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重难点培优03 线面、面面平行与垂直的重难题型突破
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................5
题型一 四点共面（★★★★★）................................................................................................................5
题型二 面面平行证明线面平行（★★★★）..........................................................................................10
题型三 线面平行的性质定理（★★★★★）..........................................................................................12
题型四 线段成比例证明平行（★★★★）..............................................................................................14
题型五 垂直问题中全等三角形条件突破（★★★★）..........................................................................17
题型六 线面垂直证线线垂直（★★★★★）..........................................................................................19
题型七 面面垂直的性质定理（★★★★★）..........................................................................................24
题型八 证面面垂直（★★★★★）..........................................................................................................29
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................33
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................33
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................51
一、证明垂直的常见方法
（1）等腰三角形（等边三角形）的“三线合一”
如图：AB=AC,D 为BC 中点，则
（2）勾股定理的逆定理
如图：如果
，则
（3）正方形、菱形的对角线互相垂直。
如图：四边形ABCD 是菱形，所以
（4）直径所对的圆周角是
如图：AB 是圆的直径，
（5）通过证线面垂直证线线垂直
注：若题目要证
已知
且
是异面直线，要证
，一般是证
所在的平面。
（6）平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移
二、直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面
平行，记作∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线
线∥面
如果平面外的一条直线和这个平
面内的一条直线平行，那么这条
直线和这个平面平行（简记为
“线线平行
线面平行
面∥面
线∥面
如果两个平面平行，那么在一个
平面内的所有直线都平行于另一
个平面
三、两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面
和
，若
，则
∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
线∥面
面∥面
如果一个平面内有两条相
交的直线都平行于另一个
平面，那么这两个平面平
行（简记为“线面平行
面面平行
线
面
面∥面
如果两个平面同垂直于一
条直线，那么这两个平面
平行
∥
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那
么在一个平面中的所有
直线都平行于另外一个
平面
性质定理
如果两个平行平面同时
和第三个平面相交，那
么他们的交线平行（简
记为“面面平行
线面
平行”）
面//面
线
面
如果两个平面中有一个
垂直于一条直线，那么
另一个平面也垂直于这
条直线
四、直线与平面垂直
1、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
2、直线与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平
面内的两条相交直
线都垂直，则该直
线与此平面垂直
面⊥面线⊥面
⇒
两个平面垂直，则
在一个平面内垂直
于交线的直线与另
一个平面垂直
平行与垂直的关系
一条直线与两平行
平面中的一个平面
垂直，则该直线与
另一个平面也垂直
平行与垂直的关系
两平行直线中有一
条与平面垂直，则
另一条直线与该平
面也垂直
五、平面与平面垂直
1、平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
_
_a
_
_b
_a
判定定理
一个平面过另一
个平面的垂线，
则这两个平面垂
直
2、平面与平面垂直的性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于
交线的直线与另一
个平面垂直
题型一 四点共面
1．如图，在正方体
中，
，
分别是棱
，
的中点．证明：
，
，
，
四点
共面
【答案】证明见解析
【分析】如图，取
的中点
，连接
，
，由题可得四边形
是平行四边形，进而可得
，据此可完成证明.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，
，
则
，
在正方体
中，
，
，
所以
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
，
，
_
_
_a
所以四边形
是平行四边形，所以
，
所以
，所以
，
，
，
四点共面．
2．在正方体
中，
，
分别为
，
的中点，若点
满足
，证明：
，
，
，
四点共面.
【答案】证明见解析
【分析】取
中点
，连接
，
，
.先证明
，再证明
，即可证明.
【详解】取
中点
，连接
，
，
，如图所示.
因为点
是
中点，所以
.
因为点
为
的中点，所以
，
因为
，
所以
，
因为
，点
是
中点，所以G 为HD 的中点.
又点
为
的中点，所以
为
的中位线，
所以
，
所以
，
，
，
四点共面.
3．如图所示的几何体中，底面
是菱形，
，
平面
，
，
，
且平面
平面
.在线段
上是否存在点
，使得
四点共面？若存在，请给出证明；若
不存在，请说明理由.
【答案】存在，证明见解析
【分析】由线面垂直的判定定理证明得
平面
，再由面面垂直的性质定理证明得
平面
，
从而证明得
，可得
四点共面；
【详解】线段
上存在点
，且
为
的中点，使得
四点共面.证明如下：
连接
，
∵四边形
是菱形，
，
又
平面
，
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
，
连接
，∵
为
的中点，
，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
.
，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行），
∴在线段
上存在点
，且
为
的中点，使得
四点共面.
