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重难点10 数列构造与递推分析法
内容导航
速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：高考数学对数列通项公式与递推公式的考查，以等差数列与等比数列定义概念为基础 保持稳定
且灵活应用的特点，，既是基础考点也是拉分考点，常与数列求和、不等式恒成立、函数单调性等结合考
查综合能力。 重基础、强变形、考综合、避偏难。 对于大部分同学要求基础考点不丢分，而通过核心
变形拉开差距。如累加法、累乘法、an与Sn的关系为必拿分考点，而构造法为拉分考点，要求学生具有
“观察递推式特征→选择合适变形方法” 的逻辑思维，而非死记公式。
预测2026 年：结合近 3 年考查规律, 2026 年高考, 选择题 、填空题多为单一考点的直接应用型考察，
如考察累加法、累乘法等求通项，稍微难点的会考察构造简单等比 、等差数列，或周期数列的通项与项
的求解，难度中等，主要考查公式记忆与基础变形能力。基础解答题，核心考点不变，累加法、累乘法、
an与Sn的关系、构造等比、等差数列仍为必考，占比较高。 如果位于压轴题位置，则高考对数列通项与
递推公式的考查重基础、强变形、考综合，只要掌握核心变形方法并注重细节，就能轻松突破这一考点。
。
考向01 递推基础1：累加法
累加法：
1. 型如：
的数列的递推公式，采用累加法求通项；
利用累加法求通项：
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法:
2.“等比”累加法:
3.“裂项”累加法:
4.无理根式裂项累加法:
1．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
满足
，
，若对
，
，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
整理成
，利用累加法求出
，从而得
到
， 对
，
恒成立，即
，将
整理为
，利用基本不等式即可求出实数m 的取值范围.
【详解】
，
，
当
时，
，
即
，
当
时
也满足，
，
对
，
恒成立，
，
，
当且仅当
时，等号成立，
，即
，
实数m 的取值范围是
.
故选：B.
2．（25-26 高二上·浙江嘉兴·期末）已知各项均不为零的数列
满足
，对于任意的正整数
，
，则
的个位数字为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】令
，得数列
是公差为2 的等差数列.通过赋值法，求得
，即可求得
，从
而求得
，并得到其个位数字.
【详解】对于任意的正整数m，
，
，所以
，
令
，得当
时，
，即
，即
所以数列
是公差为2 的等差数列，所以
.
取
，
，得：
，即
；取
，
，得：
；
取
，
，得：
；取
，
，得：
；
所以
，解得：
，因此
，
所以
，
，
，…，
.
累加得
，
故
，所以
，个位数字为6．
故选：D
3．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
满足：
，若
，则数列
的最大项为第（ ）项.
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】将题目所给递推式变形为
，利用累加法和裂项相消法求出
，进而求出
，
最后利用不等式组法求出数列
的最大项.
【详解】由
可得
，当
时，
，
当
时，
，
，也满足，所以
，
，
，
由
， 即
，
解得
， 又因为
，所以
，则数列
的最大项为第8 项.
故选：C
4．（25-26·山东·月考）在正项数列
中，对任意
，
，
，若
为单调递增数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，则
，利用累加法求出数列
的通项公式，再根据
为单调递增数列，可得
恒成立，进而可得出答案.
【详解】令
，则
，
由
，
，…，
，
累加得
，
故
，
因为
为单调递增数列，所以
恒成立，
则
，
，
，
因为
，所以
，解得
.
故选：A.
考向02 递推基础2：累积法
累乘法：
形如：
的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
利用累乘法求通项：
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
分式型：
指数型：
5．（25-26·贵州黔东南·期末）在数列
中，
，
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．（-1,1）
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得
，利用累乘法求出
的通项公式，依题意可得
对
恒成立，再分
为奇数、
为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，
因为
，所以
，又
，所以
；
由
，
，得
对
恒成立；
当
为奇数时，
恒成立，易知
为增函数，则
；
当
为偶数时，
恒成立，易知
为减函数，
则
；
故
的取值范围为
.
故选：A
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，若
，则
等
于（ ）
A．2026
B．2025
C．0
D．1013
【答案】D
【分析】根据
，结合已知条件，得到数列
的递推关系.利用累乘法求得
，代入
2027 求得
；或先求出
，再求得
.
【详解】因为
，所以
即
.
所以
.
因为
，所以
.
所以
……
.
由累乘法得：
.
所以
，
，
，
所以
.
方法二：
因为
，所以
.
两式相减，得
，即
.
由
，得
.
所以
.
所以
.
故选：D.
7．（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足：
，
，令
，数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】当
时，求出
的值，当
时，由
可得
，两式作差得出
，利用累乘法可求出
在
时的表达式，结
合裂项相消法可求出
的值.
