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重难点15 双曲线性质与离心率
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速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：近三年（2023–2025）高考数学对双曲线的考查以小题（选择、填空）为主，每年 1 题、5
分，难度中档偏易，核心聚焦离心率、渐近线、标准方程、定义与焦点三角形，常与向量、圆、抛物线综
合。
全国卷、高考卷均为1 道小题（选择、 填空），5 分。难度定位在基础、 中档题为主。
预测2026 年：2026 年命题趋势：
核心稳定：离心率、渐近线、标准方程为绝对高频。
综合增强：常与向量、圆、抛物线、解三角形结合，考查几何转化与运算。
重定义与性质：淡化复杂联立，强调定义应用、焦点三角形、渐近线几何意义。
复习备考：
1.由方程求 e、渐近线；
2.由渐近线 、离心率求方程；
3.焦点三角形求 e；
4.焦点到渐近线距离综合。
。
考向01 定义1：轨迹
轨迹的求法核心分为定义法、相关点法（代入法）、直接法（直译法）三大类，其中双曲线轨
迹求解中定义法为高频考点，同时结合点差法可解决中点相关的轨迹问题，以下梳理各类方法
的常见步骤和适用场景，常见步骤：
1、找定点：确定轨迹对应的两个定点F1,F2，计算两定点间的距离∣F1F2∣=2c；
2、证定值：通过几何关系推导动点P 到两定点的距离差的绝对值为定值2a，且验证2a<2c（满
足双曲线定义）；
3、求参数：由c 和a，根据双曲线的参数关系b2=c2 a2
−
求出b2；
4、写方程：根据定点的位置（如在x 轴 /y 轴），写出双曲线的标准轨迹方程；
5、去杂点：剔除轨迹中不满足题意的点（如与坐标轴的交点、双曲线的虚轴端点等）。
1．（2026 高三·天津·专题练习）在平面直角坐标系
中，
，动点
和
分别位于
正
半轴和负半轴上，若
，则
和
的交点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过设出交点
的坐标，利用
、
、
、
的坐标关系以及已知条件
来建立等
式，从而求出
的轨迹方程.
【详解】设
，
，
.因为
，所以
.
已知
，
，根据直线的截距式方程
（
为
轴上的截距，
为
轴上的截距），
可得直线
的方程：
. 已知
，
，则直线
的方程为
.
因为
是
和
的交点，所以
的坐标满足
和
的方程.
对于直线
的方程
，可得
. 对于直线
的方程
，可得
.
所以
，或
，又因为
，所以
，即
. 故选：D.
2．（25-26 高二上·山西太原·期末）已知
、
，
是圆
（
为坐标原点）上任
意一点，
是圆
外一点，若
，且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对点
的位置进行分类讨论，推导出
，可知点
的轨迹为双曲线，求出
、
的值，即可得出点
的轨迹方程.
【详解】如下图所示：
当点
在
轴右侧时，连接
，延长
交直线
于
点
，因为
，
，故
为线段
的中点，所以
为等腰三角形，所以
，
又因为
为
的中点，所以
，此时
；
当点
在
轴左侧时，同理可得
，所以
，
故点
的轨迹是以点
、
为焦点，且实轴长为
的双曲线，
由题意可得
，则
，
，所以
，
因此点
的轨迹方程为
.故选：A.
3．（25-26 高三全国专题练习）已知圆
，点
在圆A 上运动，设线段PB 的垂直
平分线和直线PA 的交点为
，则
点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质，可得
，结合双曲线的定义，
可得a，c 的值，根据a，b，c 的关系，即可求得答案.
【详解】因为圆心
，
，所以
，因为线段PB 的垂直平分线和直线PA 的交点为
，
所以
，所以
，所以Q 点轨迹为双曲线，且
，
所以
，则
点的轨迹方程为
.
故选：B
4．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆
上恰有三个点到直线
的距
离为1，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由圆
上恰有三个点到直线
的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为
，求得
，设
，得到
，代入方程，即可得到点
的轨迹方程.
【详解】由圆
，可得标准方程为
，所以圆心
，半径为
，
若圆
上恰有三个点到直线
的距离为，则满足圆心到直线的距离恰好为
，即
，即
，设
，则
，代入
，可得
，整理得
，即点
的轨迹方程为
.故选：
A.
考向02 定义2：第一定义
双曲线定义：动点P 满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c 且a＜c (其中a，c 为常数且a>0，c>0).
5．（2025·武汉·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直
线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，与双曲线C 的右支交于点P．若
，
，
，
为
的角平分线，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的定义及几何性质，结合已知条件，求出
点坐标，进而求出相关线段长度，再利用
角平分线定理求出
．
【详解】
双曲线
，设双曲线半焦距为，
左、右焦点分别为
，
，
，
，
是
中点，
，
，
是
中点，
是以
为圆心，为半径的圆上的点，故
，
设点
在双曲线渐近线
上，联立
得
，
点
在双曲线渐近线
上，且
是
中点，
，故
，解得
，
，
的斜率
，方程为
，
联立直线与双曲线方程
，得
，解得
，
在双曲线右支上，
，
，故点
；
，
是
的角平分线，
，故D 正确．故选：D．
6．（2025·江西抚州·模拟预测）点
、
分别是双曲线
的左、右焦点，点
在双曲线上，则
的内切圆半径的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】如图所示，设
的内切圆圆心为
，内切圆与三边分别相切于点
，根据圆的切线可
知：
，
，
，又根据双曲线定义
，即
，所以
，即
，又因为
，所以
，
，所以
点为右顶点，即圆心
，
考虑
点在无穷远时，直线
的斜率趋近于
，此时
方程为
，此时圆心到直线的距离为
，解得
，因此
内切圆半径
，所以选择A.
7．（25-26 高三·湖南·模拟预测）设点
是抛物线
的焦点，点
是双曲线
的左焦点，
点
是
上第一象限内的一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是
C．
的最大值是
D．
的最小值是
【答案】D
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标及渐近线方程，可判断直线
与双曲线第一象
限部分无交点，即可判断A、C，再由双曲线的定义判断B、D.
【详解】如图，由点
是抛物线的
焦点，故
，
由双曲线
知
，则
，故
，右焦点
，
所以
，又双曲线的渐近线方程为
，
所以直线
与双曲线第一象限部分无交点，故
，故A，C 错误；
由双曲线的定义，
，
所以
，
即点
运动到线段
与双曲线的交点
时，
有最小值
，故B 错误，D 正确．
故选：D．
8．（2025·贵州黔东·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线
的左支上，且
的周长为9.设
为双曲线
右支上的动点，则
面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线定义可得
，进而可得
，结合渐近线的性质可知
到直线
的
距离
，进而可得
面积的取值范围.
【详解】双曲线
，则
，
，
，则
，
，
.
设
，由双曲线的定义得
，则
.，
的周长为9，得
，即
，解得
，故
，
.不妨设
，
，
则
①，且
在
上，则
②，
联立①②，解得
，
，
即
，则直线
的斜率
，且渐近线的斜率为
，可知
平行
于渐近线
，且直线
的方程为
，则两平行线间距离
，
设
到直线
的距离为
，则
，可得三角形
的面积
，
所以
面积的取值范围是
.故选：C.
