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重难点培优03 线面、面面平行与垂直的重难题型突破
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................5
题型一 四点共面（★★★★★）................................................................................................................5
题型二 面面平行证明线面平行（★★★★）............................................................................................7
题型三 线面平行的性质定理（★★★★★）............................................................................................8
题型四 线段成比例证明平行（★★★★）................................................................................................9
题型五 垂直问题中全等三角形条件突破（★★★★）..........................................................................10
题型六 线面垂直证线线垂直（★★★★★）..........................................................................................11
题型七 面面垂直的性质定理（★★★★★）..........................................................................................13
题型八 证面面垂直（★★★★★）..........................................................................................................15
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................17
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................17
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................23
一、证明垂直的常见方法
（1）等腰三角形（等边三角形）的三线合一
“
”
如图：AB=AC,D 为BC 中点，则
（2）勾股定理的逆定理
如图：如果
，则
（3）正方形、菱形的对角线互相垂直。
如图：四边形ABCD 是菱形，所以
（4）直径所对的圆周角是
如图：AB 是圆的直径，
（5）通过证线面垂直证线线垂直
注：若题目要证
已知
且
是异面直线，要证
，一般是证
所在的平面。
（6）平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移
二、直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面
平行，记作∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线线
∥
线
面
∥
如果平面外的一条直线和这个平
面内的一条直线平行，那么这条
直线和这个平面平行（简记为线
“
线平行
线面平行
面面
∥
线
面
∥
如果两个平面平行，那么在一个
平面内的所有直线都平行于另一
个平面
三、两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面
和
，若
，则
∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
线面
∥
面面
∥
如果一个平面内有两条相
交的直线都平行于另一个
平面，那么这两个平面平
行（简记为线面平行
“
面面平行
线
面
面面
∥
如果两个平面同垂直于一
条直线，那么这两个平面
平行
∥
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那
么在一个平面中的所有
直线都平行于另外一个
平面
性质定理
如果两个平行平面同时
和第三个平面相交，那
么他们的交线平行（简
记为面面平行
“
线面
平行）
”
面//面
线
面
如果两个平面中有一个
垂直于一条直线，那么
另一个平面也垂直于这
条直线
四、直线与平面垂直
1、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
2、直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平
面内的两条相交直
线都垂直，则该直
线与此平面垂直
面面线面
⊥
⇒
⊥
两个平面垂直，则
在一个平面内垂直
于交线的直线与另
一个平面垂直
平行与垂直的关系
一条直线与两平行
平面中的一个平面
垂直，则该直线与
另一个平面也垂直
平行与垂直的关系
两平行直线中有一
条与平面垂直，则
另一条直线与该平
面也垂直
五、平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
_
_a
_
_b
_a
判定定理
一个平面过另一
个平面的垂线，
则这两个平面垂
直
2、平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于
交线的直线与另一
个平面垂直
题型
一
点
面
四
共
1．如图，在正方体
中，
，
分别是棱
，
的中点．证明：
，
，
，
四点
共面
2．在正方体
中，
，
分别为
，
的中点，若点
满足
，证明：
，
，
，
四点共面.
_
_
_a
3．如图所示的几何体中，底面
是菱形，
，
平面
，
，
，
且平面
平面
.在线段
上是否存在点
，使得
四点共面？若存在，请给出证明；若
不存在，请说明理由.
4．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形
中，
，
，
，
分别为
的中点，且
，将梯形
沿
翻折至梯形
，使得平面
平面
，
得到如图2 的多面体
.
(1)证明：
四点共面；
5．如图，在多面体
中，
平面
，
，四边形
为梯形，
，
，
.
(1)若
是
的重心，证明：
四点共面；
题型二 面面平行
线面平行
证明
【技巧通法·提分快招】
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那
么在一个平面中的所有
直线都平行于另外一个
平面
1．如图，四棱锥
中，
是
上靠近点
的四等分点，
是
上靠近点
的四等分
点，证明：
平面
．
2．如图
，在直角梯形
①
中，
∥
，
，
，
为
的中点，
分别
为
的中点，将
沿
折起，得到四棱锥
，如图②.求证:在四棱锥
中，
平面
∥
.
