微专题拓展01 集合新定义问题
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：集合陌生定义........................................................................................................................3
题型二：集合创新运算........................................................................................................................6
题型三：集合拓展性质......................................................................................................................10
题型四：多知识点整合问题..............................................................................................................14
03 课后拓展精练............................................................................................................................19
集合创新题型主要分为三类，核心是依托旧集合知识，结合全新定义创设出题情境。其一为新概念题
型，通过重新定义集合或集合内要素，基于原有集合知识点创新出题；其二是新运算题型，题目给出专属
集合全新运算规则，需结合常规数学运算与逻辑推理完成解题；其三是新性质题型，依托集合原有性质衍
生全新性质，在新场景中结合旧性质推导论证。
这类题型均通过新定义、新运算、新模型搭建陌生情境，核心考查知识迁移与阅读理解能力。解题时
无需固有思维解题，需耐心研读题干，精准把握新定义、新规则的核心特征与性质，严格依照题目规则逐
条分析、运算、验证，灵活结合所学集合知识，完成陌生题型的解答。
题型一：集合陌生定义
例1．（多选题）（25-26 高三下·安徽阜阳·阶段检测）对于由
个正整数组成的集合
，设
为集合
中所有元素的和，定义：若对任意不大于
的正整数
，都存在
的子集
，满足
，则称集
合
是“完全集合”．下列说法正确的是（ ）
A．
是完全集合
B．对于确定的正整数
，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的
C．若
，则
是完全集合
D．若
是完全集合，且
，则
中的元素个数的最小值为10
【答案】ABC
【解析】对于A
，容易验证，
都可以被
中的元素及其和覆盖到，
符合完全集合的定义，故A 正确；
对于B，根据完全集合的定义，必存在
，则1，2∈A，
要使
中元素从小到大成等差数列，只能是
，因此这样的完全集合是唯一的，故B 正确；
对于C，设
中的元素从小到大依次为
，由于
，而
，
所以
，所以
，当且仅当
时等号成立，
因为
，所以
，易知该集合是完全集合，故C 正确；
对于D，要使完全集合
的元素尽可能少，需要让每个元素尽可能“高效”地覆盖连续的正整数，
设
中的元素从小到大依次为
，
最优的策略：令
表示前
项和），即
，
，
此时a1+a2+⋯+a10=2
10-1=1023<2026，
即只有10 个元素不满足条件，只需再加上1003，
即
，
此时有
，且1∼2026都可以被
中的元素及其和覆盖到，
因此
中的元素最少有11 个，故D 错误．
例2．（多选题）（2026·福建厦门·二模）设正整数
，其中
，定义
．设集合
，从
中随机选取一个元素，
记为
，则（ ）
A．
B．
中的元素个数为36
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，所以
，所以
，正确；
对于B，
中的元素个数为
，错误；
对于C，设
，
中满足
元素如下：
因为
，所以以的大小作为分类依据，
时，
，
，
，
，
，
，
，共有7 个，
同理
时有8 个，
时有9 个，所以
，正确；
对于D，集合
中所有元素和为
，
所以
，正确.
例3．（多选题）（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合
，定义集合
的模
为该集合中所有元素的和，记作
，即
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若集合
，则
B．若集合
，则
C．若集合
，则
D．记集合
，且
中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若
的最大值为
的最大值为
，则
【答案】AC
【解析】选项A，
，
A 正确；
选项B，解方程得：
，
二次方程
判别式
，无实根，故集合
，模
，B 错误；
C 选项，设
，求导得
，
时，
递增；
时，
递减；
最大值
，且
，因此一个零点
；
又
，因此另一个零点
，
则
，C 正确；
选项D，集合元素差为或，均小于
，因此可将
按每
个数分为一组，组间不产生符合条件的
差，只需每组取最大和即可，
时，
中，要使元素和最大，选
，满足条件，最大和
；
每组（第
组，
）的和为
，因此
时总和：
，
，D 错误.
变式1．（2026·山东·模拟预测）对于集合
，定义
，若
，则称
为
理想集．例如，
不是理想集，而
是理想集．
(1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由；
①
；②
；③
．
(2)若存在
个非空理想集
，
，…，
，且
，使得
，则称
是
可分的，记
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
．
【解析】（1）根据理想集定义：
为理想集当且仅当
，其中
，
① 集合
：计算得
，
，
因此
是理想集，
②集合
：计算得：
，
，
因此
是理想集.
③ 集合
：因为
，故
且
，
，
因此
不是理想集.
所以集合①②是理想集，③不是理想集．
（2）（i）构造集合
，
，
，
，无公共元素，是理想集；
，无公共元素，是理想集；
中最小两元素和为
，故
，是理想集，
且
，
，
所以
是可分的，故
．
（ii）若存在
个非空理想集
，
，…，
，且
，使得
，则对于
，取
，
其中
表示将集合
中每个数都加上
后所得的新集合．
取
，此时存在
个非空理想集
，
，…，
，
且
，使得
．
设
，则有
，
则
，又
，
于是当
时，
，
故
，当
时，
依然成立，所以
，
于是
，
当
时，
成立；
当
时，
．
综上所述，
．
题型二：集合创新运算
例4．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：
，设集合
，
，则
集合
的所有元素之和为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【解析】由题意得：
，所以
.
例5．（多选题）（2026·福建厦门·模拟预测）已知
，
，…，
，…均为有限实数集，记
中的最大
元素为
，
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
中所有元素的平均数为191
D．
中所有元素的和为3008
【答案】ACD
【解析】选项A，已知
，最大元素
，
根据定义
，
则
，A 正确；
选项B，由
的构造，
的最大元素是
，则
的最大元素是
，
因此
，即
是首项为
，公比为2 的等比数列：
.
当
时，
，B 错误；
设
为
所有元素之和，则
，因为
，
所以
.一般地，
，其中
是
的元素个数.
由构造可知，
(即每次新增元素与原集合无重复)，因为
，故
.
结合
，递推得：
，
等式两边同除以
得
.令
，则
，
累加法求
，
则
.
选项C，当
时，均值为
，C 正确；
选项D，当
时，
，D 正确.
