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实战演练 07 立体几何中的垂直问题
①证线面垂直（五种常见垂直关系）
②由线面垂直证线线垂直
③证面面垂直
④面面垂直的性质定理应用
⑤垂直关系中相似、全等的应用
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、直线与平面垂直判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平
面内的两条相交直
判断定理
线都垂直，则该直
线与此平面垂直
两个平面垂直，则
_
在一个平面内垂直
面⊥面⇒线⊥面
于交线的直线与另 _a
一个平面垂直
_
一条直线与两平行
平面中的一个平面
平行与垂直的关系
垂直，则该直线与
另一个平面也垂直两平行直线中有一 _a _b
条与平面垂直，则
平行与垂直的关系
另一条直线与该平
面也垂直
三、直线与平面垂直性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
_a _b
垂直于同一平面的两
性质定理
条直线平行
文字语言 图形语言 符号语言
_
垂直于同一直线
垂直与平行的关系
的两个平面平行
如果一条直线垂
直于一个平面，
线垂直于面的性质 则该直线与平面
内所有直线都垂
直
四、平面与平面垂直
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．
（如图所示，若 ，且 ，则 ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、平面与平面垂直判定定理
文字语言 图形语言 符号语言判定定理 一个平面过另一
个平面的垂线， _
则这两个平面垂
直
六、平面与平面垂直性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，则
一个平面内垂直于
_
性质定理 交线的直线与另一
_a
个平面垂直
①证线面垂直（五种常见垂直关系）
解题技法
一、解答题
1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）如图所示， 是 的直径，点 是 上异于 ， 平面
ABC， 、 分别为 ， 的中点，
(1)求证：EF⊥平面PBC；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的判断定理证明 平面 ，再证明 ，即可证明；
【详解】（1）证明：因为 平面ABC， 平面 。所以 ，
因为 是 的直径，知 ，因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
由 分别是 的中点，所以 ，所以 平面 ．
2．（2024·青海·二模）如图，在三棱柱 中，所有棱长均相等， ， ，
.
(1)证明； 平面 .
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）设D为 的中点，先证明 平面 ，以此得到 ，再证明 ，结合
线面垂直的判定定理即可得解；
【详解】（1）
设D为 的中点，连接 ， ， .
因为在三角形 中， ，所以三角形 是等边三角形，
而 是 的中点，故由三线合一可知， ，
因为 ， 是三角形 的中位线，即 ，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
在 中， ，O为 的中点，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
3．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把
折起，使点D到达点P的位置，且 ．(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的表面积
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）求出各边，由勾股定理逆定理求出 ，结合 得到线面垂直；
【详解】（1）由题可知 ，
， ，
， ，
为等边三角形，
，
，
．
， 平面 ，
平面 ．
4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）如图，在三棱锥 中，
为 上的动点.
(1)若 ，求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）两次利用勾股定理分别证明 ， ，即可得证；
【详解】（1）在 中， ，则 ，
又 ，所以
由勾股定理可得 为直角三角形， ,
所以 ，所以
在 中，因为 ，由余弦定理可得：
则 ，所以 ，
又 ，在 中由余弦定理可得：
，
则 ，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面
5．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）如图，在直三棱柱 中， ， ，
，点M，N分别在 ， 上，且 ， ．
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）分析题意，利用线面垂直的判定定理求解即可.
【详解】（1）如图，连接 ，∵ ，且 ，
，∴ ，
又因为直三棱柱 ，所以 ，
所以 面 ，故 ，
所以四边形 是平行四边形，
而 ，所以平行四边形 是菱形，
因为 ，所以菱形 是正方形，∴ ．
∵ ， ， ， 面
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ， 面 ，∴ 平面 ．
②由线面垂直证线线垂直
一、解答题
1．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台 中，底面四边形ABCD为菱形，
平面ABCD.
