重难点培优01 集合、常用逻辑用语及其参数、新定义问题
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01 知识重构·重难梳理固根基.............................................................................................................1
02 题型精研·技巧通法提能力.............................................................................................................3
题型01 元素与集合关系及其参数问题（★★）...........................................................................................3
题型02 集合间的基本关系及其参数问题（★★★）...................................................................................5
题型03 集合的基本运算及其参数问题（★★★★）...................................................................................9
题型04 充分必要条件及其参数问题（★★★★）.....................................................................................14
题型05 全称量词与存在量词及其参数问题（★★）.................................................................................17
题型06 集合中新定义问题（★★★★）.....................................................................................................20
03 实战检测·分层突破验成效...........................................................................................................27
重难知识巩固......................................................................................................................................................27
创新能力提升......................................................................................................................................................41
知识重构·重难梳理固根基
知识点01 集合常用结论
1、常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
*
N 或
+
N
Z
Q
R
2、有限集的子集个数确定
如果集合A 中含有n 个元素，则有
（1）A 的子集的个数有2n个．
（2）A 的非空子集的个数有2n－1 个．
（3）A 的真子集的个数有2n－1 个．
（4）A 的非空真子集的个数有2n－2 个．
3、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围
对于两个集合
和
，
或
中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法：
（1）分类讨论：若
，在未指明
非空时，应分为
和
两种情况来讨论．
（2）数形结合：对
这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出
来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解．
4、集合的运算性质
（1）
，
，
．
（2）
，
，
．
（3）
，
，
．
（4）
．
（5）
,
．
5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的
交、并、补。如果用card 表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A 的元素个数，则有如下结
论：
（1）
（2）
知识点02 集合中的新定义问题
1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知
识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学
中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的
集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
4、集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”
哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答．
知识点03 从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q 以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A⊆B 可得，p 是q 的充分条件，
（1）若A
B，则p 是q 的充分不必要条件；
（2）若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
（3）若A
B，则p 是q 的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p 是q 的充要条件；
（5）若A⊈B 且A⊉B，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要
不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型精研·技巧通法提能力
题型01 元素与集合关系及其参数问题
【技巧通法·提分快招】
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧
（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.
（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.
（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.
（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
1．已知集合
，
，则集合
中的元素个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【分析】已知集合
，根据
，讨论得出
，从而得出集合
中的元素个数.
【详解】因为集合
，
又因为
，则：
当
时，
的可能取值为
，
当
时，
，
当
时，
的可能取值为
，
，
，
所以
，故集合
中的元素个数为7．
故选：C.
2．集合
的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．18
【答案】B
【分析】根据题意先求出
，进而求出
即可.
【详解】由题意有：
，又
，所以
，
所以
或
或
，
所以
，所以
中的元素个数为3 个，
故选：B.
3．（2026·江西·模拟预测）已知集合
，若
，则
（ ）
A．10 或18
B．
或
C．18
D．
【答案】B
【分析】分
，
两种情况结合题意讨论求解即可.
【详解】若
，则方程
只有一个解，
则
，得
，
所以
或
，此时
，
若
，则方程
有两相异实数解且是方程
的其中一个解，
则
，得
，
所以方程可化为
，则
，
；
综上，
或
.
4．设集合
，
，若
，则
的值为________．
【答案】
【分析】首先由集合元素的特征得
，再由集合相等分
和
两种情况解得.
【详解】由集合
，
，得
，
又因为
，则
或
，
当
时，
，
，
，
于是
，得
，因此
；
当
时，集合
，
，有
，则
，解得
与
矛盾，舍去.
因此
．
5．（2025·河南·一模）集合
，集合
，对任意
，有
，则集
合M 中元素个数的最大值是_____.
【答案】51
【分析】由题意，要使
中元素的个数最大，则
，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素与
集合
的关系，确定
的元素个数及集合
的可能情况，即可得.
【详解】要使
中元素的个数最大，且
，有
，必有
，
此时其余元素分组为
、
、
、
，共有50 组，
注意每组的两个元素必不能同时出现在集合
（因为它们的和为
），
所以，要使
中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50 组中共取50 个元素，
由抽屉原理知，不可能从50 组中取51 个元素，否则必有两个元素的和为
，不满足
，
综上，
中元素的个数最大为51 个，
如
、
均符合，元素个数为
.
故答案为：51
题型02 集合间的基本关系及其参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做
到不漏解.
①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互
异性.
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点
值能否取到.
2、集合的子集与真子集结论
（1）若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真
子集有
个．
（2）空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
（3）
．
1．（2026·陕西·二模）已知集合
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
所以
.
因为
，且
，
所以
，即实数
的取值范围是
.
2．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段检测）集合
，则满足
的集
合
的个数为（ ）
A．4
B．7
C．15
D．16
【答案】A
【分析】解不等式求出集合
，然后根据子集的概念求解．
【详解】
，
又
，
则满足
的集合
有：
，共4 个，
故选：A．
3．（2026·青海西宁·二模）已知集合
，若
，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出集合
，再利用集合间的关系，即可求解.
【详解】由
，得到
，解得
，则
,
又
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
又
，当
时，
，
当
时，
，
由
是任何集合的子集，可得
满足条件，
综上所述，
.
4．已知
，集合
有8 个子集，则
的一个值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】根据已知条件得出集合
中元素的个数，从而得出
的因数个数，即可求出
的值．
【详解】由题意得集合
中有8 个子集，
又
，
集合
中有三个元素，即
有三个正因数，
而在正整数中，恰有3 个正因数的数是质数的平方，
设
为质数，则
，此时正因数为
，
，
，则
或3，
的值可以为4 或9，故A 正确．
故选：A．
5．已知集合
，
，
，则M、N、P 的
关系满足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，将集合
中元素化为统一形式，进而判断各选项.
