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难点专题07 新定义综合
（含数列、函数、集合等新定义）
（40 题难题）（10 单选10 多选10 填空10 大题）
一、数列新定义问题
1. 考查对新定义的理解程度。
2. 考查满足新定义的数列在具体条件下的简单应用，往往需要在新环境下结合数列的新性质，探究其原有
性质。
3. 考查综合分析能力，重点在于将新性质有机融合到“旧”性质中，创造性地证明或推导出更深层的结论。
应对这类问题的关键，是耐心分析定义，并依据定义将其转化为已掌握的数列知识，这一转化思想需熟练
掌握。
二、函数新定义问题
涉及函数新定义的问题，需先准确理解新定义，梳理其中的数量关系，联想相关的数学知识和方法，通过
构造函数，将问题转化为相应的函数模型进行分析和求解。
一般解题思路包括：
1. 分析新定义的构成要素，理解各要素的含义；
2. 根据已知条件，明确所求问题，并将其转化为数学语言；
3. 将条件代入新定义的各要素中；
4. 结合数学知识进行推理与计算。
三、集合新定义问题
求解以集合为背景的新定义问题，可遵循以下策略：
1. 紧扣新定义，理解其本质，并将它应用于解题过程；
2. 灵活运用集合的性质，从题目中挖掘可用于解题的集合特征；
3. 涉及交叉集合元素个数等问题时，可借助维恩图等直观工具；
4. 在推理过程中严格依据定义及相关定理，运用转化与化归思想，将陌生或复杂的问题转化为熟悉或简单
的形式。
总体而言，新定义类题型既考查数学阅读、推理与抽象能力，也考验学生的知识迁移与综合运用水平。
在备考过程中，应重视定义的理解与转化，加强各类情境下的思维训练，从而提升应对此类高难度试题的
能力。
一、单选题
1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知数列
是公比为2 的等比数列，且
．集合
，集合
的元素个数构成数列
，则数列
的前100 项的和为（ ）
A．480
B．642
C．840
D．5050
【答案】A
【分析】首先求数列的通项公式，再结合题意，可知
是满足
的正整数
的个数，再利用列举的方
法，即可求解
，再求和.
【详解】设数列
的首项为
，
，
由
可知，
，
，所以
，
所以
，
由
，得
，且
，所以
是满足
的正整数
的个数，
当
时，不存在
，满足
，所以
，
当
时，
满足，所以
，
当
时，
满足，所以
，
当
时，
满足，所以
，
当
时，
满足，所以
，
当
时，
满足，所以
，
当
时，
满足，所以
，
所以数列
的前100 项的和为
.
故选：A
2．（2025·浙江·二模）给定非空数集
，若函数
满足：对任意
、
，存在实数
使得
成立，则称
为“半压缩函数”.已知
，则下列四个函数中为
“半压缩函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用题中“半压缩函数”的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，因为
、
，
，
所以当
、
时，
，故函数
不是“半压缩函数”，A 错误.
对于B，
，
当
、
时，
、
，
，
，
故函数
不是“半压缩函数”，B 错误.
对于C，取
，构造函数
，
，则
，
所以函数
在
上为增函数，则
，故
，
构造函数
，
，
则
对任意的
恒成立，
所以函数
在
上为增函数，
任取
、
且
，则
，即
，
所以
，
因为函数
在
上为减函数，所以
，
由
可得
，
故函数
为“半压缩函数”，C 正确.
对于D，不妨设
、
且
，
则
，
构造函数
，
，
则
，故函数
在
上为增函数，
所以
，即
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
所以函数
不是“半压缩函数”，D 错误.
故选：C.
3．（2025·北京·模拟预测）已知无穷数列
满足：
，
，
，
，其中
表示不超过
的最大整数.则下列说法中正确的是（ ）
A．对于任意
，
，
都不是常数列
B．存在正数
，
，使得
是递增数列
C．对于任意正数
，q，都存在正整数
，使得
是周期数列
D．如果
是常数列，则一定有
【答案】D
【分析】对AD 从必要性角度取值
即可说明，充分性易知；对B 选项，通过反证法即可证明；对
C，设周期为
，作差即可证明.
【详解】先来分析A,D 选项
若
为常数列，则
，
.
当
时，有
，
即
.
必要性：取
，可得
消去
可得
，
记
，则
有
，
而
，故
.即
为整数.
代回原式可得
.
充分性：当
且为整数时，易知
为常数列.
再来分析B 选项
，
设
，则
，
若
递增，则有
，
，
，
由于
，故
，
则
，
即
.
则
，
又
，故
且
，
则
，
又
，故
且
，
则
，
又
，故
且
.
照这样操作下去，
可得
，
且
，
当
时，
，
故
，
矛盾！
再来看C 选项，不妨设周期为
，
则
，
，
两式作差可得
，
当取
为无理数时，矛盾！
故选：D.
4．（2025·湖北·一模）罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一
起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为
的函数
的导函数记为
，且函数
满足条件①在闭区间
上连续；②在开区间
内可导；③
.那么至少存在一个
使得
.已知函数
，
在区间
内有零点，其中，
是
自然对数的底数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
和
，根据罗尔中值定理可知，存在
，
，使
，
，故
在
上至少有两个不等实根，令
，
分类讨论函数零点个数，从而得解.
【详解】依题意设
在区间
内的零点为
，则有
,
由罗尔中值定理可知，存在
，使
，
同理，由
及罗尔中值定理可知，存在
，使
，
故
在
上至少有两个不等实根，
令
，
则
，显然
在
上单调递增,
当
，
时，
，此时
在
上单调递增，
故
在
上至多只有一个实根；
同理可知，当
，
时，
，此时
在
上单调递减，
故
在
上至多只有一个实根；
当
时，令
，可得
，
易知
，且
在
上单调递减，在
单调递增，
故当
且
时，
；
又
，
故
，
则由零点存在性定理知
，故
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然
后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.
