培优专题 06 数列、集合新定义 6 大重难题
型
抓关键 · 破难点
1、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；（2）根据新定义建立关系式；（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的
问题；（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
2、解决数列新定义问题
类比平时研究“熟悉数列”（如等差数列、等比数列）的方式（如分析项与项的关系、推导通项公式
等），用同样的研究逻辑分析新数列，降低解题的陌生感。
特殊化研究策略：通过“特殊化”方法（如代入具体数值计算新数列的前几项、分析简单情况下的规
律）研究新数列，尝试将新数列的性质与“熟悉数列”的性质关联，借助已知知识解决未知问题。题型01数列的性质与定义
刷经典 · 通方法
1．（2026·北京朝阳·一模）若数列 ： ， ，…， （ ）满足如下两个性质，则称 为 数列：
① ， ，…， 是1，2，…， 的一个排列；
② ， ，…， 是1，2，…， 的一个排列.
(1)判断数列 ：1，4，3，2和数列 ：5，1，4，2，3是否为 数列？说明理由；
(2)若数列 ： ， ，…， 满足 ， ，求证：数列 ： ， ，…， 不是 数列；
(3)若数列 ： ， ，…， （ ）为 数列，求 的最小值.
【答案】(1)数列 不是 数列， 是 数列．
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】
【详解】（1）因为 ，而3，1，1不是1，2，3的一个排列，所以数列
不是 数列．
因为5，1，4，2，3是1，2，3，4，5的一个排列，
又 ，4，3，2，1是1，2，3，4的一个排列，
所以数列 是 数列．
（2）假设数列 为 数列，
则 ．因为 与 的奇偶性相同，
所以
与 的奇偶性相同．
所以 与 的奇偶性相同．
又 是偶数， 是奇数，矛盾．
所以数列 不是 数列．
（3）因为数列 为 数列，
所以 ，
且
.
所以 ．
所以
因为 ，
所以 ，即 ．
令 ，则 ，
所以 ，
即数列 为 数列．
所以 的最小值为 ．
2．（2025·北京延庆·三模）已知数集 具有性质 :对任意的
， ，使得 成立.
(1)分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由;
(2)求证 ;
(3)若 ，求数集 中所有元素的和的最小值.
(4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2个公式.
【答案】(1) 不具有， 具有，理由见解析
(2)证明见解析
(3)75
(4)答案见解析
【分析】
【详解】（1）∵ 无法表示，∴数集 不具有性质 .
∵ ， ， ， ，∴数集 具有性质 ．
（2）∵集合 具有性质 即对任意的 ， ， 使得 成
立，
又 ， ，
∴ ， ，， ，
∴ ，
即 ， ， ， ，
累加得 ，
化简得 ．
（3）最小值为 ．
首先注意到 ，根据性质 ，得到 ，
所以易知数集 的元素都是整数，
构造 或者 ，这两个集合具有性质 ，此时元素和为 ．下面证明
是最小的和．
假设数集 ，满足 最小，
第一步：首先说明集合 中至少有 个元素：
由（ ）可知， ， ， ，又 ，
∴ ， ， ， ， ， ∴ ．
第二步：证明 ， ，
若 ，设 ，
∵ ，为了使 最小，
在集合 中一定不含有元素 ，使得 ，从而 ；
若 ，根据性质 ，对 ，有 ， ，使得 ，显然 ，∴ ，此时集合 中至少有 个不同于 ， ， 的元素，从而 ，矛盾，
∴ ，且 ．
同理可证： ．
至此，我们得到 ， ，
根据性质 ，有 ， ，使得 ，我们需要考虑如下几种情形：
① ， ，此时集合中至少还需要一个大于等于 的元素 ，才能得到元素 ，则 ；
② ， ，此时集合中至少还需要一个大于 的元素 ，才能得到元素 ，则 ；
③ ， ，此时集合 ， ；
④ ， ，此时集合 ， ．
综上所述，若 ，则数集 中所有元素的和的最小值是 ．
（4）
3．（2025·26高三上·北京·月考）已知含有n个元素的正整数集 （ ）具
有性质P：对任意不大于 （其中 ）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得
该子集所有元素的和等于k．
(1)写出 ， 的值；
(2)证明：“ ， ，…， 成等差数列”的充要条件是“ ”；
(3)若 ，求当n取最小值时 的最大值．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析(3)
【分析】
【详解】（1）由 ，且均为正整数，故 ，故 ，
故当不大于 的正整数 时，由题意必有 ，当 时，可得 ；
（2）先证必要性：因为 ， ， ， ，…， 成等差数列，
故其首项为 ，公差为 ，可得 ；
再证充分性：因为 ， ， ，…， 为正整数数列，
故有 ， ， ， ，…， ，
所以 ，等号成立时 ，
又 ，故 ，故 ， ，…， 为等差数列．
综上可知，“ ， ，…， 成等差数列”的充要条件是“ ”；
（3）先证明 （ ），
假设存在 ，且 为最小的正整数，
依题意 ，则 ，
又因为 ，
故当 时， 不能等于集合 的任何一个子集所有元素的和．
故假设不成立，即 （ ）成立；
因此 ，
即 ，所以 ；因为 ，则 ，
若 ，即 时，
则当 时，集合 中不可能存在若干不同元素的和为 ，
故 ，即 时，
此时可构造集合 ，
因为当 时， 可以等于集合 中若干个元素的和；
故当 时， 可以等于集合 中若干不同元素的和；
……
故当 时， 可以等于集合 中若干不同元素的和；
故当 时， 可以等于集合 中若干不同元素的和；
故当 时， 可以等于集合 中若干不同元素的
和，
所以集合 满足题设，
所以当 取最小值11时， 的最大值为 ．
4．（2025·26高三上·北京西城·期末）已知 项数列 的各项均为正整数．若存在 ，使得 满
足以下两个条件：①对任意 ；②对任意奇数
．则称数列 具有性质 ．
(1)判断下面两个数列是否具有性质 ；（结论不要求证明）
数列A：1，2，3，1，2，3，2，1；
数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1．(2)已知数列 具有性质 ，且 ，判断 中是否存在5项，其值均为2？若存在，给出一个满
足要求的数列 ；若不存在，说明理由；
(3)若数列 具有性质 ，证明： ．
【答案】(1)数列 A 不具有性质 ；数列 B 具有性质 .
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析；
【分析】
【详解】（1）数列A：1，2，3，1，2，3，2，1； ①对任意 ；②对任意奇数
，数列 A 不具有性质 ；
数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1；满足①对任意 ；②对任意奇数
，所以数列 B 具有性质 .
数列 A 不具有性质 ；数列 B 具有性质 .
（2）不存在；
先证明：若 ，则 .
假设 ,
由条件①，得 .
若 p 为偶数，即 为奇数，则当 时，假设与条件②矛盾．
当p为奇数，同理矛盾，
所以假设错误，即 .
