文档文本内容
微专题拓展14 导数新定义压轴难题
目录
01
题
解
方法总结.............................................................................................................................2
02
难
题
重
点
型梳理........................................................................................................................ 3
题型 1：自定义 “运算型” 导数....................................................................................................3
题型2：高等数学背景.........................................................................................................................4
题型 3：自定义 “不等式恒成立型”..............................................................................................7
题型 4：自定义 “函数变换”..........................................................................................................9
题型 5：切线新定义.......................................................................................................................... 11
题型 6：自定义 “零点 / 交点新定义”.......................................................................................12
03
拓展
课后
精练...........................................................................................................................14
导数新定义通用万能解题步骤
1、拆定义：把题目陌生文字 / 符号翻译成数学等式，一字一句对照；
2、代换化简：将
代入新运算，消去陌生符号，化为普通导数式；
3、常规导数处理：求导定义域分类讨论参数单调性极值最值；
→
→
→
→
4、转化设问：
恒成立 ⇒ 最值不等式；
存在性 ⇒ 最值有解；
零点问题 ⇒ 数形结合 + 隐零点；
双变量不等式 ⇒ 统一变量 / 构造函数 / 极值点偏移；
5、检验边界：定义域端点、导数不存在点、参数分界点单独验证。
题
型1
定义
导数
“
”
：自
运算型
例1．阅读下列材料：
定义1：设
是两个（项数有限的）实数数列．数列A 和B 的项满足以下
三个条件：
（i）
且
；
（ii）对于任意的
，有
；
（iii）
．
那么我们就说数列
优超于数列
，写成
或
．
定义2：对函数
，若它的导函数
的导函数
，就称
下凸．
定理：若函数
下凸，且数列
优超于数列
，即
，则
．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)判断数列
与数列
是否有优超关系，并证明你的结论．
(2)若数列
超于数列
，即
，证明：
的方差不小于
的方差．
(3)若函数
，证明：
．
例2．（2026·上海普陀·一模）设函数
的定义域为
，导函数为
，对于实数，若存在
，使得
成立，则称函数
具有性质
．
(1)若函数
，请判断该函数是否具有性质
，并说明理由；
(2)设
，若函数
具有性质
，且
的值恰有三个，求
的取值范围；
(3)若函数
，求证：该函数具有性质
的充要条件是
例3．（2026·四川·二模）记函数
与
的复合函数为
，其导数为
.由此，我们定义函数的一种
嵌套导数
运算：对于可导函数
“
”
，定义其
1 阶嵌套导数 为
；定义其k 阶嵌套导数
且
递归地为
.
例如，
.已知函数
.
(1)求
和
的表达式；
(2)若
，求证：
对任意
恒成立；
(3)设
，方程
在区间
上有唯一实数解
.记
，试探究
的极值点个
数与
的关系，并说明理由.
题型2
数
：高等
学背景
例4．平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率， 表明曲线偏离直线的程度. 定
义函数
的曲率函数
，（
是
的导数，
是
的导数）．
(1)求
在
处的曲率；
(2)证明：
图象上任一点曲率恒为常数；
(3)若函数
在
处的曲率相同，证明：
.
例5．（2026·重庆·模拟预测）帕德逼近在函数近似理论中具有重要地位，它通过有理函数（两个多项式之
比）实现对给定函数的高效逼近，有效克服了传统多项式近似在大区间内误差累积的缺陷.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足
，
，
.
其中
，
.已知
在
处的
阶
帕德近似为
.（其中为自然常数，
）
(1)求
，
的值；
(2)若对于
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，
例6．（2026·山东枣庄·三模）超导量子计算原型机
祖冲之三号
的问世标志着我国在量子计算硬件研发
“
”
上进入世界第一方阵.帕德逼近通过有理函数形式对复杂函数（如指数函数、对数函数等）进行高效逼近，
可在量子电路中用较少的量子门实现量子算法设计，降低算法的资源消耗和误差积累.帕德逼近是法国数学
家帕德发明的用多项式逼近特定函数的方法.给定两个正整数
，
，函数
在
处的
阶帕德
逼近定义为：
，且满足：
，
，
，
，
…
.注：
，
，
，
，
….
(1)求
在
处的
阶帕德逼近
；
(2)在（1）的条件下，当
，试比较
与
的大小，并证明；
(3)已知数列
满足
，
，证明：
.
变式1．（2026·贵州安顺·模拟预测）有一种速度叫
中国速度
，
中国速度
正在刷新世界对中国高铁
“
”
“
”
的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画
路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记
为
的导函数，
为
的导函数，则
曲线
在点
处的曲率为
．
(1)已知函数
，求曲线
在点
处的曲率
；
(2)已知函数
，求曲线
的曲率
的范围．
变式2．（2026·高三·江西·阶段检测）在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度.设光滑连续曲线
，定义
为曲线
在点
处的曲率，其中
为
的导函数，
为
的导函数.已知曲线
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的曲率；
(2)已知曲线
在不同的两点
处的曲率均为0.