但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，
以不变应万变才是制胜法宝.
5．（2025·上海虹口·一模）若每一项均为正数的数列
的前
项和为
，若对于任意的正整数
，均存
在正整数
使得
，则称
具有“
性质”．对于以下两个命题，说法正确的是（ ）
①存在等比数列
，使得
具有“
性质”；
②若
具有“
性质”，记
且
为等差数列，则
．
A．①和②都为真命题
B．①和②都为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【答案】A
【分析】对于①，举出实例
即可验证；对于②，先得到
，
为常数列，依次类推可
得，当
时，每一个
的最大值为
，求和可得
.
【详解】对于①，因为数列
每一项均为正数，故
，
又对于任意的正整数
，均存在正整数
使得
，
故存在正整数
使得
，即
，
设
，则
，
其中
，故
，
解得
，
当
时，取
，满足要求，
对任意的正整数
，均存在正整数
，使得上式成立，
具有“
性质”，故存在等比数列
，使得
具有“
性质”；①正确；
对于②，当
时，
，故
只能等于1，即
，
当
时，
，故
只能等于1，即
，
，
为等差数列，故公差为
，所以
，
假设
，则当
时，
，这与
矛盾，
故
，所以
为常数列，
易知
，若
，则
，舍去，
若
，则
，令
可得
，
同理易知
，若
，则
，舍去，
所以
，
，令
，可得
，
或
，令
，可得
，
同理
，
可得
或
，
或
可得
，或
可得
，
依次类推可得，当
时，每一个
的最大值为
，
当
时，
，②正确.
故选：A
6．（2025·江西新余·模拟预测）在空间中，我们把点集
表示的曲面
称为
圆柱面，借助比利时数学家Dandelin 的思想我们不难发现：任意不与
轴平行或垂直的平面与
截成的封
闭曲线为椭圆．设圆柱面
，高不平行于坐标面的正四棱锥
的五个顶
点均在
上，则其体积的最小值为：（ ）（注：若正方形
的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这
个正方形可以被唯一确定）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用题意结合给定定义得到椭圆方程，进而求出底面面积，最后利用棱锥的体积公式表示出体积，
再利用导数求解最小值即可.
【详解】由题意可知圆柱面的半径为1，如图，截得的椭圆半短轴长即为圆柱面的半径1．
对半轴长：在
中，必能找到
与平面垂直，所以
，
设
．则由几何关系得
，故椭圆方程为
，
如图，椭圆有唯一内接正方形，故令
，得到
，
故底面面积为
，
，则
，
．
则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
故
，故D 正确.
故选：D．
7．（2025·河南·三模）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线
段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上
两点的线段中最短的一条．如图，在四面体ABCD 中，AD 是异面直线AB 和CD 的公垂线段，r 为四面体
ABCD 的内切球半径，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据等体积法得
，然后根据公垂线段的定义得
，
，进而
，再将四面体补全成直三棱柱，可得
，然后化简不等式即可得解.
【详解】设四面体ABCD 的体积为V，表面积为S，则根据等体积法得
．
又
，由于AD 是异面直线AB 和CD 的公垂线段，
所以
，
，
所以
，则
，
将四面体补全成直三棱柱，可得
，
所以
，整理得
.
故选：A
8．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数
的定义域为
，若存在实数
，使得对于任意
，
都有
，则称
为＂
严格增函数＂，对于＂
严格增函数＂，有以下四个结论：
①＂
－严格增函数＂
一定在
上严格增；
②＂
－严格增函数＂
一定是＂
－严格增函数＂（其中
，且
）
③函数
是＂
严格增函数＂（其中
表示不大于
的最大整数）
④函数
不是＂
严格增函数＂（其中
表示不大于
的最大整数）
其中，正确的结论个数有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得
，即
是周期为1 的
周期函数，利用周期性并讨论
、
且
判断④.
【详解】①，对于
，定义域为R，
存在
，对于任意
，都有
，
但
在
上不单调递增，错误．
②，
是＂
严格增函数＂，存在
，对任意
，都有
，
因为
，所以
，故
，
即存在实数
，使得对任意
，都有
，
所以
是＂
严格增函数＂，正确．
③，
，定义域为
，当
时，对任意的
，都有
，
即
，所以函数
，＂
严格增函数＂，正确．
④，对于函数
，
，
所以
是周期为1 的周期函数，
，
若
，则
，不符合题意．
因为
的周期为1，故不妨设
，
设
，则
，
而
，此时
，矛盾；
所以函数
不是＂
严格增函数＂，正确．
故选：C
9．（2025·湖北宜昌·二模）设
是函数
的一个零点.记
，其中
表示不超过
的最大整数，设数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】判断
的正负，再根据
单调性和零点存在性定理可判断
的范围，再分n 为奇
数和偶数讨论
的取值即可.
【详解】
，则函数
在
上为增函数，
因为
，
，
由零点存在定理可得
，则
，
当
为正奇数时，设
，则
，则
，
当
为正偶数时，设
，则
，则
，
所以，
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛，本题的关键是求出零点的范围，将奇数设为
，偶数设为
求解.
10．（2025·上海奉贤·二模）函数
的导函数为
，若存在实数
，使得
成
立，则称函数
具有
性质，下列函数
具有
性质的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证
是否成立即可得出结果.根据指数的运
算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程
的根可判断选项C；根据题意令
，整理得
，分正负分析，并
结合放缩法可知此方程无解，从而否定D.