考向03 定义3：第三定义与中点弦
椭圆：设直线和椭圆
x
12
a2 +
y
12
b2 =1的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1
；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0 ；
( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
抛物线：设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1；
y
22=2 px 2 ；
可得
13．（2022·四川南充·一模）双曲线
，点A，B 均在E 上，若四边形
为平行
四边形，且直线OC，AB 的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设
，显然线段
的中点坐标为
，
因为四边形
为平行四边形，
所以线段
的中点坐标和线段
的中点坐标相同，即为
，
因此
点坐标为
，因为直线OC，AB 的斜率之积为3，所以
，
因为点A，B 均在E 上，所以
，两式相减得：
，
所以两条渐近线方程的倾斜角为
或
，故选：B
【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.
14．（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
过左焦点
作斜率为2
的直线与双曲线交于A，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为
，则b 的值是
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用点差法设
、
，作差即可得到
，再根据斜率公式，从而
得到
，即可得解；
【详解】解：设
、
，则
，
，两式相减可得
，
为线段
的中点，
，
，
，又
，
，
，即
，
，
故选：D.
15．（2025·浙江台州·模拟练习）已知双曲线：
，点
的坐标为
，斜率为
的
直线与双曲线的左右两支分别交于
，
两点，直线
交双曲线于另一点
，直线
交双曲线于另一点
.当直线
的斜率为
时，此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用点差法可表示出
，由平行关系易知
三点共线，从而利用斜率相等的关系构造
方程，代入
整理可得到
关系，利用双曲线
得到关于
的齐次方程，进而求得离心率.
【详解】设
，
，线段
的中点
，两式相减得：
…①
设
，
，线段
的中点
同理可得：
…②
，易知
三点共线
，将①②代入得：
即
∴
，即
故选：
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到点差法的应用；关键是能够利用三点共线得到斜率相
等，从而构造出关于
的齐次方程，解齐次方程求得离心率；需要注意的是，在处理弦中点问题时，常
采用点差法来得到弦的斜率和中点坐标之间的关系.
16．（2023·四川成都·模拟预测）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F 的距离与到定直线l 的距离
（F 不在l 上）的比值e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线
的左焦点
的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B 两点，满足
．设M 为AB 的中点，则直线OM 斜率的最
小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得
，然后利用点差法可得
，进而可得
，然后利用基本不等式即得.
【详解】由题可知
在左支上
在右支上，如图，设
，
在左准线上的射影为
，因为
，
则
，所以
，
设
，则
，所以
，
，即
，所以
，
所以
，当且仅当
即
时，等号成立，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据圆锥曲线的定义结合条件表示出
，然后利
用点差法得
，根据基本不等式即得.
考向04 焦点三角形1：焦半径
焦半径：
双曲线的焦半径是指双曲线上任意一点到其一个焦点的距离，公式分焦点在 x 轴和焦点在 y 轴两种形
式，且需区分点在左 、 右支（x 轴）、上、 下支（y 轴），核心依托双曲线的第一定义和第二定义
推导，是解决焦点三角形、焦半径最值等问题的关键公式。
焦点在 x 轴上的双曲线
设双曲线的左焦点F1(−c,0)，右焦点F2(c,0)（c2=a2+b2），双曲线上任意一点P(x0,y0)：
点P 在右支上（x0≥a）：右焦半径：∣PF2 =ex
∣
0−a 左焦半径：∣PF1 =ex
∣
0+a
点P 在左支上（x0≤−a）：右焦半径：∣PF2 =−ex
∣
0+a 左焦半径：∣PF1 =−ex
∣
0−a
1．（25-26 高三上·天津西青·期末）已知双曲线
的左顶点为
，过
的直线与
的右支交于点
，若线段
的中点在圆
上，且
，则双曲线
的渐近线方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设线段
的中点为
，双曲线的右顶点为
，连接
，则可得
，然后在
中利用余弦定理求得
，则
，从而可表示出
，代入双曲线方程化
简可求出渐近线方程.
【详解】设线段
的中点为
，双曲线的右顶点为
，左右焦点为
，连接
，
因为线段
的中点
在圆
上，所以
，所以
≌
，所以
，
因为
，所以
，在
中，由余弦定理得
，因为
，所以
，
所以
，过
作
轴于
，则
，所以
，
所以
，得
，即
，所以双曲线
的渐近线方程为
；故选：B
2．2025·浙江绍兴·模拟预测）已知
为双曲线
上一点，过
作直线
，分别交双曲线的渐近线于M，N 两点，O 为坐标原点，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】D
【分析】由题得
，联立直线
与渐近线方程求出M、N 两点坐标，直
接由两点间距离公式计算
即可求解判断A；由两点间斜率公式即可直接计算
即可求解判
断B；直接计算
结合基本不等式即可求解判断C；直接计算
即可求解判断D.
【详解】由题可得
即
，双曲线的渐近线方程为
，
则联立
，
联立
，
所
以
，
，所以
，故A 正确；
，故B 正确；
，当且仅当
即
时等号成立，所以
的最小值为
，故C 正确；
，故D 错误.
故选：D
3．（25-26 高三上·天津滨海新区·月考）已知
为坐标原点，双曲线
的左、右焦
点分别是
，点
是
的右支上异于顶点的一点，过
作
的平分线的垂线，垂足是
，且
，又过
作一条渐近线的垂线，垂足为点
（点
在第二象限），且
，则双曲线的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线定义以及角平分线性质可知
，再由渐近线方程求出
，在
中，由
正弦定理以及余弦定理可得
，即可求得双曲线标准方程.
【详解】延长
交
于点
，连接
，如下图所示： 因为
是
的平分线，所以可得
，因此
为
的中点，且
；由双曲线定义可知
,又
为
的中点，所以
，且
，由
可得
，
因为垂足
在第二象限，所以渐近线为
，即
；
易知
，所以点
到渐近线的距离为
；
所以
；因此
，
在
中，由正弦定理可得
，所以可得
；
再由余弦定理可得
，即
，可得
；
又
，所以
，因此双曲线的方程为
.故选：C
4．（25-26 高二上·河南濮阳·期末）若一个椭圆与一个双曲线的焦点相同，且离心率之积为1，则称椭圆为
该双曲线的伴生椭圆.已知双曲线
的左焦点为
，
的伴生椭圆
与
在第一象限的交点为
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．6
【答案】B
【分析】由新定义求出双曲线
的伴生椭圆
的方程
,进而联立方程求出点
坐标，再求解
即可．
【详解】已知双曲线
，得
，即知
，
所以双曲线的左焦点为
，离心率
，设双曲线
的伴生椭圆
的离心率为
，则
，即
，因为椭圆
的左焦点也为
，设椭圆
的半长轴为
，半短轴为
，
则
，
，
所以椭圆
的方程为
.
联立
，解得
，设椭圆
与
在第一象限的交点为
，即
，
所以
,故选：B.
