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创新考法1 大学知识新定义题（小题狂练）
一．单选题.
【笛卡尔积 2024 年广东模拟预测】
1．对于非空数集
，定义
，将
称为“
与
的笛卡尔
积”．记非空数集
的元素个数为
，若
是两个非空数集，则
的最
小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【欧拉函数 原创】
2．欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数
，且与
互素（也称互质）的
正整数的个数，例如
，
，
．则（ ）
A．数列
单调
B．
C．数列
是等比数列
D．
【
亲近函数 2025 年吉林期末】
3．若定义域均为
的函数
，
满足：
，且
，使得
，则称
与
互为“
亲近函数”.已知
与
互为“
亲近函数”，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【斐波那契数列 原创】
4．我们把由0 和1 组成的数列称为0—1 数列，0—1 数列在计算机科学和信息技术领域有
着广泛应用，把斐波那契数列
中的奇数换成0，偶数换成1
可得到0—1 数列
，记数列
的前
项和为
，则
的值为（ ）
A．673
B．674
C．675
D．676
【泰勒级数 原创】
5．英国著名数学家布鲁克・泰勒（Brook Taylor）以微积分学中将函数展开成无穷级数的
定理著称于世．泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限项连加式来表示
一个函数，如：
，其中
．根据该展开式可知，与
的值最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【向量的广义坐标 2024 云南昆明模拟预测】
6．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景
和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学
中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来
简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题
的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量
，
是平面
内的一组基向量，O 为
内的定点．对于
内任意一点P，若
，则称有序实数对
为点P
的广义坐标．若点A，B 的广义坐标分别为
，
，关于下列命题正确的
（ ）
A．点
关于点O 的对称点不一定为
B．A，B 两点间的距离为
C．若向量
平行于向量
，则
的值不一定为0
D．若线段
的中点为C，则点C 的广义坐标为
【凹函数 2024 年广东广州检测】
7．丹麦数学家琴生(Jensen)是19 世纪对数学分析做出卓越贡献的人，特别是在函数的凸凹
性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数
在
上的导函数为
，
在
上的导函数为
，若在
上
恒成立，则称函数
在
上为“凹
函数”.已知
在
上为“凹函数”，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【费马小定理 2024 年河北沧州、泊头联考】
8．设
为非负整数，
为正整数，若
和
被
除得的余数相同，则称
和
对模
同
余，记为
．若
为质数，
为不能被
整除的正整数，则
，
这个定理是费马在1636 年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4 个
命题：
；②对于任意正整数
；③对于任意正整
数
；④对于任意正整数
．则所有的真命题为
（ ）
A．①③④
B．②③④
C．①②③
D．①②④
【阿基米德多面体 2025 年上黑龙江阶段测试】
9．半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边
形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切
截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点
满足
，则直线
与平面
所成角的正弦值（ ）
A．为定值
B．存在最大值，且最大值为1
C．为定值1
D．存在最小值，且最小值为
【集合论 2025 年上北京朝阳期中】
10．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记
为集合的元素
个数，
为集合的子集个数，若集合
满足：①
，
；②
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题.
【戴德金分割 2025 上山东聊城阶段测试】
11．由无理数引发的数学危机一直延续到19 世纪．直到1872 年，德国数学家戴德金从连
续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基
础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集
划分
为两个非空的子集
与
，且满足
，
，
中的每个元素都小于
中
的每个元素，称
为戴德金分割．下列结论正确的是（ ）
A．
是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割
，使得
有一个最大元素，
没有最小元素
C．存在一个戴德金分割
，使得
有一个最大元素，
有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割
，使得
没有最大元素，
也没有最小元素
【卡西尼卵形线 2025 年上广东阶段考试】
12．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设
和
且
，动点
满足
，动点
的轨迹显然是卡西尼卵形线，
记该卡西尼卵形线为曲线
，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线
的方程是
B．曲线
关于坐标轴对称
C．曲线
与
轴没有交点
D．
的面积不大于
【笛卡尔叶形线 2024 年重庆市联考】
13．数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D 在平面直角坐标系
中的
方程为
．当
时，以下四个结论正确的是（ ）
A．曲线D 经过第三象限
B．曲线D 关于直线
轴对称
C．对任意
，曲线D 与直线
一定有公共点
D．对任意