例6．（2026·北京顺义·二模）已知集合
，集合
是集合
的一个含
个元素的子
集.若集合
满足如下两个性质，则称集合
为集合
的完美子集：
①集合
的任意两个不同子集的元素之和不相等；
②对任意
且
，令
，且集合
存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
(1)若
，判断
是否为集合
的完美子集；
(2)若集合
为集合
的完美子集，证明：集合
的元素之和的最小值为16；
(3)若集合
为集合
的完美子集，证明：
.
【解析】（1）
中任意子集之和可以是
，
，
，
，
，
均互不相等，满足性质①，
是
再添一个不在
中但在
中的元素，取
，
，
的不同子集元素和分别为：
，
没有和相等的子集，所以不满足性质②，
不是
的完美子集；
的任意子集之和可以是
，
均互不相等，满足性质①，
对于性质②，对任意
，
，
任意子集之和组成的集合为
当
,存在
的子集
的元素和等于
，只要取
的两个子集为
，
即可满足条件，而当
，
，取子集
和
即可，
所以
是
的完美子集；
（2）反证法：设A 的元素和为S,若
,考察包含A 的
元子集
.
由于A 的任意两个子集元素之和不等，且B 的任意一个包含16 的子集元素和比B 的任意个不包含16 的子
集元素和大，
从而B 的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而
.
又
满足条件，此时
，从而
的最小值为16.
（3）
，
假设若
，则
的非空子集有
个，
而其中每个子集元素和不超过
，但
，必有两个子集的和相等，矛盾．
假设若
，考虑
的一、二、三、四元子集，共有
个不同的子集，其元素和都在区
间
内
(因为任意一个这样的和小于
，且由
知：
，
，
，
不同时属于
)
若
，则由
知，
，
不同时属于
，
由
知，
，
不同时属于
，
由
知，
，
不同时属于
，
所以此时最大的和不大于
而
，则必有两个子集的和相等，矛盾．
若
则由
知．
，
不同时属于
，
由
知，
，
不同时属于
，
由
知，
，
不同时属于
，
所以此时最大的和不大于
而
，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若和
都不属于
，则最小的和不小于
于是，其和都属于区间
，最多有
个不同的和．
而
，则必有两个子集的和相等，矛盾．
综上所述，
．
变式2．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合
，定义变换
，
中元素的个数分别记为
，
，
.
(1)设集合
，直接写出
，
，
的值；
(2)设集合
,
中所有元素的和记为
，求数列
的通项公式；
(3)设集合
与
同时满足下列两个性质：
①
，且
；
②
且
，其中
.
求
的最大值.
【解析】（1）card(φ( A , A ))=5；card(φ(B ,B))=6；card(φ( A ,B))=7.
（2）由An={2
i|i =0,1,2,⋯,n-1}(n∈N
*),得φ( An, An)={2
i+2
j|i , j =0,1,2,⋯,n-1}.
∀i, j ,i
' , j
'∈{0,1,2,⋯,n-1}，
若
，则2
i-2
i
'=2
j
'-2
j.
①当
时,
；同理，当
时,
.即
与
同时成立.
②当
与
都不成立时，必有
或
两者之一成立.
不妨设
则2
i
'
(2
i-i
'
-1)=2
j(2
j
' - j-1).
所以i
' = j且i-i
' = j
' - j.
所以i
' = j且i= j
'.
所以φ( An, An)={2
i+2
j|0≤i≤j≤n-1,i , j∈N }(n∈N
*).
所以所求数列
的通项公式为
an= ∑
0≤i≤j≤n-1
❑
(2
i+2
j)=(n+1)(2
0+2
1+2
2+⋯+2
n-1)=(n+1)(2
n-1),n∈N
*.
（3）设集合A ={a1,a2,⋯,am}，B ={b1,b2,⋯,bm}，其中
，
，
则φ( A ,B)={ai+b j|∀i, j =1,2,3,⋯,m}.
所以
.①
a1+b1<a1+b2<a2+b2<⋯<am-1+b2<am+b2<am+b3<⋯<am+bm.②
式①与式②中均有
个不同的数，这些数都是集合
中的元素.
因为card(φ( A ,B))=2m-1，所以
中有且仅有
个不同元素.
所以式①与式②中的数对应相等，即ak +1+b1=ak +b2,∀k =1,2,3,⋯,m-1.
所以ak +1-ak =b2-b1,∀k =1,2,3,⋯,m-1.
所以数列
是公差为
，项数为
的等差数列.
同理，数列
是公差为
，项数为
的等差数列.
所以数列
与
是两个公差相等（公差
），项数为
的等差数列.
设ai=a1+(i-1)d ,i=1,2,3,⋯,m，b j=b1+( j -1)d , j =1,2,3,⋯,m，其中
.
则ai+b j=(a1+b1)+(i+ j -2)d ,∀i, j =1,2,3,⋯,m，
则φ( A ,B)={(a1+b1)+(k -1)d |k =1,2,3,⋯,2m-1}，且card(φ( A ,B))=2m-1.
因为A ,B ,φ( A ,B)⊆{x∈N | x ≤2026}，所以
.
①当
时，设A ={a1+(i-1)|i=1,2,3,⋯,m}，B ={b1+( j -1)| j =1,2,3,⋯,m}，
φ( A ,B)={a1+b1+(k -1)|k =1,2,3,⋯,2m-1}.
所以0≤a1,b1,am,bm≤2026，0≤a1+b1+(2m-2)≤2026，且a1≥b1+m或b1≥a1+m.
所以3m-2≤2026，解得m≤676.
当
时，A ={0,1,2,⋯,675}，B ={676,677,⋯,1351}，φ( A ,B)={676,677,⋯,2026}.
经检验符合题意.
②当
时，因为A ,B ,φ( A ,B)⊆{x∈N | x ≤2026}，
所以0≤a1,b1≤2026，0≤a1+b1+(2m-2)d ≤2026.
所以m≤1013
d
+1≤1015
2
<676.