（i）求实数
的取值范围；
（ii）求证：
.
变式3．泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点附近用多项式逼近．
若函数
在包含
的闭区间
上具有n 阶导数，在开区间
上具有
阶导数，则对
上任意
一点x，有
，其中
为泰勒
公式的余项．（
的n 阶导数记为
，其中
为
的导数，
为
的导数，
为
的导数．）
(1)若
，写出
在
处的泰勒展开式；
(2)当
时，判断第（1）问中
与0 的大小，并证明；
(3)证明：对任意正整数n，有
，其中，
．
题型 3
定义
：自
“不等式恒成立型”
例7．（2026·广西桂林·一模）对
，若函数
在
有不等式
，则称函数
是在
上的
凹函数
，反之，若不等
“
”
式
，则称函数
是在
上的
凸函数
，当且仅当
“
”
时等号成立．也可理解为若函数
在
上可导，
为
在
上的导函数，
为
在
上的导函数，当
时，函数
是在
上的
凹函数
，反之，当
“
”
时，则称函数
是在
上的
凸函数
．
“
”
(1)判断函数
的凹凸性；
(2)若
，令
，求
的最小值
；
(3)
为（2）问所得结果，证明不等式：
．
例8．（2026·河南许昌·模拟预测）对于函数
，
和
，
，设
，若对
任意的
，
，都有
成立，则称函数
与
具有
“
性质
”.
(1)判断函数
，
与
是否
具有性质
“
，并说明理由；
”
(2)若函数
与
具有性质
“
，且函数
”
在区间
上存在两个零点
，
，求证：
；
(3)已知函数
，
，
，求证：函数
与
具有性质
“
”.
例9．（2026·河北·模拟预测）若存在正数
，对任意的
，
恒成立，
则称函数
，
在
上具有性质“
．
”
(1)判断函数
，
在
上是否具有性质“
，并说明理由；
”
(2)若函数
，
在
上具有性质“
，求
”
的取值范围；
(3)若函数
与
在
上具有性质“
，且存在
”
，
，使得
，求证：
．
变式4．（2026·高三·广东汕头·期末）某些函数如
和
的图象具有性质：曲线上任意两点间的弧
段总在这两点连线的下方.这个性质可表示为：设
是定义在区间
上的函数，则对于
上的任意
与
任意
，总有
成立.
(1)设
，求证：
；
(2)设
，求证：
；
(3)某同学研究发现，若函数
在
上存在导函数
，则上述性质的充要条件为
在
上递增，求
证：
，其中
均为正数.
变式5．（2026·高三·福建·阶段检测）设函数
定义在区间
上，若对任意的
、
，有
，则称
为
上的下凸函数，当且仅当
时等号成立．若函数
在区间
上存在二阶可导函数，则
为区间
上的下凸函数的充要条件是
．
(1)若函数
是
上的下凸函数，求实数
的取值范围；
(2)当
，
时，证明：
；
(3)在
中，求
的最大值．
题型 4
定义
数
：自
“函
变换”
例10．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
在
上单调递增，
则称
为
强增函数
“
”.
(1)若
是
强增函数
，求
“
”
的取值范围；
(2)已知
，请判断
的导数
在
上的单调性，并说明理由
(3)已知
，
，
，
.证明：
.
参考结论：当
时，
.
例11．（2026·云南·模拟预测）定义：
，
是函数
的两个极值点，若
，则
称
为“
函数
．
”
(1)若
为“
函数
，求实数
”
的取值范围；
(2)已知函数
有两个极值点．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
为“
函数
．
”
例12．设函数
在区间
上的导函数为
，且
在
上存在导函数
（其中
.定义：若区间
上
恒成立，则称函数
在区间
上为凹函数．
(1)判断函数
在区间
上是否为凹函数？并说明理由；
(2)是否存在实数
，使得函数
在区间
上为凹函数？若存在，求实
数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设
且
，对于任意的
，不等式
成立，求
的最大值．
变式6．（2026·高三·宁夏银川·期末）定义
下凸函数
“
”
：在区间
上，对任意
，均有
，当且仅当
时，等号成立．若函数
在区间
上存在二阶可导函数，
则
为区间
上的
下凸函数
的充要条件是
“
”
（
为
的导函数）．
(1)若
是
上的
下凸函数
，求实数
“
”
的取值范围；
(2)证明：函数
在
上为
下凸函数
；
“
”
(3)已知正实数
满足
，求
的最小值（用含
的代数
式表示）．
变式7．（2026·上海徐汇·二模）已知函数
与函数
的定义域均为
，且在
上的导函数
分别为
和
.若存在常数
，使得对任意实数
恒成立，则称
是
的“
调整函数
，并称
”
为调整系数.
