比，指数函数
呈爆炸性增长，故
则
的大致图象为
故当
时，
与
图象有两个公共点，即
有两个零点
4．已知函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)求证：当
时，函数
有且仅有
个零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
，
，
在
处的切线方程为
.
（2）由（1）令
，
则
，
①当
时，
，即
.
②当
时，
，
③当
时，
在
上单调递增.
，
存在唯一
，使得
.
当
时，
，当
时，
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增.
又
，
存在唯一
，使得
，
即当
时，
，当
时，
，
当
时，
有且仅有个零点.
④当
时，
.
综上，当
时，
有且仅有
个零点.