3．如图，在四棱锥
中，平面
底面
，侧棱
，底面
为直角梯形，
其中
，
为
中点．线段
上是否存在点
，使得
平面
？
题型三 线面平行的
理
性质定
【技巧通法·提分快招】
线面平行性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
线面
∥
线线
∥
如果一条直线和一个
平面平行，经过这条
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直
线就和交线平行
1．如图，四棱锥
的底面为正方形，且
面
.设平面
与平面
的交线为. 证明：
.
2．如图所示，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
为棱
的中点．设平面
与直
线
相交于点
，求证：
平面
．
3．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形
，
，
平面
，
，
，
，
，平面
与棱
交于点
. 再从条件
、条件
、条件
，这三个条件中选择一个作为
①
②
③
已知.
(1)求证：
；
题型四 线
成
平行
段
比例证明
【技巧通法·提分快招】
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线
平行，进而得到线面平行
1．如图，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，
，M 为
上一点，
且
(1)求证：
平面
2．如图，四棱锥
，底面
为菱形，
，点E 在底面
的投影恰好为
的
重心F．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
．
3．（2025·福建三明·模拟预测）如图，等腰梯形
中，
，
，
，垂足
为
，将
沿
翻折，得到四棱锥
．在四棱锥
中，点
，
分别在线段
，
上，且
．
(1)求证：
平面
；
题型五 垂直
题
突破
问
中全等三角形条件
1．如图，直角三角形ABC 所在平面外有一点，且
，
为斜边
的中点.求证:
平面
.
2．（25-26 高三上·河北·开学考试）如图，四棱锥
中，
平面
，底面四边形
为
正方形，
，点
分别为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
3．（24-25 高三上·上海·期中）如图所示四棱锥
，其中
交
于点
.
(1)求证：
平面
；
4．（24-25 高三上·湖北荆州·月考）如图，在棱长为2 的正方体
中，
､
､
分别为棱
､
､
的中点.
(1)求证：
平面
；
题型六 线面垂直
线线垂直
证
【技巧通法·提分快招】
线垂直于面的性
质
如果一条直线垂直
于一个平面，则该
直线与平面内所有
直线都垂直
1．（25-26 高三上·云南昆明·月考）如图，四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
平面
，
，
分别是
上的点，且
．
(1)证明：
(2)已知
四点共面，求
的长．
2．如图，
，
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，
，
分别是
，
的中点，
面
．
(1)证明：
；
3．（25-26 高三上·河南新乡·开学考试）如图，在四棱锥
中，
，
，
且
.
(1)求证：
；
4．（2025·山西太原·一模）如图，在多面体
中，四边形
是边长为2 的菱形，且
，
平面
，平面
平面
，
是等边三角形．
(1)求证：
；
5．（24-25 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）如图，已知三棱柱
，平面
平面
，
，
，
分别是
的中点.
(1)证明：
；
题型七 面面垂直的
理
性质定
【技巧通法·提分快招】
面面垂直性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于
交线的直线与另一
个平面垂直
1．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）如图，在多面体
中，四边形
是边长为4 的菱形，
，
与
交于点O，平面
平面
，
，
，
.
_
_a
(1)证明：
平面
.
2．（25-26 高三上·浙江·月考）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，且四棱锥
的体积为
．
(1)证明：
；
3．（25-26 高三上·广东湛江·月考）如图1，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，点
在
上，且
.将
沿
折起，使得平面
平面
，如图2.
(1)求四棱锥
的体积；
(2)若点
在图2 中线段
上，且
，证明：
平面
.
4．如图，在三棱柱
中
，
，
，平面
平面
，平面
平面
，点
，
分别在棱
，
上，且
.