考向05 焦点三角形2：焦点圆
焦点圆：
圆心为双曲线的中心（原点），半径为双曲线的半焦距c，与双曲线的半实轴a、半虚轴b
满足勾股定理c2=a2+b2。性质本质是：
根据圆的性质，焦点圆上任意一点P 满足∠F1PF2=90∘（直径所对圆周角为直角），即PF1 垂直
PF2，此结论为焦点圆与双曲线交点问题的核心突破口。
5．（2022·江西·模拟预测）已知
分别是双曲线
的左右焦点，以线段
､
为
直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于
两点，若
两点的横坐标之比是
，则该双
曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用几何关系求出点
的坐标，将坐标代入双曲线方程即可求得离心率.
【详解】作
轴，垂足为
，
轴，垂足为
，
设
，
，则
，由渐近线的方程
可知
，
在
△
中，
，解得
，由已知得
，即
，即
，则点
的坐标为
，
代入双曲线方程可得
，化简得
，即
，故选：
.
6．（19-20 高三下·天津南开·月考）设
，
为双曲线
的左、右焦点，以
为直径的圆与双
曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M，N，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意得到
两点的坐标，再根据双曲线的性质分别得到
和
的值，进而求
得答案.
【详解】解：由题意知：
，
，由双曲线的对称性得到
；
；则
；
故选：C.
【点睛】本题主要考查双曲线的性质和应用；解题的方法是数形结合，分别求出
和
的
值，然后运算求解；解题的关键点是根据双曲线的对称性，得到
，进而求得
的值；
本题还考查了学生运算求解能力，属于基础题型.
7．（24-25 高三上·四川成都·期中）设双曲线
的左，右焦点分别为F1，F2，以
F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为 P ，直线 PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为
Q .若点Q 恰好为线段PF1的中点，则直线 PF2的斜率的值为（ ）
A．−2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得到
，且
，求得
，结合双曲线的定义求得
，即可求得直线
的斜率.
【详解】
如图所示，以
为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为
，
可得
，又因为
为
的中点，
为
的中点，所以
，
，
，
所以
，又
，得
，
由双曲线的定义可得
，所以
，
所以
，所以
，故选：A
8．（2021·全国·模拟预测）已知双曲线
的离心率为
，左右焦点分别为
､
，
，
以
为直径的圆与双曲线右支的一个交点为
.若
，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据离心率得到
，再根据双曲线的定义及勾股定理求出
，即可求出双曲线方程；
【详解】解：因为离心率为
，所以
，所以
，因为
，
，所以
，又
，且
为以
为直角的直角三角形，所以
，即
，又
，所以
，解得
或
（舍去），以双曲线的标准方程为：
。故选：A
考向06 焦点三角形3：渐近线
渐近线：
渐近线的对称性
双曲线的两条渐近线关于x 轴、y 轴、原点中心对称，且双曲线的对称轴（x 轴、y 轴）为渐近线的角
平分线；推论：渐近线的夹角被双曲线的实轴平分，夹角θ 满足tanθ/2=b/a（焦点在 x 轴），tanθ/2
=a/b（焦点在 y 轴）。
性质 2：焦点到渐近线的距离为定值b（秒杀结论）
性质 3：渐近线与焦点圆的交点为(a,b)（第一象限）
9．（25-26 高二上·山东济南·期末）双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲
线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．已知
为双曲线
的左、
右焦点，从
发出的光线经过双曲线右支上的点
反射后，反射光线与入射光线垂直，且
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，结合双曲线的性质即可求解.
【详解】由题可得：
，解得：
则
，所以
，则
的渐近线方程为
，故选：D
10．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点
，
是双曲线
：
的左、右焦点，点
在
的右支上，连接
作
且与
轴交于点
，若
则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】不妨设点
在第一象限，设
，根据
和
求出点
的坐标，再代入双曲线方程即可得解.
【详解】不妨设点
在第一象限，设
，
，
由
，得
，所以
，所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
，解得
（
舍去），所以
，
又因为点
在
上，所以
，即
，
所以
，所以
，所以
的渐近线方程为
.
故选：A.
11．（22-23 高三上·河南三门峡·期末）如图，已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，以
为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为P，线段
与另一条渐近线交于点
Q，且
的面积是
面积的2 倍，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可知
为线段
的中点，求出点
的坐标，可得出点
的坐标，代入双曲线的渐近线方程
可得出关于
、
的等量关系，由此可解得双曲线的渐近线方程.
【详解】
为
的中点，则
，即
，
所以，
，所以，
为线段
的中点，由图可知，直线
的方程为
，
因为
，所以直线
的方程为
，联立
，解得
，即点
，
因为点
，所以点
的坐标为
，又点
在直线
上，则有
，
，
因此，该双曲线的渐近线方程为
.故选：C.
考向07 焦点三角形4：切线
解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定
义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最
值（或值域），常用方法：
（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意
自变量的取值范围.
12．（2026·湖南永州·一模）已知
分别为双曲线
：
的左、右焦点，
为
右支上的一点，线段
与
轴交于点
为坐标原点，过点
作
，垂足为
为
线段
上的一点，满足
，则
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
为
的重心，
为
的中点．从而得
，
，进而
得
，在
中，求得
，在
中，由余弦定理，得
，即有
解得
，
，即可得答案.
【详解】如图，设
，
为
的中点，
；
为
的重心，
为
的中点．又
．由双曲线的定义可知，
．在
中，
．
在
中，由余弦定理，得
，
化简得
或
（舍去），
．
故
的渐近线方程为
．故选：A.
13．（20-21 高三下·河南·月考）已知双曲线
，点
在双曲线
上，点
在直线
上，
的倾斜角
，且
，双曲线
在点
处的切线与平行，则
的面积的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，求得
，得到
联立方程组，求得
，求得点
到直线的距离
，进而求得
，得到
，利用基本不等式，即可求得面积的
最大值.
【详解】由题意，不妨设
在第一象限，
则双曲线
在点
处的切线方程为
，所以
，即
又因为
，所以联立可得
，所以点
到直线的距离
，因为
，所以
，
所以
．
令
，则
，因为
，所以
，所以
，
可得
，
当且仅当
，即
时，面积取得最大值
．故选：D.
14．（2023·福建 模拟预测）过双曲线
上任意点
作双曲线
的切线，交双曲线
两条渐近线
分别交于
两点，若
为坐标原点，则
的面积为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【详解】分析：本题采用“小题小做”的方式，在题中没有限定切线的位置时，可以将切线特殊为
，
从而可迅速准确的得解.
详解：过双曲线
上任意点
作双曲线
的切线，不妨设点
为右顶点
.
此时易知切线即为
.
两条渐近线为：
.
即
为等腰直角三角形，则
的面积为
.
故选D.
点睛：当题中没有限定情况时，我们考虑问题可以从最特殊的情况分析，特殊情况往往可以帮助我们排除
错误，选出正确选项.通常这种方法被称为：特殊位置法，在选择题中常常被广泛应用.
15．（2024·广东广州·模拟预测）若双曲线
的右支上存在两点
，
使直线
垂直于双
曲线在点
处的切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】不妨设
在
轴上方，则双曲线在点
处的切线斜率
，结合垂直直线的斜率关系可得
，由直线与双曲线的位置关系可得
，解不等式可得
的范围.
【详解】由题，不妨
在
轴上方，则双曲线在点
处的切线的斜率为
，
因为双曲线上一点的切线斜率的绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以
，又
，故
，
又
与双曲线右支有两个交点且斜率为负，所以
，故
所以
.
故选：D.