4．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形
中，
，
，
，
分别为
的中点，且
，将梯形
沿
翻折至梯形
，使得平面
平面
，
得到如图2 的多面体
.
(1)证明：
四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得
平面
，以
为原点，建立空间直角坐标系，由平
行向量的坐标关系证得
，即可证得
四点共面；
【详解】（1）因为平面
平面
，平面
平面
，
且
，
平面
，
所以
平面
，又
，
以
为原点，以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
易得
，
则
，
则
，则
，
即
，所以
四点共面.
5．如图，在多面体
中，
平面
，
，四边形
为梯形，
，
，
.
(1)若
是
的重心，证明：
四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接
并延长交
于点
，在棱
上取点
，使
，连接
，根
据几何体的性质可得四边形
、
是平行四边形，进而可得
，即证；
【详解】（1）如图，连接
并延长交
于点
，在棱
上取点
，使
，连接
，
则
，
又
是
的重心，所以
，
所以
且
，又
且
，
所以
且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
且
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，所以
，
所以
四点共面.
题型二 面面平行证明线面平行
【技巧通法·提分快招】
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那
么在一个平面中的所有
直线都平行于另外一个
平面
1．如图，四棱锥
中，
是
上靠近点
的四等分点，
是
上靠近点
的四等分
点，证明：
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】先通过选取辅助点,在
上取一点
,由线段平行证明线面平行，然后得到面面平行，利用面面平
行的性质，即可得到
∥平面
.
【详解】证明：如图，
在
上取一点
，使得
，连接
，
因为
是
上靠近点
的四等分点，
是
上靠近点
的四等分点，
所以
，所以
∥
，
∥
，
因为
∥
，故
∥
．
因为
平面
平面
，
所以
∥平面
∥平面
，
因为
平面
，所以平面
∥平面
．
因为
平面
，所以
∥平面
．
2．如图①，在直角梯形
中，
∥
，
，
，
为
的中点，
分
别为
的中点，将
沿
折起，得到四棱锥
，如图②.求证:在四棱锥
中，
∥平面
.
【答案】证明见解析.
【分析】由已知结合三角形中位线定理及线面平行的判定定理可得可证得
∥平面
，
∥平面
，则可证得平面
平面
，从而可证得
平面
.
【详解】证明：在四棱锥
中，
分别为
的中点，
所以
∥
，
因为
为
的中点，所以
因为
，所以
，
因为
∥
，所以四边形
为平行四边形，
所以
∥
，所以
∥
，
因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
，
因为
分别为
的中点，所以
∥
，
因为
平面
，
平面
，所以
∥平面
.
因为
，
平面
，
所以平面
∥平面
.
因为
平面
，
所以
∥平面
.
3．如图，在四棱锥
中，平面
底面
，侧棱
，底面
为直角梯形，
其中
，
为
中点．线段
上是否存在点
，使得
平面
？
【答案】存在
【分析】取
中点
，连接
，连接
，连接
，借助面面平行的判定定理得平面
平面
，
再利用面面平行的性质定理得
平面
，即得答案.
【详解】存在，
为
中点，证明如下：
取
中点
，连接
，连接
，连接
，
因为
为
中点，
则
是
的中位线，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
所以
是直角梯形
的高，
，
因为
平面
，
平面
，所以平
平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
所以
平面
．
题型三 线面平行的性质定理
【技巧通法·提分快招】
线面平行性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面
线∥线
如果一条直线和一个
平面平行，经过这条
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直
线就和交线平行
1．如图，四棱锥
的底面为正方形，且
面
.设平面
与平面
的交线为. 证明：
.
【答案】证明见解析
【分析】由线线平行得到线面平行，再用线面平行证明线线平行.
【详解】因为
为正方形，∴
，
又∵
平面
，
平面
.
∴
平面
，
又 ∵
平面
，平面
平面
，
∴
.
2．如图所示，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
为棱
的中点．设平面
与直
线
相交于点
，求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】根据
证明
平面
，利用线面平行的性质可得
，从而可证
平面
.
【详解】因底面
为平行四边形，故
，
因
平面
，
平面
，故
平面
，
又因平面
平面
，
平面
，故
，
因
平面
，
平面
，
故
平面
．
3．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，矩形
，
，
平面
，
，
，
，
，平面
与棱
交于点
. 再从条件①、条件②、条件③，这三个条件中选择一个作
为已知.