【详解】对于选项A：因为函数
的导函数为
，所以
，
故选项A 错误；
对于选项B：因为函数
的导函数为
，
所以
，
而
，
所以
，
，故选项B 错误；
对于选项C：因为函数
的导函数为
，
所以
.
令
，解得：
，
，
即存在实数
，使得
成立，
所以函数
具有
性质，故选项C 正确；
对于选项D：因为函数
的导函数为
，
所以
.
令
，显然
，化简得：
.
下面证明方程
（*）无解.
当
时
，
，方程（*）无解
当
时，
，而
：
令
，
，
则
，所以
单调递减.
又因为
，所以
，即
，所以
.
综上，方程(*)无解.
所以不存在实数
，使得
成立，故选项D 错误.
故选：C.
二、多选题
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义集合
且
，集合
中元素的个数为
.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
成立
D．记
表示不超过
的最大整数，且
，则
.
【答案】ABD
【分析】直接利用给定定义
，进而求出符合条件的数字为
判断A，找到被
3 整除，被2 整除，被6 整除的数字个数，进而得到
判断B，先假设等式
成立，
再找出左右两侧的矛盾判断C，对
的情况进行讨论，结合放缩法判断D 即可.
【详解】对于
，
在不大于16 的所有正整数中，即不能被3 整除又不能被4 整除的数有
，
，故A 正确；
因为在不大于
的所有正整数中，
能被3 整除的有
个，被2 整除的有
个，被6 整除的有
个，
所以
，故B 正确
若
，则
，即
，
，
，
等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾，
故不存在
，使得
成立；故C 错误；
当
时
，
当
时，
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，则
，故D 正确.
故选：ABD
12．（2025·福建福州·三模）若非空实数集
中存在最大元素
和最小元素
，则定义
.据
此，下列命题中不正确的是（ ）
A．若
，
，且
，则
B．若
，且
，则对任意
，都有
C．若
，
，则存在实数
，使得
D．若
，
，则对任意的实数
，总存在实数
，使得
【答案】ABC
【分析】对于选项A，首先根据题意求出
，然后求出
，即可得到
的值；对于选项B，可找出
反例证明选项B 错误；对于选项C，讨论
的不同范围下，
的不同范围；令
，即可验证选项D
的正确性.
【详解】A 选项，由
，
，可得
，
，因为
，所以
，
，故A 错误；
B 选项，例如：
，
，满足
，但是
并不都大于等于
，故B 错误；
C 选项，由
，
，
当
，即
时，
；
当
时，可得
；
当
时，可得
；
当
时，可得
，所以不存在实数a，使得
，故C 错误；
D 选项，由
，
，取
，可得
，对任意实数a，总存
在b 使之成立，故D 正确.
故选：ABC.
13．（2025·山西·二模）记
表示
个元素的有限集合，
表示非空数集
中所有元素的和.若集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的最小值为14
【答案】ABD
【分析】根据所给定义判断A、B，依题意可得
，再由等差数列求和公式判断C，
依题意可得
，由等差数列求和公式求出
，即可判断D.
【详解】对于A：由题可知
，故A 正确；
对于B：由
，知
的所有可能为：
，
则
分别为
，所以
，故B 正确；
对于C：因为
，
所以
，所以
，故C 错误；
对于D：因为
，所以
，
所以
，
又当
时，
，当
时，
，
所以满足
的
的最小值为
，故D 正确.
故选：ABD
14．（2025·甘肃武威·模拟预测）对于定义域关于原点对称的函数
，称“
”为
的奇分解函数，“
”为
的偶分解函数，则（ ）
A．奇分解函数
为奇函数，偶分解函数
为偶函数
B．函数
的奇分解函数为
C．函数
的偶分解函数为
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性结合函数新定义可判断A；由函数新定义结合余弦诱导公式可判断B、C；利
用偶函数的性质和裂项相消法可判断D.
【详解】对于A，因为
，
所以
为奇函数，
因为
，
所以
为偶函数，故A 正确；
对于B，
的奇分解函数为
，故B 正确；
对于C，
的偶分解函数为
，故C
错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：ABD.
15．（2025·江西景德镇·三模）
表示不超过
的最大整数，已知
，函数
满足
，
，且当
时，
单调递增，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为周期函数
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【分析】A 选项利用条件
，令
取特殊值即可求解；B 选项列举出一个符合已知条件的
函数，但不是周期函数进行判断；C 选项利用条件
，将
时的性质转化为
即可进行判断；D 选项借助图象进行判断.
【详解】对于A 选项，∵
，令
，则
，∴
，
当
时，
，∴
，故A 正确；
对于B 选项，当
时符合题意，但
不为周期函数，故B 错误；
对于C 选项，∵当
时，
单调递增，且
，
∴当
时，
，
∴当
时，
，故C 正确；
对于D 选项，如图为函数
当
时的部分图象，显然该函数符合题意，
但
，故D 错误.
故选：AC.
16．（2025·陕西安康·模拟预测）定义：已知数列
的前n 项和
，若
，
，使得
，则称数列
为
分解数列．基于上述事实，则（ ）
A．若数列
为非零常数列，则数列
不可能为
分解数列
B．若
，则数列
为
分解数列
C．若首项为1 的非常数列
为
分解数列，则
D．若首项为2 的非常数列
为
分解数列，则数列
的前n 项和小于1
【答案】ACD
【分析】根据数列新定义，结合
及等比数列通项公式，应用裂项相消法计算判断各个选
项即可.
【详解】若数列
为非零常数列，则
，
，两式不相等，所以数列
不
可能为
分解数列，A 选项正确；
若
，当
，所以当
，所以
，
所以
，
当
，左边为
，右边为
不相等，B 选项错误；
因为首项为1 的非常数列
为
分解数列，则
，所以
，
，C 选项正确；
因为首项为2 的非常数列
为
分解数列，则
，所以
，
，
所以数列
的前n 项和
，D 选项正确；
故选：ACD.