【详解】依题意，
，
，
所以对任意
，存在
使
，
令
，则
且
，所以
.
同理，对任意
，存在
使
，
令
，则
且
，所以
，综上，
.
，则
，
所以
的关系满足
.
故选：A
6．（24-25 高三上·河北·开学考试）已知
是三个集合，且满足
，则满
足条件的有序集合对
的总数是__________.（用数字作答）
【答案】1024
【分析】先求出集合
的子集的个数，从而根据题意可得集合
的个数，进而可得有序集合对
的总数.
【详解】集合
的子集共有
个，
因为
，
所以集合
有32 种情况，集合
有32 种情况，
所以满足条件的有序集合对
的总数是
.
故答案为：1024.
7．已知数列
是首项为
，公差为
的等差数列，集合
，则集合
的子集个数为
____．
【答案】
【分析】先根据等差数列的公式得到
的通项，再结合正弦型函数的周期，及集合元素的互异性得到集
合
，进而得到集合
的子集个数．
【详解】由题意得an=π
6 +π
3
(n−1)=π
3 n−π
6 ，
则
，所以其周期
，
又
，
，
，
，
，
，……
结合集合元素的互异性，得
，
即集合
有
个元素，故集合
的子集个数为
．
题型03 集合的基本运算及其参数问题（交并补）
【技巧通法·提分快招】
利用集合的运算求参数的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.
1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先通过解分式不等式得到集合A，再由对数函数的定义域求得集合B，然后取交集，最后在实数
范围内求补集即可得出结果.
【详解】化简集合
，分式不等式
等价于
，
整理得
，
解得
或
，即
，
化简集合
，对数函数
要求真数大于0，
即
，解得
，即
，
，
.
故选：A
2．已知
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过
，确定
满足的不等式，求解即可.
【详解】
，
可得
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
3．（2026·重庆·二模）已知集合
，
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】不等式
，即
，即
，
解得
，故
，
不等式
可化为
，即
，
解得
，故
，
所以
.
4．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知集合
为全集，集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】取
，可得出
，可判断A 选项；取
，可判断B 选项；根据
，可判断C 选项；根据
，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，则
、
均不为空集，
因为
，所以，当
时，则
，
又因为
为
的真子集，A 错；
对于B 选项，若
，则
，B 错；
对于C 选项，因为
，
所以，
，C 错；
对于D 选项，因为
，所以，
，D 对.
故选：D.
5．（25-26 高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合
，
．若
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简集合
，再分析
，利用
的性质，得
或
，要使
，需保证
补上
未覆盖的部分且无遗
漏，因此关键是让唯一的“漏洞点”
落在
内，即
，解得
．
【详解】
，
①当
时，
，
此时
，满足条件．
②当
时，
对所有
成立，所以
，
要使
，需要
（否则
会是一个不在
中的点），即
．
综上，
的取值范围是
．
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研
学参观、
技术培训类拓展课程．高三某班学生共有
人报名参加拓展课程，其中有
人报名参加劳
动实践，有
人报名参加研学参观，有
人报名参加
技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的
有
人，同时报名参加研学参观和
技术培训的有5 人，只参加
技术培训的人数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为
、只参加劳动实践
和
培训的人数为
，根据总人数列方程化简得
，再结合
培训的总人数，算出只参加
培训的人
数．
【详解】设类课程全参加的有
人，同时只参加劳动实践和
技术培训的有
人，
列出韦恩图，则
，
可得
，则只参加
技术培训的人数为
人．
7．（多选题）（2026·四川成都·模拟预测）已知集合
，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，
B．
，
C．当且仅当
时，
D．
，使得
【答案】AB
【分析】求直线交点坐标判断A；利用直线方程分析判断B；利用空集的定义，结合直线平行求解判断
C；利用两条直线重合分析求解D.
【详解】对于A，当
时，则
，
，
由
，解得
，因此
，A 正确；
对于B，直线
过定点
，
表示直线
上所有的点，因此
，B 正确；
对于C，
，若
，则
；若
，则直线
与直线
平行，且
，于是
，解得
，
因此当
或
时，
，C 错误；
对于D，若
，由选项C 知
，且
，无解，D 错误.
8．已知集合A＝
，
，若
，则实数a 的取值范围是________.
【答案】
【分析】通过解不等式化简集合
，利用集合间的关系可求实数a 的取值范围.
【详解】∵不等式
等价于
，
∴不等式的解集为
，即
，
∴
或
.
由
得，
，故
，
∵
，∴
，
∴
，解得
，即实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
9．（2026·安徽合肥·一模）已知集合
，
，同时满足
，
，则
___________．
【答案】
或
【分析】易知
，则
，即集合
中的元素互为倒数，由题意可求出集合
，进而确定集合
，
根据并集的运算即可求出答案．
【详解】设
，若
，又
，故
，此时
，与已知矛盾，
故
，所以
，得
，所以
，
即集合
中的元素互为倒数，
因为
，
所以存在
，使得
且
，解得
，
又因为
，
所以
或
，
若
，则
，则
；
若
，则
，则
.
综上所述，
或
．
题型04 充分必要条件及其参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、充分必要条件的判断
若p 以集合A 的形式出现,q 以集合B 的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则
(1)若A B,
⊆
则p 是q 的充分条件.
(2)若B A,
⊆
则p 是q 的必要条件.
