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限时训练 02（A 组+B 组）
（考试时间：60分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求的）
1．已知 是虚数单位，若复数z满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先利用复数的除法，求出复数 ，再求共轭复数，然后判定所在象限.
【详解】由题意知， ，则 ，
故复数 在复平面内对应的点为 ，在第四象限.
2．集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解出集合 ， 中的元素，再由集合的并运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
3．已知直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案.
【详解】当 ，直线 ，此时 ，故“ ”是“ ”的充分
条件，
由 ，得 ，解得 ，故“ ”是“ ”的必要条件，
故“ ”是“ ”的充要条件.故选：C.
4． 的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】二项展开式的通项公式为 ，
整理得： ，
令 ，解得： ，
展开式中常数项为： .
5．在 中，内角 所对的边分别是 ．若 ，且
，则 的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据正弦定理化角为边，然后根据余弦定理求出 ，然后根据向量的数量积定义求出
，最后根据三角形面积公式求出结果.
【详解】根据正弦定理得 ，化简得 .
根据余弦定理知， ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 的面积为 .
故选：D.
6．某空间站由 ， ， 三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个
舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去 舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35 B．36
C．42 D．50
【答案】D
【分析】以 舱的人数为分类依据，将5人分配到A、B、C三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数.
【详解】有四类不同的安排情形：
①甲单独在 舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在 舱，
有 种不同的安排方法；
②甲单独在 舱，其余四人平均分成两组每组 人，安排在 舱，
有 种不同的安排方法；
③ 舱安排 人，其余三人分成两组，一组 人，一组 人，安排在 舱，
有 种不同的安排方法；
④ 舱安排 人，其余二人分成两组，安排在 舱，
有 种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有 种.
【点睛】本题是分类加法计数原理+分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀或不均
匀分组与排列计算.
7．已知 是椭圆 的左右焦点，点 在直线 上， 为等腰三
角形， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】结合图像，得到 ，再在 中，求得 ，从而得到 ，代入直线 的方
程可得到 ，由此可求得椭圆 的离心率.
【详解】由题意知 ，
由 为等腰三角形，且 ，得 ，
过 作 垂直 轴于 ，如图所示，
则在 中， ，故 ，
，
所以 ，即 ，代入直线 的方程 ，
得 ，即 ，所以所求的椭圆离心率为 .故选：B.
8．已知正实数 ，满足 ，则 的大小关系不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以
， 选项与此矛盾.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0
分）
9．在公比 为整数的等比数列 中， 是数列 的前 项和， ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．数列 是公差为2的等差数列
【答案】AC
【分析】利用等比数列性质求得 ，然后结合 求得 ，再求出公比 后可得通项公式 及
前 项和 ，然后判断各选项．
【详解】选项A，由等比数列性质得 ，由 ，解得 或 ，
若 ，则 ，不合题意，
若 ，则 ，满足题意，A正确；
选项B，由选项A得 ， ，
等比数列的通项公式应为 形式，因此 不是等比数列，B错；
选项C，由选项B得， ，C正确；
选项D，由上知 ， ，
，所以数列 是公差为 的等差数列，D错．
10．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于A，B两点，点A在第一
象限，过点A，B作C的准线 的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ）A． 的方程为 B． 为正三角形
C． D． 的面积为
【答案】ABD
【详解】抛物线 的焦点 在直线 上，则 ，解得 ，
对于A，抛物线 的准线l的方程为 ，A正确；
对于B，由 ，解得 或 ， ，
， 为正三角形，B正确；
对于C，由选项B得 ， ， ，C错误；
对于D，点 到直线 的距离 ， ， ，D正确.
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的图象关于点 中心对称
B．若曲线 的图象向左移动 个单位后关于 轴对称，则 的最小值为2
C．若 ，则 在 单调递增
D．若 在 上恰有三个零点，则
【答案】ABD
【分析】根据整体法，结合正弦函数的性质即可判断ACD，根据函数图像平移的性质即可判断B.