综上，
的最大值为
题型三：集合拓展性质
例7．（2026·安徽合肥·一模）设集合
，满足下列性质的集合称为“TB 集合”：
集合内至少含有2 个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则
的子集中有___________个
“TB 集合”.
【答案】
【解析】解方程
，解得
，结合
，
因此：
，集合
共9 个元素.
（1）2 个元素的“
集合”：设为
，
当
时，
可取5，6，7，8，9，共5 个；
当
时，
可取6，7，8，9，共4 个；
当
时，
可取7，8，9，共3 个；
当
时，
可取8，9，共2 个；
当
时，
可取9，共1 个；当
时，无满足条件的
.
则2 个元素的“
集合”总数：
.
（2）3 个元素的“
集合”：要选出3 个元素，需满足任意两个元素至少相差4.
最小的3 个满足条件的元素为1，5，9，则3 个元素的“TB 集合”仅1 个：1，5，9.
（3）若尝试选出4 个元素，最小的4 个满足条件的数为1，5，9，13，而13 超出集合A 的范围，
因此不存在4 个及以上元素的“TB 集合”.
综上，“
集合”总数
个元素的数量
个元素的数量：
.
例8．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（
），记集合
或
且
.对于由
中的三个元素组成的子集
，若满足
对于任意
，
均为偶数，则称该三元子集具有性质T.
(1)在
的子集中，写出一个具有性质T 的三元子集；（结论不要求证明）
(2)证明：在
的子集中，不可能选出10 个两两交集为空集，且具有性质T 的三元子集；
(3)在
的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T 的三元子集？说明理由.
【解析】（1）由题意，
或
且
，
即
，
则满足性质T 的三元子集不唯一，如
.
（2）由题意，
中共有
个元素，故最多能选出
个两两交集为空集的三元子集．
将
中所有元素的第一个分量求和（一个元素可以看成一个数组，
第一个数字称为第一个分量，以此类推），知其和等于
；
同理，所有第二个分量、第三个分量、⋯⋯的和均等于16.
假设能选出10 个符合题意的三元子集，由题意，这10 个三元子集覆盖了
中的30 个元素，
且每个三元子集的所有元素的每一个分量数字之和均为偶数．
故
中余下的一个元素的每一个分量都是偶数，即只能为
．
这与
矛盾．
所以在
的子集中，不可能选出10 个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集．
（3）记
，其中
为偶数．不妨假设
时
有意义．
当
时，
的三元子集只有一个
，且具有性质
，
所以在
中最多能选出
个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集．
记
中具有性质
的三元子集为
．
当
时，
中有
个元素，故最多有
个两两交集为空集的三元子集．
因为
的子集{(0,1,a1,a2),(1,0,b1,b2),(1,1,c1,c2)}, {(1,0,a1,a2),(1,1,b1,b2),(0,1,c1,c2)}，
和
{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,0,0)}为两两交集为空集，且具有性质
的三元子集（共5 个），
所以在
的子集中，最多能选出t 4= 2
4-1
3
=5个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集．
设{(d1,d2,d3,d4),(e1,e2,e3,e4),(f 1,f 2,f 3,f 4)}为
中上述具有性质
的三元子集中的任意一个，
同理，得
中有
个元素，即最多能有2
6-1
3
个两两交集为空集的三元子集，
且对于
，可以对应构造出4 个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集，
即{(0,1,d1,d2,d3,d4),(1,0,e1,e2,e3,e4),(1,1,f 1,f 2,f 3,f 4)}，
{(1,0,d1,d2,d3,d4),(1,1,e1,e2,e3,e4),(0,1,f 1,f 2,f 3,f 4)}，
{(1,1,d1,d2,d3,d4),(0,1,e1,e2,e3,e4),(1,0,f 1,f 2,f 3,f 4)}，
{(0,0,d1,d2,d3,d4),(0,0,e1,e2,e3,e4),(0,0,f 1,f 2,f 3,f 4)}.
又因为{(1,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0),(1,1,0,0,0,0)}为
中具有性质
的三元子集，且与上述集合的交集
为空集，
所以在
的子集中，最多能选出4t 4+1= 2
6-1
3
=t6个两两交集为空集，且具有性质
的三元子集．
以此类推，得在
的子集中，最多能选出4t2024+1= 2
2026-1
3
=t2026个两两交集为空集，且具有性质
的
三元子集．
例9．（25-26 高三下·北京海淀·开学考试）已知集合
.对集合A 中
的任意元素
，定义
，当正整数
时，定义
.（约定
）．
(1)若
，
，求
和
；
(2)若
满足
且
，求
的所有可能结果；
(3)是否存在正整数n 使得对任意
都有
？若存在，求出
n 的所有取值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）
，
，
由题意
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由
且
，
，
同理，
或1 时，
，
或1 时，
，
或1 时，
，
所以（1）等价于
，则
，
，
当
，
，则
为
满足，
当
，
，则
为
满足，
当
，
，则
为
满足，
当
，
，则
为
满足，
综上，
的所有可能结果
、
、
、
.
（3）存在正整数
使
且
，理由如下：
由
得
，
所以
，
若
，
，
则
，
若
，
则
，
，
，
所以，对
都有
，
当
时，
恒成立，
综上，
使得
成立的所有取值为
．
变式3．（25-26 高三下·北京·开学考试）设
为正整数，集合
，对于集合
中的任意两个元素
和
，定义
．若集合
中的元素
组成的序列满足
，则称
为
序列．
(1)若
，求
，并写出一个
使得
；
(2)当
时，是否存在一个
序列
，满足
，
，
？若存在，请写出
；若不存在，请证明；
(3)给定
，若
，
，
为
序列，且序列中元素两两不同，求
的最大值．
【解析】（1）根据
，
，
，则
，
满足
的
只需与
有2 个位置不同，例如
（答案不唯一，如
、
均正确）.
（2）不存在，证明如下：
记任意元素
中1 的个数为
，由G 序列定义
，
说明
仅改变
一个位置的
或，
因此
，即
奇偶性相方，
中1 的个数
，
为奇数，
应为偶数，但
，
是奇数，矛盾.
因此不存在满足条件的G 序列.