(3)若A B,
⫋
则p 是q 的充分不必要条件.
(4)若B A,
⫋
则p 是q 的必要不充分条件.
(5)若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集,则p 是q 的既不充分也不必要条件.
2、参数问题
根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数的取值范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关
系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解.
1．已知直线
，则
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或2
【答案】B
【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可.
【详解】由
，
则
，
由
，
，解得：
.
故选：B
2．“
”是“
”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为幂函数
在定义域R 上单调递增，由
可得
，
因为指数函数
在定义域R 上单调递增，由
可得
，
所以由
推不出
，即充分性不成立；
由
可推出
，即必要性成立.
所以“
”是“
”成立的必要不充分条件.
3．（25-26 高三下·云南昭通·期中）“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由幂函数的性质可知，当
时，函数
在
上单调递增；
若函数
在
上单调递增，则
，不能推出
.
所以“
”是“函数
在
上单调递增”的充分不必要条件.
4．（2026·江苏扬州·三模）已知单位向量
，
，则
是“存在实数
，使得
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】已知
是单位向量，故
.
对
两边平方得
，
代入
，解得
.
由点积定义得
（
为两向量夹角），
得
，即
同向共线，存在
使
，充分性成立；
若存在
使
，由
，
得
. 当
时，
，此时
，必要性不成立.
因此
是“存在实数
，使得
”的充分不必要条件.
5．（2026·福建福州·三模）记
为等比数列
的前
项和，设甲：
为等差数列，乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【分析】根据等差性质、等比数列的性质，结合充分条件、必要条件的概念求解判断即可.
【详解】设等比数列
的公比为
，首项为
.
甲：
，
，
.
因为
为等差数列，所以
，即
，
整理得
，即
，所以
.
乙：
，
，
.
因为
为等差数列，所以
，即
，
整理得
，即
，解得
或
.
所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要条件；
综上，甲是乙的充分不必要条件.
6．已知
，
，若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
是
的必要不充分条件，可得
是
的真子集，再分
，
和
三种情况讨论，
求出集合
，根据集合的包含关系即可得解.
【详解】由
，得
或
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
是
的真子集，
当
时，
，符合题意；
当
时，
，
因为
是
的真子集，所以
，解得
；
当
时，
，
因为
是
的真子集，所以
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：C.
7．（25-26 高三上·上海嘉定·阶段检测）已知
，
，若
是
的充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
；
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，可求解不等式，即可将充分条件转化为集合的包含关系进
行求解.
【详解】由于
均为
内的单调递增函数，
故函数
为
内的单调递增函数，由于当
时，
，
故不等式
的解为
，
由于
是
的充分条件，所以
，故
，
故选：D
题型05 全称量词与存在量词及其参数问题
【技巧通法·提分快招】
1、全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧
（1）全称量词命题的真假判定:
要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立;但要判定全称量词命
题是假命题,只需举出集合M 中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
（2）存在量词命题的真假判定:
要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M 中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命
题就是假命题.
2、利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
（1）含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数
的最值问题.
（2）含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,最终借助根的判别式或函数
等相关知识来解决.
（3）根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范
围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题.
1．（2026·广西崇左·二模）已知命题
：
，
，命题
：
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【详解】由
，得
，即
，解得
.
方法二：由
，得
或
.
解得
.
所以
是假命题，
是真命题.
当
时，
显然成立，所以
是真命题，
是假命题.
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对每个选项逐一分析，找出特例或者反例验证选项即可.
【详解】选项A：要使
，则需要
，而
，所以为假命题；
选项B：所有，可找反例，取特殊值
，代入得
，此时
不成立，所以为假命题；
选项C：存在，符合即可，取
，代入得
成立，所以为真命题；
选项D：所有，可找反例，取特殊值
，代入得
，
，此时
不成
立，所以为假命题；
故选：C.
3．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】题意说明
：“
，
恒成立”是真命题，然后对
分类讨论可得.
【详解】命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则命题
：“
，
恒成立”是真命题，
时，不等式为
恒成立，满足题意，
时，则
，解得
，
综上，
的范围是
.
4．若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】原全称命题“
”为假命题，
则其否定“
”为真命题，即方程
在
上有解，
的取值范围就是函数
在
上的值域.
，这是开口向上，对称轴为
的二次函数，
.
则最小值在
处取得：
；最大值在端点
处取得：
.
因此
的值域为
，即
.
5．命题“
，使
”是假命题的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据命题为假命题求出
的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案.
【详解】∵“
，使
”是假命题，
即“
，
”是真命题，
∴
，∴
.
即命题“
，使
”是假命题等价于
，
设有集合
，命题
：
，命题
的必要不充分条件为命题
：
，
则命题
，而
不能
，
∴集合
是集合
的真子集，选项B 中集合
满足要求.
∴选项B 正确.
6．已知命题
，命题
，不等式
恒成立，若p 和q 有且仅有
一个正确，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于命题
，
在
上有解，而
为减函数，
所以当
时，
，解得
.
对于命题
，
不等式
恒成立，可化为
在
上恒成立.
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时
，当
时，
，所以
，所以
.
和
有且仅有一个正确，只有两种情况：
①
真
假，此时
，解得
；
②
假
真，此时
，则
.
综上，
.
题型06 集合中新定义问题
【技巧通法·提分快招】
解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要
求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相
关性质求解.
1．（2026·河南开封·二模）定义集合
且
，已知集合
，
，若
，则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为集合
，集合
，集合
，
，
所以
，
，
，
选项A：因为
，所以
或者
（且满足集合元素的互异性）；
选项B：因为
，所以
一定成立；
选项C：当
时，集合
，集合
，
，C 错误；
选项D：当
，
时，集合
，集合
，
，D 错误.