(1)求证：
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明平面
平面
，得
平面
，再证
即可；
【详解】（1）因为
，
平面
，
平面
，故
平面
，
由矩形
可得
，
平面
，
平面
,故
平面
,
又
，且
平面
，
平面
，故平面
平面
，
又因
平面
，故
平面
，
因
平面
，平面
平面
所以
，即
；
题型四 线段成比例证明平行
【技巧通法·提分快招】
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线
平行，进而得到线面平行
1．如图，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，
，M 为
上一点，
且
(1)求证：
平面
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接
交
于点
，连接
，利用相似比证明
，由线面平行的判定定理证明
即可;
【详解】（1）连接
交
于点N，连接
，
设
及
，可知
，
又
，所以
，所以在
中有
，
又
平面
，而
平面
，所以
平面
2．如图，四棱锥
，底面
为菱形，
，点E 在底面
的投影恰好为
的
重心F．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
．
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【分析】（1）连接
交
于点
,根据底面
为菱形，因为
为
的重心，所以
在
上，
可得
，结合
，根据线段成比例可得
，所以
平面
.
（2）因为
，所以
平面
,可得
平面
,
，结合底面
为菱形得
所以
平面
,推得
.
【详解】（1）如图所示，连接
交
于点
,
底面
为菱形，
所以
为
的中点，
因为
为
的重心，所以
在
上，且
，可得
，在
中根据线段成比例可得
，
又因为
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）可知，
，因为点E 在底面
的投影恰好为
的重心F．所以
平面
,可得
平面
,
因为
平面
，所以
因为底面
为菱形，所以
因为
是平面
内两条相交直线，所以
平面
,
因为
平面
,所以
.
3．（2025·福建三明·模拟预测）如图，等腰梯形
中，
，
，
，垂足
为
，将
沿
翻折，得到四棱锥
．在四棱锥
中，点
，
分别在线段
，
上，且
．
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）若
分别是
上的点，且
，连接
，利用线面、面面平行
的判定定理依次证明
平面
、
平面
、平面
平面
，再由线面平行的性质
即可证结论；
【详解】（1）若
分别是
上的点，且
，连接
，
又
，所以
，即
四点共面，
由
平面
，
平面
，则
平面
，
同理可证
平面
，又
，且都在平面
内，
所以平面
平面
，
平面
，故
平面
；
题型五 垂直问题中全等三角形条件突破
1．如图，直角三角形ABC 所在平面外有一点，且
，
为斜边
的中点.求证:
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理证明即可.
【详解】证明如下：因为
，
为斜边
的中点，
所以
，
在直角
中，有
，已知
，
所以
，所以
，即
.
又
平面
，
所以
平面
.
2．（25-26 高三上·河北·开学考试）如图，四棱锥
中，
平面
，底面四边形
为
正方形，
，点
分别为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据三角形全等证得
，再根据线面垂直得到
，最后根据线面垂直的判定
定理得证；
【详解】（1）证明：在正方形
中，
分别为
的中点，
.
.
又
平面
平面
，又
平面
3．（24-25 高三上·上海·期中）如图所示四棱锥
，其中
交
于点
.
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理来证得
平面
.
【详解】（1）因为
，
所以
均在
的垂直平分线上，所以
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
又因为
平面
平面
，
所以
平面
，
4．（24-25 高三上·湖北荆州·月考）如图，在棱长为2 的正方体
中，
､
､
分别为棱
､
､
的中点.
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）通过证明
，
，证得线面垂直；
【详解】（1）证明：正方体
中，
因为
，
分别为棱
，
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，所以
，
正方形
中，∵
为
的中点，
为
的中点，
∴
，∴
，
设
、
交点为
，则
，
∴
，即
；
又
、
平面
，
，
∴
平面
.
题型六 线面垂直证线线垂直
【技巧通法·提分快招】
线垂直于面的性
质
如果一条直线垂直
于一个平面，则该
直线与平面内所有
直线都垂直
1．（25-26 高三上·云南昆明·月考）如图，四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
平面
，
，
分别是
上的点，且
．
(1)证明：
(2)已知
四点共面，求
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
与
，根据题意，分别证得
，
，利用线面垂直的判定定理，
证得
平面
，进而证得
；
（2）以
为原点，建立空间直角坐标系，设
，得到
，求得平面
的一个法向
量
，结合
，列出方程，求得的值，即可求解.
【详解】（1）证明：连接
与
，因为底面
是正方形，所以
，
又因为
平面
，且
平面
，所以
，
因为
，且
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
.
（2）解：以
为坐标原点，以
分别为
轴，
轴和
轴建立空间直角坐标系，
如图所示，因为
，所以
，
又因为
，则知
分别是
和
上的三分点，
可得
，
设
，则
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，可得
，所以
，
因为
平面
，所以
，即
，解得
，
所以
的长为
.