【详解】因为数列
满足：
，
，
当
时，
，
当
时，由
可得
，
两个等式作差得
，所以
，可得
，
当
时，
，
满足
，
故当
时，
，
所以
，
因此，
.
故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测）已知
是数列
的前
项和，
是数列
的前
项积，
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用
求出
，进而求出
，再结合不等式的性质及累乘法的思
想推理判断得解.
【详解】当
时，
，当
时，
，则
，
显然
符合上式，因此
，由
，得
，
则
，而
，即有
，
于是
，
从而
，
所以
，即
.
故选：B
【点睛】易错点睛：由数列前
项和求通项，需按
和
分段求解，并且还要验证
的结果是否
满足
时的表达式.
考向03 递推基础3：再写一个作差
数列前n 项和：
an＝
求通项时，要注意检验n=1 时是否成立
9．（24-25 全国模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．若
对任意的
正整数
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过数列前
项和与项
的关系求得数列
的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列
，然后通过作商法求得数列
中最大项的值，从而求得结果.
【详解】当
，则
，即
，当
，
，
则
，即
，∴
，∴数列
是
的等比数列，
∴
，∵
，即
，∴
，
令数列
的通项为
，则
，
令
，则
，又∵
∴当
，
，当
，
，∴数列
的最大项为
，
∴
.故选：B.
10．（2025·河北沧州·一模）记
为数列
的前
项和，
，数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．0
B．40
C．80
D．120
【答案】B
【分析】由条件
，求得
，进而得到数列
为常数列，求得
，得
，
根据分组求和求出答案.
【详解】当
时，由
，得
，两式相减得
，即
，
对
取
可得
，故数列
为常数列，所以
，则
，
故
，易知
，所以
.
故选：B.
11．（25-26 高三上·重庆·期中）已知数列
的前
项和为
，且满足条件
，若
对
恒成立，则整数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据数列
与
的关系，可求得数列
为等比数列，进而可求得其通项和前
项和，代入不等
式，化简，结合不等式即可求解.
【详解】因为
，当
时，
，
，解得
，
又当
时，得
，两式相减，整理得到
，
所以数列
是以
为首项，以为公比的等比数列，所以
，
，
代入不等式
得
，
化简得
，所以
，
易知对勾函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
令
，又易知
，
所以当
时取得最小值
，所以
的最大值为
.
故选：B
12．（25-26 高二上·甘肃兰州·期中）已知数列
满足
，设
，
为数列
的前
项和.若
对任意
恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用前
项和与第
项的关系求出
，进而求出
，再由裂项相消法求出
即可
求出最小值.
【详解】数列
中，
，当
时，
，
当
时，
，两式相减得
，
则
，而
不满足此式，因此
，
当
时，
，当
时，
满足上式；
因此
，由
对任意
恒成立，得
，
所以的最小值为．
故选：B
考向04 递推基础4：消an 留sn
利用
，可以把式子中的an 转化为sn 形式，然后研究关于sn 形式的递推公式
13．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
的关系，转化为关于
的递推关系，变形后可构造等差数列，由等差数列的通项公式求
解.
【详解】因为
，则
，于是得
，
因此数列
是首项
，公差为1 的等差数列，
则
，所以
.故选：D
14．（2025·江西·模拟预测）设数列
的前
项和为
，已知
，则
（ ）
A．2024
B．2025
C．
D．
【答案】B
【分析】根据数列
满足的关系式，利用
之间的关系结合累乘法可求得
，代入计
算可得结果.
【详解】由
可得
，
即
，因此
；
因此
，
可得
，
所以
.
故选：B
15．（2024·福建·模拟预测）设数列
的前
项和为
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用
，结合已知变形构造数列，求出
，进而求出
即可判断得
解.
【详解】数列
中，由
，得
，整理得
，
则
，数列
是以
为首项，1 为公差的等差数列，
于是
，即
，而
满足上式，
因此
，
，
，ABD 错误，C 正确.
故选：C
16．（2024·四川攀枝花·三模）数列
的前
项和为
，
，
，设
，则数列
的前51 项之和为（ ）
A．
B．
C．49
D．149
【答案】B
【分析】由
与
的关系，结合等差数列的通项公式求得
，即可得到
，再由并
项求和法计算可得．
【详解】因为
，
当
时，
，
即
，
可得
，又
，所以
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
，则
，
当
时
，
所以
，当
时
也成立，
所以
，
可得数列
的前
项之和为
．
故选：B．
考向05 递推构造1：构造二阶等比型
构造法：根据已知构造等差等比数列求通项.
形容
为常数）,构造等比数列
。特殊情况下，当q 为2
时，
=p，
，变形为
，也可以变形为
.
1．（24-25 高二下·湖北·期中）数列
中，
，
，则通项
．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.