2．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之
一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式表
示
和
除以
的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同余的定义式，分别求出集合
中元素满足的式子，进而得到集合
，再利用同余的定义
式检验ABD 选项，最后取特殊值
，检验C 选项.
【详解】因
，则
，
因
，则
，
又
，
，
则
又
，则
，故A 正确；
，则
，故B 正确；
，则
，故D 正确；
不妨取
，不满足
，故C 错误.
故选：C.
3．（25-26 高三上·四川·阶段检测）我们定义：一个集合的“极差”为该集合最大元素与最小元素的差值．
则集合
的极差为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【分析】利用不等式的性质与导数求得函数单调性从而得到最大、最小值即可得.
【详解】由
，则
，
令
，
，则
，
则
在
上单调递增，则
，
故
，当且仅当
时取等，
即
；
由
，则
，
，
则
，当且仅当
，
时取等；
故
的极差为
.
故选：D.
4．（25-26 高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组
，有序
数组
，定义“间距置换”：
，
，
.已知有序数组
，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组
，且
中所有数之和为2026，则
（ ）
A．1004
B．1007
C．1010
D．1013
【答案】C
【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数.
【详解】由“间距置换”定义，得
，
，
.
由
，得
.
因
且
，故
或
.
若
，则
，
，
，
于是
，
得
，即
，故
.
若
，同理可得
.
综上所述，
的值为
.
故选：C.
5．（多选题）群的概念由数学家伽罗瓦在19 世纪30 年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，
但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G 是一个非空集合，“
”是一个适用于
G 中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G 对“o”构成一个群：（1）封闭性，即若
，则
存在唯一确定的
，使得
；（2）结合律成立，即对G 中任意元素
都有
；
（3）单位元存在，即存在
，对任意
，满足
，则称为单位元；（4）逆元存在，
即任意
，存在
，使得
则称a 与b 互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是
（ ）
A．
关于数的乘法构成群
B．
关于数的加法构成群
C．
和
均关于数的加法构成群
D．
关于数的乘法构成群
【答案】BD
【分析】由集合新定义中“乘法结合律”可判断A；由集合新定义可判断B、D；由集合新定义中“群”
的概念可判断C.
【详解】对于A，
，有
，且满足
（乘法结合律）；
，使得
，有
；
，有
，即
关于数的乘法构成群，故A 正确；
对于B，因为
，且
，但
，故B 错误；
对于C，若
，即
为所有偶数组成的集合，
，有
，且满足
（加法结合律），
，使得
，有
；
，有
，故
关于数的加法构成群；
若
，设
，则
，
且对
满足
，
当
时，
，满足
，
，使
，
故
关于数的加法构成群，故C 正确；
对于D，因为
，且
，但
，故D 错误.
故选：BD.
6．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S 是全体复数集
的一个非空子集，如果
，总有
，则称S 是数环．设
是数环，如果①
内含有一个非零复数；②
且
，
有
，则称
是数域．由定义知有理数集
是数域．
(1)求元素个数最小的数环
；
(2)证明：记
，证明：
是数域；
(3)若
是数域，判断
是否是数域，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
不一定是数域，证明见详解
【分析】（1）根据题意分析可知
中至少有一个元素
，分
和
两种情况，结合题意分析证
明；
（2）根据题中数环和数域的定义分析证明；
（3）举特例，取
，举例数列即可.
【详解】（1）因为
为数环，可知
不是空集，即
中至少有一个元素
，
若
，则
，可知
为数环；
若
，则
，可知
中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；
综上所述：元素个数最小的数环为
.
（2）设
，可知
，则有：
，
，
，
因为
，则
，
可知
，所以
是数环；
若
，可知
，满足①；
若
，则
，
因为
，则
，
可知
，满足②；
综上所述：
是数域.
（3）不一定是数域，理由如下：
1.若
，显然
均为数域，且
是数域；
2.设
，可知
，则有：
，
，
，
因为
，则
，
可知
，所以
是数环；
若
，可知
，满足①；
若
，则
，
因为
，则
，
可知
，满足②；
综上所述：
是数域.
例如：
，例如
，
但
，
所以
不是数域；
综上所述：
不一定是数域.
【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在
阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目
的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办
事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
7．（25-26 高三上·江西南昌·阶段检测）对于给定的闭区间
，现将按如下规则构造的区间列
称为
的“就近隔离区间列”：
（i）确定
，取
；
（ii）确定
，若
与
的交集为空集，则
，否则判断
与
的交集是否为空集，若为空集，则
，否则判断
与
的交集是否为空集，若为空集，则
，以此类推，直到找到
，设
；
（iii）确定
，若
与
的交集为空集，则
，否则判断
与
的交集是否为空集，若为空
集，则
，以此类推，直到找到
，设
；
（iv）依照（ii）（iii）的方法依次确定
.
已知数列
满足
，区间
是
的“就近隔离区间列”.
(1)求
的通项公式及
.
(2)证明：
.
(3)设是给定的正整数，求集合
中的元素之和
.
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等差中项的意义求出通项公式，再求出
即可得
.
（2）令
，利用“就近隔离区间列”的定义探求得
，求出数列
的通项，再比较大小
即可得证.
（3）按的奇偶分类确定
的最大取值，再利用等比数列前
项和公式求出
.
【详解】（1）由
，得
，则
是等差数列，
设
的公差为
，则
，解得
，
所以
，
，
所以
.