由条件①，知 ,
若 中有五项均为2，即 这16项中有5项均为2,
则项数应满足 ，这是不可能的．所以数列 中不存在5项均为2.
（3）理由如下：
由①知，前9项依次为1,2,…,9；最后9项依次为9,8,7,…,1.
由②知，对任意奇数 , 为1,2,…,9的一个排列，
所以 ，且之间至少有7个其他项．
令 ，由②知：若 i 为奇数，则紧随其后等于k的项为 之一；若 i 为偶数，则紧随其后等于
k 的项为 之一．
由 ，得第二个出现的 ，第三个 （假设存在，下同）,第四个
；
由 ，得第二个 ，第三个 ，第四个 ，第
五个 ；（*）
由 ，得第二个 ，第三个 ，第四个 ，第
五个 ；（#）
若第二个9为 中最后一个9，则最后一个 ，与（*）不符；
若第三个9为 中最后一个9，则最后一个 ，与（*）不符；
若第四个9为 中最后一个9，根据（*），得 或 或
.
若 ，与（#）不符；若 ，由 ，得前一个等于8的项只能是 ；由 ，得前一个等于7的项只能是
，这显然矛盾；
若 ，由 ，得前一个等于8的项只能是 ；由 ，得前一个等于7的项只能是
，这显然矛盾．
所以数列 中至少有5项为9.
故数列 至少有 项，即 .
5．（2025·26高三上·北京海淀·月考）如果无穷数列 满足如下两个性质，则称数列 为”好数列“：
① ；
②集合 和 均为无限集.
对于任意”好数列“ ，将性质②中集合 中的元素分别按照从小到大的次序排成数列 和 .
对任意 ，令 ，称 为”好数列“ 的相对位置数列.
(1)分别写出下列”好数列“ 的相对位置数列：
（i） ；
（ii） ；
(2)证明：对任意”好数列“ 是无限集；
(3)已知”好数列“ 满足 ，且对任意 ，都有 ，证明：
（i）对任意 ；（ii）不存在 ，使得 .
【答案】(1)（i） ；（ii）
(2)证明见解析
(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】
【详解】（1）（i）由已知 ， ，
所以数列 为 ，数列 为 ，
所以数列 的相对位置数列为 ；
（ii）由已知 ， ，
所以数列 为 ，数列 为 ，
所以数列 的相对位置数列为 ；
（2）假设存在”好数列“ 不是无限集.
那么存在 ，当 时， .
于是对任意 ，与 为无限集矛盾！
所以对任意”好数列“ 是无限集.
（3）证明：（i）由 得 .
用数学归纳法形式书写：
假设 时， ，
所以
所以 ，又因为 （即 是相邻的两个下标），
所以 .当 时， ，故 ，
于是 .
同理，当 时，也有 .
所以对任意 ，
用极值原理形式书写：
假设 是使得 不成立的最小正整数，那么 ，且 时， ，
所以 ，所以 ，
又因为 （即 是相邻的两个下标），所以 .
当 时， ，故 ，
于是 .矛盾！
同理，当 时，也会引发矛盾.
所以对任意 .
（ii）假设存在 ，使得 .
由（i）的结论 可知，若 ，则下标 必为偶数，
因为 ，所以这三个数中至少有两个数相等，分情况讨论：
情况1： 或 ，若 ，则 为偶数，
由周期性得 ，则 为偶数，
但 的奇偶性不同，矛盾。
情况2： 且 ，此时必有 ，由周期性 ，可得 ，这要求 为偶数，即 为偶数.
同时，由周期性 ， ，可得 ，
这要求 为偶数，即 为奇数， 既为偶数又为奇数，产生矛盾.
综上所述，假设不成立，故不存在 ，使得 .nn
题型02数列的变换
刷经典 · 通方法
6．（2025·26高三上·北京房山·开学考试）已知数列 ，集合
，序列 ，T，其中
．对数列 进行如下变换：将 的第 项分别换为
，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 ， ， 项分别换为 ，
， ，其余项不变，得到的数列记作 ；…；以此类推，得到 … ，简记为
；
(1)给定数列 0，1，0，1，0，1，0和序列 ，写出 ；
(2)给定数列 0，0，0，0，0，0，0，请写出一个序列 ，使得 为1，1，1，1，1，1，1，并求 的
最小值；
(3)若项数为 的数列 的各项均为0，证明：存在序列 ，使得 的各项均为1，并求 的最小值．
【答案】(1) ；(2) ， 的最小值为3.
(3)证明见解析， .
【分析】
【详解】（1） ， ， ，
即 .
（2）记 ，
引理：对于每项是0或1的数列 ，每作一次 变换， 的奇偶性发生改变.
证明：由于其它项不变，因此只需证明 ，
与 的奇偶性不同.
即证 为奇数，
由于 等于1或 .
通过枚举易知 ，证毕.
推论: 与 的奇偶性相同
由于 且 ，
所以至少进行3次 变换.
定义 即可.
故 的最小值为3.
（3）当 时，显然 最小值为 .
当 时，由(2)中引理可知 为偶数，
但 显然不成立.故 .定义 ，
故 的最小值为4.
当 时，由（2）中引理可知 为奇数，
但 显然不成立，故 ，
定义 ，
故 的最小值为3.
下面用数学归纳法证明：
当 或 时， 的最小值为 .
（i）当 或7时，前面已证 的最小值为3.
（ii）假设 或 时，成立.
即存在 ，
当 或 时，
一方面， ，则 .
，则 .
另一方面，由引理可知 与 奇偶性相同，
与 奇偶性相同.
即 ，故 .
现定义 ，
由归纳假设，先作 次T变换可得 ，
则最后作一次 变换，即可满足题意，
即 的最小值为 .综上所述: .
7．（2025·26高三上·北京昌平·期末）对于数列A： ， ，…， ，若满足 （ ，2，
3，…，n），则称数列A为“ 数列”.定义变换T，T将“ 数列”A中原有的每个1都变成0，1，
原有的每个0都变成1，0，例如A：0，1，0，则 ：1，0，0，1，1，0，设 是“ 数列”，令
， ，2，3，….
(1)若数列 ：1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0，求数列 ， ；
(2)若数列 共有12项，则数列 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
(3)若 ：0，1，记数列 中连续两项都是1的数对个数为 ， ，2，3，….求 关于k的表达式.
【答案】(1) ， .
(2)数列 中连续两项相等的数对至少有12对；理由见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）解：由数列 ，
由变换 的定义，可得 ， .
（2）解：数列 中连续两项相等的数对至少有12对.
证明：对于任意一个“ 数列” ，则 中每一个1在 中对应连续四项 ，
在 中每一个 在 中对应的连续四项 ，因为共有12项的“ 数列” 中的每一个项在 中都会对应一个连续相等的数对，
所以数列 中连续两项相等的数对至少有12对.