（3）集合
中共有
个不同元素，元素两两不同时
，
下面用数学归纳法证明：存在
，
，
为
序列，且序列中元素两两不同.
证明：当
时，取
，
，它们为
序列，
当
时，取
，
序列，
设当
时，存在
为
序列，且序列中元素两两不同，
设
，
令
，
，
，
因为
为为
序列，故
也为
序列，
故
时，存在
为
序列，且序列中元素两两不同，
由数学归纳法可得存在
，
，
为
序列，且序列中元素两两不同.
综上，
.
题型四：多知识点整合问题
例10．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系
中，已知集合
，给出下列四个结论：
①当
时，则
是一条直线；
②当
时，点
到原点
的距离存在最小值，不存在最大值；
③当
时，则所有满足
的点
所构成的区域面积为
；
④当
时，已知集合
，则集合
；
其中所有正确的结论是_______．
【答案】①②③
【解析】
，故点
坐标满足
；
对①：若
，则
，
即点
坐标满足
，
此时点
的轨迹是直线
，故①正确；
对②：由点
坐标满足
，
点
到直线
的距离
，
则点
到原点
的距离的范围为
，有最小值，无最大值，故②正确；
对③：由点
到直线
的距离
，且
，
故集合
表示平面内以
为圆心，
为半径的圆外的所有区域（包括圆），
若
，则点
所表示的区域为该圆内部，即其面积为
，故③正确；
对④：由③可得
，则
，故④错误.
例11．（2026·上海徐汇·二模）设
. 定义点
的
相伴集合为
且
，其中为正实数. 给出以下两个命题：
①若
，则其
相伴集合
所对应平面图形的面积为2；
②设
，若对任意实数
及任意
，集合
所对应平面图形与抛物线
均无公共点，则
.
则正确的选项是（ ）
A．①是真命题，②是真命题
B．①是假命题，②是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
【答案】D
【解析】根据定义点
的
相伴集合即为以
为中心的边长为
的正方形，
若
，则其
相伴集合
对应平面图形的面积为
，①是假命题；
集合
对应一系列正方形，它们与抛物线
即
均无公共点，
则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足
，对每一个正方形内的点，
有
，则需满足
，有
，
设
，
在
上的最小值记为
，
当
时，
，此时应有
，
设
，则
，不等式变为
即
，
令
，则
，所以
；
当
时，
，此时应有
，以
为变量，
的最大值为
，所以
；
当
时，
，此时应有
，
设
，则
，不等式变为
即
，
令
，则
，所以
，
综上所述
，要使对任意实数
及任意
均满足无交点条件，则
，②是真命题.
例12．（25-26 高三下·北京·阶段检测）对于函数
，定义集合
，函数
在
上单调递增是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】①先判断充分性
因为函数
在
上单调递增，
所以当
时，对于任意的
，
，这满足集合
的定义，
，充分性成立.
②再判断必要性
取函数
，
在
上
单调递增，
；
而
时，
，
，
若
，则
当
时，
，
当
时，
，
所以对
，
，满足集合
的定义，故
，
但在
上，
是正弦型函数，不是单调函数，故由
不能推出
在
上
单调递增，必要性不成立.
综上函数
在
上单调递增是“
”的充分不必要条件.
变式4．（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系
中，将点集
所表示的
立方体的表面满足
的部分记为S，同时满足“
”与“
或
”的点P 的集合所表示几何体的体积为______．
【答案】
【解析】点集
表示的是以原点为中心的边长为2 的正方体，
为满足
的部分即除去了
后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面，
条件“
”表示点
在以原点为球心的半径为
的球体内，因为
，
所以这个球刚好也是正方体的外接球，
即为线段
，
条件“
或
”表示线段
与
要么没有交点，要么交点就是
，
考虑从
点出发的线段
，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成
个球体，
射向
包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的
，
所以所求几何体的体积为
.
变式5．（25-26 高三下·江苏泰州·开学考试）已知无穷等比数列
的公比为
，设集合
，其中
为正整数．若
，且对于任意
，集合
是闭区间，则
的取值范围为________．
【答案】
【解析】不妨设
，由
，
得
，
记
，
，
，
，集合
，
要使
（其中
）的取值范围为闭区间，需不存在空隙，即所有介于最小值和最大值之间的数都
能取到，
在正数范围内，
到
可被
的差覆盖，
下一个最小的正差为
，因此若
，
则区间
内的数无法取到，存在空隙，
故要求对任意
（
），都有
，
代入等比数列通项
，化简得：
约去正数
后整理得：
当
时，
，不等式左边
，恒成立；
当
时，
，由于
，当
时，
，不等式左边趋向
，必存在
使得不等式不成立，存在空隙，
因此
的取值范围是
.
1．（24-25 高三上·陕西·期中）已知集合
，记
，则（ ）
A．
中有
个元素
B．
中的最大元素为2046
C．当
为偶数时，
中有
个元素
D．当
为奇数时，
中的元素之和为
【答案】BCD
【解析】对于A：
的元素在区间
内的正整数，所以元素个数为
，故
A 错误；
对于B：当
时，
，所以
表示在区间
为3 的倍数，
最大元素为小于
的最大的3 的倍数，所以最大元素为
，故B 正确；
对于C：当
为偶数时，令
，则
，
所以
中的倍数的个数为
，故C 正确；
对于D：当
为奇数时，令
，
中元素的首项为
，末项为
的等差数列，项数
为
，
所以
中的元素之和为
，故D 正确.