2．如图，
，
为圆柱
的母线，
是底面圆
的直径，
，
分别是
，
的中点，
面
．
(1)证明：
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得
平面
，即可证得
．
【详解】（1）证明：由已知得，
平面
，
平面
，所以
，
因为
为底面圆
的直径，所以
，
因为
，
平面
所以
平面
，
又
平面
，所以
.
3．（25-26 高三上·河南新乡·开学考试）如图，在四棱锥
中，
，
，
且
.
(1)求证：
；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用直角梯形特征证得
，再利用线面垂直的判定性质推理得证.
【详解】（1）在直角梯形
中，
，
，连接
，
，
，
则
，
，而
，
平面
，
因此
平面
，又
平面
，所以
.
4．（2025·山西太原·一模）如图，在多面体
中，四边形
是边长为2 的菱形，且
，
平面
，平面
平面
，
是等边三角形．
(1)求证：
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）设
是
的中点，根据菱形的几何性质有
，由面面垂直的性质定理可知
平
面
，进而可证明
平面
，所以
.
【详解】（1）证明：设
是
的中点，连结
，
，
∵
平面
，∴
，
∵
是等边三角形，∴
，
∵平面
平面
，∴
平面
，
∴
，∴
，
，
，
共面，
∵四边形
边长为2 的菱形，
，
，
在
中，
，
∴
，∴
，
∵四边形
为菱形，∴
，∴
，
∵
，∴
平面
，∴
．
5．（24-25 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）如图，已知三棱柱
，平面
平面
，
，
，
分别是
的中点.
(1)证明：
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接
，利用等边三角形的性质结合面面垂直可得
平面
，转化条件可得
平面
，由此可证明结论.
【详解】（1）如图所示，连接
，
∵
为等边三角形，
，∴
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，
∵
平面
，∴
，
∵
，
，∴
，
∵
，
平面
，∴
平面
，
∵
平面
，∴
.
题型七 面面垂直的性质定理
【技巧通法·提分快招】
面面垂直性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于
交线的直线与另一
个平面垂直
1．（25-26 高三上·河北衡水·开学考试）如图，在多面体
中，四边形
是边长为4 的菱形，
，
与
交于点O，平面
平面
，
，
，
.
_
_a
(1)证明：
平面
.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取
的中点
，连接
，
，易证
平面
，再证四边形
为平行四边形，
得
，得证；
【详解】（1）如图，取
的中点
，连接
，
.
因为
，所以
.
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
因为
，
分别为
，
的中点，所以
，
.
又因为
，
，
所以
，
，则四边形
为平行四边形，
所以
，从而
平面
.
2．（25-26 高三上·浙江·月考）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，且四棱锥
的体积为
．
(1)证明：
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理及性质定理即可证明；
【详解】（1）作
于
，连接
，
因为面
面
，面
面
，
面
，
所以
面
．
由题意，四边形
为直角梯形，
所以
．
因为
，解得
，
由
，可知
，
又因为
，所以四边形
为平行四边形，
，所以
，
由于
，
面
，
所以
面
．
因为
面
，所以
．
3．（25-26 高三上·广东湛江·月考）如图1，在直角梯形
中，
，
，
，
，
，点
在
上，且
.将
沿
折起，使得平面
平面
，如图2.
(1)求四棱锥
的体积；
(2)若点
在图2 中线段
上，且
，证明：
平面
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）过点
作
，垂足为点
，.取
的中点
，连接
.由面面垂直的性质证得
平面
，并根据题设中的条件结合平面图形的性质求得
于
，即可求得四棱锥
的体积；
（2）过点
作
∥
交
于点
，连接
.利用比例相等证得线线平行，进而证得平面
平面
，即可证得
平面
；
【详解】（1）如图，过点
作
，垂足为点
，取
的中点
，连接
.
由
，可知
.
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
.
由
，
，得
，
.
在直角梯形
中，因为
，
，
所以
，
，
.
所以四棱锥
的体积为
.
（2）过点
作
∥
交
于点
，连接
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，所以四边形
是平行四边形，则
，所以
，
所以
，同理可证
平面
.
因为
，所以平面
平面
.
又因为
平面
，所以
平面
.
4．如图，在三棱柱
中
，
，
，平面
平面
，平面
平面
，点
，
分别在棱
，
上，且
.
(1)求证：
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据题干条件，结合勾股定理可证
，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质
及线面垂直的判定定理即可证明；
【详解】（1）∵
，
，∴
，∴
.