（3）解：设 中有 个 数对， 中的 数对只能有 中的 数对得到，所以 ，
所以 中的 数对有两个产生途径，①由 中的 得到；②由 中 得到，
由变换 的定义及 ，可得 中 和 的个数总相等，且共有 个，
所以 ，且 ，所以 ，
由 ，可得 ， ，所以 ，
当 时，
若 为偶数， ，
各式相加，可得 ，
经检验，当 时，也满足 ，
若 为奇数， ，
各式相加，可得 ，
经检验，当 时，也满足 ，
所以 .
8．（2025·北京海淀·一模）设正整数 ，对于数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列
： ．已知数列 满足 ．记．
(1)若 ： ，写出数列 ， ；
(2)若 为奇数且 不是常数列，求证：对任意正整数 ， 都不是常数列；
(3)求证：当且仅当 时，对任意 ，都存在正整数 ，使得 为常数列．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题意可得 ； .
（2）证明：设 ，其中 ．
假设存在正整数 ，使得 是常数列，由 不是常数列，
不妨设 不为常数列且 为常数列，
记 ，则 ．
令
当 时，因为 ，且 ，所以 ．
故 ．
此时 为常数列，矛盾．
另法：
①若 ，则 ，
有此时 为常数列，矛盾．
②若 ，则 ，
有 ，
矛盾．
综上，对于任意正整数 ， 都不是常数列.
（3）首先证明，若 ，其中 ，
则存在 项的数列 ，使得对任意的正整数 都不是常数列．
证明：构造 项的数列 ，其中 ，
构造 项的数列
对任意的正整数 ，设 ，则
由于 不是常数列，故 不是常数列．
其次证明：若 ，其中 ，对任意 ，都存在正整数 是常数列．
证明：假设存在 ，其中 ，使得存在数列 ，
使得对任意的正整数 都不是常数列，不妨设 的最小值为 ．
情形一： ，则 ，记 ，则 为常数列，矛盾．
情形二： ，对任意的数列 ，则
记 ，定义数列 ，其中 ．
则 ．
则依此类推，对任意正整数 ，记 ，
存在正整数 ，使得 为常数列，记 ，则数列 均为常数列，
设 ，则 的各项均为 ．即 时， 是常数列，矛盾．
综上，当且仅当 时，对任意 ，都存在正整数 ，使得 为常数列．
9．（2025·北京·二模）已知 项数列 ，对于给定 ，定义变换 ：将数
列 中的项 替换为 ，其余项均保持不变，记得到的新数列为 ．其中，当 时， ；当
时， ；当 时， ．若将数列 再进行上述变换
，记得到的新数列为 ，重复操作，得到数列 ，并称
为第一次 变换， 为第二次 变换，⋯．
(1)若数列 ： ，求数列 和 ；
(2)设 为递增数列，对 进行有限次 变换后得到数列 ．证明： 为递增数列；
(3)当第 次 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 ；否则 ．对于给定的 项
数列 ，进行2025次 变换，证明： ．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析【分析】
【详解】（1）解：由题意得，数列 ，数列 ，
故数列 ．
（2）证明：若对 ： 进行 变换，即将 替换为 ，其余项不变，
由 ，得 ，故 仍为递增数列；
若对 进行 变换，即将 替换为 ，其余项不变，
由 ，很 ，故 仍为递增数列：
若对 进行 变换，即将 替换为 ，其余项不变，
由 ，得 ，故 仍为递增数列．
综上，对于任意 ，对 进行 变换后 仍为递增数列．
以此类推，知对 进行有限次 变换后，所得的数列 为递增数列．
（3）解：记数列 ： 中去除等于0的项后得到的数列为 （其余项相对位置不变，下同），
中去除为0的项后得到的数列为 ．
设 中相邻两项乘积为负数的有 对， 中相邻两项乘积为负数的有 对，
则 ．
如果对 进行 变换，即将 替换为 ，
此时若 与 同号，则数列 中相邻两项乘积为负数的仍有 对，即 ；
若 与 异号，则 或 ；
若 与 中有0，则 一定不与 异号，故 ．如果对 进行 变换，即将 替换为 ，
此时若 与 同号，则 ；
若 与 异号，有以下三种情况：
①若 与 同号，显然 也与 异号，则 ；
②若 与 异号，则 ；
③若 与 中有0，只有一个0，
不妨设 ，则 与 异号，故 ，或 ，或 ．
若 与 同为0，则 ；
若 ， ，不妨设 ，则 与 同号，故 ；
若 ， ，不妨设 ，则 与 异号，故 或 ；
对 进行 变换与进行 变换类似．
综上，对 进行一次 变换后， ．
以此类推，对 进行2025次 变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对
数 比变换前的并不会增大，且 ．
在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变，
则该变换一定是 变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号，
故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对．
所以对 进行2025次 变换时，其第一项的正负号最多发生 次改变，
即 ．
10．（2025·26高三上·北京顺义·期中）对于数列 ： ， ，…， ，定义变换 ， 将数列 变换成数列 ： ， ，…， ， ，记 ， ， .对于数列 ： ，
，…， 与 ： ， ，…， ，定义 .若数列 ： ， ，…， 满
足 ，则称数列 为 数列.
(1)若 ： ，1， ，1，1， ，写出 ，并求 ；
(2)对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 ？若存在，写出一个数列 ，
若不存在，说明理由：
(3)若 数列 满足 ，求数列 的个数.
【答案】(1) ：1， ，1，1， ， ， ；
(2)不存在适合题意的数列 ；
(3) .
【分析】
【详解】（1）由 ： ，1， ，1，1， ，
可得 ：1， ，1，1， ， ，
，1，1， ， ，1.
∴ ；
（2）∵ ，
由数列A为 数列，所以 ，
对于数列 ， ，…， 中相邻的两项 ，
令 ，若 ，则 ，若 ，则 ，记 中有 个 ，有 个 ，则 ，
因为 与 的奇偶性相同，而 与 的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列 ；
（3）首先证明 ，
对于数列 ， ，…， ，有 ， ，…， ， ，
， ，…， ， ， ， ，…， ， ，
， ，…， ， ， ， ，…， ， ，
∵ ，
，
∴ ，
故 ，
其次，由数列 为 数列可知， ，
解得 ，
这说明数列 中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列 中 的个数为 个，此时数列 有 个，
所以数列 的个数为 个.nn
题型03最值问题
刷经典 · 通方法
11．（2025·26高三上·北京房山·期末）已知集合 ，数列 ： ， ：
，其中 ，且当 时， ， ，当 时， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)当 时，若 为奇数，分别判断 与 是奇数还是偶数，并说明理由；
(3)若数列 中有 项为奇数，求 的最大值．
【答案】(1)
(2) 为奇数； 为偶数
(3) 的最大值
【分析】
【详解】（1）已知 是集合 的一个排列，所以
，由题意， ，所以令 可得，
，因为 ，所以 ，所以 .