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知集合
，
，设
整除
或
整除
，令
表示集合
所含元素的个数，则
________．
【答案】
【解析】因为
表示集合
所含元素的个数，其中
，
（i）
整除
的有
，
，
，
，
共个．
（ii）
整除
的有：①整除
的有
个；②
整除
的有2028
2
=1014个；③整除
的有2028
3
=676
个．
其中重复的有
，
，
共个．
所以
．
3．（25-26 高三下·江苏泰州·阶段检测）对于n 元由0，1 组成的有序数组，定义距离1 为两个数组对应位
置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2 为满足M 中每个数与N 中数的差值的绝
对值的最小值、N 中每个数与M 中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组
0，1 数组，另一组中间数组与二者的距离1 均为2，则两组原数组的距离1 的最大值为_________；若整数
集合A，B 的距离2 为3，B，C 的距离2 为2，则A，C 的距离2 的所有可能取值为_________．
【答案】
【解析】第一空：
考虑三个
组成的数组
，设
的距离1 为
，
的距离1 为
，
依定义可知
当中有
个位置的数字不同，设这
个位置构成的集合为
，
以外的位置也即数字相同的位置构成的集合为
，
当中有
个位置的数字不同，
设这些位置属于
的有
个，不属于
也即属于
的有
个，则
，
因为数组由
构成，所以
和
数字不同的位置包括
的数字不同且
的数字相同的位置，
有
个，和
的数字相同且
的数字不同的位置，有
个，共有
个，
而
，所以
的距离1 不超过
的距离1 和
的距离1 之和，
取
，则有
的距离1 和
的距离1 均为
，
的距离1 为
，故
的距离1 的最大值为
.
第二空：
对于非空整数集合
，
的距离2 记为
，记对某个
，
，类似地，
记对某个
，
，依定义有
①，
②，
同理有
③，
④，
设在
中
与
中数的差值的绝对值的最小值为最大，在
中
与
中数的差值的绝对值的最小值为最大，
则有
或
，结合①③并取③中的
为
可得
，再取
为
，可得
，
结合②④并取②中的
为
可得
，再取为
，
可得
，即有
，因为
的任意性，
所以也有
，即
，
同时也有
，
综上所述，
，
依题意
，则
，
只能取
中的数，
取
，则有
；
取
，则有
；
取
，则有
；
取
，则有
；
取
，则有
，
故
的距离2 的可能值为
.
4．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合
共有
个三元子集.任意一个三元子集
，定义
.则
__________.
【答案】660
【解析】对于集合
中的元素
，要使
在三元子集
中，
则
可以从1 到
这
个元素中任选1 个，
可以从
到10 这
个元素中任选1 个，
根据分步乘法计数原理，
作为三元子集
的中间数出现的次数为
则
.
5．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集
满足：
，都存在
（其中
），使
得
，则称集合
是的“理想集”．记集合
，若集合
是的“理想
集”，则实数的取值范围为___________
【答案】
【解析】若集合
是的“理想集”，
则关于b 的方程
在
内有解，
若
，即
，
可得
，解得
或
，
则
或
，解得
或
，所以
；
若
，即
，
令
，
，
原题意等价于
在
内有零点，
则
，解得
或
，
因为
且
，可得
或
，
若
，则
，且
，
，
可知
在
内有零点，符合题意；
若
，则
，且
，
，
可知
在
内有零点，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为
.
6．（25-26 高三下·上海·阶段检测）已知集合
，且
，定义这个集合的“复合乘
幂和”：
，其中
，设
表示集合
的所有非空子集的“复合乘幂和”的
总和，则
______．
【答案】
【解析】考虑
前面的系数和，由题设
前面的系数可为
，
故
前面的系数和为
，
所以
前面的系数和为
；
前面的系数和为
；
前面的系数和为
；
前面的系数和为
；
前面的系数和为
；
前面的系数和为
；
前面的系数和为
；
故
.
7．（25-26 高三下·上海浦东新·期中）已知集合M 的元素均为正整数，定义集合M 的“变项和”为：将M
中每个元素m 都乘以
后再求和．若集合
，则集合A 的所有非空子集的“变
项和”的总和为______．
【答案】
【解析】
，
中所有非空子集含有1 的有2026 类：
单元素集合只有
含有1，即1 出现了
次；
双元素集合含有1 的有
，即1 出现了
次；
三元素集合中含有1 的有
，即1 出现了
次，
……
有2026 个元素的集合中含有1 的有
，1 出现了
次；
1 共出现
，
同理
都出现
次，
的所有非空子集中，这些和的总和是
.
8．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m，记
．
①已知
，
，且
，则
；
②已知
，
，则存在实数a，使得
；
③已知
，若
，则对任意
，都有
；
④已知
是等比数列
的前n 项和，
，则存在等比数列
，使得
．
其中所有不正确的命题是______．
【答案】①②③
【解析】①：因
，则
；
，则
，解得：
或
，①错误
②：当区间关于
对称，即
时，
，此时
，
.
当
时，
会增大，因此
的最小值为1，不存在
使得
，命题②错误
③，由题意知
，
，但
是满足
的点集，它可以是
的子集，不一定是整个区
间。
例如
时，
，对于
满足题设，此时
时不满足
，
③错误
④，取等比数列
，
，则
，
，
，即
，④正确
9．（2026·山东德州·模拟预测）已知
，
，
为集合
的非空子集，满足：
①
，
；
②
，
中元素均为奇数，
中元素均为偶数；
③
，
，
中所有元素的和分别记为
，
，
，且
．则正整数
的最小值为________．
【答案】8
【解析】当
，2 时，无法满足
中的元素是3 的倍数，故舍；
当
时，集合
元素的总和为6，每部分和应为2，但
中必须包含3，
其和
，故舍；
当
时，集合
元素的总和为10，不能被整除，故舍；
当
时，集合
元素的总和为15，每部分和应为5，
中必须包含3，
需要再加入和为2 的元素，只能加入2，此时
，剩余元素
分配给
，
无法满足和为5 且奇偶性的要求，故舍；
当
时，集合
元素的总和为21，每部分和应为7，
中必须包含3 和6，
此时和为
，故舍；
当
时，集合
元素的总和为28，不能被整除，故舍；
当
时，集合
元素的总和为36，每部分和应为12，
中必须包含3 和6，
需要再加入和为3 的元素，可加入1 和2，此时
，剩余元素
分配给
，
取奇数
，和为12，
取偶数
，和为12，满足所有条件，
故
的最小值为8.