（2）设
，则
，
设
且
，则
，
即
，
于是
，即
，
而
，则
，由
的定义知，
，
即
，则
，
因此
是首项为2，公比为2 的等比数列，
，即
，
则
，
而
，
所以
.
（3）由
，得
，
当
时，
，解得
；
当
时，
，
，
，
，
即
，则
，
当
时，若
为奇数，则正整数
不存在；若
为偶数，则
，
因此当为奇数时，
；
当为偶数时，
，
所以
.
实战检测·分层突破验成效
重难知识巩固
1．（2026·湖南郴州·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合
，求函数的定义域求得集合
，进而求得
.
【详解】对于集合
，
，
所以
.
对于集合
，
，
所以
.
所以
.
2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解一元二次不等式求解集合
，再根据集合间的关系得出参数范围即可.
【详解】因为
，
，所以
，所以
.
故选：C.
3．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（ ）
A．命题
，
，则命题p 的否定是：
，
B．“
”是“
”的充分不必要条件
C．方程
的两根都大于1 的充要条件是
D．
是关于x 的不等式
对一切实数x 恒成立的充要条件
【答案】B
【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；
对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数
的取值分类讨论，
并结合图象列不等式求解即得.
【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论，
故命题
，
的否定是：
，
，故A 错误；
对于B，由
可得
；但
时，满足
，却得不到
，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
对于C，设
，则方程
的两根都大于1 等价于：
，解得
，故C 错误；
对于D，对于x 的不等式
，当
时，不等式
恒成立，
当
时，不等式
对一切实数x 恒成立等价于
，解得
.
综上可得，
是关于x 的不等式
对一切实数x 恒成立的充要条件，故D 错误.
4．（25-26 高三上·河南·阶段检测）已知a 为实数，p:
在
(0，+∞)上单调递增，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由命题为真分别求出
的范围，再根据充分条件、必要条件的概念求解.
【详解】由
知，
在
上有解，
所以
；
因为
的对称轴方程为
，由
知，
，
因为
不能推出
，
，
所以p 是q 的必要不充分条件，
故选：B
5．已知命题
；命题
，若p 为假命题，q 为真命题，则实数a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，
因为p 为假命题，所以
或
，
，则
在
上恒成立，
又当
，当且仅当
时取得等号，
因为q 为真命题，所以
，
所以实数a 的取值范围为
.
6．设集合
，
，若
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】首先由
知两集合元素完全相同，而
，故必属于
，从而
、
、
中必有一个等于，
结合互异性排除
后，分
与
两类讨论，每一类下将
表达为具体元素，并与
逐项
对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对.
【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，
，因为
，所以
，
又因为
，所以
或
，
若
，则
，此时
，
，
因为
，所以
，解得
，此时
，
，满足题意；
若
，则
，此时
，
，
因为
，所以
，即
，又因为
且
，所以此种情况无解；
综上所述，
，
所以
.
故选：B
7．（25-26 高三下·上海·阶段检测）已知集合
，
，则
的子集个
数为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】D
【分析】构造函数
，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得
中有且仅
有一个元素，即可得
的子集个数.
【详解】令
，则
，故
在
上单调递增，
又
，故
有且仅有一个零点，
即
图象与
图象有且仅有一个交点，
即
中有且仅有一个元素，故
的子集个数为
.
8．（2026·江苏·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
且
在
上单调递增，
，
若
，则
，
由
且
在
上单调递减，
，
若
，则
，
显然
可推出
，反之不一定成立，
综上，“
”是“
”的充分不必要条件.
9．若“
”是“
”的一个充分不必要条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数
的取值范围.
【详解】由题意可得
，且
，
又
，
，
则
解得
，
故选：D．
10．已知集合
，集合
，集合
，则以下元
素属于集合
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合的运算求得
，各选项逐个验证即可.
【详解】由题意，
，
又
，则
，
对于A，元素
不符合
，所以
不属于
，故A 错误；
对于B，元素
不符合
，所以
不属于
，故B 错误；
对于C，元素
符合条件，所以
属于
，故C 正确；
对于D，元素
不符合
，所以
不属于
，故D 错误.
故选：C.
11．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025 年我国暑期档票房前三名.高一（1）班
共有28 名同学，有15 人观看了《南京照相馆》，有8 人观看了《浪浪山小妖怪》，有14 人观看了《长安
的荔枝》，有3 人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3 人同时观看了《南京照相馆》和
《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ）
A．6 人
B．7 人
C．8 人
D．9 人
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解.
【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合
表
示，
设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有
人，
在相应的位置填上数字，则
，解得
，
因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，
所以只观看了《长安的荔枝》的人数为
人.
故选：C
12．已知全集为
，集合
，
满足
，则下列运算结果为
的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn 图即可求解.
【详解】由
得当
时，
，故选项A 不正确；
，当
时，
，故选项B 不正确；
当
时，
，故选项C 不正确；
因为
，所以
，故选项D 正确.
故选：D.
13．（2026·河南·模拟预测）已知
，
，
在
上单调
递增，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】对于
，通过分离参数由基本不等式求出另一侧的取值范围进而得到
的范围，对于
，通过二
次函数单调性得到
的范围，通过两个范围的推出关系即可求解.
【详解】
，
，所以
在
上有解，
又
，当且仅当
时等号成立，所以等号取不到，即
，
所以
.
对于
图象的对称轴为直线
，所以
的递增区间是
，
故当
在
上单调递增时，
.
因为小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围，所以
是
的充分不必要条件.
14．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合
，若集合A、B 满足：
，则集合对
共有（ ）个．
A．36
B．48
C．64
D．81
【答案】D
【分析】利用子集的意义分类讨论可求得集合对
的个数.