（2）设 的前 项和为 ，由递推式 ，可得 ，又 ，
定义 ， ，所以 ，即 ，所以
，因为 为偶数， 为奇数，所以 为奇数，
，若 为偶数，则 为偶数，若 为奇数，则 偶数，所以
为偶数.
（3） ，因为 ，若 为奇数，则 与 奇偶性相反，若 为偶数，则 与 奇偶性相同，
集合 中有 个奇数， 个偶数，从 为奇数，为使数列 奇数项尽可能多，应优先使用偶数作为的值，取 为 中所有的 个偶数，则 均为奇数，共 项，此时偶数已用完， 为
奇数，则 为偶数， 为奇数， 为偶数， ，可知 为奇数，共 项，因此，奇数项共有
项，所以 的最大值为 .
12．（2025·26高三上·北京顺义·期末）已知数列 ，定义数列 的伴随数列为
，其中 .记 ，
，其中， 表示集合 中最大的数， 表示集合 中最小
的数.
(1)已知数列 ，求 和 ；
(2)若 ， ， ，求 的最小值；
(3)若 ， ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)2
(3)2025
【分析】
【详解】（1）由题意知， ，又 ，
所以 .
故 .
（2）因为当 ， ， ，
所以 ，且 ，使得 ，所以 ， ，
则 .
此时，构造数列 为 满足等号成立.
所以 的最小值为2.
（3）对任意实数 ，若 ，
则数列 的伴随数列 ，其中 ， ，
所以不妨设数列 中最大值为 ，最小值为0.
记 ， ，
令 ， ，
先设 ，则
，
因为 ， ， ，
所以 ，
构造数列 为 ，满足上述式子等号成立.
若 ，类似地有
.
构造数列 为 ，满足上述式子等号成立.
显然 不成立.
综上， 的最大值为2025.13．（2026·北京昌平·一模）设数列 ，若存在公比为 的等比数列 ，
使得 ，其中 ，则称数列 为数列 的“等比分割数列”．
(1)写出数列 的一个“等比分割数列” ；
(2)若数列 的通项公式为 ，其“等比分割数列” 的首项为1，求数列 的公比
的取值范围；
(3)若数列 的通项公式为 ，且数列 存在“等比分割数列”，求 的最大值．
【答案】(1) .（答案不唯一）
(2)
(3)5
【分析】
【详解】（1）由 ，可以取 ，得 .（答案
不唯一）；
（2）由 得 ，
所以 ，
令 ，
则 单调递减，所以 的最小值是 ，
所以公比 的取值范围是 ；
（3）首先证明 时，数列 不存在“等比分割数列”，
假设当 时，数列 存在“等比分割数列” ，则 ．
易知 ，
因为 且 ，则 ，而 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
与 矛盾，
所以当 时，数列 不存在“等比分割数列”．
所以 ，
当 时，数列 ，存在首项为 ，公比为 的数列 满足：
,
所以 时，数列 存在“等比分割数列”，
所以 的最大值是5.
14．（2025·26高三下·北京·开学考试）已知 为正整数， ，若数列 同时满足：
① 对任意 ，均有 ；
② 对任意 ，均有 ；
③ 对任意 ，均有 ，
则称该数列为 数列．
(1)若数列 是 数列，直接写出 的所有可能值；
(2)若数列 是 数列，求 的最大值；
(3)若数列 是 数列，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2)6；(3)2.
【分析】
【详解】（1） .
理由：由题意得 ，
对条件①，对任意的 ，均有 ；
对条件②，对任意的 ，均有 ，
即 ， ， ，
对条件③，对任意 ，均有 ，
若数列 是 数列，根据条件①知 ，
根据条件②知 ，
当 时，经验证符合条件③，此时 ，
当 时，因为 ，则 ，不合题意，舍去；
当 时，经验证符合条件③，此时 ，
当 时，经验证符合条件③，此时 ，
综上所述 的所有可能值为 .
（2）设 ，由①， ，
．1,2,3,4,2,1是6⊕4数列，
所以 符合题意．
．当 时，由②，设 或 ．
（a）当 时，
由②， ，故由③， ，与②矛盾．（b）当 时，由②， 或 。
若 ，由③， ，与①矛盾．
若 ，由②③， ，与①矛盾．
综上， 的最大值为6．
（3）若 满足③，则删除若干项仍满足③．
依题意， ．
．当 时，假若 ，设 ，
设 ，则由②， ，由①②， 无解，矛盾．
所以 ．
．假设存在 ，使得 ，设满足此条件的最小的 为 ．由 知， .
若存在 数列，则 ．
不妨设 中， 出现的次数最少，设 出现了 次．
1.当 时，则 为 数列，矛盾．
2.当 时，设 ，
（a）当 或 时，去掉 这一项得 数列，矛盾．
（b）当 时，去掉前两项得 数列，矛盾．
（c）当 时，去掉后两项得 数列，矛盾．
（d）当 时，记原数列为 ．
若 且 ，去掉 这一项得 数列，矛盾．
若 且 ，去掉 , 这两项得 数列，矛盾．若 且 ，去掉 , 这两项得 数列，矛盾．
若 且 ，与（2）矛盾．
3．当 时， 中， 均至少出现2次．
由②，前两个1之间必有其它数，不妨设为2．
由③，所有的2均在这两个1之间．
同理，不妨设所有的3全在前两个2之间，所有的4全在前两个3之间，
⋯
这与 矛盾．
4．综上，假设不成立，必有 ．
．构造：1,2,3,1为 数列，此时 ．
．综上， 的最小值为2．
15．（2026·北京丰台·一模）对于有穷正数数列 ，若满足对任意的
，都有 （ 是常数，且 ），则称数列 具有性质 ．对数列 定义
“分拆” 将 中的第 项 拆分为两项，并得到数列
，其中 ，且 ；特别地，当 时，
；当 时， ．对有穷正数数列 ，
令数列 ．若数列 均具有性质 ，则称 为数列 的 阶
完美 分拆数列．
(1)若 ，判断以下数列是否为 的1阶完美 拆分数列（结论不要求证明）：① ②2，0.5，0.5．
(2)当 时，若 为数列 的1阶完美 拆分数列，证明：数列 中被拆分的一定是最大项；
(3)若数列 为数列 的 阶完美 拆分数列，证明： 的最大值为4．
【答案】(1)①是；②否.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）①是；②否.