(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先根据线面垂直的性质得 ，再根据线面垂直的判定定理得 平面 ，从
而利用线面垂直的性质定理即可证明；【详解】（1）在四棱台 中， 延长后必交于一点，
故 四点共面，因为 平面 ， 平面 ，故 ，
连接 ，因为底面四边形 为菱形，故 ，
平面 ，故 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
2．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ，
， ，点E为线段 的中点，点F在线段AB上，且 ．
(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）利用线线垂直去证明线面垂直，即可得到线线垂直；
【详解】（1）证明：在正方形 中， ，又 ，∴
在 中，点E为线段PC的中点， ，DE平分 ，
在 中， ，
过E作 交CD于H，连接FH，则 ，
在正方形 中， ，∴四边形AFHD是矩形，
∴ ，又 ， ， 平面 ，∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ．
3．（24-25高三上·广东·阶段练习）如图，三棱柱 中，侧面 是边长为2的正方形，
， ．
(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）侧面 是边长为2的正方形得到 和 的关系， 、 和 的长度，根据侧
面 是平行四边形得到 和 ，在 中，由余弦定理得 ，判断 的形状，证明
平面 ，证明 ；
【详解】（1） 侧面 是边长为2的正方形，
， ， ，
侧面 是平行四边形，
，
在 中，由余弦定理有 ，
解得 ， 是直角三角形，
， ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
；
4．（24-25高三上·广东·开学考试）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，平面
平面 .(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）在 内任取点 ，作 ，交 于点 ，作 ，交 于点 ，利用面面
垂直推得 平面 ，即得 ，同理 ，再由线线垂直证得线面垂直即得；
【详解】（1）如图1，取 为 内一点，
作 ，交 于点 ，作 ，交 于点 ，
因为平面 平面 且平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
同理 ，因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
5．（2024·青海·二模）如图，在三棱柱 中，所有棱长均相等， ， ，
.
(1)证明； 平面 .(2)若二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）设D为 的中点，先证明 平面 ，以此得到 ，再证明 ，结合
线面垂直的判定定理即可得解；
【详解】（1）
设D为 的中点，连接 ， ， .
因为在三角形 中， ，所以三角形 是等边三角形，
而 是 的中点，故由三线合一可知， ，
因为 ， 是三角形 的中位线，即 ，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
在 中， ，O为 的中点，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
③证面面垂直
解题技法
一、解答题
1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， ，， ．
(1)证明：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析；
【分析】（1）利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ．
由 ，得 ，而 ， ，则 ，
又 平面EDB，因此 平面EDB，而 平面ABCD，
所以平面 平面ABCD．
2．（2024·黑龙江大庆·三模）如图，在四棱锥 中，
， ，且 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明线面垂直再根据面面垂直判定定理证明即可；
【详解】（1）因为 ，
由余弦定理得 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 .
因为 ，所以 ，即 .因为 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
3．（2024·新疆·二模）如图，三棱锥 的所有棱长都是 ， 为 的中点， 且 为FG
的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明 平面 即得；
【详解】（1）连结 ，
因为 ， ，且点 是 的中点，
所以 ， ， ，且 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，所以 共面，
所以平面 和平面 是同一平面，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ；
4．（2024·陕西宝鸡·三模）如图，在三棱柱 中， 与 的距离为 ， ，
.(1)证明：平面 平面ABC；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明 平面 ；
【详解】（1）取棱 中点D，连接BD，
因为 ，所以
因为三棱柱 ，所以
所以 ，所以
因为 ，所以 ， ；
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
同理 ，
因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面ABC，所以平面 平面ABC；
5．（2024·四川内江·三模）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是直角梯形，且 ，
， ，平面 平面 .(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）取PB的中点M，连接AM.利用面面垂直的性质定理证明 平面 ，从而利用线面
垂直的性质及线面垂直的判定定理得 平面 ，进而利用面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）取PB的中点M，连接AM.∵ ，∴ .
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ .
∵底面ABCD是直角梯形，且 ，
∴ ，∴ .
又 ， ， 平面 ，∴ 平面 .
又 平面 ，∴平面 平面 .
④面面垂直的性质定理应用
一、解答题
1．（24-25高三上·广东·开学考试）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ，平面
平面 .
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）在 内任取点 ，作 ，交 于点 ，作 ，交 于点 ，利用面面
垂直推得 平面 ，即得 ，同理 ，再由线线垂直证得线面垂直即得；
【详解】（1）如图1，取 为 内一点，作 ，交 于点 ，作 ，交 于点 ，
因为平面 平面 且平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
同理 ，因为 ，且 平面 ，所以 平面 .