∵平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，∴
平面
.
又
平面
，
.
∵平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，∴
平面
.
又
平面
，
.
∵
，
，
，
平面
，
平面
，∴
平面
.
又
平面
，
.
5．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，平面
平面
，底面
为直角
梯形，
，
，
与
相交于点
，点
满足
，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求
的长度；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用面面垂直的性质得到线面垂直进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可
得证；
（2）通过证明
平面
，得到
，进而得到
，通过比例结合
即可求得
；
【详解】（1）因为底面
为直角梯形，且
，所以
，所以，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
过点
可以作
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）可知
平面
，
平面
，所以
，
在梯形
中，由
∥
,得
，
所以
，
所以
∥
，
所以
，
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
，
可得
，
又因为
，所以
，即
.
题型八 证面面垂直
【技巧通法·提分快招】
平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一
个平面的垂线，
则这两个平面垂
直
1．（25-26 高三上·安徽·开学考试）如图，在梯形
中，
，
，
为
的中点，将
沿
折起至
的位置，
．
_
(1)求证：平面
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明四边形
是矩形，得到
，再利用勾股定理得到
，进而证明出线
面垂直，最后直接得到面面垂直；
【详解】（1）因为
为
的中点，
，且
，所以
，
因为
，
，所以
，即
，
由
，可得四边形
是矩形，
，
因为
沿
折起至
的位置，所以
，
由
，
，
得
，所以
，
由
，可得
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
2．（25-26 高三上·广西南宁·开学考试）如图，在四棱锥
中，
，
为等腰直角三角形，
为斜边，其中
．
(1)证明：平面
平面
；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）设线段
的中点为
，线段
的中点为
，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的
判定推理得证.
【详解】（1）如图，设线段
的中点为
，线段
的中点为
，连接
，
依题意，
，则
，由
，得
，
而
，
是梯形
的中位线，于是
，
而
平面
，则
平面
，
而
平面
，于是
，又
平面
，且
和
相交，
因此
平面
，而
平面
，所以平面
平面
；
3．（24-25 高三下·河南开封·月考）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
，平面
平面
.
(1)求证：平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用余弦定理先证
，由面面垂直的性质得出
，结合勾股定理及线面垂直
的判定证明
平面
即可；
【详解】（1）连接
，在
中，
，
所以由余弦定理可得
，
则
，
，
，
因为平面
平面
，
，平面
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
所以在
中，
，
又因为
，
所以
，
在
中，
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
4．如图，在三棱锥
中，
且
的中点分别
为
，且
．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
；
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析，
【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证.
（2）法1，根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证；法二，根据给定条件，借助
空间向量数量积，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.
【详解】（1）在
中，
是
的中点，则
，同理
，
因此
，而
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）法一：由
，
，得
，
，
由勾股定理得
，在
中，由
，
得
，则
，同理
，
则
，由
，得
，
则
，即
，又
，得
，
在
中，
，则
，
于是
，由
平面
，得
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
法二：由
，
，得
，
由勾股定理得
，在
中，由
，
得
，由
，
得
得
，又
平面
，得
平面
，
又由
面
，所以平面
平面
.
5．（25-26 高三上·福建福州·开学考试）如图，四面体ABCD 中，
，
，
，
E 为AC 的中点.
(1)证明：平面
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线线垂直可证明
平面
，即可由面面垂直的判定求解，
【详解】（1）由于
，
故
，则
，
由于E 为AC 的中点，所以
，
因为
平面
，
故
平面
，又
平面
，
故平面
平面
.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
是
的中点，
分别在
上，
且
．证明：
四点共面；
【答案】证明见解析.
【分析】取
的中点
，连接
，由三角形中位线定理得
，再根据线段间的关系得到
，
，从而得到四边形
为平行四边形，即得
，最后利用平行线的传递性
得到
，即可证得结论；
【详解】在四棱锥
中，取
的中点
，连接
，
由
分别是
的中点，得
，
又
，则
且
，
而
，
，于是
，且
，
即四边形
为平行四边形，则
，
所以
四点共面．
2．如图，已知正方体
的棱长为4，点E 满足
，点F 是
的中点，点G 满足
.
(1)求证：B、E、G、F 四点共面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明两向量平行即可；
【详解】（1）
是正方体，以点
为原点，以
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系如图所示：
正方体
的棱长为4，点E 满足
，
点F 是
的中点，点G 满足
，
所以
，
，
因为
，
所以
，
所以B、E、G、F 四点共面；
3．如图，已知四棱锥
，
平面
，平面
平面
，
，
，
．
(1)证明：
平面
；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）作
于
，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证.