10．（2026·陕西·模拟预测）已知集合
，
，集合
，
将集合
中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为
，
是数列
的前
项和，则
______.
【答案】
【解析】由题可得集合
，是正奇数集，通项为
，
集合
，是
的整数次幂集，通项为
，
由于集合
，将集合
中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为
，
则数列
前
项由
的前
项和
的前
项组成；
则
11．（2026·北京东城·二模）已知集合A = {1,2,⋅⋅⋅,n}(n≥2)，
.将M 中的
个不
同元素排成一列，得到序列：(x1, y1),(x2, y2),⋅⋅⋅,(xn
2, yn
2)，其中
称为该序列的第项
(i =1,2,⋅⋅⋅,n
2)，若该序列的相邻项满足|xi+1- xi|+|yi+1- yi|=1(i=1,2,⋅⋅⋅,n
2-1)，则称该序列为
序列.若
序列中的项(xi, yi)(i∈{2,3,⋅⋅⋅,n
2-1})满足xi-1= xi= xi+1或yi-1= yi= yi+1，则称该项
具有性质
.
(1)已知
，
，
，
为
序列，写出x，y，z，w 的值；
(2)求证：
序列中存在具有性质
的项；
(3)求证：Γ 11序列中具有性质
的项的个数不少于10.
【解析】（1）当
时，
，所以
.
由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1.
第一项为
，第二项为
，所以
.
即
.解得
.
所以第二项为
.
第二项为
，第三项为
，所以
.
即
.解得
.
所以第三项为
.
中共有4 个不同元素，前三项已经是
，
，
，剩下的一个元素为
，所以第四项为
.
因此
.
（2）以
序列中的项为坐标的点记作
，连接这9 个点共形成8 条单位线段
．
每条单位线段水平或者竖直．
因此8 条单位线段中至少有4 条同为水平或同为竖直．
不妨设至少有4 条水平单位线段．
由于9 个点排成3 行，而每一行至多含2 条水平单位线段，故至少有一行含2 条水平单位线段．
这样该行3 个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具
有性质
．
故
中存在具有性质
的项．
（3）将
序列中相邻两项连接，得到120 条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个
水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段.
在
序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现．
设水平线段数为
，竖直线段数为
，因为单位线段总数为120，
所以
序列中具有性质
的项的个数为
．
要证
．
只需证明
．
因为每一行有11 个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数
满足
，
即
．
所以
．
同理
．
所以
，
故
序列中具有性质
的项的个数不少于10．
12．（25-26 高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列
：
，对任意的
，记
，令集合
，
；记集合
．
(1)若
：1，
，
，直接写出
和
；
(2)若
，且满足
，求集合
的元素个数的最小可能值；
(3)若
，证明：集合
中至少含有46 个元素．
【解析】（1）由题可知，
，
，
，
，
所以
，
，
，
，
所以
，
，
，所以
，
所以
．
（2）当
，
，
，
，
，
，
要使
的元素个数最少，则需要相等的元素最多；
①假设
只有1 个元素，即
，
由
得
，
由
得
，
代入
，得2a2+a2=3a3⇒3a2=3a3⇒a2=a3，与已知条件
矛盾，
因此，
的元素个数不可能为1；
②假设
只有2 个元素，
1）考虑m11=m13且m12=m14，
m11=m13⇒a1
2 = a1+a2+a3
4
⇒2a1=a1+a2+a3⇒a1=a2+a3，
，
我们需要在a1>a2>a3>a4>0的条件下满足上述两个等式，
由
，因为
，所以a1=a2+a3<a2+a2=2a2，即
，
同时a1=a2+a3>a3+a3=2a3，
将
代入第二个等式：
，
我们需要
，
由4 a2=a3+3a4，得a3= 4 a2-3a4，
为了满足
，即a2>4 a2-3a4⇒3a4>3a2⇒a4>a2，
与
矛盾，因此，m11=m13且m12=m14无法同时成立，
2）考虑
且m13=m14，
m11=m12⇒a1=2a2，
，
代入
：2a2+a2+a3= 4 a4⇒3a2+a3= 4 a4，
已知
，
由3a2+a3= 4 a4，因为
且
，
所以3a2+a3>3a4+a4= 4 a4，与3a2+a3= 4 a4矛盾，
3）考虑m11=m14且
，
m12=m13⇒a1+a2=3a3，
m11=m14⇒a1
2 = a1+a2+a3+a4
5
⇒5a1=2a1+2a2+2a3+2a4⇒3a1-2a2-2a3=2a4，
由
得a2=3a3-a1，代入上式：
，
我们需要
，a2=3a3-a1，
由
得a1>3a3-a1⇒2a1>3a3⇒a1>1.5a3，
由
得3a3-a1>a3⇒2a3>a1⇒a1<2a3，
所以1.5a3<a1<2a3，
又2a4=5a1-8a3，由
得5a1>8a3⇒a1>1.6a3，
由
得a3> 5a1-8a3
2
⇒2a3>5a1-8a3⇒10a3>5a1⇒a1<2a3，
取
，则16<a1<20，
取
，则a2=3×10-18=12，
2a4=5×18-8×10=90-80=10⇒a4=5，
此时a1=18,a2=12,a3=10,a4=5，满足
，
计算
的元素：m11= 18
2 =9,m12= 18+12
3
=10,m13= 18+12+10
4
=10,m14= 18+12+10+5
5
=9，
，元素个数为2．
（3）假设
中至多含有45 个元素，则
，
由鸽巢原理，必有一个数在
中至少出现46 次，设
，
考虑
，
，
这45 个值互不相同且均小于，mn1+1,n2<mn1+1,n3<⋅⋅⋅<mn1+1,n46<t，
因此，这45 个值与共同构成了
中至少46 个不同的元素，
与
的假设矛盾，
所以M 中至少有46 个元素．
13．（2026·北京房山·二模）由
个实数组成的有序数组
称为
维向量．
维向量
，
，当且仅当xi= yi
时，
．对任意
，定义：
；
．设集合
为偶数．令集合
存在
，使
得
，
．
(1)写出集合
的所有元素；
(2)判断
与
是否属于集合
，并说明理由；
(3)若
，求证：“
”的充要条件为“
为偶数，且
b1+b8=b2+b7=b3+b6=b4+b5”．
【解析】（1）因为
，
所以
，
因此集合A 的元素由
唯一确定.