(1)设
.求证：
是
的“2-调整函数
；
”
(2)设
.若存在实数
，使得
是
的“
调整函数
，求调
”
整系数
的取值范围；
(3)已知
是
的“1-调整函数
，函数
”
的值域是一个闭区间，记作集合
，函数
的值域记作集合
.若
，判断
是否一定是常值函数，并说明理由.
题型 5
新定义
：切线
例13．（2026·高三·安徽宣城·期末）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若对任意的实数
、
，曲线
与直线
总相切，则称函数
是“
函数”.若
当
时，函数
是“
函数”，求实数
的值.
例14．（2026·高三·江苏·期末）已知函数
，
．
(1)当
时，
①证明：
时，
；
②求函数
的极值点个数；
(2)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切线”．若曲线
与曲线
存在两条互相垂直
的“合一切线”，求
、
的值．
例15．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在
，
，使得曲线
在点
和点
处有相同的切线l，则称切线l 为曲线
的
自公切线
“
”.已知函数
．
(1)若函数
在区间
上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)证明：当
时，曲线
不存在
自公切线
；
“
”
(3)若曲线
有且只有两条
自公切线
，求实数
“
”
a 的取值范围．
变式8．定义：如果函数
在定义域内，存在极大值
和极小值
，且存在一个常数
，使
成立，则称函数
为极值可差比函数，常数
称为该函数的极值差比系数．已知函数
(1)当
时，判断
是否为极值可差比函数，若是，求极值差比系数，若不是，说明理由；
(2)是否存在
使
的极值差比系数为
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
(3)若
，求
的极值差比系数的取值范围．
题型 6
定义
：自
“零点 /
新定义
”
交点
例16．（2026·高三·甘肃庆阳·期中）记函数
的导函数为
，函数
的导函数为
，若
，则称点
为函数
的广义反曲点.
(1)若
，求
的广义反曲点；
(2)已知函数
有且仅有三个广义反曲点，证明函数
的三个广义反曲点共线，
并求出直线方程.
例17．（2026·山东·二模）函数
和
有相同的定义域，导函数分别为
，
，若在
定义域内均有
，则称
是
的“
－函数
．
”
(1)判断
是否为
的“
－函数
，并证明；
”
(2)设
和
为定义在
上的函数，已知
，
，
是
的
“
－函数
，证明：
”
（为常数）；
(3)若
，
，
，
，证明：
是
的“
－函数”．
例18．（2026·湖北宜昌·二模）定义：若函数
图象上恰好存在相异的两点
，满足曲线
在
和
处的切线重合，则称
为曲线
的
双重切点
，直线
“
”
为曲线
的
双重切
“
线”.已知函数
.
(1)当
时
（i）判断
的奇偶性，并求
在
的极值；
（ii）设
在
内的全部极值点按从小到大的顺序排列
，求证：
；
(2)当
时，直线
为曲线
的
双重切线
，记直线
“
”
的斜率所有可能的取值为
，若
，证明：
.
变式9．若定义在
上的函数
和
分别存在导函数
和
，且对任意实数
，都存在
常数
，使
成立，则称函数
是函数
的“
控制函数
，称
”
为控制系数．
(1)求证：函数
是函数
的“
控制函数
；
”
(2)若函数
是函数
的“
控制函数
，求控制系数
”
的取值范围；
(3)若函数
，函数
为偶函数，函数
是函数
的“
控制函数
，求
”
证：“
的充要条件是
存在常数
”
“
，使得
恒成立
．
”
1．（2026·云南昭通·二模）帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．给定两个正
整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
．注：
已知
在
处的
阶帕德近似为
．
(1)求实数
的值；
(2)当
时，试比较
与
的大小，并证明；
(3)已知正项数列
满足：
，证明：
．
2．帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足
.其中
.已知
在
处的
阶帕
德近似为
.
(1)求
的值；
(2)若对于任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
3．（2026·广东江门·一模）帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已
知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足
.其中
.已知
在
处的
阶帕
德近似为
.
(1)求
的值；
(2)若对于任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
(3)已知
是函数
的三个不同的零点，且
，求实数
的取值范
围，并证明
.