17．（2025·湖南岳阳·三模）已知有穷数列
的通项公式为
，其项数不少于4 项，从
中选取
项组成数列
，数列
满足
，
，则（ ）
A．数列
是单调数列
B．当
时，
C．当
时，
D．数列
的个数为
【答案】BCD
【分析】根据已知条件以及数列的性质对选项逐一判断.
【详解】因为数列
满足
，即
必须在
和
之间，
无法满足单调性，所以A 错误；
对于B，当
时，
各项大小关系为：
；
或者
从而
或
，
故
，B 正确；
当
时，同B 的分析可得：
或：
，
而
各项均为正整数，故
，C 正确；
从
项中选
项有
种方式，由BC 的分析可得：
当
时，
各项的排列次序唯一确定，且
为所有项中的最大项，
为所有项中的最小项，
为余下项的最大项，
为余下项中的最小值，
类似确定；
当
时，同理可得
各项的排列次序唯一确定；
故数列
的个数为
，D 正确.
故选：BCD.
18．（2025·山东聊城·三模）对于数列
，设区间
内偶数的个数为
，则称数列
为
的“
数列”，则（ ）
A．若数列
是数列
的“
数列”，则
B．若数列
是数列
的“
数列”，则
是常数列
C．若数列
是数列
的“
数列”，则
是等比数列
D．若数列
是数列
的“
数列”，则数列
的前项的和为
【答案】ACD
【分析】根据数列新定义，结合常数列，等差数列，等比数列及错位相减法即可分别判断各个选项．
【详解】对于A，由题意得，在区间
内偶数有13 个，故
，故A 正确；
对于B，设
，在区间
内最大的偶数为
，
所以共有
个偶数，则
，不为常数列，故B 错误；
对于C，
，在区间
内最大的偶数为
，
所以共有
个偶数，则
，为等比数列，故C 正确；
对于D，由C 得，
，设前
项和为
，
则
，
，
两式相减得，
，故D 正确；
故选：ACD．
19．（2025·海南·模拟预测）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694 年，雅各布·伯
努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线
则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利
双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C 上的点
满足到两个定点
，
的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点
在C 上，则
C．点N 在椭圆
上，若
，则
D．过
作x 轴的垂线交C 于A，B 两点，则
【答案】ACD
【分析】根据题目给的伯努利双纽线的概念，结合圆锥曲线中的焦点概念，直线与圆锥曲线的关系，分别
判断各选项的正误.
【详解】由题意，
，即
，
对于A，因曲线
过原点
，将
代入，解得
，故A 正确；
对于B，由点
在
上，得
，
化简得
，解得
，故
错误；
对于
，椭圆
的焦点坐标恰好为
与
，则
，
由
，得：
，
则
，
，故C 正确；
对于D，设
，则
，而
，则
，
又根据勾股定理得
，则
，化简得
，
解得
，因此
，故D 正确；
故选：ACD．
20．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，若
，
，则称“
”
为M，N 两点的“曼哈顿距离”，若动点E 到两定点
，
的“曼哈顿距离”之和为定
值
，则称点E 的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P 为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（ ）
A．
的周长为
B．
面积的最大值为
C．该“曼哈顿椭圆”的面积为
D．该“曼哈顿椭圆”的周长为
【答案】BCD
【分析】根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来，根据对称性研究第一象限及x 轴和y
轴非负半轴上点的轨迹，直接去绝对值符号画图象即可逐项判断求解.
【详解】设点P 的坐标为
，
则P，
两点的“曼哈顿距离”
，
，
两点的“曼哈顿距离”
，则
，
易得“曼哈顿椭圆”关于坐标原点
及坐标轴对称，可以先研究第一象限及x 轴和y 轴非负半轴上点的
轨迹，
，作曲线
，
根据对称性，可作出如图“曼哈顿椭圆”，则
，
，
，
对于A，B，当点
与
重合时，
的周长为
，
此时
的面积最大为
，故A 不正确，B 正确；
对于C，梯形
的面积为
，所以该“曼哈顿椭圆”的面积为
，故C
正确；
对于D,又
，
所以该“曼哈顿椭圆”的周长为
，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据“曼哈顿距离”的定义，表示出“曼哈顿距离”，根据对称
性画出图象求解.
三、填空题
21．（2025·河南·一模）集合
，集合
，对任意
，有
，则集
合M 中元素个数的最大值是 .
【答案】51
【分析】由题意，要使
中元素的个数最大，则
，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素与
集合
的关系，确定
的元素个数及集合
的可能情况，即可得.
【详解】要使
中元素的个数最大，且
，有
，必有
，
此时其余元素分组为
、
、
、
，共有50 组，
注意每组的两个元素必不能同时出现在集合
（因为它们的和为
），
所以，要使
中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50 组中共取50 个元素，
由抽屉原理知，不可能从50 组中取51 个元素，否则必有两个元素的和为
，不满足
，
综上，
中元素的个数最大为51 个，
如
、
均符合，元素个数为
.
故答案为：51
22．（2025·上海闵行·一模）已知集合
，
；如果存在
，对于属于
且不属于任意
（
）的所有元素
，都有
成立，则
的取值范围是
【答案】
【分析】根据题目得到
，构造函数
利用导数分析单调性，求出
，从而得到
【详解】因为
所以
，
，设
则
，
令
，
所以
在
单调递增， 在
单调递减；
，
故
故答案为：
23．（2025·湖南·三模）已知集合
且
中至少含有2 个元素，若对于
中的任意两个不同元素
，
都有
，则称
具有性质
，若
，且同时具有性质
和
，则
中至多
有 个元素.