16．（2025·河南·二模）过双曲线
右支上的点
作
的切线l，
，
分别为
的左、
右焦点，
为切线上的一点，且
（O 为坐标原点）.若
，则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】设
，求出点
处的切线方程，得切线与
轴的交点
坐标，求出
，根据
列式计算得解.
【详解】设
，则双曲线
在点
处的切线方程为
，
在
中，令
，得
，故
，故
，
又
，故
，
其中
，又
，
故
，
因为
，所以
，即
，整理得
，
显然
，所以
，解得
.故选：B.
考向08 离心率1：定义型
定义法求离心率：
知焦点三角形
的边长关系、角度、周长，或结合垂直、中点、角平分线等几何条件，能通过第
一定义表示出∣PF1∣、∣PF2∣、2c 的数量关系。
核心步骤：
1.定左右支位置设长：判断点P 在双曲线左 / 右支，设∣PF1∣=m，∣PF2∣=n；
右支：m−n=2a；左支：n−m=2a；
2.列出几何等式：结合题设条件（周长、勾股、余弦定理、中点 / 垂直性质），列出m、n、2c 的第二
个等式；
3.消元求a,c：联立第一定义式和几何等式，消去m、n，得到仅含a、c 的齐次等式；
4.求离心率：将等式两边同除a2（或a），转化为关于e=c/a的方程，求解并保留e>1 的解。
1．（2026 高三·保定·专题练习）已知F 是双曲线
的右焦点，直线
与双曲
线C 交于
两点，其中M 在第一象限，
，且
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作出符合题意的图形，结合题意以及双曲线的定义得到
，最后利用余弦定理
建立齐次方程，求解离心率即可.
【详解】如图，设C 的左焦点为
，则
为平行四边形，
，
因为
，所以
，而
，可得
，因为
，所以
，
所以
，化简得
，故离心率
．
2．（25-26 高三下·江苏泰州·开学考试）在平面直角坐标系
中，圆
与双曲线
相交于A，B，C，D 四点，若点A，B，C，D 构成圆O 圆周的四等分点，圆O
的直径长度是双曲线C 实轴长的3 倍，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，可以得出圆上符合题意的四点坐标，故得出双曲线上符合题意的点的坐标，将其代入
双曲线方程，得出
和
值，得出离心率.
【详解】由已知圆
的直径为4，又直径长度是双曲线C 实轴长的3 倍，所以
，所
以
.因为点A，B，C，D 构成圆O 圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，
且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：
设圆与
轴交于点N，所以
，且
，
所以设
是圆与双曲线的交点，所以
或
解得
或
或
或
，所以四等分点的坐标为
,
把
代入
中，得
，解得
，所以双曲线C 的离心率
.
3．（2026 高三·天津·专题练习）已知双曲线
的左焦点为
，横截距大于
的直线
与
右支交于
两点，
，
，若的斜率为，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】设双曲线离心率为，设左准线为
，过点
作
垂足分别为
，根据双曲线
第二定义
，再由直线斜率建立关系求解.
【详解】设
，则
，
设双曲线离心率为，设左准线为
，
过点
作
垂足分别为
，
由双曲线第二定义得：
，
过点
作
，垂足为
，则
，
所以：
，
根据直线斜率可得
，解得
.
故选：A
4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知双曲线
的左右焦点分别是
､
，过点
的
直线与双曲线
的右支交于
两点，若
，则双曲线
离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用双曲线的定义，求得
，再由双曲线的性质，得到
，得
出
，结合离心率的定义，得出关于离心率的不等式，即可求解.
【详解】由双曲线的定义，可得
，
，
两式相加得
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
当
轴时，此时
最小，此时
，所以
，
因为
，可得
，整理得
，
两边除以
，可得
，又因为
，解得
，
所以双曲线的离心率取值范围是
.
故选：D
考向09 离心率2：中点与点差型
点差法求双曲线离心率，核心是利用点差法推导的中点弦斜率公式，结合题中中点、平行、垂直、线段
比例等条件，建立弦斜率与双曲线a,b 的关系，再通过c2=a2+b2转化为离心率e=c/a的方程，是求解中点
弦相关离心率的专属方法， 也是双曲线离心率求解的常见技巧。
主要是第三定义公式：
5．（24-25 高二下·贵州遵义·月考）已知
，
是双曲线C：
的左、右焦点，过点
的直线与双曲线左，右两支分别交于点P，Q，若
，右焦点
在线段PQ 的中垂线上，则双曲
线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】由题可设
，
为
中点，则
，
，再根据双曲线的定义可得
，证明
，所以
，
，然后在
中利用勾股定理
计算可得出
与
的关系，最后求得离心率.
【详解】如图：设
为
中点，
因为
，设
，则
，
，
，又因为
，
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
.
在
中，
，在
中，
，即
，所以
.故选：B
6．（25-26 高三上·山东济宁·月考）若双曲线
不存在以点
为中点的弦，则该
双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断点
在双曲线外部或在双曲线上，得
，再结合过该中点的直线斜率
可得另一不等式，最后求解出
的范围，结合离心率等式即可求解．
【详解】 不存在以点
为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：
点
在双曲线外部或其上（若点
在双曲线内部，则过该点的弦必然存在），
因此
，解得
；设过点
的弦的斜率为
，设弦与双曲线交于点
，
，
则
，
，由点
，
在双曲线上，得
，
两式作差得
，所以
，
直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是
，因为不存在该中点弦，所以直线AB 与双曲线至多一个
交点，则
，也即
，所以
，则
．
7．（2025 高三·天津·专题练习）已知
是双曲线
的左焦点，
为圆
上一点，直线
的倾斜角是
，直线
与双曲线的两条渐近线交于
、
两点，且
恰为
的中点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据倾斜角求出直线
斜率，进而得到直线方程，联立圆的方程求出点
坐标；直线方程与渐
近线方程联立求出点
、
坐标，结合点
为中点得到
与
的关系，代入离心率公式计算即可.
【详解】双曲线
的左焦点
，
，渐近线为
.
圆
的半径为，点
在圆上，所以
.
直线
的倾斜角是
，直线
的方程为
.
联立
，整理得
，即
，
解得
或
（对应
点），
，所以
.
联立
，解得
，即
.
联立
，解得
，即
.
因为
恰为
的中点，所以
，整理得，
，
所以
.故选：A.
8．（2024·云南曲靖·一模）已知双曲线
，过其右焦点
作一条直线分别交两条
渐近线于
两点，若
为线段
的中点，且
，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题设有双曲线渐近线为
，
，且
，求
坐标，根据
得到
齐次方程，即可得渐近线.
【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为
，
，则直线
，
故
，可得
，故
，即
，
又三角形BOF 为等腰三角形，所以
，则
，
整理得
，即双曲线
的渐近线方程为
.故选：B
考向10 离心率3：渐近线型
小题常用 “秒解” 组合
1. 给渐近线 + 过一点 直接设
⇒
2. 给焦点到渐近线距离 直接得
⇒
b
3. 给渐近线斜率 直接得
⇒
b/a
⇒立刻算 e
4. 求离心率：优先找 b/a，比硬算 a,c 快很多
9．（25-26 高三下·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线
的右焦点为
，过点
作垂
直于
轴的直线，
分别是与双曲线
及其渐近线在第一象限内的交点，若
是线段
的中点，
则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将焦点
的横坐标分别代入到渐近线与双曲线的方程，结合
是线段
的中点，即可求得
与
的关系，再由双曲线的参数关系即可求得
与的关系，进而求得双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的右焦点
，过第一象限的渐近线的方程为
，
将
代入到
，得
，即点
，将
代入到
，得
，即点
，
因为
是线段
的中点，则有
，可得
，联立
，整理得
，
则双曲线
的离心率
.