因为
，且
为偶数，
所以和只能为0 或2 或4；
当
：
；
当
：
当
：
综上所述，
（2）结论为
，理由如下：
由(1)可得，取
，为便于计算，将后续数据纵向排列，
即
因为
，
所以k1α
→
1=[
0
0
0
0
k1
k1
k1
k1]
,k2α
→
2=[
k2
k2
0
0
k2
k2
0
0]
,k3α
→
3=[
k3
0
k3
0
k3
0
k3
0]
,k 4α
→
4=[
k 4
0
0
k 4
k 4
0
0
k 4]
,k5α
→
5=[
0
k5
k5
0
k5
0
0
k5]
,k6α
→
6=[
0
k6
0
k6
0
k6
0
k6]
,k7α
→
7=[
0
0
k7
k7
0
0
k7
k7]
,k8α
→
8=[
k8
k8
k8
k8
0
0
0
0]
,
又因为
，
，
所以α
→
=[
0
0
0
0
k1
k1
k1
k1]
+[
k2
k2
0
0
k2
k2
0
0]
+[
k3
0
k3
0
k3
0
k3
0]
+[
k 4
0
0
k 4
k 4
0
0
k 4]
+[
0
k5
k5
0
k5
0
0
k5]
+[
0
k6
0
k6
0
k6
0
k6]
+[
0
0
k7
k7
0
0
k7
k7]
+[
k8
k8
k8
k8
0
0
0
0]
=
[
k2+k3+k 4+ k8
k2+k5+ k6+k8
k3+k5+ k7+k8
k 4+k6+k7+k8
k1+k2+k3+k 4+ k5
k1+ k2+ k6
k1+ k3+ k7
k1+k 4+k5+k6+ k7]
.
若
，则至少存在一组整数
使等式
恒成立，即
，
解得方程组通解为
，取
得
，即
;
若
，则至少存在一组整数
使等式
恒成立，
即
，解得方程组通解为
，
因为
，所以不存在一组整数解使得方程组恒成立，所以
.
（3）充分性：
设
，因为
，
所以当方程组
恒成立时，解得
，
因为
为偶数，且
，
所以方程组解中的所有分式的分子都是偶数(两数之和为偶数，则两数之差也为偶数)，
因此所有
必为整数，即方程组至少存在一组整数解，所以
，充分性成立；
必要性：
因为
，所以至少存在一组整数解使得方程组
恒成立，
令
，则
，即
，且
为偶数，
必要性成立.
14．（25-26 高二下·北京·期中）已知
是一个
行
列的数表，其中
且
，且对任意
，都有
. 对于
且
，定义
，
表示有限集合
的元素个数.
(1)若
，写出
的值；
(2)当
时，若
恒成立，求证：k ≥m
3 ；
(3)对给定的
，设
的最大值为
，求
的最大值和最小值.
【解析】（1）比较
的第
列，相同行有第1、3、4行，故
；
比较
的第
列，相同行有第
行，故
.
（2）考虑
的任意一行
，
由于每个元素只能是
或，则这三个元素中至少有两个是相等的，
即在
的三个组合
中，至少有一个组合满足
，
按行统计即可得
中所有相等元素的对数和至少为
，
等价于所有
组合的
之和满足
结合条件
，得
，即k ≥m
3 .
（3）由定义可知
，则
，而当
的所有列完全相同时，
对任意
都有
，此时
，因此
的最大值为.
设第行有
个，则有
个
，该行中相等元素的对数为
，
该式对
同样成立，
以
为自变量，当
取最接近对称轴ai= n
2的整数时，
取得最小值，
当
为偶数时，ai= n
2时有
，
当
为奇数时，ai= n+1
2
时有
，
采用与（2）相似的分析可知所有
组合的
之和为
，
又
的最大值为
，所以
，
可得
，代入
即可得
.
15．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（
，
），集合
.给定集合M 的一个子集A，对于M 中的元素
，若存在
且
，
，使得集合
与A 的交集所含元素个数为0 或4，则称
为A 的一个“同形点”.
(1)当
时，写出集合
的所有“同形点”；
(2)当A 只有一个元素时，求其“同形点”的个数；
(3)若M 的任意子集都有“同形点”，求
的最小值.
【解析】（1）
，
当“同形点”为
时，取
，
此时
，显然其与
交集所含元素个数为0
当“同形点”为
时，取
，
此时
，显然其与
交集所含元素个数为0，
故其“同形点”为
.
（2）
的＂同形点＂的个数为
．证明如下：
设
，由题：取集合
．
若
为
的＂同形点＂，应有
，且
．
①当
时，若
且
，取
为
，
则
与
的交集元素个数为0，
此时
为
的＂同形点＂，共有
个；
②当
时，同理可得
中除
外，
其余元素都是
的＂同形点＂，共有
个；
③当
时，同理可得
中除
外，
其余元素都是
的＂同形点＂，共有
个；
④当
时，同理可得
中除
外，其余元素都是
的＂同形点＂，共有
个．
综上可得
的＂同形点＂的个数为
．
（3）
的最小值为21．
证明如下：
首先当
时，
，由对称性不妨设
中元素个数不少于11，
对于
，设
的元素个数为
，
若存在
，因为
，所以存在
，有
，
不妨设
，则
中至少一个是
的＂同形点＂；
若
恒成立，因为
，所以存在
，
有
，因为
，
所以存在
，使得
，不妨设
，则
为
的＂同形点＂．
其次当
时，不妨设
；
①若
，则
，取
可得其无＂同形点＂；
②若
，则
，
取
，
可得其无＂同形点＂；
综上
的最小值为21．
16．（25-26 高三下·上海浦东新·期中）对于定义在区间
上的函数
，定义集合
．对任意闭区间
，设函数
在区间
上的最大值
为
，最小值为
，记
．
(1)若
，判断函数
是否属于集合
，并求
的值；
(2)若
，且
，求函数
的解析式；
(3)若
，令
．证明：
是单调函数的充要条件是：对任意
，
恒成立．
【解析】（1）任取
，
，
又
，所以函数
属于集合
易知
在
上严格单调递减
故最大值
，最小值
因此
（2）取
，则
又
，所以
；
取
，则
又
，所以
综上
，所以
（3）必要性：若
单调递增，则对任意
，
，
在定义域上单调递增，
所以
；
若
单调递减，则对任意
，
，
在定义域上单
调递增，
所以
必要性得证.