【答案】921
【分析】根据集合具有的性质
和
，通过对数字进行合理分组，找出满足条件的元素个数的最大
值.
【详解】先说明连续11 项中集合
中最多选取5 项，
以
为例.
构造抽屉
，
，
，
，
，
，
.
①
同时选，因为具有性质
和
，
所以选5 则不选
；选6 则不选
；选7 则不选
；
则只剩
，故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
②
选2 个，
若只选
，则
不可选，又
只能选一个元素，
可以选，故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
若选
，则只能从
中选，但
不能同时选，
故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
若选
，则
不可选，又
只能选一个元素，
可以选，故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
③
中只选1 个，
又四个集合
，
，
，
每个集合至多选1 个元素，
故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
由上述①②③可知，连续11 项自然数中属于集合
的元素至多只有5 个，
如取
.
因为
，则把每11 个连续自然数分组，前184 组每组至多选取5 项，余一个数2025.
给出如下选取方法：从
中选取
；
然后在这5 个数的基础上每次累加11，构造184 次.
此时集合
的元素为：
；
；
；
；
，共
个元素，而取
也满足题意，
经检验可得该集合符合要求，故集合
的元素最多有
个.
故答案为：921.
24．（2025·山西临汾·三模）已知集合
，其中
，
，
．
表示
中所有不同值的个数．若集合
，则
；若集合
，
则
．
【答案】 5
【分析】（1）直接利用定义把集合
中的元素代入即可求出
；
（2）先由
最多有
个值，可得
；再利用定义推得所有
的值两两不同，即可证明结论．
【详解】由
，得
；
∵
最多有
个值，
∴
，
又集合
，任取
，
，
当
时，不妨设
，则
，
即
，
当
时，
，
∴当且仅当
时，
，
即所有
的值两两不同，
∴
．
故答案为：5；
25．（2025·湖北·模拟预测）设数列
满足
，
，其中
表示不超过x 的最大整数，
则
；
.
【答案】 65 9173
【分析】若
，其中
，则
，则对
，
，即
，若
，则
，即
即可求解.
【详解】由
，得
.
同理可得
，
，
，
，
，
，
，
.
若
，其中
，则
.
则对
，
，
即
.①
若
，则
.则由①知
.②
由
，结合②知
，
，
，
，
.
再由①知
.
故答案为：65；9173.
26．（2025·山东日照·二模）定义在区间D 上的函数
，若存在正数K，对任意的
，不等
式
恒成立，则称函数
在区间D 上满足K-条件．若函数
在区间
上满足K-条件，则K 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出
在区间
的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K 的取值范围，
即可求出K 的最小值.
【详解】因为
，
令
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
在
上恒成立，
所以
，则
在
上单调递增，
设
，所以
，
若函数
在区间
上满足K-条件
因此
对任意
恒成立，
所以
对任意
恒成立，
则
对任意
恒成立，
令
，所以
在
上单调递减，
在
恒成立，所以
，
又因为
在
上单调递减，
.
所以
，所以K 的最小值为
.
故答案为：
.
27．（2025·北京海淀·三模）设数列
的前n 项的和为
，若对任意的
，都有
，则称数列
为“超神数列”，下列命题中，正确的有 ．
①存在递增数列
，使得它是“超神数列”；
②存在周期数列
，使得它是“超神数列”；
③存在等差数列
，使得它是“超神数列”；
④若
为等比数列，对于任意
，存在
，使得
为超神数列．
【答案】①②④
【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，可分类讨论公差的
的3 种情况来判断；对于④，设等比数
列首项为
，公差为
，求出
，作差后对
分奇偶分析即可确定.
【详解】对于①，当
时，
，
，
，即
，故①正确；
对于②，当周期数列
为
，周期为2，对任意的
，都有
，故②正确；
对于③设等差数列首项为
，公差为
，则
，
，
，对任意的
恒成立，
当
，
是开口向上的二次函数，
当
，故不符合题意；
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，也不符合题意；
综上，不存在等差数列
，使得它是“超神数列”，故③错误；
对于④，设等比数列首项为
，公差为
，
，
，
当
为奇数时，
，则
，要使
，
所以
就符合题意；
当
为偶数时，
，
，
又
，
，所以
，即
，
综上，当
，对于任意
，存在
，使得
为超神数列，故④正确.
故答案为：①②④
28．（2025·甘肃白银·三模）若数列
是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列
是“
项优待数列”.若等差数列
是“
项优待数列”，
，则
.
【答案】
【分析】根据等差数列分
，
两种情况讨论，再结合等差数列求和公式计算求解通项.
【详解】设等差数列
的公差为
，
，则
①，
②，
所以
，所以
，所以
，所以
，
当
时，由①②，得
，所以
，即
，
由
，得
，即
，所以
，
，
，
当
时，同理可得
，即
，由
，得
，即
，
所以
，
，
.
综上，
.
故答案为：
29．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）互素是指两个自然数a 和b 的最大公因数为1．欧拉函数
表示不大于
且与n 互素的正整数个数，若数列
满足
，且数列
的前n 项和为
，则满足
的n 的最大值为 ．
【答案】10
【分析】根据定义得
，应用等比数列的前n 项和公式有
，再由不等式能成立求n 的最大值.
【详解】因为正偶数与
不互素，正奇数与
互素，
所以不大于
且与
互素的正整数为所有不超过
的正奇数，
所以
，则
，
令
，解得
，所以n 的最大值为10．
故答案为：10
30．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知
表示不超过
的最大整数，记
，设
，且
，当
时，所有满足条件的n 的和等于 .