【详解】因为
，
，
当
时，又
，故
，
当集合
中有一个元素时，又
，这样的集合对有
，
当集合
中有两个元素时，又
，这样的集合对有
，
当集合
中有三个元素时，又
，这样的集合对有
，
当集合
中有四个元素时，又
，这样的集合对有
，
所以集合对
共有
.
故选：D.
15．（2026·山东聊城·三模）记等差数列
的前n 项和为
，则“
的公差为2”是“
为等差
数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若
的公差
，则
， 故
，
记
，则
为常数，故
是等差数列，充分性成立；
若
为等差数列，则
为常数，而
，
故
常数，故
，即
，必要性成立，
因此“
的公差为2”是“
为等差数列”的充要条件.
16．（2026·山东临沂·二模）已知集合
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【详解】对于集合
，根据正弦函数的性质，
时，
，所以
．
对于集合
，根据余弦函数的性质，
时，
，所以
．
选项A：集合
，集合
，集合
中的元素是集合
中
为偶数时的
元素，即
．
这意味着存在
，但
，例如当
时，
，但
，所以选项A 错误．
选项B：因为
，所以对于任意
，都有
，不存在
，使得
，选项B 错误．
选项C：已知
，任取
，设
，
，
，则
．
当
为奇数时，
，例如
，
，
，选项C 错误．
选项D：已知
，任取
，设
，
，
，则
．
因为
，所以
，那么
满足
，即
，选项D 正确．
17．（25-26 高三上·上海·期中）已知集合
，
，若
，
则满足条件的集合
个数为（ ）
A．408
B．409
C．410
D．411
【答案】C
【分析】由题意得
除以3 的余数相同，按照除以3 所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可.
【详解】
，
且
能被3 整除， ∴
除以3 的余数相同，
集合
的元素中，
能被3 整除的整数有
，
被3 除余1 的整数有
，
被3 除余2 的整数有
，
当
都被3 整除时，则
从被3 整除的5 个数中选取3 个，
或
可从被3 整除的5 个数中选取2 个，
从其余11 个数中选择，
∴
的个数为
，
当
被3 除余1 时，则
从被3 除余1 的6 个数中选取3 个，
或
可从被3 除余1 的6 个数中选取2 个，
从其余10 个数中选择，
∴
的个数为
，
当
被3 除余2 时，则
从被3 除余2 的5 个数中选取3 个，或
可从被3 除余2 的5 个数中选
取2 个，
从其余11 个数中选择，
∴
的个数为
，
∴满足条件的集合
共有
个．
故选：C.
18．（2025 高三·北京·专题练习）对于数集
，
，它们的Descartes 积
，则下
列选项错误的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．集合
表示
轴所在直线
【答案】A
【分析】根据集合的新定义及点坐标的性质，结合集合的交运算、包含关系判断各项的正误.
【详解】由
表示数集
中的数表示横坐标，数集
中的数表示纵坐标，组成的
点的全体，故
，A 错；
若
，因为点集中来自集合
的横坐标值一定在集合
中，且纵坐标值都来自集合
，则
，B 正确；
，
，
则
，C 正确；
集合
表示横坐标为0 的点集，即为
轴所在直线，D 正确.
故选：A
19．（2026·北京朝阳·一模）已知函数
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】A.由
时，
，
的值域判断；BC. 由
时，令
，用导数法判断；D.由
时，令
，用导
数法判断.
【详解】当
时，
，
，所以
，
，
故A 错误；
时，令
，则
，
令
，则
，所以
在
上递增，
又
，
，所以
，有
，
即
，当
时，
，
递减；当
时，
，
递增；
又
，则
，即
，
，故C 正确；B 错误；
时，令
，则
，易知
在
上递增，则
，则
在
上递增，所以
，即
恒成立，故D 错误.
20．（25-26 高三上·山东青岛·期中）已知函数
的定义域为
，对于正实数
，定义集合
，则（ ）
A．若
，则对于任意正实数
，集合
中有无限多个元素
B．若
，则
中可能含有
个元素
C．若
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【分析】根据
的定义分别列方程，探究解的情况.
【详解】A 选项：
，即得
，解得
，不满足题意，即
，A 选项错误；
B 选项：
，即得
，
，
化简可得
，即
，即集合
中只有个元素，B 选项错误；
C 选项：
，则
，当
时，方程有无数个解，即
，C 选项错误；
D 选项：由
，则函数
在
和
上分别单调递增，
由
可知，若
或
时，二者显然不可能同时成立，则方程无解，满足
，
若
，
时，
，即
有解，
设
，则
，即
有解，
则
，即
，
且方程
的解为
，
，
所以
或
，
解得
或
，
综上所述
，
故选：D.
21．设集合
是实数集
的子集，如果
满足：对任意
，都存在
，使得
，称
为集合
的聚点，则在下列集合中，以0 为聚点的集合有（ ）
①
②
③
④
A．①②
B．①③
C．②③
D．①③④
【答案】B
【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案.
【详解】对于①
，对任意
，都存在
，
使得
，故0 是集合
的聚点；
对于②
，取
，此时对于任意
，
都有
，即
不可能成立，故0 不是集合
的聚点；
对于③
，对任意
，都存在
，即
，
使得
，故0 是集合
的聚点；
对于④
，
，即
随n 的增大而增大，
故
的最小值为
，故当
时，不存在x，使得
，
故0 不是集合
的聚点；
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义.