【详解】（1）在平面
内过
作
于
，由平面
平面
，平面
平面
，
得
平面
，而
平面
，则
，
由
平面
，
平面
,得
，
又
平面
，
所以
平面
.
4．如图，在四棱锥
中，平面
平面
，四边形
为等腰梯形，且
，
为等边三角形，平面
平面
直线．证明：
平面
.
【答案】证明见解析
【分析】由
证明
平面
,再证
,即可证得
平面
.
【详解】证明：由题可知
，
平面
，
平面
，
平面
．
又
平面
，平面
平面
，
．
又
平面
，
平面
，
平面
.
5．如图，在四棱锥
中，平面
⊥平面
，底面
为正方形，
分别为
的
中点，设平面
平面
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平面
平面
，引用面面垂直的性质定理，得
平面
，再根据线面垂
直的性质，得到
；
（2）取
的中点
，连接
，
，证明四边形
为平行四边形，得
，再根据线面平行的
判定定理得
平面
，最后利用线面平行性质定理得到
；
【详解】（1）因为底面
为正方形，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，
所以
.
（2）取
的中点
，连接
，
，
因为点
分别为
的中点，
所以
，且
，
因为
，所以
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
又因为
平面
，平面
平面
所以
.
6．如图，在正方体
中，
分别为
与
上的点，且
．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】将
放入一个平面，法一、法二：将
放入一个与平面
相交的平面，通过证明“线线平
行”来证得“线面平行”；法三：将
放入一个与平面
平行的平面，通过证明“面面平行”来证
得“线面平行”．
【详解】法一：如图，过点
作
交
于点
，过点
作
交
于点
，连结
，显
然
．
因为
是正方体，所以
，
，
又因为
，
，且
，所以
，
所以四边形
是平行四边形，从而
.
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
法二：如图，连结
并延长，与直线
相交于点
，连结
．
因为
是正方体，所以
，
．
又因为
，所以
，从而
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
法三：如图，过点
作
交
于点
，连结
，显然
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
因为
是正方体，所以
，
，
又因为
，所以
，故
，
所以
，从而
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
平面
，且
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
．
7．如图，点S 是
所在平面外一点，M，N 分别是SA，BD 上的点，且
．求证：
平面
．
【答案】证明过程见解析
【分析】作出辅助线，得到线线平行，进而证明出线面平行，面面平行，从而证明出线面平行.
【详解】在
上取
，使得
，则
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，所以
，则
，
又
中，
，故
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
平面
，
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
.
8．（2025·安徽·模拟预测）如图，在四棱台
中，
平面
，
，
.
(1)求证：
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)根据勾股定理证得
,由
平面
推得
，根据线面垂直的判定定理可
得
平面
，进而得到
．
【详解】（1）因为
，所以四边形
为平行四边形，
.
在
中，
，
.
由余弦定理可得，
，
所以
，所以
为直角三角形，所以
.
因为
平面
平面
，所以
，
因为
平面
平面
，且
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
．
9．（2025·湖南湘潭·一模）如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，侧面
底面
为正三角形，E，F 分别是棱
，
的中点，点G 在侧棱
上，且
．
(1)求证：
∥平面
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由平行线分线段成比例易得
，再由线面平行的判定定理即可证明；
【详解】（1）如图，连接
，
交于点
，设
交
于点
，连接
，
因为四边形
为菱形，所以
为线段
的中点.
因为点E，F 分别是棱
，
的中点，
所以点
为线段
的中点，所以
.
又
，所以
.
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
10．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）如图甲，在梯形
中，
，
，
，
是
的中点，将
沿
折起，使点
到达点
的位置，如图乙，且
.
(1)求证：平面
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先把问题转化为证明
平面
，然后只需证明
和
即可；
【详解】（1）取
的中点
，连结
，
，因为
，所以
，
在
中，
，所以
，在
中，
，
在
中，
，
，
，所以
，
所以
，又因为
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
11．在三棱台
中，
.证明：平面
平面ABC．
【答案】证明见解析
【分析】根据三角形的边角关系可证明
，
，即可由线面垂直的判定以及面面垂直的判
定求解.
【详解】过
作
，交AB 于点O，连接CO，
在
中，
，
，
在
中，
，
所以
为正三角形，所以
，
在
中，
，
所以
，所以
，
又
平面ABC，
平面ABC，
所以
平面ABC，又
平面
，
所以平面
平面ABC.