充分性：若
不单调，则在
存在极值点
，导致
，与题意矛盾，故
是单调函数
充分性得证
17．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集
满足对于任意
，都存在
，使得
．
(1)若
，
，且
，求
；
(2)证明：对于任意
，都有
；
(3)若
，
，且
，求数集
中所有元素的和．（用含有
的式子表示）
【解析】（1）当
时，取
，则
故命题成立.
当
或
时，命题也显然成立.
由题意，对
，应有
故
分别解得
又因为
为三元数集，故
，且
，所以
（2）当
时，命题显然成立.
当
时，设
为
中的最大元素，
为
中的最小元素.
若
既不是最大元素，也不是最小元素，则
于是对任意
，都有
另一方面，取
，则
由题设，应存在
，使得
即
这与
矛盾.
故
必为
中的最大元素或最小元素.
若
为最大元素，则对任意
，都有
从而
若
为最小元素，同理可得
命题得证.
（3）若
，则
，又已知
，故
是
中的最小元素.
下证
成等差数列.
由
且
，由题设知存在
，使得
又因为
是最小元素，所以
.
由
可知
，故只能有
，从而
所以
成等差数列.
设对
，都有
其中
.
则
即
由题设，存在
，使得
由
可知
，于是
.
又由归纳假设，
结合
，可知只能有
所以
由数学归纳法可知，对任意
，都有
故当
时，
中元素之和为
当
时，
为
中的最大元素. 用同样的方法可证
成等差数列.
又因为该等差数列的首项为
，末项为
，项数为
，故当
时，
中元素之和为
综上，当
时，
中元素之和为
；当
时，
中元素之和为
.
18．（25-26 高三下·河北·开学考试）已知
，
，
，其中
，
．
(1)设
，证明：
．
(2)求
中所有元素之和．
【解析】（1）因为
，
，
，
，
所以
或
，
，
记
中的最大元素为
，则
时，
，
所以
，
所以
，
所以
，为
中的最大元素，
此时
恒成立，
所以对
，均有
.
（2）由（1）得
中的最大元素
，
当
时，
的取值情况有
种，
所以
在所有元素之和中出现
次，
所以
中的所有元素之和为
.
19．（2026·北京石景山·一模）已知集合
，其中
，若对于任意
的
，总有
，则称集合
具有性质
．由
中的元素构成两个相应的集合：
其中
是有序数对．集合
和
中的元素
个数分别为
和
．
(1)检验集合
与
是否具有性质
，并对其中具有性质
的集合，写出相应的集合
和
；
(2)对任何具有性质
的集合
，证明：
；
(3)判断
和
的大小关系，并证明你的结论．
【解析】（1）因为
，所以
不具有性质
；
因为
，
，
，所以
具有性质
；
，
.
（2）因为对于任意的
，总有
，所以
，从而
，
因为
，
，
，
所以当
时，
和
至多有一个成立，
所以集合
中的元素个数最多为
，即
.
（3）
，证明如下：
①设
，则
，
设
，则
，故
，
从而
，即对
，总存在，使得
，从而
；
②设
，则
，
设
，则
，故
，
从而
，即对
，总存在，使得
，从而
；
由①②可知
.
20．（2026·河北石家庄·一模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)记函数
的极小值点为
，若
满足
，设集合
，
，其中
表示不大于
的最大整数.
（i）求
和
的表达式，并判断1，2，3，4，5，6 与集合
的关系（参考数据：
）；
（ii）定义：若集合
满足：
，且
，则称集合
是正整数集的一个“互补覆盖”，
求证：集合
是正整数集的一个“互补覆盖”.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
，
当
时，
，故函数
单调递减；
当
时，
，故函数
单调递增.
所以函数
的减区间为
；增区间为
；
（2）（i）当
时，
，
令
，解得
，
函数
）在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故
，故
，故
；
，故
，故
；
，故
，故
.
故
；
（ii）先证明：
.假设存在正整数
满足
，
记
，其中
，且
.
若
，则
，
即
，显然等式右侧为整数，左侧为无理数，故
.
故
，
故
，与假设矛盾，故假设不成立，因此
；
再证明：
.
解法一：由（1）知
时成立，设任意一个大于6 的正整数为
，
一定存在正整数
满足
，
即证明
的整数中有
个在集合
中，
有
个在集合
中，
，只需证明
即可.
易知
，且
，
又因为
，
即
，故
，又
，于是原结论成立，
综上知，集合
是正整数集的一个“互补覆盖”.
解法二：由（1）知
时成立，假设存在一个大于6 的正整数为
，不存在正整数
，
满足
，
或
时，无理数等于有理数，显然不成立，
所以
，且
所以
且
化简得
，显然不成立,故假设不成立，所以原命题得证，
又
，综上知，集合
是正整数集的一个“互补覆盖”.
21．（2026·北京密云·一模）已知集合
.对于
，定义
与
的差为
，
；定义
与
之间的距离为
.
(1)若
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)证明：
三个数中至少有一个是偶数.
【解析】（1）
，说明
与
只有个位置元素不同，
全为，因此
恰有1 个位置为0，其余
为，
则所有满足条件的
为：
；
（2）已知
，
，
，
，
即
和
中恰好各有个分量为
（其余为）
设
的
的位置集合为
，
的0 的位置集合为
,则
，
则
，而
的最小值为
，
因此
的最大值为
（3）证明：
对任意位置，讨论三个差
的和的奇偶性：
若
全相同：三个差都为
，和为偶数；
若两个相同一个不同：不妨设
，则三个差为
，和为
，仍是偶数；
所有位置求和得：
是偶数；
若三个数全为奇数，总和为奇数，与上述结论矛盾，因此三个数中至少有一个是偶数，得证.