22．（25-26 高三上·上海·阶段检测）设集合
中元素均为正整数，且至少有两个元素，若
满足：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
．则关于下面两个
命题，说法正确的是（ ）
命题
：若S 有3 个元素，则
有4 个元素．
命题
：若
有4 个元素，则
有7 个元素．
A．
是真命题，
是真命题
B．
是真命题，
是假命题
C．
是假命题，
是真命题
D．
是假命题，
是假命题
【答案】C
【分析】分别给出具体的集合S 和集合T，利用排除法排除假命题，然后证明命题的正确性即可.
【详解】若取
，则
，此时
，包含5 个元素，则命题
是假命
题；
若取
，则
，此时
，包含7 个元素，则命题
可能是真命题；
下面来证明：
设集合
，且
，
，
则
，且
，则
，
同理
，
，
，
，
，
若
，则
，则
，故
即
，
又
，故
，所以
，
故
，此时
，故
，矛盾，舍.
若
，则
，故
即
，
又
，故
，所以
，
故
，此时
.
若
，则
，故存在
，使得
，
故
，故
，故
，
此时
即
中有7 个元素.
故选：C
23．（2025·湖南长沙·三模）已知数列
，
，记集合
的元素个数为
.
(1)若
为1，2，4，8，12，写出集合
，并求
的值；
(2)若
为1，3，a，b，且
，求
和集合
；
(3)若数列
项数为，满足
，求证：“
”的充要条件是“
为等比数
列”.
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定的定义，计算出所有
即可.
（2）结合集合的性质，可得
，解出即可.
（3）根据给定的定义，分别证明命题成立的充分条件和必要条件即可.
【详解】（1）集合
，
.
（2）由
为1，3，
，
，当
之一为2 时，不妨令
，则
互不相等，
是集合
中元素，又
，则
，
，解得
，不符合题意，
则必有
，得
，
，
互不相等，
则3，
，
都是集合
中的元素，又
，则
，解得
，
，
因此
为1，3，9，27，所以
.
（3）充分性：若
是递增的等比数列，设
的公比为
，
当
时，
，
所以
，且
，故充分性成立；
必要性：若
是递增数列，且
，则
，
于是
，且互不相等，又
，
则
，且
互不相等，
因此
，
，
从而
，所以
为等比数列，故必要性成立，
综上，“
”的充要条件是“
为等比数列”.
24．（24-25 高三下·浙江·开学考试）定义：
为在集合
中去掉一个元素
后得到的集合；
为集
合
中的所有元素之和.已知由
个正整数组成的集合
，若对于
，都存在两个集合
，使得
，且
，就称集合
为“完美集”.
(1)若
，判断
是否为“完美集”，并说明理由；
(2)若集合
是“完美集”，证明：
是奇数；
(3)若集合
是“完美集”，且
中所有元素从小到大排序后能构成一个等差
数列，则称
为“等差完美集”.已知集合
是“等差完美集”，求
的最小值.
【答案】(1)不是；理由见解析
(2)证明见解析
(3)7
【分析】（1）根据“完美集”的定义即可判断；
（2）由
是偶数，所以
与
必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论；
（3）先假设最小值为
，推出矛盾，再求当
时成立即可.
【详解】（1）
不是“完美集”，
因为去掉2 时，
所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合；
（2）记
为集合
中的所有元索之和，
是偶数，
所以
与
必定同奇同偶.
当
为奇数时，
也是奇数，
是奇数个奇数相加，故
是奇数：
当
为偶数时，
也是偶数，设
，则
也是“完美集”，
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数；
所以得证：
（3）
最小值是7.
设
是等差数列，
.
当
时，去掉
时，
，不成立：
当
时，
，不妨设
，
去掉
，假设
可以拆分成两个交为空且和相等的集合，
则有两种情况：
①
，因为
，这与
矛盾；
②
，因为
，这与
均为正整数矛盾，故假设不成立：
故
，下证
的最小值为7.
当
时，构造
（写出一个即可），
.
去掉
；
去掉
；
去掉
；
去掉
；
同理去掉
；
去掉
；
去掉
；
所以，
是“等差完美集”.
综上所述，
的最小值为7.
【点睛】思路点睛：对于第二小问：由
是偶数，
所以
与
必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论；
第三小问：先假设最小值为
，推出矛盾，再求当
时成立即可.
创新能力提升
1．已知
，若命题“
或
”为真命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】从
作为题目切入点，分段讨论x 的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，
最后综合即可得答案.
【详解】
解得
，此时无论
取何值，均符合题意；
当
时，
，只需
，
解得
或
；
当
时，
，由题中条件，只需
对于
恒成立，
当
时，
不符合题意；
当
时，
图象为开口向上的抛物线，
不能满足
对
恒成立，不符合题意；
当
时，
的2 个根为
，
需
，结合
，可得
，
综合上述可知
的取值范围是
，
故选：B.
【点睛】将
作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论
的范围分类讨论求解；
2．（2026·北京西城·二模）已知正方体W 和平面
，则“正方体W 的8 个顶点中存在6 个到平面
的距
离相等”是“平面
将正方体W 分成体积相等的两部分”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合正方体的结构特征推理判断.
【详解】如图，在正方体
中，依次取棱
的中点
，
则点
与点
到平面
的距离相等，而平面
将正方体分成的两部分体积不等；
反之，平面
将正方体W 分成体积相等的两部分，平面
必过该正方体的中心，
正方体W 的8 个顶点中到平面
的距离相等的顶点不一定是6 个，
如在正方体
中，平面
过该正方体的中心，
只有4 个顶点
或
到平面
距离相等，
所以“正方体W 的8 个顶点中存在6 个到平面
的距离相等”是“平面
将正方体W 分成体积相等的两部
分”的既不充分也不必要条件.