10．（25-26 高二上·江苏常州·期末）已知双曲线
，若圆
上存在点
使得
的中点在
的渐近线上，则
离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程，可得渐近线方程，设
，设PA 中点为Q，根据中点坐标公式，可得Q 点
坐标，根据Q 在渐近线上，代入可得
，由题意，点P 为圆M 与直线
的公共
点，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线距离公式，计算化简，即可得答案.
【详解】根据双曲线方程可得，渐近线方程为
，即
，
设
，设PA 中点为Q，由
，得
，
因为Q 在渐近线上，所以
，即
，
所以点P 为圆M 与直线
的公共点，
由题意圆M 的圆心为
，半径为2，
则圆心M 到直线的距离
，
，
得到
，解得
.故
离心率的取值范围为
.故选：B
11．（2026 高三·广东汕头·专题练习）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，点
是其渐近线上一点，若
，
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】根据题意可得
，进而可判断
为正三角形，求得
，得解.
【详解】由
，得
为直角三角形，
又
，所以点
在第一或第四象限内，不妨取点
在第一象限内，如图，
则
，又
，所以
为正三角形，故
，
因为点
是其渐近线上的一点，所以
，则双曲线的离心率
.故选：B.
12．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知双曲线
的右焦点为
，右顶点为
，过
点
的直线与双曲线
的一条渐近线交于点
，与其左支交于点
，且点
与点
不在同一象限，直线
与直线
为坐标原点）的交点在双曲线
上，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据图形，取左焦点
，证明
为平行四边形，推得
，由相似比，结合题
设条件得到
，即可求得离心率.
【详解】
如图，因直线
与直线
为坐标原点）的交点
在双曲线
上，则点
与点
关于原点对称，
设点
为双曲线的左焦点，连接
，因
，则四边形
为平行四边形，
故
，易得
，
则
，化简得
，故
.
故选：B.
考向11 离心率4：构造a、b、c 齐次型
求双曲线离心率或其取值范围的方法：
（1）直接求出
的值，利用离心率公式直接求解；
（2）列出含有
的齐次方程（或不等式），借助于
消去
，再借助于
，转化为含有
的方程（或不等式）求解．
13．（2026 高三·山东临沂·专题练习）
是双曲线
的左、右焦点，直线l 为双
曲线C 的一条渐近线，
关于直线l 的对称点为
，且点
在以F2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，
则双曲线C 的离心率为
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据左焦点
与渐近线方程，求得
关于直线l 的对称点为
，写出以F2为圆心、以半虚
轴长b 为半径的圆的方程，再将
代入圆的方程，化简即可得离心率．
【详解】因为直线l 为双曲线C 的一条渐近线，则直线
因为
是双曲线
的左、右焦点。所以
（-c，0），
（c，0）因为
关于直线l 的对称点为
，设
为（x，y）则
解得
所以
为（
）
因为
是以
为圆心，以半虚轴长b 为半径的圆，则圆的方程为
将以
的（
）代入圆的方程得
化简整理得
，所以
所以选B
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解
非常关键，属于难题．
14．（25-26 高二上·山东青岛·期中）已知双曲线
的左、右焦点分别是
、
，
过点
的直线与双曲线
的右支交于
、
两点，若
，则双曲线
离心率的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的定义可得
，又
，可得
，
又当
轴时
最小，可得
，即
，可得
，结合
即可
求得双曲线
的离心率的取值范围.
【详解】由已知，设
，则
，
，
两式相加得
，又
，所以
，
又
，所以
，
当
轴时
最小，此时
，所以
，
又
，则
，整理得
，
又
，两边除以
得
，解得
，
又双曲线的离心率
，所以双曲线的离心率取值范围是
.故选：B.
15．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
，
，
分别为
的右焦点和左顶
点，点
在双曲线的左支上，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，
，根据双曲线的定义结合余弦定理可求离心率.
【详解】如图，因为
分别为双曲线的右焦点和左顶点，所以
．
因为
，所以
，故
．
设左焦点为
，则
，故
，
，
整理得到：
，故
故选：A．
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或其取值范围的方法：
（1）直接求出
的值，利用离心率公式直接求解；
（2）列出含有
的齐次方程（或不等式），借助于
消去
，再借助于
，转化为含有
的方程（或不等式）求解．
16．（23-24 高二上·湖北·期末）已知双曲线
的右焦点为
，过点
作双曲线的
一条渐近线的垂线，垂足为
，若直线与双曲线
的另一条渐近线交于点
，且
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得
，设
，可得
，由已知向量关系可得
，从而得到
，即
，由离心率公式可得答案．
【详解】已知双曲线
的渐近线方程为
，
双曲线右焦点
到渐近线
的距离为
，在
中，
，
，所以
，设
，则
，
，因为
，所以
，所以
，所以
，在
中，
，所以
，即
，即
，所以
．故选：D
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
考向12 离心率5：焦点三角形型
双曲线焦点三角形求离心率，主要思维：
用定义把边写成 a，用余弦定理把角和边绑在一起，最后全部换成 abc 齐次式，直接解方程
17．（23-24 高二上·山东青岛·月考）双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，直线
过
且与双曲线C 左支交于点P，原点O 到直线的距离为
，且
，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】由题意首先根据对称性得出
，又
，所以可依次求得
，又
，再由平方关系可得
，又
，所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余
弦定理可得方程
，结合平方关系离心率公式运算即可求解.
【详解】如图所示：
，垂足为点
，由题意
，又
，所以
，
，
又因为原点
是
的中点，所以
，
解得
，又
，所以由余弦定理
，整理得
，又
，所以
，即
，解得
，从而所求离心率为
.故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是画出图形，通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求
解，综合性比较强.
18．（2024·浙江台州·模拟预测）已知双曲线
的左顶点为
，过
的直线与
的右支交于点
，若线段
的中点在圆
上，且
，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】设线段
的中点为
，双曲线的右顶点为
，连接
，则可得
，然后在
中利用余弦定理求得
，则
，从而可表示出
，代入双曲线方程化
简可求出离心率.
【详解】设线段
的中点为
，双曲线的右顶点为
，左右焦点为
，连接
，
因为线段
的中点
在圆
上，所以
，
所以
≌
，所以
，因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
，所以
，过
作
轴于
，则
，
所以
，所以
，得
，所以
，
，所以
，
所以离心率
，故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查求双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是由题意
求得
，然后在
中利用余弦定理求出
，从而可表示出点
的坐标，考查数形结
合的思想和计算能力，属于较难题.