2．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
， ．
(1)证明： ．
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先证明 ，再由面面垂直的性质定理求解；
【详解】（1）因为 ， ，所以 ， ，
由余弦定理可得 ，所以
AD2+BD2=AB2，则 ．
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面PAD．
因为 平面PAD，所以 ．
3．（2024·天津南开·二模）在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形， ，
，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.(1)求证： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）证明出 ， 平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出
，得到垂直关系；
【详解】（1）因为 ，O为CD的中点，
所以 ．
又因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面PCD，
所以 平面ABCD．
因为 ， ， ，所以 ．
取 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系 ，
则O(0,0,0)， ， ， ，P(0,0,1)， ．
， ，
因为 ，
所以 ．
4．（2024·四川绵阳·三模）如图，在四棱锥 中， ，平面 平面 ，
平面 平面 .(1)点 是 的中点，求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得 平面 ，进而根据平面 平面 ，即可求证，
【详解】（1）延长 交于 ，连接 ，显然面 面 ，
由面 面 ，面 面 ，所以 面 ，
由于平面 平面 ，两个平面的交线为 ，
由于 ， 是 的中点，所以 ，BP⊂平面 ，
故 平面 ，所以 ，
由 平面 ， 面 ，则 平面 .
5．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，在三棱锥 中， 为 的中点，平面 平面
是等腰直角三角形， .
(1)证明： ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得 ，结合面面垂直的性质可得 平面 ，然后
根据等腰三角形的性质结合条件可得.
【详解】（1）证明：因为 是等腰直角三角形， 为 的中点，
所以 ， 平面 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面因为 平面 ，所以 ，又 为 的中点，
所以 是等腰三角形，故 .
⑤垂直关系中相似、全等的应用
一、解答题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知四棱锥 中，底面 是矩形， ，
，点 是线段 的中点．
(1)求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）首先证明 ，取 中点 ，连接 ， ，即可证明 平面 ，从而得
到 ，即可得证；
【详解】（1）因为点 是线段CD的中点且矩形 中 ，所以 ，
根据 ， ，得 ，
又根据矩形 得 ，所以 ．
于是 ，根据 ，得 ，
所以 ．
取 中点 ，连接 ， ，因为 ，所以AM⊥PB．
因为 ，所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ．2．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥 中，已知 是
的中点.
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）求证 且 即可由线面垂直判定定理得证 平面 .
【详解】（1） 是 的中点 ，
连接 ， ， ，
在 和 中 ，
， ，
平面 ， 平面 .
3．（2024·四川德阳·三模）如图，在三棱柱 中，底面 是等边三角形， ，
D为 的中点，过 的平面交棱 于E，交 于F.
(1)求证：平面 平面 ；
【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据三角形全等，可得 ，又 ，即可得 平面 ，进而可求解，
【详解】（1）证明：连接 ， .
因为 ， ，
所以 ，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
因为 为 的中点，所以 .
因为 ， ， 平面
所以 平面 .
又 ，所以 平面 .
又 平面
所以平面 平面 .
4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为 的中点， 平面
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ．
（i）求证： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）证明见解析；
【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；
（2）（i）借助线面垂直的判定定理即可得；
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，因为 为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 四点共面，
因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 ；
（2）（i）取 的中点 ，连接 ，
由（1）知 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 与 全等，
所以 ，即 ，
因为 ，
又因为 ， 、 平面 ，
所以 平面 ；
5．（2024·四川雅安·三模）四棱锥 中， ，底面 为等腰梯形， ，
， 为线段 的中点， .(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）分析题意，利用线面垂直的判定定理求解即可.
【详解】（1）因为 为线段 的中点，所以 ，
在等腰梯形 中，作 于 ，则由 得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 在平面 内，所以 ，
因为 在平面 内，所以 平面 .
6．（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的菱形，且
， 与平面 所成的角为 与 交于 ．
(1)证明： 平面 ；
【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）先根据线面垂直得出面面垂直，再应用面面垂直性质定理得出线面垂直；
【详解】（1）连结 ，
底面 是边长为2的菱形， ．
，
．
点 为线段 中点， ．
为菱形， 平面 ， 平面
又 平面 ， 平面 平面 ，
在平面 上的射影为 ，
为直线 与平面 所成的角，即 ．
在 中， ，
．
则 ．
又 平面 平面 ，
平面 ．