3．（2026·北京昌平·二模）设
，函数
有最大值的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出函数
有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件.
【详解】当
时：
，当
时，
单调递减，
；当
时，
，无最大值.
当
时：
时，
单调递增，当
时，
，无最大值.
当
时：
时，
单调递减，故
；
时，
，开口向下，对称轴为
.
若
时，即
时，
在
上的最大值为
，
则
，解得
；
若
时，即
时，
在
上单调递增，最大值为
，
则
即
，因为
，
，不等式无解，函数此时无最大值；
综上
有最大值的充要条件为
.
因为
，
所以
有最大值的一个充分不必要条件是
.
4．（25-26 高三上·上海宝山·阶段检测）已知集合
，若对于任意
，总存在
与之相应的
(其中
)，使得
成立，则称集合
是“
集
合”．下列为“
集合”的有（ ）个
①
②
③
④
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据题意，函数
和
为奇函数，根据“
集合”的定义易知若
，存在
时，使得
成立，即可判断①④；对于②③可举例判断．
【详解】设
，
因为
，
平方整理得
，即
，所以
，
即
，即
三点共线，
所以集合
要为“
集合”，
则集合
上任取一点
，直线
与曲线有另一个交点
，
对于①，函数
，为奇函数，
所以若
，存在
时，使得
，
即
，所以①是“
集合”；
对于②，当点
，此时直线
的方程为
与曲线只有一个交点
，故②不是“
集合”；
对于③，易知
，此时直线
的方程为
与曲线只有一个交点
，故③不是“
集合”；
对于④，函数
是
上的奇函数，
所以若
，存在
时，使得
，
即
，所以④是“
集合”；
故选：B．
5．（多选题）（2026·福建厦门·模拟预测）已知
，
，…，
，…均为有限实数集，记
中的最大元
素为
，
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
中所有元素的平均数为191
D．
中所有元素的和为3008
【答案】ACD
【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素
，直接得到
的等比通项；集合元素个数
，结合元素和的递推关系
，推导出
的通项，再逐一验证选项即可.
【详解】选项A，已知
，最大元素
，
根据定义
，
则
，A 正确；
选项B，由
的构造，
的最大元素是
，则
的最大元素是
，
因此
，即
是首项为
，公比为2 的等比数列：
.
当
时，
，B 错误；
设
为
所有元素之和，则
，因为
，
所以
.一般地，
，其中
是
的元素个数.
由构造可知，
(即每次新增元素与原集合无重复)，因为
，故
.
结合
，递推得：
，
等式两边同除以
得
.令
，则
，
累加法求
，
则
.
选项C，当
时，均值为
，C 正确；
选项D，当
时，
，D 正确.
6．（2026·河南许昌·三模）已知
，
，
，
，若
且
，则
____________．
【答案】
或
【分析】已知四个递增数两两之和构成集合
,根据大小关系可确定最小两数和为6、最小
与第三数和为10、最大两数和为24、第二与最大数和为20,再分第二与第三数和为12 或18 两种情况,分别
联立前三个和的方程,通过整体代入求出
的两个可能取值.
【详解】由题意知
.
满足
,因为
.
则必有
.
若
,联立
，两式相加得
，
代入
得
，解得
.
若
,联立
，两式相加得
，
代入
得
,解得
.
7．（25-26 高三下·江苏扬州·阶段检测）设集合
，若对于满足
的任意k 个
元素的集合
，都存在
，
使得
，则k 的最小值是______．
【答案】
【分析】设集合
，对于任意
，
，
，计算出此时
的最大值即可
得到k 的最小值．
【详解】解：根据题意，
，
设集合
，对于任意
，
，
，
现计算此时
的最大值，
要使
最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小，
所以
，则
应该是满足
的最小整数，故
，
，
则数列
是首项为
，公比为的等比数列，
所以
，
，即
，
又
且
，
的最大值为
，例如
，
则k 的最小值是．
8．（2026·山东·模拟预测）对于集合
，定义
，若
，则称
为理想
集．例如，
不是理想集，而
是理想集．
(1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由；
①
；②
；③
．
(2)若存在
个非空理想集
，
，…，
，且
，使得
，则称
是
可分的，记
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
．
【答案】(1)集合①②是理想集，③不是理想集
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据理想集定义，计算每个集合对应的
，再判断
与
是否无公共元素即可；
（2）（i）：构造出3 个两两不交的非空理想集，使得它们的并集为
即可；
（ii）：结合题意推导
的取值规律，得到
的放缩方式，再结合裂项相消原理求和证明不等式.
【详解】（1）根据理想集定义：
为理想集当且仅当
，其中
，
① 集合
：计算得
，
，
因此
是理想集，
②集合
：计算得：
，
，
因此
是理想集.
③ 集合
：因为
，故
且
，
，
因此
不是理想集.
所以集合①②是理想集，③不是理想集．
（2）（i）构造集合
，
，
，
，无公共元素，是理想集；
，无公共元素，是理想集；
中最小两元素和为
，故
，是理想集，
且
，
，
所以
是可分的，故
．
（ii）若存在
个非空理想集
，
，…，
，且
，使得
，则对于
，取
，
其中
表示将集合
中每个数都加上
后所得的新集合．
取
，此时存在
个非空理想集
，
，…，
，
且
，使得
．
设
，则有
，
则
，又
，
于是当
时，
，
故
，当
时，
依然成立，所以
，
于是
，
当
时，
成立；
当
时，
．
综上所述，
．