19．（2022·江西景德镇·模拟预测）点F 是双曲线
的左焦点，斜率为
的直线l
过点F 且与双曲线C 的右支交于点P，过切点P 的切线与x 轴交于点M.若
，则双曲线C 的离心
率e 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件列出关于
的齐次方程，化简求出离心率
【详解】
如上图所示，过
作
轴，设
，则
，根据题意得：
，所以
，即
，设
点坐标为
，
点处的切线方程为：
，联立
，令
可得：
，化简得
点处
的切线方程为
，斜率
，
，
所以
，由①②得：
，
，且
，代入③化简得：
，同除
得：
，所以
或
（舍）所以
故选：A
20．（2021·重庆·三模）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，过
的直线交双
曲线C 的左支于P，Q 两点，若
，且
的周长为
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件求得
，∴
，在
中，由勾股定理可得关于
的等式，进而可
求得离心率.
【详解】由双曲线定义知
，
则
，
，所以
，
∴
的周长为
，∴
，
，
由
，所以
，故
，∴
，∴
，
，∴
，
在
中，
，故
.故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由
得到
.
考向13 离心率6：双三角形余弦定理型
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1.
焦点四边形具有中心对称性质。
2.
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
21．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别是
，
，过
的直
线l 交双曲线C 于P，Q 两点且使得
．A 为左支上一点且满足
，
，
的面积为
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据焦三角形
的面积为
，得到
，过点A 作x 轴的平行线交PQ 于点B，
可知四边形
是平行四边形，根据
得到
，设
，则
，
，
，
，
．利用勾股定理得到
，
即可得到双曲线的离心率.
【详解】如图所示：
因为
，所以四边形
是平行四边
形，
因为
，
，
.所以
可得
．
过点A 作x 轴的平行线交PQ 于点B，可知四边形
是平行四边形，
因为
，所以
，
又
，所以有
．设
，则
，
，
，
，
．在
中，由
，解得
．在
中，由
，得
，所以离心率
，故选：C
22．（2024·浙江台州·二模）设
，
是双曲线
：
的左、右焦点，点
分别在
双曲线
的左、右两支上，且满足
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
与
的交点为
，
，进而根据下向量关系得
，再结合双曲线的
性质即可得
，
，进而结合余弦定理求得
，最后在
中利用
余弦定理求得
，进而可得答案.
【详解】解：如图，设
与
的交点为
，
，
因为
，所以
，
所以，由双曲线的定义可知：
，
，
因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，
，
所以，在
中，
，
所以 ，由余弦定理有：
，
代入
，
，
，整理得
，
解得
，
（舍），所以，
,
，
，
所以，在
中，由余弦定理有：
，
代入数据整理得：
，所以，双曲线的离心率为：
.故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用向量的关系得到
，进而在
中结合余
弦定理求得
.
23．（2024 江苏·模拟预测）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，过
作
与x 轴不垂直的直线与双曲线C 的右支交于P，Q 两点，若
是周长为
的等腰三角形，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理列式得到
，再根据离心率公式即可求出.
【详解】
设
，
两点位于双曲线C 的右支上，根据双曲线的定义得
，即
，
，即
，
又
是等腰三角形，
，即
，
，
又
的周长为
，
，
，即
，
在
中，由余弦定理得
，在
中，由余弦定理得
，又
和
互补，
，
即
，化简得
，
，又
，
.故选：B.
24．（2025 高三全国练习）设
分别是双曲线
的左、右焦点，
是
的右支
上的点，射线
平分
,过原点
作
的平行线交
于点
,若
,则双曲线
的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理和角平分线得到
，结合平行线分线段成比例和等比性质得到
，由双曲线定义得到
，从而得到
，求出离心率.
【详解】设射线
交
轴于点
，因为射线
平分
，所以
，
在
中，由正弦定理得
，在
中，由正弦定理得
，
由于
，故
，故
，
其中
，
，故
，因为
，
所以
，由等比性质可得
，
整理得
，即
，由双曲线定义可知，
，故
，
由
得
，∴离心率
，
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性
质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出
，代入公式
；②只需要
根据一个条件得到关于
的齐次式，结合
转化为
的齐次式，然后等式(不等式)两边分别
除以
或
转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).
考向14 离心率7：共焦点椭圆与双曲线
椭圆与双曲线共焦点
、
，它们的交点
对两公共焦点
、
的张角为
，椭圆与双曲
线的离心率分别为
、
，则．
25．（23-24 高三全国专题练习）设椭圆
：
与双曲线
：
的离心率分别
为
，
，且双曲线
的渐近线的斜率小于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于
，即可得出
，由此即可求出
的取值范围，从而求
解
【详解】由题意得，
，
，
所以
，
又因为双曲线的渐近线的斜率小于
，得
，
所以
，即
，得
，故C 正确.故选：C.
26．（25-26 高三·湖南张家界·专题练习）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，点
为
椭圆
与双曲线
的交点，且
，则当
取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，用定义得
，代入余弦定理得
的关系，转化为离
心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求
.
【详解】设
为第一象限内的交点，
，
，焦距为
.
椭圆的定义：
，双曲线的定义：
（因
在第一象限，
），
解得：
，
.在
中，
，由余弦定理，得
，
得
，即
，
交叉相乘并整理：
，
两边除以
，结合
，
，得
.
.
当且仅当
，即
，
因
，故
，则
时等号成立，即
取最大值
.
因此，
.综上所述，当
取最大值时，
.故选：C
27．（25-26 广州深圳模拟预测）已知椭圆
与双曲线
有相同的左、右焦点
，若点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离心率
分别为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据椭圆与双曲线的定义可得
，从而可得
，于是可得
的取值范围.
【详解】设椭圆与双曲线的焦距为
，则
，
由椭圆与双曲线的定义得
，可得
，
因为
，所以
，即
，则
，故
，且
，
则
所以
，
由于函数
在
上为增函数，所以
，
则
，故
的取值范围是
.故选：C
28．（25-26 高二上·江西鹰潭·期末）已知椭圆
与双曲线
有公共的焦点
，A 为
曲线
在第一象限的交点，且
的面积为2，若椭圆
的离心率为
，双曲线
的离心率为
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．16
C．7
D．8
【答案】A
【分析】先分别设出椭圆和双曲线的基本量，再分别由椭圆和双曲线的定义及焦点三角形的面积综合可得
进而再由基本不等式可得所求和式的最小值.
【详解】记椭圆
的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，因为
，所以
.
双曲线
的实半轴、虚半轴、半焦距分别为
，如图：
设
，则由椭圆和双曲线定义可得
——①，
——②，
两式分别取平方再相减整理得
，
记
，则由余弦定理得
——③，
③得
——④，由面积公式可得
，
即
，代入④整理得
，即
，所以
，
即
，因为
，所以
，所以
，得
，所以
，
即
，所以
，
即
，
当且仅当
时等号成立，即
，再代入
解得
，故
的最小值为
.故选：A
考向15 离心率8：焦点三角形内心型
双曲线中，焦点三角形的内心
的轨迹方程为
.
证明：设内切圆与
的切点分别为
，则由切线长定理可得
,因为
，
，所以
，所以点
的坐标为
，所以点
的横坐标为定值a.