【详解】数列
中，由
，得
，而
，
因此数列
是首项为
，公比为3 的等比数列，则
，
所以
.
故答案为：
2．（24-25 全国模拟预测）数列
的首项
，
，令
，则
．
【答案】
/
【分析】构造数列
，并求得数列
的通项公式；再代入对数中求得数列
的通项公式，进而利
用等差数列的求和公式即可求得数列
的前
项和．
【详解】因为
，
所以
，又
，
所以
，
所以数列
是以为首项，公比为的等比数列，
所以
，即
，
代入
得
，
设数列
的前
项和为
，
则
，
则
.
故答案为：
3．（24-25 高三上·重庆·月考）在数列
中，
，若对于任意的
恒成立，则实数k 的最小值为 .
【答案】
【分析】利用构造法分析得数列
是等比数列，进而求得
，从而将问题转化为
恒成
立，令
，分析数列
的最值，从而得解.
【详解】由
，得
，又
，
故数列
为首项为，公比为的等比数列，
所以
，
则不等式
可化为
，令
，
当
时，
；当
时，
；
又
，
则当
时，
，当
时，
，
所以
，则
，即实数
的最小值为
.
故答案为：
.
4．（23-24 高二上·广东深圳·期末）已知数
满足
，则数列
的通项公式
．
【答案】
【分析】由题意可得
，即
是以
为首项，为公比的等比数列，由等比数
列的通项公式求解即可.
【详解】由
可得：
，又
,
，
所以
是以
为首项，为公比的等比数列，
所以
，所以
.
故答案为：
考向06 递推构造2：构造二阶线性型
二阶f（n）型构造法有两种方法：
1.形如
为常数）,构造等比数列
。
2.形如
，变形为
，新数列累加法即可
5．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
中，
，则数列
的通项公
式
．
【答案】
【分析】利用构造法判断
为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
又
，所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
，故
.
故答案为：
6．（25-26 高二上·甘肃平凉·月考）已知
，当
时，
，则
的通项公式为
【答案】
【分析】由题意设
，展开后对照已知列方程组求出
，再结合等比数
列的通项公式，即可求得答案.
【详解】由于当
时，
①，
故设
，即
②，
由①，②对照可得，
，解得
，
即
，
又
，则
是以3 为首项，
为公比的等比数列，
故
，则
故答案为：
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，且
，
，则数列
的
通项公式为
.
【答案】
【分析】法一：设
、
，结合递推关系得到
，再根据已知得
，进
一步有
，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得
，讨论
的奇偶性写出通项公式即可.
【详解】法一：因为
，所以
.
设
，则
，所以
.
设
，则
.
因为
，
，所以
，
，
所以
，即
，即
，所以
.
因为
，所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，
.
法二：因为
，所以
，
由
，
，得
，
，
所以数列
的奇数项是首项为2，公比为4 的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4 的等比数列，
当
为奇数时，
，即
；
当
为偶数时，
，即
.
综上，
.
故答案为：
8．（23-24 全国模拟预测）已知数列
，其中
，满足
，设
为数列
的
前n 项和，当不等式
成立时，正整数n 的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用递推关系式得
，由此可证得
是等比数列；由等比
数列通项公式推导可得
，进而可求得
的表达式，代入解不等式即可求解.
【详解】因为由
得：
，
又
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，所以
.
所以
，
所以
等价
，
由
知，满足
正整数n 的最小值为9.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：求数列的通项公式有以下方法：
（1）观察法，（2）等差、等比公式法，（3）由
与
关系求解，（4）累加法，（5）累乘法，（6）构
造等比数列，（7）构造等差数列.
考向07 递推构造3：构造二阶幂指型
二阶f（n）指数型构造等比型：核心思维是同除
.形如
，变形为
，新数列累加法即可
9．（2025 高三·全国·专题练习）在数列
中，
且
，则数列
的通项公
式为 ．
【答案】
【解析】略
10．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
的前
项和为
，且
．若
，则
的最小值为 ．
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用构造法求出
，作差构造新数列，探讨单调性求出
的最小值.
【详解】由
，得
，
所以数列
是首项为
，公差为1 的等差数列，
所以
，即
，故
，
令
，则
，
所以数列
是递增数列，
因为
，
，
所以当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
的最小值为6．
故答案为：6
11．（2023 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得
，结合等比数列分析运算；解法二：整
理得
，结合等比数列分析运算；解法三：整理得
，根据累加法结合
等比数列求和分析运算.
【详解】解法一：设
，整理得
，可得
，
即
，且
，
则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
；
解法二：(两边同除以
) 两边同时除以
得：
，
整理得
，且
，
则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
；
解法三：(两边同除以
)两边同时除以
得：
，即
，
当
时，则
，
故
，
显然当
时，
符合上式，故
.