① 数列{1,1,1}
由 拆分而来：将2拆为 ，满足 ,
对 验证性质 ：任意两项 ，有 ,则 ，成立；
对 验证性质 ：任意两项 ，有 ,则 ，
综上，①是；
② 数列
若由 拆分，需将某一项拆为两项：
拆1： ，得 ，但 ，不满足 ；
拆2： ，得 ，无法得到 ，故②不是
（2）不妨设 ．
假设取 分拆，设 ，
则 与 矛盾．
所以拆分的项一定是数列中的最大项.（3）当 时， 的1阶完美 拆分数列为1.44，1.2，1；
的2阶完美 拆分数列为1.2，1，0.72，0.72；
的3阶完美 拆分数列为1，0.72，0.72，0.6，0.6；
的4阶完美 拆分数列为0.72，0.72，0.6，0.6，0.5，0.5．
所以数列 存在4阶完美 分拆数列．
下面证明对于任意数列 ，不存在5阶完美 分拆数列．
假设数列 的2阶完美 拆分数列为 ，
不妨设 ．
由（2）知，为得到 的3阶完美 拆分数列，一定分拆
，得到数列 ，其中 ，及 ．
若 ，则由 ，即 及 ，
可得
若 ，有 ，与题设 矛盾，不合题意．
此时，数列 中的最大项 无法再拆分，此时分拆结束．
于是，为得到4阶完美 拆分数列，必须有 ，
此时 ， ．
所以，拆分 为 ， ，得到数列 ，
其中 及 ．于是 ．
若 是数列 中的最大项，
因为 ，即 ，又 ，
于是 ，与假设矛盾．
所以 不是此时数列的最大项．
若 是数列 中的最大项，
因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，与假设矛盾．
所以 不是此时数列的最大项．
所以 是此时数列的最大项．
此时，应有 ，否则， ，
于是 ，
与题设 矛盾，不合题意，所以 ．
若 ，有 ，
与题设 矛盾，不合题意．
此时，数列 中的最大项 无法再拆分，此时拆分结束．因此，若数列 存在 阶完美 拆分数列，则 ．
综上， 的最大值为4.
题型04存在性问题
刷经典 · 通方法
16．（2025·26高三上·北京·月考）设各项均为整数的无穷数列 满足: .
(1)求 的所有可能取值;
(2)若 ，求 的最小值；
(3)记数列 的前 项和为 ，是否存在数列 ，使得 为无穷集?请说明理由.
【答案】(1)
(2)20
(3)存在，证明见详解
【分析】
【详解】（1）由 及 得 ，再根据 ：
，则 或 ，
，则 或 ，
因此 的所有可能取值为 .
（2）由递推式 得： ，分析奇偶性：
归纳可得： ，
由于 为偶数，故 或 ，
记 ，
所以 的取值范围为 中与 奇偶性相同的整数，
构造取法：令 ，其余 ，
验证符合奇偶条件的 ：
： ， （ ）： ，
： ， ： ，
： ， ： ，
： ，
（ .）： ，
（ ）： ，且是偶数，可行，
（ ⇒ 为奇数）虽然 ，奇偶性不符，
因此可能的最小 是 ，并且要在 里取偶数 ，并且可达，
检验 ， ，， ， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ，
， ： .
因此， 为： ，
验证： ， ，
所有差值绝对值符合 ，且 .
综上 时均不满足条件（奇偶不符，或 ），故 的最小值为20.
（3）存在，构造如下：
定义 操作（从 开始取连续8项）：
， ，
， ，
， ，
，
验证 ，
，计算 ，
下证
已知 ，设 ，则：
待证 ①，
由 得 ，②
根据递推条件 ，可设：
于是： 所以：
将②代入： ，③
将①展开： ，④
选取符号模式：
验证③：
展开合并可得 ，对任意 成立，
验证④：设 ，取 ：
由于 ， 中 和 的系数均为零，故 ，对任意 成立，
由此得到构造： 操作（从 开始取连续8项）,满足 ，且代入计算得 ，
取初始段 ，则 ，
从第 项起，重复进行 操作，每 项 增加 ，即
令 ，得 ，即 ，
进行一次反 操作（ 操作中各平方项前符号取反），
则有
取 ， ，得 ，
从第 项起，依此构造，每次应用 操作时起始项 均为 ，
故 ，即每 项 增加 ，
于是
此时 ，且 值恢复为 ，
以上过程以 项为周期（一次反 与 次 ），可无限重复，
从而得到无穷多个 （如 ）使得 ，
因此，存在满足条件的数列 ，使得 为无穷集.
17．（2025·26高三上·北京·月考）如果无穷数列 满足： ， ，使得 ，则称数列
是“ 数列”.
(1)下列无穷数列中，是“ 数列”的为 .（直接写出序号）
① 满足 ， ， ；
② 满足 ， ， ；③ 满足 ， ， ；
(2)证明：若无穷等差数列 是“ 数列”，则 且公差 ；
(3)是否存在公比 为整数且各项均为正数的无穷等比数列 ，使得 和 都是“ 数列”（其中
的前 项和记为 ）？若存在，求出所有符合题意的 ；若不存在，说明理由.
【答案】(1)①②；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】
【详解】（1）①数列 是首项为1，公差为2的等差数列，则 ，
，
令 ，则 ，故①是“ 数列”；
②数列 是首项为1，公比为2的等比数列，则 ，
，令 ，则 ，故②是“ 数列”；
③由 ，
当 时， ，显然不存在 ，故③不是“ 数列”.
（2）证明：若 ，则 ，所以 或 ，且公差 ，
下设 ，则 ，
、 ， ， ，
作差得 ，因为 ，所以 .
、 ， ， ，
作差得 ，
因为 ，所以 ，
因此， .
综上， 且公差 .
（3）由题意， ，
当 时，则 ，解得 或0（舍），则 ， ，
， ， ， ， 符合题意；
当 时，若 ， ，则 ，
时， ，
由于 ，则 ，
由于 单调递增，则不存在 ，不符合题意；
若 时，若 且 ， ，则 ，即 ，
而 ， 时，则 ，
整理得 能成立，
时 ，不满足前提，
时 ，显然不成立，所以 不可能成立，
综上，当且仅当 符合题意.
18．（2025·北京通州·一模）已知数列 （N是大于3的整数）为有穷数列，定义
为“卷积核”数列 满足：
(1)若数列 ，卷积核 ，求数列B.
(2)设 ，已知 且 ， ，若 .求证：数
列B中最大的项为 ，（ 表示a，b中的最大值）.
(3)已知 且 不全为0，卷积核 ，是否存在数列A，使得数列B的
任意一项均为0?若存在，请写出一个满足条件的数列A；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，理由解析
【分析】
【详解】（1） ,
,
所以数列
（2）方法一：依题意有当 时，
由
又 则 ，
即当 时， ，
当 时，记 ，
由
即当 时， ，
综上可得：数列B中最大的项为 .
方法二：由已知可得 .
当 时， ，
因为 >0,
所以
当 时， ，
因为 <0,
所以
因为
所以因为
所以
所以
所以当 时， ,
所以数列 中最大的项为 或 或 .
因为
所以
因为
所以
所以 .
（ 与 无法比较大小，假设 ，当 时数列B的最大值为 ，
当 时，数列B的最大值为 ；当 时，数列B的最大值为 .）
综上，数列 中最大的项为 或 .