29．（23-24 高三下·重庆沙坪坝·月考）如图，双曲线
的左右焦点分别为
，
，若存在过
的直线交双曲线
右支于
，
两点，且
，
的内切圆半径
，
满足
，则双曲
线
的离心率取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与
有公共切点
，且是双曲线右顶点，从
而可知
轴；接着通过解三角形知识计算得到焦点弦
的斜率是
；最后通过渐近线与相
交弦斜率关系
，得到离心率范围.
【详解】设
，
的内切圆圆心分别为
,
如图，设
的内切圆与
轴的切点为
，由双曲线定义
，根据圆的切线长性质
得
，进而得点
的横坐标为
，即点
是双曲线右顶点；
同理可得点
也是
的内切圆与
轴的切点，连接
，
，
，从而可知
轴，
设直线
的倾斜角为
，∴
，
，又
，∴
，
，
∴
，解得
，∴
，∴
，则离心率
.故选项为：B.
【点睛】根据内切圆切线长性质和双曲线定义得到两圆与
有公共切点
，且是双曲线右顶点是第一个
突破口；通过解三角形知识计算得到焦点弦
的斜率是第二个突破口；通过渐近线与相交弦斜率关系得
到离心率范围是第三步.本题对相关知识的基本功要求较高，运算能力、数形结合能力要求高，具有典型模
型特点.
30．（25-26 高二上·浙江衢州·期末）已知双曲线
：
（
，
）的左右焦点分别为
，
，
为双曲线右支上一点，当
时，
的内切圆半径为
，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，由双曲线的定义得到
，利用余弦定理得到
，解得
，利用
计算出
，利用
的周长为
即三角形的面积公式得到
，代入
，
的值，经过整理
，通过计算求出
双曲线
的离心率的值.
【详解】
双曲线
：
（
，
）的左右焦点分别为
，
，
为双曲线右支上一点， 设
，
，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
，
的周长为
，
的内切圆半径为
，
，
又
，
，
，
，
，
转化为
，
，
，
，
，
，即
，
双曲线
的离心率
，
.故选：D.
31．（2026·重庆·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
为双曲线右支上一
点，
的内切圆圆心为
，连接
并延长交
轴于点
，若
，则双曲线的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】由
，可得
，由内切圆的性质可得
且
，可解得
，设
，代入双曲线方程可得
，由
，可得
，求得
，即可得答案.
【详解】因为
，所以
为线段
的靠近
的三等分点，又因为
，
即
.所以
，解得
，所以
，又因为
的内切圆圆心
为
，所以
平分
，又因为
三点共线，由角平分线定理可得
，
所以
，由双曲线的定义可得
，所以
，
设
，则有
，即
，解得
，又因为
，
即
，所以
，即
，
解得
，
设圆
与
分别相切于点
，
设
，由内切圆的性质可知
，
，
所以
又因为
,所以
，
解得
，所以
，即
，所以
，
整理得：
，即
，解得
或
，
当
时，
，此时点
与双曲线的右顶点重合，不满足题意；
当
时，
，满足条件，所以
，
所以双曲线的离心率
.故选：C.
32．（20-21 高三下·湖南长沙·月考）如图，已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点
，若
的内切圆半径为
，则双曲线的离心
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设双曲线的左、右焦点分别为
，
，设双曲线的一条渐近线方程为
，可得直
线
的方程为
，联立双曲线的方程可得点
的坐标，设
，
，运用三角形的
等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于
，的方程，结合离心率
公式可得所求值．
【详解】设双曲线的左、右焦点分别为
，
，设双曲线的一条渐近线方程为
，
可得直线
的方程为
，与双曲线
联立，
可得
，
，设
，
，由三角形的等面积法可得
，化简可得
，①
由双曲线的定义可得
，②
在三角形
中
，
为直线
的倾斜角），
由
，
，可得
，可得
，③
由①②③化简可得
，即为
，
可得
，则
．故选：A．
【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运
用及三角形等面积法．双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有
关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、||PF1|-|PF2||＝2a，得到a，c 的关系．
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（25-26 高三下·北京西城·月考）已知双曲线
，直线
，若直线l 与双曲线C
有且仅有一个公共点，则a 的取值有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【详解】由直线
整理得
，则直线恒过定点
，且斜率为
，
又因为双曲线
的渐近线斜率为
，
所以当直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时有
，
当
时，直线
与双曲线渐近线
平行，满足题意，
当
时，直线
与双曲线渐近线
平行，满足题意，
再由直线
与双曲线
联立方程组，
整理得：
，
当
（即不是平行渐近线的情况），由直线与双曲线相切可得，判别式
，
即
，解得
，
综上，符合条件的
共3 个,
故选：B.
2．（25-26 高三下·青海西宁·开学考试）已知
，点P 满足
，记点P 的轨迹
为E．直线
与轨迹E 交于A，B 两点，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】A
【分析】由题意可知点P 的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解.
【详解】由
知，点P 的轨迹E 是以
为焦点的双曲线，
设轨迹E 的方程为
，因为
，所以
，
故轨迹E 的方程为
，
设
，由
可得
，
则
则
．
3．（2026·天津河东·一模）已知双曲线
与抛物线
有相同的焦
点
，抛物线的准线与双曲线交于
，
两点，三角形
为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线
交于原点
与另一点
，三角形
的面积为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出
，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出
两点坐标，
联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出
的关系求解.
【详解】双曲线的右焦点为
，抛物线的焦点为
，
由焦点相同得
，即
，
将抛物线的准线
代入双曲线方程，得
，
，
故
，
，则
，
为等边三角形，
，
双曲线的渐近线方程为：
，
根据对称性，不妨取其中一条渐近线
与抛物线方程联立：
，消元得
，对应
，即
，
，即
，
，得
所以双曲线的方程为：
4．（25-26 高三下·北京·开学考试）正方体绕对角线旋转一圈形成如下空间几何体，其中曲线
部
分是双曲线的局部．此双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图，求出棱
的中点到对角线的距离以及
到对角线的距离后可求出双曲线的基本量后，从
而可求离心率.
【详解】如图，设对角线为
，
为正方体的棱.
由题设可设双曲线方程为
，设对角线为
，
如图，两个顶点之间距离的一半即为
的中点
到对角线的距离，
设正方体棱长为，则
到对角线的距离
，
由正方体的性质可得
，
，
故
，
而
，
所以
，故
，故
.
5．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，经过
的直
线与C 的右支交于A，B 两点，且
，
，则C 的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，根据双曲线的定义和余弦定理，求得
，在
中，利
用余弦定理，求得即
，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设
，则
，
由双曲线的定义，可得
，所以
，
又由
，
因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
，即
，
即
，所以
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，所以
，
所以双曲线的离心率为
.
6．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过点
的直
线与
的右支交于点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据向量条件求出
，
，再利用余弦定理得
，接着由双曲线的定义结合
共线求出
与
的关系，最后根据三边关系和勾股定理求出
.
【详解】设
，由条件
可得：
，且
，
解得：
，即
，
在
中，由余弦定理
可知：
，则
，
又
，
，
两式相加可得 ：
，
又因为
共线，所以
，
代入
得：
，
化简得：
，解得：
，
因此
，
，
，
且
，
在
中，三边满足
，
所以
为直角三角形，则
，即
，
所以
为直角三角形，
化简得
，即
所以
.
7．（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线
存在以
为中点的弦，则离心率的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】讨论已知点的位置，将点坐标代入双曲线方程得
的范围，代入离心率公式，可得e 的范围.