故答案为：
.
12．（25-26 高三全国专题练习）数列{an}满足
，
，则数列{an}的通项公式为
.
【答案】
．
【分析】已知式两边同除以
，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵
，所以
，即
，
∴
是等差数列，而
，
所以
，
所以
．
故答案为：
．
考向08 递推构造4：构造分式型
形如
，可以取倒数变形为
13．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
满足
，若
，则数列
的通项公式
；若
，则数列
的通项公式
．
【答案】
【分析】由
可得
，利用等差数列通项公式即求；由
可得
，再利用等比数列通项公式即求.
【详解】当
时，得
，
又
，所以数列
是以1 为首项，
为公差的等差数列，
所以
，所以数列
的通项公式
．
当
时，得
，所以
．
又
，所以
，所以数列
是以2 为首项，
2 为公比的等比数列，所以
，所以数列
的通项公式
．
故答案为：
；
.
14．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知数列
中，
，且
，则
．
【答案】
【分析】将
两边取倒数，即可得到
，从而求出
的通项，即可得解.
【详解】由
，可得
，即
，
又
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
所以
，即
，所以
．
故答案为：
15．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
满足：
，且
，则数列
的通项公式是
【答案】
【分析】由题意可构造数列
，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解.
【详解】由
，则
，即
，又
，则
，故数列
是以
为首项，为公差的等差数列，即
，
则有
，
，
，
，且
，
故
，即
，显然
均满足.故答案为：
.
16．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知数列
的前
项和为
，若
，且
，则
．
【答案】
【分析】构造数列
，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求
的通项公式.
【详解】由
，即
，因为
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，即
，所以
．
故答案为：
考向09 递推进阶构造1：特征方程三阶型
三阶数列特征方程型：
形如
，可以通过凑配系数构等比数列。
也可以通过特征方程求解
1．（2021·四川绵阳·三模）已知数列
的前
项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知得出数列
是等比数列，然后可利用数列
的奇数项仍然为等比数列，求
得和
．
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
是等比数列，公比为4，首项为3，
则数列
也是等比数列，公比为
，首项为3．
所以
．
故选：A．
2．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
中，
，
，
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，设
，利用待定系数法可得
，
，然后利用等比数列的定义求解.
【详解】设
，则
，∴
，解得
或
，
当
，
时，
，∴
是以首项为
，公比为
的等比数
列，
∴
，∴
，
.当
，
时,
，
∴
是以首项为
，公比为的等比数列，∴
，
设
，解得
，∴
是首项为
，公比为
的等比数列，
∴
，∴
，故选：A.
3．（23-24 高二下·河南信阳·期末）数列
满足
，已知
，则
的前19 项
和
（ ）
A．0
B．8
C．10
D．19
【答案】A
【分析】由等差中项得到数列
为等差数列，再由等差数列的性质
得到
，由等差
数列前
项和公式结合等差中项得到
【详解】因为
即
，所以数列
为等差数列，
因为
且
，所以
，得
，
所以
.
故选：A.
4．（2025 高二上·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
，则
的通项公
式为 .
【答案】
【分析】将
两边同时加
，结合等比数列的定义证明可得
，再构造数列
，求解首项分析即可；
【详解】由
,得
，且
，
故数列
是以2 为首项，3 为公比的等比数列，故
，所以
，
设
，则
，又
，所以数列
的所有项均为0，即
，
所以
.故答案为：
.
考向10 递推进阶构造2：特征方程分式型
特征方程构造型：
形如
的递推数列，
方程的根，可以分两种情况：
（1）、若其中有一个不动点x0，则
是等差数列
（2）、若其中有两个不动点m，n，则
是等比数列
5．（多选）（2025·山东潍坊·一模）设函数
，数列
满足
，
，则（ ）
A．
B．
为定值
C．数列
为等比数列
D．
【答案】ACD
【分析】根据数列递推公式以及首项，可得第二项，可得A 的正误；根据题意整理
，可得B
的正误；根据等比数列的定义，由递推公式整理，可得C 的正误；由C 写出通项，利用作差法，可得D 的
正误.
【详解】由
，
，则
，故A 正确；
由
，则显然
非常
数，故B 错误；
由
，又
，则
，
则数列
是以为首项，以为公比的等比数列，故C 正确；
则
，即
，由
，则
，故D
正确.
故选：ACD.
6．（专题12 用“不动点法”求数列的通项公式）已知数列
满足
，
，则
.
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式
【详解】求不动点，设
，令
得：
，解得：
，
则
，化简得：
①，
，化简得：
②，
用式①除以式②可得
，又
，所以数列
是首项为
，公比为
的等
比数列，∴
，故
.故答案为：
7．（24-25 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
.
【答案】2
【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.
