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限时训练02（A 组+B 组+C 组）
（考试时间：60 分钟 试卷满分：77 分）
解答题（本大题共5 小题，满分77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13 分）已知函数
，
图象的一个对称中心为
，一条对
称轴方程为
.
(1)求
；
(2)若
，求满足条件的
值的和.
16. （15 分）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中
，
．将
沿
翻折至
，使得二面角
为直二面角．
(1)证明：
平面
；
(2)若
在同一个球面上，求该球的半径；
(3)求平面
与平面
所成角的余弦值．
17.（15 分）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
在
上有且仅有两个零点，求a 的取值范围.
18.（17 分）已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，点P 是C 上的一个动点，当
面积取得最大值
时，
．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线l 与C 交于A，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为
（
与B 不重合）．
（ⅰ）求证：直线
过定点；
（ⅱ）求
面积的最大值．
19.（17 分）某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7 位候选人，然后在这7 人中随机选出3 人组成
竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛.
(1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围7 位候选人之中，现从这7 人中抽签随机选出3 人组成竞赛小组去参
加预赛，记甲、乙、丙3 人中进入竞赛小组的人数为X，求X 的分布列与数学期望；
(2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、
丙3 人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为
，
，
，求此竞赛小组能进入决
赛的概率；
(3)假如只有A 组与B 组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有
道题，两个小组同时
做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1 分，另一组不得分.A 组
每道题先做对的概率都为
，B 组先做对的概率都为q，且
，各题做题结果相互独立.
现在有两种赛制可以供A 组选择，赛制一：从题库中选出
道题，这
道题全部做完后，得分高的
小组获得冠军；赛制二：做完
道题，得分高的小组获得冠军.你认为A 组应该选择哪种赛制更有利于
胜出？请说明理由并写出推导过程.
0
1
2
3
（考试时间：60 分钟 试卷满分：77 分）
解答题（本大题共5 小题，满分77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13 分）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，数列
的前n 项和
，证明：
．
16.（15 分）2026 年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600 元（含600
元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.
方案一：从装有10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球2 个，白球1 个，黑球7 个）的抽奖盒中，一
次性摸出3 个球.其中奖规则为：若摸到2 个红球和1 个白球，享受免单优惠；若摸出2 个红球和1 个黑球，
则打5 折；若摸出1 个白球2 个黑球，则打7 折；其余情况不打折.
方案二：从装有10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球3 个，黑球7 个）的抽奖盒中，有放回每次摸
取1 球，连摸3 次，每摸到1 次红球，立减200 元.
(1)若两个顾客均分别消费了600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满1000 元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
17.
（
15
分
）
在
锐
角
中
，
内
角
的
对
边
分
别
是
，
满
足
.
(1)求角
的大小；
(2)求
面积的最大值.
18.（17 分）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的最值；
(2)①若
恒成立，求a 的最小值；
②证明：
，其中
．
19.（17 分）已知双曲线
：
（
，
）的焦距为
，右顶点
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设
，
是
轴上的两个动点，以线段
为直径的圆
过双曲线
的焦点，直线
，
与双曲
线
的另一个交点分别为
，
．
（ⅰ）证明：直线
过定点；
（ⅱ）判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．
（考试时间：60 分钟 试卷满分：77 分）
解答题（本大题共5 小题，满分77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13 分）已知
是各项均为正数的数列，
为
前n 项和，且
，
，
成等差数列.
(1)求
的通项公式；
(2)求证：
；
(3)已知
，求数列
的前
项和
.
16.（15 分）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期和对称轴；
(2)若
，
（i）当
时，求使
成立的x 的范围；
（ii）在
中，角
的对边分别为
，且
．若________求
的取值范围．请从以
下两个条件中任选一个补充在横线处并作答．
①
为锐角三角形且
；②
的面积为S 且
．
17. （15 分）如图，在四棱锥
中．底面
为矩形，侧棱
底面
，
，
是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)若
，且点
到平面
的距离为
，求
的值．
18.（17 分）已知函数
，
.
(1)当
时，证明：1 是
的极值点；
(2)当
时，证明：
；
(3)若
，对任意的
，
恒成立，求
的最大值.
19.（17 分）已知抛物线
，
为坐标原点，过点
作斜率
的直线交抛物线
于
两点，其中
在第一象限，直线
交抛物线
于另一点
，其中
，直线
与直线
交于点
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)记
与
的面积分别为
．
①当
四点共圆时，求直线的方程；
②求
的取值范围．