4．（2026·上海·三模）若曲线
的切线与曲线
共有
个公共点（其中
），则称为曲线
的“
切线
．
”
(1)若曲线
在点
处的切线为
切线，另一个公共点的坐标为
，求
的值；
(2)求曲线
所有
切线的方程；
(3)设
，是否存在
，使得曲线
在点
处的切线为
切线？若存在，
探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
5．（2026·高三·四川成都·阶段检测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（Isaac
Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用
作切线
的方法求方程的近似解
“
”
.具体步骤
如下：设是函数
的一个零点，任意选取
作为的初始近似值，在点
处作曲线
的切线，设与
轴交于点
，并称
为的1 次近似值；在点
处作曲线
的切线
，设
与
轴交于点
，称
为的2 次近似值.一般地，在点
处作
曲线
的切线
，记
与
轴交于点
，并称
为的
次近似值.
(1)若函数
，取
作为的初始近似值，求的2 次近似值；
(2)若函数
，取
作为的初始近似值，点
，数列
是由
，
，
，
，
构成
的，记：
，
.回答以下问题：
（i）求数列
的通项公式，并将
的长度用
表示；
（ii）求证：
.
6．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，
.如果
当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限
叫作未定式，并分别简记为
或
.当
（或
），极限
为未定式且
、
、
存在
时，有：
.这种在一定条件下通过分子分母分别
求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（
）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①
；②
；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①
；②
；③
；
(3)
且
，
，
恒成立.
直接写出
①
解析式；
求
②
的取值范围.
7．（2026·高三·河南·阶段检测）若函数
在开区间I 内满足：
，
在
处的切线的斜率均为
，则称
为I 内的“
缘分函数
．
”
(1)判断
是否为
内的“
缘分函数
，并说明理由；
”
(2)若
为
内的“
缘分函数
，求实数
”
a 的取值范围；
(3)证明：
不是
内的“
缘分函数”
．
8．已知函数
的导函数为
，我们称函数
的导函数
为函数
的二阶导函数，若一个
连续函数
在区间
上的二阶导函数
，则称
为
上的凹函数，若二阶导函数
，
则称
为
上的凸函数.
(1)若函数
是
上的凸函数，求实数
的取值范围.
(2)已知函数
.
若
①
是
上的凹函数，求实数
的取值范围；
若
②
在
内有两个不同的零点
，证明：
.
9．在高等数学中，我们将
在
处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中
表示
的n 次导
数
），以上公式我们称为函数
在
处的泰勒展开式．当
时泰勒展开式也称为麦
克劳林公式．比如
在
处的麦克劳林公式为：
，由此当
时，
可以非常容易得到不等式
请利用上述公式和所学知识完成
下列问题：
(1)写出
在
处的泰勒展开式；
(2)根据泰勒公式估算
的值，精确到小数点后两位；
(3)若
，
恒成立，求a 的范围．（参考数据
）
10．在航空领域，飞机飞行轨迹的弯曲程度对飞行安全和效率至关重要.对于一条光滑曲线
，我们
定义曲线段
的平均曲率为
，曲线在点C 处的曲率为
（若极限存在），
其中
，
分别表示
在点C 处的一阶、二阶导数值.已知函数
.
(1)求函数
在点
处的曲率；
(2)求函数
的曲率K 的最大值；
(3)设函数
，
，若存在
使得
的曲率为0，求证：
.
11．牛顿法（Newton´sMethod）是牛顿在17 世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如
图，设是
的根，选取
作为的初始近似值，过点
作曲线
的切线
的方程
为
．若
，则
与
轴的交点的横坐标记为
，称
为的一阶近似值．
再过点
作曲线
的切线，并求出切线与
轴的交点横坐标，记为
，称
为的二阶近似
值．重复以上过程，得的近似值序列：
．根据已有精确度
，当
时，给出近似解．
已知函数
．
(1)若给定
，求方程
的二阶近似值；
(2)求曲线
在点
处的切线方程，并证明
；
(3)若关于
的方程
的两个根为
，证明：
．
12．给定两个正整数
、
，函数
在
处的
阶帕德逼近定义为
，且
满足
，
，
，
（注：
为
的导函数，
为
的导函数，
为
的导函数，以此类推）．已知函数
．
(1)记
为
在
处的
阶帕德逼近，求
解析式；
(2)
，
，求
的取值范围．
13．（2026·上海浦东新·二模）定义域为
的可导函数
满足，在曲线
上存在三个不同的点
，使得直线
与曲线
在点
处的切线平行（或重合）．
若
成等差数列，则称
为
等差函数
；若
“
”
成等差数列且
均为整数，则称
为
整数等差函数
．
“
”
(1)设
，
，分别判断
和
是否为
整数等差函数
，直接写出结论；
“
”
(2)若
为
整数等差函数
，求实数
“
”
的最小值；
(3)已知
的导函数
在
上为增函数，且存在一个正常数
， 使得对任意
，
成立，证明：
为
等差函数
的充要条件是
“
”
为常值函数．