【答案】341381
【分析】先考虑
时满足
的
的值的情况，列举分析得出满足题意的
可以表示
为
的形式，根据
确定所有满足条件的
构成等差数列，利用等差数列的求和公
式即可.
【详解】由于分母
的最小公倍数为6，故可先考虑
时满足
的
的值的情况.
当
时，
，不满足；
当
时，
，不满足；
当
时，
，不满足；
当
时，
,不满足；
当
时，
，满足；
当
时，
，不满足.
综上，满足题意的
可以表示为
的形式，
由
，可得
，
，
即所有满足条件的
构成等差数列，其首项为5，末项为2021，项数为337，
故当
时，所有满足条件的n 的和等于
.
故答案为：341381.
四、解答题
31．（2025·湖北武汉·三模）已知
为有穷正整数数列，且
，集合
.
若存在
，使得
，则称为
可表数，称集合
为
可表集.
(1)若
，判定31，1024 是否为
可表数，并说明理由；
(2)若
，证明：
；
(3)设
，若
，求
的最小值.
【答案】(1)31 是，1024 不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)8
【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可；
（2）根据定义判定
则有
，从而可知
，利用集合间的基本关系得出
中最
多有
个元素，解不等式即可证明；
（3）利用第二问的结论可设
，有
，然后利用定义先证
为
可表数，
再根据三进制的基本事实确定k 的最小值为满足
成立的m，代入
求m 即可.
【详解】（1）31 是，1024 不是，理由如下：
由题意可知
，
当
时，有
，
显然若
时，
，
而
，
故31 是
可表数，1024 不是
可表数；
（2）由题意可知若
，即
，
设
，即
使得
，
所以
，且
成立，故
，
所以若
，则
，
即
中的元素个数不能超过
中的元素，
对于确定的
中最多有
个元素，
所以
；
当
时，
，我们取
依次为
时，易知等
号成立.
（3）由题意可设
，使
，
又
，
所以
，即
，
而
，
即当
时，取
时，
为
可表数，
因为
，
由三进制的基本事实可知，对任意的
，存在
，，
使
，
所以
，
令
，则有
，
设
，
由
的任意性，对任意的
，
都有
，
又因为
，所以对于任意的
为
可表数，
综上，可知
的最小值为
，其中
满足
，
又当
时，
，
所以
的最小值为8.
32．（2025·安徽蚌埠·三模）已知集合
，对于给定的正整数a，将集合M 中的所
有元素按从小到大的顺序构成一个数列
．
(1)若
，写出所有的集合M；
(2)当
时，若
构成等比数列，求证：数列
是等比数列；
(3)当
时，记
，求证：
．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）按照集合
的定义即可得解；
（2）结合集合
的性质以及等比数列的定义即可得证；
（3）由题意
，通过放缩裂项求和即可得证.
【详解】（1）当
时，
；当
时，
；
当
时，
．
（2）由题意，
，
则
，
化简得，
，
由
，所以
，即
是完全平方数，
设
，则
，而
，所以
，即
，
所以
构成首项为
，公比为
的等比数列，
则
，
所以
，
即
，
所以
，经检验，当
时也成立，
故
，则
，数列
是等比数列．
（3）由题意，
，
则
，
而
，
所以
，
而
，所以
．
33．（2025·安徽·模拟预测）对于非空数集，
，若
，则称数集具有性质
.
(1)若数集具有性质
，证明：
；判断
，
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
满足①
；②
，当
时，都有
.
（i）判断“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质
且
，
，求数集
具有性质
的概率.
【答案】(1)证明见解析；
具有性质
；
不具有性质
.
(2)（i）是，理由见解析；（ii）
.
【分析】（1）令
，由集合新定义可证明；由集合新定义判断可得；
（2）（i）由等差数列的性质结合集合新定义证明可得；
（ii）由等差数列的性质得到数列
的通项，再结合集合新定义分集合中元素的个数讨论，最后由古典
概率计算可得.
【详解】（1）令
，则
，又数集具有性质
，即
，所以
.
，所以
具有性质
；
，所以
，所以
不具有性质
.
（2）（i）“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件.
先证明必要性：由题知，数列
单调递增，当其为等差数列时，设公差为
，则
，
则
，显然
，所以数集具有性质
.
再证明充分性：显然
，其中
，有
个元素，
，
，
又
，数集具有性质
，即
，
则
，所以
，
所以
，又
，
所以数列
是以0 为首项，
为公差的等差数列.
综上，“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件.
（ii）由（i）知数列
是以0 为首项，
为公差的等差数列，即
，
由
知
，共有11 个元素，子集数为
个，
，当
中只有一个元素，且具有性质
时，
，共1 个；
当
中元素个数大于等于2，且具有性质
时，记
，
结合（i），
当
时，则
，
，共10 个；
当
时，则
，
，共5 个；
当
时，则
，
，共3 个；
当
时，则
，
，共2 个；
当
时，则
，
，共2 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
当
时，则
，共1 个；
综上，具有性质
的集合
共有28 个，所以数集
具有性质
的概率为
.
34．（2025·北京海淀·三模）设
和M 均为正整数，
是两两不同的M 元集合组成的集合
序列，若存在
，使得
，就称Q 中存在“三叶草”，并称
为Q 中的一片三叶草．
(1)若
，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草：
，
；
(2)若
满足
，其中
，
，证明：Q 中不存在三叶草；
(3)若
，其中
，证明：Q 中一定存在三叶草．
【答案】(1)
存在三叶草，
；
不存在三叶草.
(2)证明过程详见解析
(3)证明过程详见解析
【分析】（1）先找到有共同元素的三个集合，再验证即可得到答案.