【详解】第一步，求不动点，设
，令
得：
，化简得：
，显然该方
程无解，这种情况下
一般是周期不大的周期数列，
我们只需算出前几项，找出规律即可，
由题意，
，所以
，
，
，
，
，
，从而
是以6 为周期的周期数列，
故
.故答案为：2.
8．（2022 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
.
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.
【详解】求不动点，设
，令
得：
，解得：
或
；
因为
，所以
，化简得：
①，
，化简得：
②，用式①除以式②可得：
，又
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，故
，从而
.
故答案为：
考向11 递推进阶构造3：三阶递推周期型
周期数列
1.若数列{a
n}满足
2.若数列{a
n}满足
3.若数列{a
n}满足
4.若数列{a
n}满足
5.若数列{an}满足
6.
9．（24-25 高三上·浙江·月考）数列
满足
，则下列
，
的值能使数列
为周期数
列的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】由数列的周期性定义，逐项代入验证即可；
【详解】对于A，当
时，
；当
时，
；当
时，
无周期性，故A 错误；
对于B，当
时，
；当
时，
；当
时，
所以数列是以2 为周期的周期数列，故B 正确；
对于C，当
时，
；当
时，
；当
时，
无周期性，故C 错误；
对于D，当
时，
；当
时，
；当
时，
无周期性，故D 错误；
故选：B.
10．（24-25 高二下·四川成都·期中）数列
满足：
，若
，
，则
（ ）
A．1
B．－1
C．5
D．－5
【答案】D
【分析】通过递推公式求出数列的周期，再利用周期计算即可.
【详解】由题意可得
，用
代替
可得：
，两式相加，得
，
，
是以6 为周期的数列，
，故选：D．
11．（24-25 高三全国专题练习）已知数列
中，
，
，
，则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由数列的递推公式求出数列前几项，即可得数列
是周期为3 的周期数列，由其周期性即可求
值.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
则
，
，
，
，
所以数列
是周期为3 的周期数列，则
.
故选：D.
12．（2025·全国·模拟预测）若数列
满足
，则
一定等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】证明
，求出数列
的周期即可求解.
【详解】由
得
，
所以
，于是数列
的周期为4，
所以
.故选：D.
考向12 递推进阶构造4：三阶构造等差型
13．（25-26 高三全国专题练习）设数列
满足
，且
.若
表示不超过
的
最大整数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得数列
是等差数列，再利用累加法求出求出
的通项，再利用裂项相消法
结合
的定义即可得出答案.
【详解】解：因为
，所以
，又
所以数列
是
以4 为首项，2 为公差的等差数列，所以
，则
，
，
，
，
累加得
，所以
，
所以
，所以
，
∴
，
则
.
故选：C．
14．（25-26 高二上·福建厦门·期末）设数列
满足
，若
表示大于
的
最小整数，如
，
，记
，则数列
的前2026 项和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，由递推关系可得数列
的通项公式，然后结合
的定义得到数列
的通项公式，
进而求和即可.
【详解】由
，得
，
故数列
是公差为2 的等差数列，首项为
，
所以
，
则
，
，显然
满足上式，则
，
故
，故
，
当
时，
，故
，
所以数列
的前2026 项和为
，故A 正确.
故选：A
15．（2024 高二·全国·专题练习）已知数列
中，
，
，
（
且
），则数列
的最大项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先构造数列
，求出其通项公式，再利用累加法求数列
的通项公式，结合函数的性质
求数列
的最大项.
【详解】∵
（
且
），∴
，
∴数列
是公差为
的等差数列．
∵
，
，∴
，
所以
.
所以当
时，
，
，…，
.
以上各式相加，得：
.
所以
当
时，上式亦成立.
所以对
，有
.
结合二次函数的性质，可知当
时，
取得最大值.
∴数列
的最大项是
．
故选：B.
16．（25-26 高三上·云南德宏·期末）已知函数
的定义域为
，
，且
，
则
.
【答案】2026
【分析】由题中函数方程的性质，可推导出当自变量为正整数时，函数值构成一个等差数列，再利用等差数列
的通项公式即可求解.
【详解】因为
，且
，
令
，则
，
所以
为首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
，所以
.
故答案为：2026.
考向13 分析构造法1：线性“和”型
形如
求通项，则可以通过再写一个做差，构造出奇（偶）数项各自独立的数列递推（多
为等差等比）求通项公式
1.“和”常数型：
，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
2.“和”等差型：
则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3.“和”二次型：
，
则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
1．（24-25 高三上·河南南阳·月考）数列
满足
，
，若数列
的前
项
的和为
，则
的
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】根据已知条件得
，令
，通过裂项相消求得
，然后代入即可求解.
【详解】数列
满足
①，
当
时，
，即
，
当
时，
②，
由②
①得
，
数列
的所有奇数项，
，
数列
的所有偶数项，
，
综上，数列
的通项公式为
.