【详解】对于A, ，令 ，当 ，对称中心为 ,A选项正确．
对于B，将 的图象向左移动 个单位得到 ，
若 的图像关于 轴对称，则 ．
又因为 ，则 的最小值为 B选项正确．
对于C． ，
令 ， ，
即 的单调递增区间为 ，
当 时， ，又因为 C选项错误．
对于D． ，因为 在 上恰有三个零点，
所以 D选项正确．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则 ________．
【答案】1
【分析】根据题意求模先平方再开方计算得到 ，再根据模长关系运算求解.
【详解】∵ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： .
13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O， ， 为圆锥的母线， ，且二面角 为
.若 的面积等于 ，则圆锥的体积为______.
【答案】
【分析】作 ，垂足为 ，则 为 的中点，根据二面角的定义得到 为二面角 的
平面角，设 ，由 的面积建立 的等式得到 的值，从而得到圆锥的高 的值，底面圆 的半
径 的值，求出圆 的面积 ，利用圆锥的体积公式求出体积.
【详解】如图，作 ，垂足为 ，则 为 的中点，， ， 为二面角 的平面角，
二面角 为 ， ，
在等腰三角形 中， ，
设 ，则 ， ，
则 ，
，
的面积等于 ，解得 ，
则 ， ，
圆 的面积为 ，
圆锥的体积为 .
故答案为： .
14．若函数 有两个极值，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可.
【详解】 函数 的定义域为 ，
，
函数 在 有两个极值，
在 有两个不相等的实数根，
即 在 有两个不相等的实数根，
令 ，对称轴为 ，
要使 在 有两个不相等的实数根，则需满足 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 .
（考试时间：60分钟 试卷满分：73分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求的）
1．已知命题 ， ；命题 ， ，则（ ）
A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【详解】当 时， 不成立，所以命题 是假命题， 是真命题；
根据指数函数和对数函数的图象可知，函数 与 在 上有一个交点，
则 ， ，即命题 是真命题， 是假命题.
2．若 （ ）为纯虚数，则 （ ）
A． B．2
C． D．4
【答案】D
【详解】 ，
因为 为纯虚数，
所以 ，且 ，
所以 .
3．已知等比数列 与等差数列 ，满足 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得 、 ，再计算余弦即可得解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，则 ，
设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ．
4．在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 ，则点集
所表示的区域的面积是（ ）
A．8 B．
C．4 D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得 是等边三角形，不妨设 ， ，且 ，求得
，结合 ，确定区域形状，进而求得其面积.
【详解】由题意知 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 是等边三角形，
不妨设 ， ，且
因为 ，可得 ，
即 ，所以 ，解得 ，
又 ，则 ，画出如下图形，
则平行四边形 及其内部即为点集 所表示的区域，由 可得 ，
由 可得 ，
由 可得 ，
所以 ，
点 到直线 的距离
所以平行四边形 的面积为 ，
即点集 所表示的区域的面积是 .
5．已知随机变量 ，且 ，则当 时， 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】根据题意，随机变量 ，且 ，则有 ，解得 .由
，即 ，
所以 ，当且
仅当 ，即 时取等号.
6．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事
这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种.
A．120 B．60C．24 D．36
【答案】D
【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.
【详解】根据题意可分为2种情况讨论：
（i）若小张或小赵只有一人入选，则有 种不同的选派方案；
（ii）若小张，小赵都入选则有 种不同的选派方案，
综上可得，共有 种不同的选派方案.
故选：D
7．我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过 年
后，碳14的含量 （ 为碳14的初始含量， 为常数），则碳14含量由原来的 衰减为
大约需要经过（ ）（参考数据： ）
A．2292年 B．2456年
C．2674年 D．2838年
【答案】B
【分析】利用半衰期的意义求出 ，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.
【详解】依题意，当 时， ，即 ，解得 ，
设经过 年碳14含量衰减为原来的 ，经过 年碳14含量衰减为原来的 ，
则 ，即 ，所以
.