，曲线D 与直线
一定有公共点
【激励函数 2025 年宁夏内蒙古模拟预测】
14．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切
函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数
，双曲余弦函数
，双
曲正切函数
．则（ ）
A．双曲正弦函数是增函数
B．双曲余弦函数是增函数
C．双曲正切函数是增函数
D．
【阿基米德平衡法 2024 年江苏镇江丹阳高级中学阶段检测】
15．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形
（抛物线与其弦
所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形
的顶点C 在抛物线上，且在过弦
的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面
积的
.现已知直线
与抛物线
交于A，B 两点，且A 为第一象
限的点，E 在A 处的切线为l，线段
的中点为D，直线
轴所在的直线交E 于点
C，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B．切线l 的方程为
C．若
，则弦
对应的抛物线弓形面积大于
D．若分别取
的中点
，
，过
，
且垂直y 轴的直线分别交E 于
，
，则
【高斯函数 2025 年上湖北 期中】
16．高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数
（
表示不超过
的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列
的前
项和为
，且
，令
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【向量的叉乘 2024 全国专题练习】
17．定义：
两个向量的叉乘
的模
，则下列命题正确的是（
）
A．若平行四边形
的面积为4，则
B．在正
中，若
，则
C．若
，
，则
的最小值为12
D．若
，
，且
为单位向量，则
的值可能为
【球面三角学 2024 年江西三模】
18．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球
的半径为R，A，
B，
为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为
，设
表示以
为圆心，且过B，C 的圆，同
理，圆
的劣弧
的弧长分别记为
，曲面
（阴影部分）叫做曲面三角形，
，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC 与曲面
围成的封闭几何体
叫做球面三棱锥，记为球面
．设
，则下列结论正
确的是（ ）
A．若平面
是面积为
的等边三角形，则
B．若
，则
C．若
，则球面
的体积
D．若平面
为直角三角形，且
，则
【欧拉线】
19．瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，
这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若
满足
，顶点
，
，且其“欧拉线”与圆
相切，则下列结论正确的是（ ）
A．题中的“欧拉线”为方程：
B．圆M 上的点到直线
的最小距离为
C．若圆M 与圆
有公共点，则
D．若点
在圆M 上，则
的最大值是
【双曲函数 2025 上河北阶段测试】
20．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也
是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲
正弦函数的解析式为
，双曲余弦函数的解析式为
（其中
为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
为奇函数
C．若直线
与函数
和
的图象共有三个交点，这三个交点的横坐
标分别为
，则
D．若存在
，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围
为
三．填空题.
【黄金椭圆 2025 上广东佛山阶段测试】
21．椭圆
的离心率e 满足
，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若
是“黄金椭圆”，则
；“黄金椭圆”
两个焦点分别为
、
（
），P 为椭圆C 上的异
于顶点的任意一点，点M 是
的内心，连接PM 并延长交
于N，则
．
【拐点 2025 上天津期中】
22．对于三次函数
，定义：设
是函数
的函数
的导数，若
有实数解
，则称点
为函数
的“拐
点”；此时
的图象关于“拐点”对称. 已知函数
的“拐点”为
，则点
坐标为 ，
在点
的切线为
，若存在
，使不
等式
成立，则实数
的取值范围是 .
【切比雪夫多项式 2024 江苏南京第二十九中学模考】
23．以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）的名字命名的第一类切比雪
夫多项式
和第二类切比雪夫多项式
，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展
开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数学中的特殊函数．
有许多良好的结论，例如：①
，
，对于正整数
时，有
成立，②
，
成立．由上述结论可得
的数值为 ．
【
维向量 2025 上上海期中】
24．我们称
（
为正整数）元有序实数组
为
维向量，
为
该向量的范数.已知
维向量
，其中
，记范数为奇
数的
的个数为
，则
【凹数列 2025 年上重·阶段测试】
25．若数列
满足对任意
都有
，则称数列
为
上的“凹数
列”.已知
，若数列
为
上的“凹数列”，则实数
的取
值范围是 .
1.试题特点分析：新定义题目是通过给出新概念、新运算或新模型，创设全新的问题情景，
要求考生依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题
的目的.
2.解题方法阐述：首先要对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号等关键要素.其
次明确知识联系与加工，探求新定义与已学知识之间的联系，寻找解决方法和相近的知识
点，明确它们的相同点和相似点.
3.解题经验分享：第一、概念是解题的基础，只有准确把握新定义的内涵，才能进行后续
的解题步骤. 第二、与已知知识建立联系，这样可以借助已有的知识和解题经验来处理新
定义题.第三、识别关键信息，判断这些信息如何与新定义相结合.