12．如图，点
为半圆O 圆弧上的两个三等分点，
，
，E 为PD 的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：平面
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取PA 的中点F，连接EF，BF，先证
，利用线面平行的判定定理证得
平面
；
（2）先证
，
，结合
得到
平面PAC，得到
，结合
，
根据线面垂直的判定定理得
平面ACD，进而由线面垂直的性质得
，再证
平
面BOE，即可证得平面
平面
.
【详解】（1）如图①，取PA 的中点F，连接EF，BF，
又E 为PD 中点，则
，
，
因为B，C 为半圆O 圆弧上的两个三等分点，所以
，
，
所以
，
，所以四边形BCEF 为平行四边形，
所以
，
又
平面PAB，
平面
，
所以
平面PAB．
（2）如图②，连接OC，则
，
由（1）可得
，
，所以四边形
为菱形，则
，
由题意得
，
又
，
，AC，
平面
，
所以
平面PAC，
又
平面
，
所以
，
由E 为PD 的中点,O 为AD 的中点,得
，
又
，
∴
，
.
又
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
．
13．（23-24 高三下·浙江·月考）如图，三棱台
，平面
平面
，
与
相交于点
，且
平面
．
(1)求三棱锥
的体积；
【答案】(1)2
【分析】（1）通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥
的体积；
【详解】（1）由题意，
平面
平面
，
且平面
平面
平面
，
平面
，
平面
，
，
又
平面
，
平面
．
连接
，
平面
平面
，平面
平面
，
，
，
，
．
三棱锥
底面三角形
的面积为
，高
，
其体积为：
．
14．如图，在四棱柱
中，平面
平面
，
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）在线段
上取一点
，使得
，连接
，问题转化为
，
；
【详解】（1）如图：在线段
上取一点
，使得
，连接
，
因为
，
，
，所以四边
为正方形，
所以
，
，
，
，
又因为
，
，所以
，所以
，
又因为
，
，所以
，
因为
，
，
，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，所以
，
由于
且
，
，
平面
且必相交与一点，
所以
平面
.
15．在梯形
中，
．
为
的中点，
为
的中点．将
所在平面沿
翻折，使构成的四棱锥
体积最大．
(1)求证：
平面
；
(2)若
为
边的中点，能否在棱
上找到一点
，使平面
平面
?并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)当
为
中点时，平面
平面
，证明见解析.
【分析】（1）连接
，证明
，
，根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取
中点为
，连接
，
，
，先根据面面平行的判定定理，证明平面
平面
，
再由平面
平面
，即可证明平面
平面
.
【详解】（1）因为
，又
为
的中点，
所以
为等边三角形，四边形
为菱形，所以
，
因为
为
的中点，所以
，所以
，即
连接
，所以
，
若使构成的四棱锥
体积最大，则
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）当
为
中点时，平面
平面
.
取
中点为
，连接
，
，
，因为
为
边的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以平面
平面
，
由（1）得
平面
，又
平面
，所以平面
平面
，
所以平面
平面
.
16．如图，在正四棱锥
中，
分别是线段
的中点，
分别在线段
上，且
．
(1)证明：
四点共面．
(2)证明：
平面
．
(3)若点
在线段
上，且满足
，试问侧棱
上是否存在一点
，使得
平面
？若
存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
．
【分析】（1）利用中位线定理及确定平面的条件即可证明；
（2）利用线面平行的判定定理即可证明；
（3）根据面面平行的判定定理及性质定理即可求解.
【详解】（1）证明：如图1，连接
．
因为
分别是线段
的中点，所以
．
又
，所以
，所以
，所以
四点共面．
（2）证明：由（1）得
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
（3）如图2，在线段
上取一点
，使得
，
作
，交
于点
，连接
．
因为
，
，所以
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
同理可证
平面
．
因为
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
．
又
平面
，所以
平面
．
因为
，
，所以
，
因为
，所以
．
故在棱
上存在一点
，使得
平面
，且
．
17．如图，三棱柱
的各条棱长均为4，且
平面
，
为
的中点，
，
分别在
线段
和线段
上，且
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求几何体
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设线段
的中点
，连接
，
，
，易证
为平行四边形，再证
平面
，结论得证;
（2）先求得三棱柱
的体积，再求四棱锥
和三棱锥
的体积，利用三棱柱
的体积减去四棱锥
和三棱锥
的体积可得结果.
【详解】（1）证明：取线段
的中点
，线段
的中点
，连接
，
，
，
由题意可得
.
因为
为
的中点，所以
，
因为
，
，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，则
.
因为
为
的中点，所以
，
因为
平面
，所以
，则
，
因为
，所以
平面
，则
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）解：解法一：因为三棱柱
的各条棱长均为4，且
平面
，
所以
，
，
因为
，
，所以
，
所以
的面积
.