（3）方法一：当 为偶数时，取数列 的通项 ，
此时对 ,有 ，
故当 为偶数时，存在数列 ，使得数列 的各项为0，
当 为奇数时，设 且 ，
下面用反证法证明不存在数列 ，使得数列 的各项为0，
假设存在数列 ，使得数列 的各项为0.为了更好地描述，我们记 中不存在的 ，则对任意的 ，有 ，
上式相减可得 ，即数列 中的奇偶项分别为等差数列，
设 ，
且有 ,
进而
又由 知 ，
故 ，
整理可得 进而代入 可得 ，
故 ，
则 ，
取 ，有 ，即 ，
故 ，
因为 ，故 ，
由 知 ,故 只能为 的常数列，不符合题意，假设不成立，
综上，当 为偶数时，存在数列 : 符合题意.
方法二：①当N为偶数时，存在数列A使得数列B的任意一项均为0，
此时可令
②当N为奇数时，不存在数列A使得数列B的任意一项均为0，证明如下：
假设存在数列A使得数列B的任意一项均为0因为
所以 ， ， ，… , ，
.
所以 ， ，
， ， .
所以 ,
所以 ,
所以
所以
因为
所以 .
与 不全为0矛盾.
所以假设不成立.
19．（2025·北京·模拟预测）设 是正整数，数列 满足: ，
且其任意两项互不相同. 对满足条件的数列 ，若 ，定义 为 ，
对正整数 ，定义 为 .
(1)若 ，数列 ，直接写出 ；
(2)证明:对任意满足条件的数列 ，都存在正整数 ，使得 的首项为1；
(3)若 . 是否存在满足条件的数列 ，使得 的首项不为1？请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】
【详解】（1）数列 ，由题意得数列 ； ；
； .
（2）下面用数学归纳法证明.
证明：①当 时，数列 或 满足条件；
显然，对数列 ：经过任意 （ 为正整数）次变换均为数列本身，即首项恒为 ；
对数列 ，有 ，故经过 次变换， 的首项为 ，
故当 时，存在正整数 ，使得 的首项为 ；
②假设 （ ）时，
对数列 ，其中 ，
都存在正整数 ，使得 的首项为1，
为便于理解，下面叙述为：经过有限次变换，可使首项为 ；
自然经过有限次变换，也可使首项变为数列的任意项 ， .
当 时，对 ，其中 ，
（i）若 ，则 是数列 的前 项中的项， ，且 ，
由题意， 的首项也不等于 ，且经过任意次变换后首项均不为 ，
即变换仅对前 项产生顺序调整，相当于对数列 的变换，
故由归纳假设可知，经过有限次变换，可使首项为 ；
(ii)若 ，设 ， ， ，
由题意，经过任意变换，只要 没有变换至首项位置，则相当于对数列 的变换，则由归纳假设，经过有限次（设为 次）变换，可使 首项为 ，
当 时，即 ，则 的首项为 ，即经过 次变换，可使首项为 ；
当 时，即 ，则 的最后一项变换为 ，则转化为新数列 满足 ，即（i）的情
况，故经过有限次变换，也可使首项为 ；
故对数列 ，都存在正整数 ，使得 的首项为1；
综合①②可知，对任意满足条件的数列 ，都存在正整数 ，使得 的首项为1.
（3）不存在满足条件的数列 ，使得 的首项不为1. 原因如下：
以上结论可转化为：任意数列 ， 的首项均为 .
由变换的可逆性，又可转化为：任意首项为 的数列，均可经过不多于 步的逆向变换，可转化为任
意原数列.
不妨设原数列为 .
首先，定义逆变换 ：设 是正整数，对数列 ，
若存在 ， ，定义逆变换 为 ，
对正整数 ，定义 为 .
由（2）可知，任意数列 ，要使首项为 ，当数列中任意项 ， 时，数列
才可能取到最大变换次数.
故结论还可转化为，数列 ，可经过不多于 步的逆变换，可使数列中任意项均不在原位置.
下面用数学归纳法证明该结论.
①当 时，数列 ，经过一次逆变换得 .
由 ，②假设 （ ）时，数列 可经过不多于 步的逆变换，可使数列中任意项均不
在原位置.
则当 时，对数列 ，
先将前 项即数列： ，作逆变换，
由归纳假设，可经过不多于 步的逆变换，使数列 的前 项均不在原位置，记为 ；
再作一次逆变换可得数列 ，其中第 项 ，
（假设 ，）
故后面的变换只与前 项有关，可经过不多于 步的逆变换，使数列 的前 项均不在原位置，
故共不超过 步逆变换.nn
题型05数学归纳法与递推关系
刷经典 · 通方法
20．（2025·北京顺义·一模）已知数列 ： 各项为正整数.对任意正整数 ，定义：
， ，其中 表示有限集 中的元素个数，规定 .
(1)对于数列 ：1，3，2，2，写出 ， ， ， 的值；
(2)若数列 ： 满足 .
（i）若 ，令 ，当 时，求 ；
（ii）求证： .
【答案】(1) ， ， ， ；
(2)（i） ，其中 ；
【分析】【详解】（1） ， ， ， ；
（2）（i）令 ，则 ，根据 的定义，可知数列 中有两项等于1，
根据数列 的增减性质，可得 ；令 ，则 ，
可知数列 中有四项小于等于2，可得 ，
以此类推可得 得前 项为 ，
，其中 .
（ii）法一：用数学归纳法证明 对 成立，（**）
当 时，令 ， ， ，
（**）式左边= ，
（**）式右边= ，
（**）式左边=（**）式右边，（**）式对 成立；
假设 时，（**）式成立，
即 ①
当 时，（**）式左边=
设 ，令 ，
则 , ，……， ， ，
（**）式左边= ，
（**）式右边=根据①可知（**）式对 成立，由数学归纳法原理可知（**）成立.
（法二）设数列 中等于 的项分别有 个，则
， ，……， ， ，
从而 , ，……， ，
注意到
等式成立.
21．（2024·25高三上·北京·月考）对于有穷正整数列 ，记 ，若数
列 满足： ，使得 ，则称 为平滑数列.
(1)已知数列 ，判断 是否为平滑数列，并说明理由；
(2)若平滑数列 是公差为 的等差数列，求 的最大值；
(3)若平滑数列 的项数为5，求 的最大值.
【答案】(1) 是， 不是，理由见解析
(2)2
(3)121
【分析】
【详解】（1） 是平滑数列， 不是平滑数列.
理由：
对于 ，又 .符合平滑数列的定义.对于 ，考虑到 ，
因此9无法被表示.
（2） 的最大值为2.
先证 .假设 ：因为 ，于是 .
则 ，即 .
因为 ，于是 .
所以
，
可以得到 ，与假设矛盾，因此假设不成立，即 .
再证 可以取到2：构造数列 .以下用归纳法证明对于任意 ，
该数列是平滑数列.根据等差数列的性质，有 .
首先，由（1）知 为平滑数列.