记
，
所以数列
的前
项和为：
，
由
得
，即
，
因为
，
随着
的增大而增大，
故当
时，刚好满足
，
所以
，
的最小值为.
故选：C.
2．（2023·四川·模拟预测）在数列
中，
，
，则
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由数列递推式可得
和
相减可得
，分n 为奇数和偶数两
种情况，求得数列通项公式，即得答案.
【详解】由
，
可得
，且
，
两式相减得
，当
时,
，
此时
是以
为首项，公差为2 的等差数列，
则
，即
（n 为奇数）；
当
时,
，
此时
是以
为首项，公差为2 的等差数列，
则
，即
（n 为偶数），
综合上述可得数列
的通项公式为
，
故选：B
3．（22-23 高二下·江西上饶·期末）已知数列
满足
，
，则下列结论中正确的
是（ ）
A．
B．
为等比数列
C．
D．
【答案】C
【分析】利用递推式可求得
的值，可判断A，B，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断
C，D.
【详解】数列
满足
，
，则
，
，
，
有
，
，
，A 错误；
显然
，
，因此数列
不是等比数列，B 错误；
，C 正确；
， D 错误.
故选：C
4．（23-24 高二下·辽宁大连·月考）已知数列
满足
，
，
是数列
的前n 项和，则
（ ）
A．510
B．508
C．1013
D．1011
【答案】C
【分析】通过递推式求出
，然后代入求
即可.
【详解】
，
则
所以
.
故选：C.
考向14 分析构造法2：正负“调和”构造
满足
，称为正负“调和”型，可以借助奇偶讨论，整体求和来构造
5．（25-26 高二上·福建厦门·月考）在数列
中，
，
.记
是数列
的前
项
和，则
（ ）
A．1325
B．1300
C．1350
D．1375
【答案】B
【分析】按n 为奇数，偶数分类，然后结合等差数列求和公式可得答案.
【详解】当
为奇数，由题可得
，即数列
所有奇数项为首项为1，公差为1 的等差数列，
则
；
当
为偶数，由题可得
，即数列
所有相邻偶数项和为1，
则
，
从而
.
故选：B
6．（25-26 高三上·河南周口·期中）已知数列
的前n 项和为
，
，则下列结论中
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】C
【分析】合理赋值即可判断A；根据
，再升幂作和即可判断B；利用分组求和法即可判断
C；求出
，再代入求解一元二次不等式即可判断D.
【详解】对于A，由
，得
，
，两式相减得
，故A 正确；
对于B，又由
，
，
两式相加得
，故B 正确；
对于C，由
，可得
，又
，两式相减得
，
所以
，故C 错误；
对于D，由
，
即
，结合
，得
，故 D 正确.
故选：C.
7．（22-23 高三下·湖南长沙·月考）已知数列
满足：
.则
的前60 项的
和为（ ）
A．1240
B．1830
C．2520
D．2760
【答案】D
【分析】由递推关系可得：从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于3；从第二项开始，依次取2
个相邻偶数项的和构成以13 为首项，以24 为公差的等差数列，进而求解.
【详解】由
，
故
，
，
，
，….
故
，
，
，….
从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于3；
，
，
，….
从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构成以13 为首项，以24 为公差的等差数列.
故
.
故选：D.
8．（24-25 高二上·江苏苏州·期末）已知数列{an}满足
,且其前62 项的和为
1885，则
．
【答案】88
【分析】根据题意，分类讨论
为奇数和偶数时的通项关系式，分组求和可计算出
，再根据已知结论
求解.
【详解】当n 为偶数时，
，两式相加，得
.
当n 为奇数时，
，两式相减，得
.
所以
，
所以
.
又
，所以
，
因为
，所以
，同理可得
，
所以
，而
，所以
.
故答案为：88.
考向15 分析构造法3：分段“跳项”
分段型递推公式，主要是讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列。
9．（23-24 全国模拟预测）已知数列
满足
，
，则该数列的前22
项和为（ ）
A．69
B．88
C．89
D．96
【答案】C
【分析】利用条件分奇偶讨论
的关系，利用分组求和法计算即可.
【详解】当
为奇数时，
，
当
为偶数时，
，
所以
故选：C
10．（2023·吉林长春·一模）已知数列
，
，
，且
，则数列
的前30 项
之和为（ ）
A．15
B．30
C．60
D．120
【答案】B
【分析】由题意，数列
的奇数项和偶数项分别构成等差数列，分组求和即可.
【详解】已知数列
，
，
，且
,
则
为奇数时，
，则
为偶数时，
，
所以数列
的奇数项构成首项为2 公差为
的等差数列，偶数项构成首项为0 公差为
的等差数列，
则
.