由（1）可得
，
故三棱锥
的体积
，
所以几何体
的体积为
.
解法二：如图，连接
，
，
，
，
所以几何体
的体积为
.
18．如图，四棱锥
，底面
为菱形，
，
且均为锐角，
，
(1)求证:
(2)当四棱锥
体积为
时，
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）
；（ii）存在，
【分析】（1）过点
作
平面
于
，证明点
在线段
上，即可知
平面
，结合线
面垂直的性质即可得出结果.
【详解】（1）过点
作
平面
于
，过
分别作
于
两点，连结
，
因为
平面
，则
，又
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，则
，
同理
，
，且
为公共边，
，
，
在
以及
中，
为公共边，
，
即点
在
角平分线上，即
，所以
平面
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又底面
为菱形，所以
，
平面
，
平面
，
平面
，
.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．如图在四棱锥
中，
，
分别是
的中点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)若点F 在棱
上且满足
，
平面
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作辅助线，结合中位线性质先证明面面平行，再根据性质得到线面平行；
（2）已知线面平行，利用线面平行的性质得到线线平行，再结合向量关系求出
的值.
【详解】（1）取
的中点
，连接
.
因为
是
的中点，
是
的中点，根据三角形中位线定理，所以在
中，
.
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
又因为
，
是
的中点，
是
的中点，根据梯形
中位线性质，得到
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
并且
，
平面
，则平面
平面
，且
平面
，
所以
平面
.
（2）连接
交
于点
，连接
.
因为
，所以
.由
，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得
.
因为
平面
，
平面
，平面
平面
，
根据直线与平面平行的性质所以
.
所以在
中，
.
因为
，则
.
又因为
，即
，所以
.
2．已知三棱台
如图所示，其中
．若直线
平面
，且
，求证：直线
平面
．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，由面面垂直的判定定理可证平面
平面
，再由面面垂直的性质定理即可
证得线面垂直；
【详解】依题意，
，
，
，如图所示，延长三条侧棱交于点D；
由
可得，
，且
分别为线段DA，DB，DC 的中点，
取AB 的中点M，则
；
由
可得
，则
，
又
，
；
，则
，故
，
即
，而
，且
平面
，故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
；
而直线
平面
，
，平面
平面
，
故直线
平面
；
3．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，且
，
，
，
，
平面
.
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）先在底面梯形中证明对角线互相垂直，再由直线与平面垂直的判定定理可得；
【详解】（1）因为
，所以在
中，
，
，所以
.
又底面
为直角梯形，
，所以
且
，
所以在
中，
，
，所以
.
故在
中，
，
，
所以
，且
，
，
因为
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
，得
.
又因为
平面
，
平面
，所以
.
因为
，
，
平面
，
平面
，
，
故
平面
4．如图1，在平面五边形ABCDE 中，四边形ABCD 是边长为1 的菱形，
，
，
.将
沿AD 翻折至
，如图2.点M 在PD 上.
(1)若M 为PD 中点，证明：
平面MAC；
(2)若
，且四棱锥
与三棱锥
的体积相等.证明：平面
平面
.；
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）连接
相交于点
，由题易证
，再利用线面平行的判定即可证明；
（2）根据体积可得
是
靠近
的三等分点，由勾股定理可得
，结合
，利用面面
垂直的判定即可证明；
【详解】（1）连接
相交于点
，连接
，
四边形
为菱形，所以
为
中点，又M 为PD 中点，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）因为
，
，
所以
，即
是
靠近
的三等分点，
则
，又
，
，
，
所以
，
，
则
，即
，
，
又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
.
5．如图，在多面体
中，
平面
，
，四边形
为梯形，
，
，
.
(1)若
是
的重心，证明：
四点共面；
(2)若直线
与平面
所成角的正切值为
，证明：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）连接
并延长交
于点
，在棱
上取点
，使
，连接
，根
据几何体的性质可得四边形
、
是平行四边形，进而可得
，即证；
（2）先确定
为直线
与平面
所成角，进而可得
，由
，得
，进而可得
平面
，进而可证.
【详解】（1）如图，连接
并延长交
于点
，在棱
上取点
，使
，连接
，
则
，
又
是
的重心，所以
，
所以
且
，又
且
，
所以
且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
又
且
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，所以
，
所以
四点共面.
（2）因为
，
所以
确定一个平面
，
如图，连接
，因为
平面
，
所以
为直线
与平面
所成角，
则
，
所以
所以
，所以
，
又
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
.