假设 为平滑数列，即 ，
使得
那么对于 ，由归纳假设，此时若令 ，可以表示 中的任意数；
若令 ，可以表示 中的任意
数.
因为 时， ，所以上述两集合包含了从1到 中的所有自然数.
所以 为平滑数列.因此 合题意.
所以 的最大值为2.
（3） 的最大值为121.先证 .对于平滑数列 ，对于 ，
考虑 的所有可能情况，共有 种.
当 时，此时和为零，于是非零的情况至多有242种.
又对于每一组 ，都可取 与之对应，
此时 ，
因此和为正数的情况至多有 种.
因此 .
再证 可取到121.
构造数列 .由于 及上面的论证，
只需证明对于不同的 各不相同.
，设 ，有 ，
若满足 ，
即 .
若 ，此时 不是3的倍数，但 是3的倍数，矛盾.因此 ；
若 ，此时 不是9的倍数，但 是9的倍数，矛盾.因此 ；
同理可证 均等于零.
因此若 ，必有 .得证.
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和
转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合
的特性，抽象特性和计算特性.抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析；计算特性是将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
22．（2024·北京昌平·二模）已知 为有穷正整数数列， ，且
．从 中选取第 项，第 项， ，第 项 ，称数列 ， 为
的长度为 的子列．规定：数列 的任意一项都是 的长度为1的子列．若对于任意的正整数 ，数列
存在长度为 的子列 ，使得 ，则称数列 为全覆盖数列．
(1)判断数列 和数列 是否为全覆盖数列；
(2)在数列 中，若 ，求证：当 时， ；
(3)若数列 满足： ，且当 时， ，求证：数列 为全覆盖数列．
【答案】(1) 不是全覆盖数列， 是全覆盖数列
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）对于 ，有 ，但该数列不存在和为 的子列，故 不是全覆盖数列；
对于 ，有 ，由
；
.
可知 是全覆盖数列.
（2）由题知， .若不成立，则 ，那么 与假设矛盾.
因为 ，即 .①
又 ，所以 .
所以 .
由① ②得， .
所以 .
当 时， ，
得 ，命题成立.
此时，当 时， 成立.
当 时，得 .
同理可得， .
归纳可得，当 时， .
综上可得，命题成立.
（3）下面证明，当 时，对于任意的 ，
存在子列 ，其中 ，使得 .
（i）当 时， ，所以当 时，有 .
当 时，则 .
所以 .对于任意 ，命题成立.
或 .对于任意 ，命题成立.
（ii）假设当 时，命题成立.即对于任意的正整数 ，存在子列 ，
其中 ，使得 .
则当 时，对于任意的正整数 .
①当正整数 时，由假设成立.
存在子列 ，其中 ，
使得 .
②当正整数 时，
因为 ，所以 .若 ，则此时成立.
若 ，则 .
由假设，存在子列 ，其中 ，
使得
整理得 ，
此时 .即命题成立.
综上，对于任意的 ，存在子列 ，
其中 ，使 .
所以数列 为全覆盖数列.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问中数学归纳法的使用.
23．（2024·25高二下·北京·期中）已知数列 ，若存在 ，使得对任意 ，都有 ，则
称 为周期数列，其中满足条件的最小的T称为 的最小周期．设数列 满足 ，其中 ， ， ， ．
(1)当 ，b分别为1，2，3，4时，直接写出数列 的最小周期；
(2)当 时，求证：对任意 ， 的最小周期为定值；
(3)当a为大于2的质数， 时，设T为 的最小周期， ．求证：S为整数．
（参考结论：若p为大于2的质数，则 是p的倍数）
【答案】(1)4
(2)8
(3)证明见详解
【分析】
【详解】（1）对于
数列 是 的最小周期是4；
对于
数列 的最小周期是4；
对于
数列 是 的最小周期是4；
对于
数列 是 的最小周期是4；
故数列 的最小周期是4.
（2）当 时，数列 是由 和递推关系 定义的，递推关系可表示为模运算：
该递推的周期与2在模17下的阶数 有关，即最小的 使得 ，
因为 ， ， ， ．
因此，2的阶数为8，即 ，
推广到任意初始值 ，由于 是质数，且 ，故 与17互质，
此时，数列的周期仅取决于2的阶数，与初始值 无关，
因此，无论 取何值，数列 的最小周期均为8.
（3）数列 是由 和递推关系 定义的，
数列的递推关系为 ，
因为 ，故数列的通项为：
根据费马小定理， ，因此 是 的约数，
设T为 的最小周期，即 是2在模 下的阶数，即最小的 满足 ，
在一个周期内 ，
由等比数列前n项和可知 ，
因为 是2的阶数，所以 ，因此：
即 整除 ，从而 整除 ，
因此： ，
所以 ，
因为 ，所以 是整数.题型06集合新定义
刷经典 · 通方法
24．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（ ， ），集合
.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素 ，若存在
且 ， ，使得集合 与A的交集所含元素个数为0或4，则称
为A的一个“同形点”.
(1)当 时，写出集合 的所有“同形点”；
(2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数；
(3)若M的任意子集都有“同形点”，求 的最小值.
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)21.
【分析】
【详解】（1） ，
当“同形点”为 时，取 ，
此时 ，显然其与 交集所含元素个数为0
当“同形点”为 时，取 ，
此时 ，显然其与 交集所含元素个数为0，
故其“同形点”为 .
（2） 的＂同形点＂的个数为 ．证明如下：
设 ，由题：取集合 ．若 为 的＂同形点＂，应有 ，且 ．
①当 时，若 且 ，取 为 ，
则 与 的交集元素个数为0，
此时 为 的＂同形点＂，共有 个；
②当 时，同理可得 中除 外，
其余元素都是 的＂同形点＂，共有 个；
③当 时，同理可得 中除 外，
其余元素都是 的＂同形点＂，共有 个；
④当 时，同理可得 中除 外，其余元素都是 的＂同形点＂，共有 个．
综上可得 的＂同形点＂的个数为 ．
（3） 的最小值为21．
证明如下：
首先当 时， ，由对称性不妨设 中元素个数不少于11，
对于 ，设 的元素个数为 ，
若存在 ，因为 ，所以存在 ，有 ，
不妨设 ，则 中至少一个是 的＂同形点＂；
若 恒成立，因为 ，所以存在 ，
有 ，因为 ，
所以存在 ，使得 ，不妨设 ，则 为 的
＂同形点＂．
其次当 时，不妨设 ；
①若 ，则 ，取 可得其无＂同形点＂；
②若 ，则 ，
取 ，
可得其无＂同形点＂；
综上 的最小值为21．25．（2026·北京密云·一模）已知集合 .对于
，定义 与 的差为 ， ；定义
与 之间的距离为 .
(1)若 ，写出所有的 ，使得 ；
(2)已知 ，若 ，并且 ，求 的最大值；
(3)证明： 三个数中至少有一个是偶数.