故选：B
11．（23-24 高二上·山东烟台·期末）已知数列
的各项均为正整数，
，若
，则
的所有可能取值组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类讨论思想的应用.
【详解】∵
，∴若
为奇数，则
，则
舍；
若
为偶数，则
，
.
当
时，若
为奇数，则
，则
；若
为偶数，则
，
.
当
时，
若
为奇数，则
，无解；若
为偶数，则
，则
.
若
为奇数，则
，无解；若
为偶数，则
，则
.
若
为奇数，则
，则
；若
为偶数，则
，则
.
当
时，
若
为奇数，则
，无解；若
为偶数，则
，则
.
若
为奇数，则
，则
；若
为偶数，则
，则
.
当
时，
若
为奇数，则
，无解；若
为偶数，则
，则
.
当
时，
若
为奇数，则
，无解；若
为偶数，则
，则
.
综上，
所有可能的取值的集合
.
故选：B.
12．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，且
，
，则数列
的
通项公式为
.
【答案】
【分析】法一：设
、
，结合递推关系得到
，再根据已知得
，进
一步有
，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得
，讨论
的奇偶性写出通项公式即可.
【详解】法一：因为
，所以
.
设
，则
，所以
.
设
，则
.
因为
，
，所以
，
，
所以
，即
，即
，所以
.
因为
，所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，
.
法二：因为
，所以
，
由
，
，得
，
，
所以数列
的奇数项是首项为2，公比为4 的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4 的等比数列，
当
为奇数时，
，即
；
当
为偶数时，
，即
.
综上，
.
故答案为：
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（25-26 高二上·重庆·期末）若数列
的首项为1，且
，设
，则数列
的前
20 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用累乘法求出数列
的通项公式，再根据
进行裂项相消法求和即得.
【详解】因
，则
，当
时，符合题意，故
，
则
，
故
.
故选：D.
2．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知首项为3 的数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．－2
【答案】B
【分析】根据数列
与
的关系，利用相减法将已知等式
转化为
，再根
据
的值即可得数列为周期数列，从而可得
的值.
【详解】因为
，则
，
所以
，则
，即
，
因为
，所以
，
，
，
，
所以数列
是以
为周期的数列，
故
.
故选：B.
3．（25-26 河北模拟预测）记数列
的前
项和
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用
与
的关系求解即可.
【详解】因为
，
当
；
所以
，
当
时，
，符合上式，所以
，
故选：C.
4．（25-26 全国专题练习）已知一个各项非零的数列
满足
且
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，构造等比数列求出
的通项公式，再分
、
、
三种情况讨论数
列，结合
给出判断.
【详解】因为
，
，所以
，
设
，则
，所以
若
，则
，则
，与
矛盾，所以
，
故
，
所以数列
是以
为首项，公比为
的等比数列，
所以
，
故
，
若
，则
，
则数列
为递增数列，且
，
所以数列
为递减数列，与已知矛盾；
若
，则
，
所以数列
为递减数列，且
，
所以数列
为递增数列，满足条件；
当
时，
，故
，所以数列
为递减数列，
解不等式
，得
，可得
，
因为
，所以当
，且
时，
，
当
，且
时，
，与条件
矛盾，
且若
时有
无意义，
所以
的取值范围是
，
故选：A.
5．（25-26 全国模拟预测）已知数列
满足
，
，若
，都有
，其中,
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用累加法求出数列
的通项公式，求出
的最大项和最小项，可得出
的最小值.
【详解】因为数列
满足
，
，
当
时，
，
则
，
也满足
，故对任意的
，
.
当
为奇数时，
，数列
中的奇数项单调递减，
此时
，且
，即
，
当
为偶数时，
，数列
中的偶数项单调递增，
此时
，且
，此时
，
综上所述，数列
中的最小项为
，最大项为
，
若
，都有
，其中、
，当
，
时，
取最小值，且其最小值为
.
故选：C.
6．（25-26 高二上·福建泉州·期末）已知数列
中，
，且
，
，数列
的
前
项和为
，
表示不超过
的最大整数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先用累加法可得
，进而可得
，再用
及
分别放缩第
项到
项的
和，进而可得
，从而可得结果.
【详解】由数列
中，
，且
，
，
得
，
所以
，
，
又因为
，
所以
又因为
，
所以
，
所以
，
，
即
，所以
.
故选：B
7．（25-26 贵州模拟预测）在数列
中，
，
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．（-1,1）
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得
，利用累乘法求出
的通项公式，依题意可得
对
恒成立，再分
为奇数、
为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，
因为
，所以
，又
，所以
；
由
，
，得
对
恒成立；
当
为奇数时，
恒成立，易知
为增函数，则
；
当
为偶数时，
恒成立，易知
为减函数，
则
；
故
的取值范围为
.
