文档文本内容
提分小卷：解答题
限时训练01（A 组+B 组+C 组）
（考试时间：50 分钟 试卷满分：77 分）
解答题（本大题共5 小题，满分77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（13 分）
2025 年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100 名居民
调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）：
参与绿色出行
不参与绿色出行
总计
青年群体（
40
岁）
35
15
50
中老年群体（
40
岁）
20
30
50
总计
55
45
100
(1)依据小概率值
的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？
(2)若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为
；若前一天没有参与绿色出行，则
后一天参与绿色出行的概率为
．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为
，分别求出他在第二天、
第三天参与了绿色出行的概率．
附：
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
16．(15 分)
记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且满足
．
1
(1)求
；
(2)设点
为边
的中点，
，
的面积为
，求
，．
17．(15 分)
如图，在三棱台
中，
平面
，
．
(1)证明：
．
(2)
为
的中点，
是
上一点，若
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
18．(17 分)
已知
为抛物线
上一点.
2
(1)求
的准线方程；
(2)若点
与
关于
轴对称，过点
且斜率为2 的直线交
于另一点
，设
.
（i）求数列
的前
项和
；
（ii）求
的面积.
19．(17 分)
已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)设
，若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)当
时，函数
有两个零点
，
，求证：
.
（考试时间：60 分钟 试卷满分：77 分）
解答题（本大题共13 小题，满分81 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
3
15.(13 分)
已知
为等差数列
的前
项和，
，
.
(1)求
；
(2)求数列
的前
项和
.
16．（15 分）
如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
，D 为棱
的
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若E 为棱BC 的中点，求三棱锥
的体积．
17．(15 分)
当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自
主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确
定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用
（单位：千万元）对年销售量
4
（单位：千万件）和年利润
（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据
进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：
30.5
15
15
46.5
表中
，
.
(1)根据散点图判断，
与
哪一个更适合作为年销售量
关于年研发费用
的回归方程类型
（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立
关于
的回归方程；
(2)已知年利润
与
，
的关系为
（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最
大，预计下一年应投入多少研发费用？
(3)科技升级后，该产品的效率
大幅提高，经试验统计得
大致服从正态分布
.企业对科技
升级团队的奖励方案如下：若
不超过
，不予奖励；若
超过
，但不超过
，每件产品奖励
10 元；若
超过
，每件产品奖励20 元.记
为每件产品获得的奖励，求
.
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
附：若随机变量
，则
，
.
18．（17 分）
已知函数
，其中
．
(1)证明：当
时，
；
5
(2)当
时，证明：对任意
，
；
(3)若
是
的极小值点，求实数
的取值范围．
19．（17 分）
已知椭圆
的焦距为
，点
在
上，直线交
于
两点.
(1)求
的方程；
(2)
为坐标原点，
，求
的取值范围；
(3)若直线
的斜率之积为
，证明：直线过定点.
（考试时间：70 分钟 试卷满分：77 分）
解答题（本大题共5 小题，满分77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(13 分)
6
在
中，角
的对边分别是
，且满足
.
(1)证明：
；
(2)若
边上的中线长为2，求
的面积的最大值.
16．(15 分)
“村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮
球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三
类相关知识题量占比分别为
．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为
．
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3 分，回答错误得－1 分．设该同学回答三
题后的总得分为X 分，求X 的分布列及数学期望；
17.（15 分）
已知双曲线
的焦距为2c，渐近线方程为
，右焦点
到直线
的距
离为
．
(1)求
的方程；
7
(2)已知直线
交
于B，C 两点，
的左顶点记为
，若
，求弦长|BC|．
18．(17 分)
如图所示，已知四棱锥
，
平面
，点
为
的中点，
，垂足分别
为
，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若
平面EBD，设二面角
的平面角为
，且
为钝角，求
的最大值；
(3)若
，点
都在同一个球面上，且给定该球的半径时，三棱锥
的体积有3 个可能
的值，求该球半径的取值范围．
19.（17 分）
已知函数
，设
，
，…，
，
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（
）．
(1)证明：
，并求
；
(2)对于任意实数
，求使
成立的最大正整数
；
(3)求使得
，
，
成立的所有正整数
的取值集合．
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