(1)求证：
；
5．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，平面
平面
，底面
为直角
梯形，
，
，
与
相交于点
，点
满足
，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求
的长度；
题型八
面面垂直
证
【技巧通法·提分快招】
平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一
个平面的垂线，
则这两个平面垂
直
1．（25-26 高三上·安徽·开学考试）如图，在梯形
中，
，
，
为
的中点，将
沿
折起至
的位置，
．
_
(1)求证：平面
平面
；
2．（25-26 高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥
中，
，
为等腰直角三角形，
为斜边，其中
．
(1)证明：平面
平面
；
3．（24-25 高三下·河南开封·月考）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
，平面
平面
.
(1)求证：平面
平面
.
4．如图，在三棱锥
中，
且
的中点分别
为
，且
．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
；
5．（25-26 高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD 中，
，
，
，
E 为AC 的中点.
(1)证明：平面
平面
；
检测Ⅰ组 重难知识
固
巩
1．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
是
的中点，
分别在
上，
且
．证明：
四点共面；
2．如图，已知正方体
的棱长为4，点E 满足
，点F 是
的中点，点G 满足
.
(1)求证：B、E、G、F 四点共面；
3．如图，已知四棱锥
，
平面
，平面
平面
，
，
，
．
(1)证明：
平面
；
4．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，四边形
为等腰梯形，且
，
为等边三角形，平面
平面
直线．证明：
平面
.
5．如图，在四棱锥
中，平面
平面
⊥
，底面
为正方形，
分别为
的
中点，设平面
平面
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
6．如图，在正方体
中，
分别为
与
上的点，且
．求证：
平面
．
7．如图，点S 是
所在平面外一点，M，N 分别是SA，BD 上的点，且
．求证：
平面
．
8．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台
中，
平面
，
，
.
(1)求证：
；
9．（2025·湖南湘潭·一模）如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，侧面
底面
为正三角形，E，F 分别是棱
，
的中点，点G 在侧棱
上，且
．
(1)求证：
平面
∥
；
10．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）如图甲，在梯形
中，
，
，
，
是
的中点，将
沿
折起，使点
到达点
的位置，如图乙，且
.
(1)求证：平面
平面
；
11．在三棱台
中，
.证明：平面
平面ABC．
12．如图，点
为半圆O 圆弧上的两个三等分点，
，
，E 为PD 的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
．
13．（23-24 高三下·浙江·月考）如图，三棱台
，平面
平面
，
与
相交于点
，且
平面
．
(1)求三棱锥
的体积；
14．如图，在四棱柱
中，平面
平面
，
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
15．在梯形
中，
．
为
的中点，
为
的中点．将
所在平面沿
翻折，使构成的四棱锥
体积最大．
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
边的中点，能否在棱
上找到一点
，使平面
平面
?并证明你的结论．
16．如图，在正四棱锥
中，
分别是线段
的中点，
分别在线段
上，且
．
(1)证明：
四点共面．
(2)证明：
平面
．
(3)若点
在线段
上，且满足
，试问侧棱
上是否存在一点
，使得
平面
？若
存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
17．如图，三棱柱
的各条棱长均为4，且
平面
，
为
的中点，
，
分别在
线段
和线段
上，且
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求几何体
的体积.
18．如图，四棱锥
，底面
为菱形，
，
且均为锐角，
，
(1)求证:
(2)当四棱锥
体积为
时，
检测Ⅱ组
能力提
创新
升
1．如图在四棱锥
中，
，
分别是
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若点F 在棱
上且满足
，
平面
，求
的值．
2．已知三棱台
如图所示，其中
．若直线
平面
，且
，求证：直线
平面
．
3．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，且
，
，
，
，
平面
.
(1)求证：
平面
；
4．如图1，在平面五边形ABCDE 中，四边形ABCD 是边长为1 的菱形，
，
，
.将
沿AD 翻折至
，如图2.点M 在PD 上.
(1)若M 为PD 中点，证明：
平面MAC；
(2)若
，且四棱锥
与三棱锥
的体积相等.证明：平面
平面
.；
5．如图，在多面体
中，
平面
，
，四边形
为梯形，
，
，
.
(1)若
是
的重心，证明：
四点共面；
(2)若直线
与平面
所成角的正切值为
，证明：
.