故选：A
8．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
的前
项和
，若实数
满足
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用
，分
的奇偶讨论，求出通项公式
，再利用通项
的函数单调性求
出最值进行求解．
【详解】因为
，得
.
当
时，
①.
当
为偶数时，①式为
，即
，
所以
（
为正奇数）.
当
为奇数时，①式为
，
即
，
所以
（
为正偶数）.
函数
（
为正奇数）为减函数，最大值为
，
函数
（
为正偶数）为增函数，最小值为
，
若实数
满足
恒成立，则
，即
.
故选：A.
二、多选题
9．（25-26 福建模拟预测）记
为数列
的前
项和，且
，
，则（ ）
A．
B．
为等比数列
C．数列
单调递减
D．
【答案】ABD
【分析】令
得出
可判断AC；利用降标作差得出
，再根据等比数列的定义证明判断
B；利用分组求和判断D.
【详解】令
，则
，即
，
因为
，所以
，故A 正确，C 错误；
因为
，所以
，
两式作差得
，
当
时，
符合上式，故
，则
，
因为
，由以上递推关系可知
，所以
，
则
是以
为首项，
为公比的等比数列，故B 正确；
得
，则
，
则
，故D 正确.
故选：ABD
10．（25-26 高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．数列
是等比数列
D．
【答案】ABD
【分析】根据前n 项和与通项公式之间的关系求
，
，即可判断BD；根据等比中项判断C；利用等差数
列求和公式求
，即可判断A.
【详解】因为
，
当
时，则
，故B 正确；
当
时，则
，
两式相减可得
，则
；
且
符合上式，所以
，故D 正确；
因为
，
，
，则
，
所以数列
不是等比数列，故C 错误；
又因为
，可知数列
是等差数列，
所以
，故A 正确.
故选：ABD.
11．（湖北省随州市2025-2026 学年高二上学期期末数学试题）已知数列
的前
项和为
，
，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．数列
为常数列
B．数列
为等比数列
C．记数列
的前
项和为
，则
D．记数列
的前
项和为
，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，证明
，即可判断；对于B，利用
求出
时，
，即
可判断；对于C，利用裂项相消法求出
，即可判断；对于D，通过作差法得到
为递增数列，即可判
断.
【详解】
，
而
，
所以
，所以
为常数列，故A 正确；
因为
，所以当
时，
，
当
时，
，而
，
所以数列
不是等比数列，故B 错误；
当
时，
，此时
，
则
，
，
因为
，则
，
所以
，故C 正确；
记
，
，
当
时，
，则
，
所以
为递增数列，当
时，
最小，最小值为
，
故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（25-26 全国 模拟预测）已知数列
的前
项和
，若不等式
，
对
恒成立，则实数
的范围为 .
【答案】
【分析】根据数列前
项和与通项之间的关系，以及等差数列的定义，求出数列通项公式，进而化简不等
式，根据不等式恒成立，列出不等式组，求出参数范围即可.
【详解】由题意可得当
时，
，解得
，
当
时，可得
，作差得
，
化简得
，变形得
，
因为
，所以数列
是以2 为首项，以1 为公差的等差数列，
可得
，解得
，
已知不等式
，代入得
，化简得
，
要使不等式
成立，即
成立，
设
，当不等式
成立时，即
，
即
，得
，解得
，
因为
，所以
，可得
，
可知
成立，只需
成立，解得
，
即实数
的范围为
.
故答案为：
.
13．（25-26 高三上·山东东营·期末）记数列
的前
项和为
，已知
，
（
），
则
.
【答案】
【分析】由
得
，由递推关系可得数列
奇数项，偶数项都是等比数列，分组
求和即可求解.
【详解】根据题意，数列
中，
（
），
则有
①，可得
②，①÷②可得
.
又
，得
，故数列
的奇数项为首项为1，
公比为2 的等比数列，数列
的偶数项为首项为2，
公比为2 的等比数列，则
.
故答案为：
14．（25-26 广东模拟预测）设数列
的前n 项和为
，
，且对任意的
都有
．若存在
，使得
，则实数
等于 ．
【答案】
或
【分析】由
，
可求出
，通过递推关系还得到
，从而可知奇数
项、偶数项分别构成等差数列，若存在
，使得
，则
，所以
，对
的
奇偶分类讨论，列方程组可求得
的值.
【详解】依题意，
，对任意的
都有
，
则
，所以
，
两式相减得
，
可知数列
的奇数项是首项为
，公差为2 的等差数列；
偶数项是首项为
，公差为2 的等差数列．
若存在
，使得
，
则
，所以
当
为奇数时，
为偶数，由
得：
，
解得
.
当
为偶数时，
为奇数，由
得：
，
解得
．
综上所述，
的值为
或
.
故答案为：
或
结束