（2）每个
可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值,然后再研究
存在三叶草时，各个维度的
坐标需满足的条件，然后用反证法证明.
（3）需要证明当集合数量足够大时，必然存在三叶草，这里可以用鸽巢原理和集合的对称性来证明.
【详解】（1）对于
，检查是否存在三个集合使得两两交集相等；
选取三个集合
，
，
，发现交集分别为
，
，
，不满足.
再尝试其他组合，第1，2，5 个集合
，
，
，
它们的交集均为
，因此
存在三叶草
.
对于
，由于每个元素仅出现在两个集合中，无法找到三个集合共享同一元素，故不存在三叶草.
（2）给定
，其中：
，
，
，
；
每个
可以看作一个四维向量，每个维度有固定的取值.
我们需要证明不存在三个集合
使得它们两两的交集相同，
假设
存在三叶草，则需要满足
意味着：
和
在相同维度上取值相同;
和
在相同维度上取值相同;
和
在相同维度上取值相同;
这意味着
在所有维度上的相同性必须一致,
换句话说，对于每个维度，要么三个集合在该维度的取值都相同，要么两两不同;
由于每个维度只有 2 种取值，三个集合在某个维度上的取值只能是：全部相同（如
）;
或者两两不同（如
），但这是不可能的，因为每个维度只有 2 种取值;
因此，三个集合在每个维度上的取值必须相同,
这意味着
，但题目要求集合两两不同，矛盾.
因此，
不存在三叶草.
（3）固定一个集合
，考虑其他集合
与
的交集
，
的子集有
种可能，因此
有
种可能；
对于每个
，定义
，
下面介绍一下鸽巢原理，又叫抽屉原理，
它指的是一个简单事实，如果鸽子的数量比巢穴的数量多，那么至少要有1 个鸽巢被两只或多只鸽子占据，
即若有
个鸽巢，
个鸽子，则至少有1 个巢内有至少2 个鸽子，
至少数公式：当鸽子数不能被鸽巢数整除时，至少有一个鸽巢中会有（商+1）个鸽子，
另外，规定当
，
为整数时，
，当
时，
，
其中
，由鸽巢原理（相当于
只鸽子飞回
个巢），
可知存在至少
个
使得
相同，
当
时，由
是两两不同的一元集合组成的集合序列，
可得
,所以存在三叶草.
当
时，至少存在2 个
使得
相同，假设为
，
则
，同理
对于集合
也是如此，即
,
对于集合
也是如此，即
,
对于集合
也是如此，即
,
找到三个集合
满足
.
当
时，
中一定存在三叶草.
35．（2025·四川德阳·一模）关于在
可导的函数
，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：
的导数
在
单调递增
在
是凹函数；
的导数
在
单调递减
在
是凸函数.已知
在
是凸函数，在
是凹函数；
.
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若
在
是凸函数，求实数
的取值范围；
(3)若
在
及
是凸函数，在
是凹函数；且
在
单调递增，在
上单
调递减，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意和导数几何意义依次求出切点和切线斜率即可求解；
（2）令
，由
求出参数m，令
，将题设问题等价转化为
在
上
恒成立，再化简消参得到
在
上恒成立，设
，求出
即可得解；
（3）先将题设问题等价转化为
的有两个变号零点为
，接着利用导数工具研究函数
的单调性，
分析得到
和
，接着分析
时
恒成立得到
即可分析求证
.
【详解】（1）依题意
，
，
所以切点为
，切线斜率为
，
所以
在
处的切线方程为
；
（2）令
，则
，
所以依题意
，
所以
，
.
则
，若
在
是凸函数，
则
在R 上单调递减，令
，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，即
，
，所以
时
，
时
，
于是
在
上单调递增，在
上单调递减，
于是
；
（3）由（2）
，
由题
在
和
上单调递减，在
上单调递增，则
的有两个变号零点为
，
又
时，
单调递增，此时至多只有一个零点，不符合题意；
另外由（2）知
时，
单调，不符合题意，于是
，
令
为减函数，
令
，
所以
时
，
时
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
注意到
，
，
而
，
，
时，
，于是有
，
此时
，即
，
所以
，
又
时，
，
时，
，
时，
，
即
在
，
上单调递减，在
上单调递增，而
，
又
时，
，
时，
，
时，
，
又
时，
，于是只能有
，
即
时，
恒成立，这只需
，
于是
.
36．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．
帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m 次多项式，分母是n 次多项式，那么得到的就是
阶的帕德
逼近，记作
．一般地，函数
在
处的
阶帕德逼近定义为：
，且满足
，
，
，…，
．注：
，
，
，
，…
已知
在
处的
阶帕德近似
．
(1)求
的解析式；
(2)已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，当
时，比较
与0 的
大小；
(3)已知
在
处的
阶帕德近似
，若对任意
，
都成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由
，
，
，解方程，可以求出
，从而可求出
.
（2）根据帕德逼近定义与对称变换，可把题目转化成
与0 的比较大小的问题，对
求
导，可解决问题.
（3）由帕德逼近定义，可以把第三问转化成不等式恒成立问题，用“端点效应”可解决问题.
【详解】（1）对于函数
，其在
处的
阶帕德逼近为
，需满足：
，
，
；
计算
的导数：
，
，故
，
，故
，
由
，得
；
计算
的导数：
，
，
，故
，
，
，
故
，
因此，
.
（2）已知函数
与
的图象关于直线
对称，
故
是
的反函数，即
.
由（1）知
，则：
，
（当
），
令
；
其中定义域为
，
，
，又
对任意
成立，
在
上单调递减，又
，
因此：当
时，
；
当
时，
.