故选：B
8．已知函数 的定义域为 ， ，若 ，则下列说法正确的是（
）
A． B．
C．函数 是奇函数 D．函数 是偶函数
【答案】C
【分析】令 求出 可判断A，令 可得 ，利用等差数列的求和公式
求和后可判断B，求出 后令 ，结合B中分析可得 ，据此可判断CD的正
误.【详解】对于A，令 ，则 ，故 ，故A错误；
对于B，令 ，则 ，
所以 ，故 为等差数列，首项为零，公差为 ，
故 ，故B错误；
对于C，因为 ， ，故 ，
故 ，同理 ，
在 中令 ，
则 ，由B的分析可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 是奇函数，故C正确；
对于D，由C的分析可得 即 ，
故函数 是奇函数，故D错误.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0
分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知 ，若 ，则
B．若样本数据 的方差为1，则数据 的方差为2
C．已知样本点 的经验回归方程为 ，若样本点 与 的残差相等，
则
D．若 ， 是两个随机事件， ， ， ，则
【答案】ACD
【分析】对于A，根据正态分布的对称性即可求解；对于B，根据方差性质即可求解；对于C，根据残差的
定义列等式变形即可；对于D，根据条件概率公式即可求解．
【详解】对于A， ，
，故A正确；
对于B， ，故B错误；对于C，样本点 的残差为 ，
样本点 的残差为 ，
由残差相等可得 ，可得 ，故C正确；
对于D， ， ，
， ，故D正确．
10．在 中，三个内角 所对的边分别为 ，若 ， ，
的面积为1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由 及 结合降幂公式、和差化积公式得到 ，
即可判断C；进而得到 即可判断B；再结合 及三角形的面积公式可求解判断
A；结合 求出 ，再结合正弦定理求解判断即可.
【详解】由 知， ，
化简可得 ，
根据和差化积公式可得： ，
则 ，即 ，
由 知， ，
所以 ，即 ，故C正确；
由 ，得： ，所以 ，故B不正确；
在 中，由 ，知 ，故A正确；
由 知， ，
又 ，则 ，又 ，
由正弦定理得， ，故D不正确.11．如图，在棱长为2的正方体 中，点 是正方体的上底面A B C D 内（不含边界）的动
1 1 1 1
点，点 是棱 的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积是定值
B．存在点 ，使得 平面
C．直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
D．若 平面 ，则点 的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】由等体积法可判断A，建系，由向量法逐项判断BCD.
【详解】对于A，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，
是定值，A正确；
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ，
对于B，设 ，则 ，
若存在点 ，使得 平面 ，则 ，
解得： 不符合 ，故不存在点 ，使得 平面 ，故B错误，
对于C， ，易知平面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 ，故C正确；
对于D， ，
则 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，若 平面 ，则 ，即 ， 即 ， 则
，
即 ，如下图：取正方体的上底面，建立平面直角坐标系，
设直线 与 交于 ，线段 （不包括端点）即为点
的轨迹，
由直线 方程为 ，直线 方程为 ，可得 ，则
故D正确，
故选：ACD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分）
12．设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ， ，则 ________．
【答案】
【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将 转化为 ，求解即可.
【详解】因为等差数列 ， 的前 项和分别为 ， 且 ，
所以 ．
故答案为： .
13．求值： ___________．
【答案】
【详解】.
14．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为 ，若该圆台上下底面的圆周均在同一个球
的球面上，则此球的表面积为_________________．
【答案】
【分析】设圆台的上下底面圆心分别为 ，球心为 ，设 ，由球的性质可列方程，求出半径后
再由球的表面积公式即可得解.
【详解】设圆台的上下底面圆心分别为 ，球心为 ，
在上下底面圆周上分别取点为 ，连接 ，如图，
因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为 ，
所以 ， ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以该球的半径 ，
所以该球的表面积 .
故答案为： .