【详解】若点
在右焦点所在的双曲线内部，则必存在以
为中点的弦，
此时
，解得
，则
，
所以
，符合题意；
若点
在右焦点所在的双曲线外部，则
，
设以
为中点的弦与双曲线E 交于
两点，
则
，
则
，
，
两式作差得
，整理得弦的斜率
，
因为存在该中点弦，所以直线AB 与双曲线E 有2 个不同的交点，
则
，解得
，所以
，
则
，符合题意.
综上，离心率的取值范围是
.
故选：C
8．（22-23 高三上·全国·开学考试）设双曲线
的左右焦点分别为
､
，过点
作斜率为
的直线与双曲线
的左右两支分别交于
､
两点，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线的斜率列方程，化简求得双曲线的离
心率.
【详解】如图，设
为
的中点，连接
.
易知
，所以
，所以
.
因为
为
的中点，所以
.
设
，因为
，所以
.
因为
，所以
.
所以
.
因为
是
的中点，
，所以
.
在Rt
中，
；
在Rt
中，
.
所以
，解得
.
所以
.
因为直线的斜率为
，
所以
，所以
，
，所以离心率为
.
故选：A
【点睛】求双曲线离心率的方法有：
（1）直接法：利用已知条件将
求出，从而求得离心率；
（2）方程法：利用已知条件列出关于
或
的方程，化简求得离心率.
二、多选题
9．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线
：
的上、下焦点分别为
和
，下顶点为
，
为第一象限内
上的动点，当
时，
的面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的离心率
B．双曲线
的渐近线方程为
C．
D．
的内心
满足
【答案】ACD
【分析】选项A，焦三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在
轴上，
渐近线方程.选项C，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到
结论.选项D，利用选项C 的逆命题，验证内心
满足该命题的条件，即可得到等式.
【详解】对于A：由双曲线定义得
，平方得
，
在
中由余弦定理得，
，
代入
，整理得
，即
，
的面积
，
得
，即
，
又因为
，所以
，则离心率
，A 正确；
对于选项B：焦点在
轴的双曲线渐近线为
，代入
，得
，B 错误；
对于选项C：
，设
，满足
，
设
，
，则
，
代入
，化简得
。
设
，同理得
，且
，故
，C 正确；
对于选项D：首先考虑选项C 的逆命题即若点
在第一象限且满足
，则点
在双曲线
上.
下面证明这个命题，设
，则
，
化简得
，所以点
在双曲线
上，该命题成立.
又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以
，
根据上述命题，
在双曲线上，所以
，所以
.
10．（2026·山西晋中·模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过点
的直线与
在第一四象限的交点分别为
､
，与
轴的交点为
，若
，且
，
则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
的离心率为
C．直线
的斜率为2
D．点
到
上的点的距离的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据条件及双曲线的定义，可得各个长度，根据勾股定理，可判断A 的正误；根据三角函数的定
义，可得
，根据余弦定理，可得a，c 的关系，代入离心率公式，可判断B 的正误，根据余弦定
理，可得
，根据诱导公式及同角三角函数的关系，可得直线AB 的斜率，即可判断C 的正误；求
出直线l 的方程，即可得D 点坐标，设点
在双曲线上，根据双曲线的方程及两点间距离公式，可
得
表达式，根据二次函数的性质，可判断D 的正误.
【详解】由
，且
，得
，
由双曲线的定义得
,
所以
，又
，
所以
，
则
，即
，所以
，故A 正确；
在
中，
，
在
中，
，
所以
，则离心率
，故B 正确；
在
中，
，
则
，则
，
所以直线
的斜率为3，故C 错误；
由C 选项得，直线l 的方程为
，
令
，得
，即
设双曲线C 上点
，则
，即
，
因为
，所以
，则
，
所以
，
所以当
时，
有最小值，且为
，
所以
，即点
到
上的点的距离的最小值为
，故D 正确.
11．（25-26 高三上·湖南长沙·期末）双曲线
的左､右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦
点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为
，
，
的内切圆的圆心
为I，过
作直线PI 的垂线，垂足为D，则（ ）
A．若PI 的延长线交x 轴于点N，则
B．点D 的轨迹在圆上
C．若
则
D．若
，则
【答案】BD
【分析】设椭圆
，利用椭圆的定义与双曲线的定义计算可判断A；过
作直线
的垂线，垂足为
，延长
交
于点
，利用中位线定理可得点
的轨迹在以
为圆心，半径为
的
圆上判断B；由内切圆性质易得
，判断C 项；由
，可得
为直角三角形，
结合双曲线、椭圆的第一定义，勾股定理，可判断D 项.
【详解】对于A，设椭圆
.
根据定义
，
由角平分线的性质，
（无恒等关系），故A 错误；
对于B，过
作直线
的垂线，垂足为
，延长
交
于点
，由内切圆及垂线性质可知，
，则
为
中点且
，连接
，
由中位线定理可知
，
故点
的轨迹在以
为圆心，半径为
的圆上，故B 正确；
对于C，若
，则等价于
，即
，
又
为双曲线的离心率，所以
，故
，而
,故
,
所以
，故C 错误；
对于D，若
，设椭圆的长半轴长为
，由
，
可知
为直角三角形，
，
因为
，即
，故D 正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2027 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的离心率为
，
，
为
的两个焦点，过
作
的一
条渐近线的垂线，垂足为
，
为坐标原点，则
________．
【答案】
【分析】先由离心率求出参数关系，得到渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线距离求出垂线段长，最
后在三角形中利用余弦定理求出所求线段长并求比值.
【详解】根据题意，
，则
，
，
可知渐近线方程为
，即
，且
，
则
，
，
，
可得
，
．
在
中，由余弦定理可得，
，
即
，所以
．
故答案为：
.
13．（2026 高三下·重庆·专题练习）设双曲线
的左、右焦点分别为
，左、
右顶点为
，已知P 为双曲线一条渐近线上一点，若
，则双曲线C 的离心率
_________．
【答案】
【分析】根据离心率的定义及几何特征
可得与
点横纵坐标的关系，即可得到结
果.
【详解】设双曲线方程为
，焦点
，顶点
其中
，
因为P 为双曲线一条渐近线上一点，且
，设
，所以满足
，
将
代入上式，得到
，
由于
，所以
，
由对称性取
，
因为
，所以
，
所以
，
，所以
，
，
，
所以
，
所以
，解得
，
所以离心率
，
14．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线
：
的左焦点为
，左顶
点为
．以原点
为圆心，分别以
，
为半径作圆
，
．设
是圆
与
在第一象限的交点，连
接
交圆
于
，
两点．若
，则
的离心率为_________．
【答案】
【分析】根据线段之间的关系结合勾股定理、弦心距等知识得到
与的关系，代入双曲线离心率公式计
算即可.
【详解】设
的右焦点为
，半焦距为（
）．设
的中点为
，连接
，
，
，
，
，
易知
．
不妨设
在
的左侧，因为
，
，所以
，
，
又
，所以
，
不妨均设为
（
），易知
，
从而
，
因此
，整理可得
①．
又在
中，有
，整理得
②．
由①②可得
，解得
，可得
，
因此离心率
．
结束