（3）由帕德逼近定义，需匹配至四阶导数：
，
，
，
，
，
代入
，得
，
，故
，且
，
；
不等式为
，代入得，
对任意
成立，
定义函数
（
)，需
，
，
，
，
，
，
必要条件：
，
当
时，
对
成立；
当
时，存在
使
；
故实数
的取值范围为
.
【点睛】关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
37．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于函数
，
为
的实数根，其中
，若存在
，使得
或者
，则称
为“攀登函数”.
(1)分析函数
是否为“攀登函数”；
(2)函数
为“攀登函数”，
（i）求
的取值范围；
（ii）当
时，设函数
，其中
，
表示
中的较大者，分析是否存在
，使得
为“攀登函数”，若存在，求出
的最大值，若不存
在，说明理由.
【答案】(1)是；
(2)（i）
；（ii）存在；.
【分析】（1）先求出函数
的实数根，再根据“攀登函数”的定义进行判断；
（2）（i）先求出
的实数根，通过求导分析函数
的单调性并得出大致图象，再结合
“攀登函数”的定义得出关于
的不等式，构造函数并求导分析单调性，结合最值可求出
的取值范围；
（ii）当
时，确定
的表达式，然后根据“攀登函数”的定义分析是否存在
使得
为“攀登
函数”.
【详解】（1）解方程：
，即
，得实根
，取
，
计算
，令
，得极值点
.
在区间
内，
，即存在
使得
，
因此
是攀登函数.
（2）（i）解方程
，即
，实根为
(
，因
，故
).
求导可得
，令
，解得
或
，
所以，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
又
，所以函数
的大致图象如图，
根据攀登函数定义，需存在
使得
或
.
取
，区间为
，
结合图象可知，因为
对
恒成立，所以对任意
，
，
故需存在
，使得
，则
即可，
又
，则有
，即
，
设函数
，
则
，所以
在
上单调递增，
又
，所以
时，
成立.
综上，
的取值范围是
.
（ii）当
时，
，解方程
得根
.
由
，
若
时，
只有两个根
，与方程至少有三个根矛盾，不合题意，
所以
，因为
,所以
，
若
，可得
只有两个根
，
因为
且
,
即存在
,使得
故
的最大值为.
38．（2025·陕西西安·模拟预测）若数列
满足
，
为给定的正数，则称
为“
有界数列”．
(1)若
，
，证明：
为
有界数列；
(2)设
，对
，均有
，求实数
的取值；
(3)设数列
是2－有界数列，
，且
，求
的最大可能值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）通过证明
时，
可完成证明；
（2）注意到
，然后分
，
，
，
四种情况，结合
正负性讨论可得答案.
（3）由题，为得到最大值，应让
中出现尽量多的
或
，据此可得答案.
【详解】（1）因
，则
，对于函数
，
，则
在
上单调递增，
，从而
.
则
，即
为
有界数列；
（2）
.
因
，又
，均有
，
则
，
，
因函数
在
上单调递减，则
，
又
满足题意，则
；
，
.
当
时，
为任意实数满足题意；
当
时，
，因函数
在
上单调递减，
则
，又
满足题意，则此时
；
当
时，
，因函数
在
上单调递减，
则
，则此时
.
综上可得：
（3）由题可得
，因
，为使
最大，
应让
中出现尽量多的
或
.
则容易想到可让
中有
个
，
个
，和个
，
此时
中包含
个
，1 个
，
.
39．（2025·海南·模拟预测）已知数列
，设
，其中
，且
．我们称
，
分别为数列
的前
项“均方差”和“邻方差”．
(1)若
，求
；
(2)设数列
是公差为
的等差数列．
（i）若
，证明：
；
（ii）若
，求
成立时
的取值范围．
参考公式：
．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）
是周期为3 的周期数列，代入“邻方差”公式即可求出
（2）（i）首先求出
，然后通过裂项可得
；
（ii）分别计算
和
，解关于n 的不等式即可.
【详解】（1）
，∴数列
为周期为3 的数列且
，
，
（2）（i）
，
，
.
(ii)
，
由
，解得
∴n 的取值范围为
40．（2025·辽宁大连·模拟预测）记数列
前k 项的最大值
依次构成一个新的数列
，称数列
为
的“生成子列”，数列
所有项组成的集合为A．
(1)已知数列
为7，6，5，8，求数列
；
(2)若
，且A 中恰有5 个元素，求实数a 的取值范围；
(3)若
，
的“生成子列”
的前n 项和为
，从
中任
取Y 个数，记其中能被2 整除且不能被4 整除的个数为X，
①若
，求X 的数学期望
；
②若
，求使
取得最大值时的m 值．
【答案】(1)7，7，7，8；
(2)
(3)①
；②答案见解析
【分析】（1）根据“生成子列”的定义即可求解；
（2）根据
中有5 个元素结合数列单调性及“生成子列”定义可得：
且
，从而可得参数的取
值范围.
（3）根据特殊角的三角函数结合“生成子列”的定义可得其通项，从而可求
，进一步可求得
以及
取得最大值时的m 值.
【详解】（1）当数列
为7，6，5，8 时，根据
定义有：
，所以数列
为：7，7，7，8；
（2）因为
，所以
，
由
得
当
时，数列
递增，当
时，数列
递减，
因为A 中有5 个元素，结合数列的单调性可知，
且
，即
，
解得
，所以a 的取值范围是
；
（3）由题意得
所以
，
所以
，能被4 整除，
，不能被2 整除，
，能被2 整除，不能被4 整除，
，不能被2 整除，
所以
中能被2 整除，但不能被4 整除的有n 个，
①法一：由题意
，所以
.
法二：X 的取值范围是
，
．
，所以
．
②
，令
得
即
解得
因为
，当
时，
或
时，
取得最大值
当
时，
时
取得最大值.