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】
【详解】（1） ，说明 与 只有 个位置元素不同， 全为 ，因此 恰有1个位置为0，其余
为 ，
则所有满足条件的 为： ；
（2）已知 ， ，
， ，
即 和 中恰好各有 个分量为 （其余为 ）
设 的 的位置集合为 ， 的0的位置集合为 ,则 ，
则 ，而 的最小值为 ，因此 的最大值为
（3）证明：
对任意位置 ，讨论三个差 的和的奇偶性：
若 全相同：三个差都为 ，和为偶数；
若两个相同一个不同：不妨设 ，则三个差为 ，和为 ，仍是偶数；
所有位置求和得： 是偶数；
若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证.
26．（2025·26高三下·北京·开学考试）设 为正整数，集合 ，
对于集合 中的任意两个元素 和 ，定义 ．若集合
中的元素 组成的序列满足 ，则称 为 序列．
(1)若 ，求 ，并写出一个 使得 ；
(2)当 时，是否存在一个 序列 ，满足 ， ，
？若存在，请写出 ；若不存在，请证明；
(3)给定 ，若 ， ， 为 序列，且序列中元素两两不同，求 的最大值．
【答案】(1) （答案不唯一，如 、 均正确）；
(2)证明过程见解析；
(3) .
【分析】
【详解】（1）根据 ， ，，则 ，
满足 的 只需与 有2个位置不同，例如 （答案不唯一，如 、 均正确）.
（2）不存在，证明如下：
记任意元素 中1的个数为 ，由G序列定义 ，
说明 仅改变 一个位置的 或 ，
因此 ，即 奇偶性相方，
中1的个数 ， 为奇数， 应为偶数，但 ， 是奇数，矛盾.
因此不存在满足条件的G序列.
（3）集合 中共有 个不同元素，元素两两不同时 ，
下面用数学归纳法证明：存在 ， ， 为 序列，且序列中元素两两不同.
证明：当 时，取 ， ，它们为 序列，
当 时，取 ， 序列，
设当 时，存在 为 序列，且序列中元素两两不同，
设 ，
令 ， ， ，
因为 为为 序列，故 也为 序列，
故 时，存在 为 序列，且序列中元素两两不同，
由数学归纳法可得存在 ， ， 为 序列，且序列中元素两两不同.
综上， .27．（2025·26高三下·北京·月考）已知集合 ，其中 ， ， ， ， 都是A的子集
且互不相同，记 的元素个数， 的元素个数（i， ， ）.
(1)若 ， ， ， ，直接写出所有满足条件的集合 ；
(2)若 ，且对任意 ，都有 ，求m的最大值；
(3)若 ， （ ，2， ，m）且对任意 ，都有 ，求m的最大值.
【答案】(1)
(2)16
(3)
【分析】
【详解】（1）因为 ，则 和 的元素个数均为1，
又因为 ，则 ，
若 ， ，则 或 ；
若 ， ，则 或 ；
综上 或 或 或 .
（2）全集 的所有子集可分为 对互补子集，任意一对互补子集的交集为空，故每对至多选1个子
集，因此 ； 取所有包含元素 的子集，共 个，满足任意两个交集非空，故 的最大值为 .
（3）结论: ，
令 ，集合 符合题意.
证明如下：①若 中有一元集合，不妨设 ，
则其它子集中都有元素1，且元素 都至多属于1个子集，
所以除 外的子集至多有 个，故 .
②若 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设 .其它子集分两类:
或 ，和 或 ，
其中 互不相同， 互不相同且均不为1，2.
若 ，则 ，有 ，
若 ，则由 得每个集合 中都恰包含 中的1个元素（不是2)，
且互不相同，
因为 中除2外至多还有2个元素，所以 .
所以 .
③若 均为三元集合，不妨设 .将其它子集分为三类：
，
其中 .
若 ，则 (除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合 )，
所以 .
若 ，不妨设 ，
则由 得每个集合 中都或者有4、或者有5，
又 中除1外无其它公共元素，所以 .
所以 .
综上， .28．（2025·26高三上·北京通州·期末）已知 是由 ， ，…， （ ， ）这 个数构成的所有
排列组成的集合，例如，若 ， ，则 .定义：① 与 的差
，② 与 的距离 ，其中
， .
(1)若 （ ），写出集合 ；
(2)若 （ ），且 （ ），求 的最小值.
(3)若 ， ， ， ， ，求证： ， ， 三个数中至少有一个偶
数.
【答案】(1) ；
(2)当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
(3)证明见解析.
【分析】
【详解】（1） .
（2）①当 为偶数时： ．
中含有 个整数对 ，其中 ，
将所有这样的整数对交换位置变为 组成 ，
此时每一个整数对中对应数字之差均为1，那么 ，则 的最小值为 ；
②当 为奇数时：
假设 ， ，不妨设 ，则 或3，若 则 ，矛盾，以此类推， 值，矛盾．
所以 ．
将 中所有数字分成 个整数组，
共中含有 个整数对 ， 个整数组 ．
将所有这样的整数对交换位置变为 ．
此时每一个整数对 中对应数字之差均为1，
整数组中对应数字之差为1，1，2，因此 ，
则 的最小值为 ．
（3）设 ，
因为 ，所以 的值只能为0或1，
故 的值等于满足 的坐标 的个数，
所以 和 中有满足 的个数有 个，
和 中有满足 的个数有 个，
和 中有满足 的个数有 个．
因为 ，所以不可能存在 互不相等的情况。
设 为 的个数， 为 的个数，
为 的个数， 为 的个数。
则 ，三式相加 .
因此 为偶数，则 ， ， 中含有一个或者三个偶数，即 三个数中至少有一个偶数．
29．（2025·26高三上·北京石景山·期末）设 为正整数，集合 ，集合
，其中 ， 表示不超过 的最大整数．对 的任意非空真子集
，定义向量 ，其中 .
(1)当 时，求 ；
(2)当 时，求证： 的充要条件是 ；
(3)当 时，求所有使 的集合 ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3) ， ， ， .
【分析】
【详解】（1）当 时， ， ，
当 时， ，
由于 且 ，故 ，
当 时， ，
由于 且 ，故 ，
当 时， ，由于 ，故 ，
综上所述， .
（2）先证明集合 中共有 个元素.
因为 ，设 ，则每个 的值对应 个连续的 值，
因为 中共有 个元素，所以 共有 个不同的取值，
所以 ，其中奇数有 个，
所以集合 中共有 个元素.
再证明 时， 的充要条件是 ，
先证必要性：因为 ，所以 ，故 ；
再证充分性：若 ，则 ，
因为 ，所以 中的元素个数为 ，
因此 中存在元素 ，满足 且 ，所以 ，
所以 ，证明完毕.
（3）当 时， ，所以 ， ，
因为 ，所以 且 ， 且 ，
即 且 ， 且 ，
所以所有可能的 为 ， ， ， ，验证均满足题意.
