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培优专题 05 导数 7 大重难题型
参考答案
题型01极值问题
1．【详解】（1）因为 ，
则 ， ，故 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
此时 ， ，
当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
所以，当 ， ，所以 在区间 上单调递增，
又 ， ，故存在 使得 ，
所以当 时， ， 单调递增，则 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，故函数 在 时取得极小值，所以 .
2．【详解】（1）若 ，则 的定义域为 ，且 ，
令 ，可得 ，解得 或 （舍去），
且 ，则 在 处的切线方程为 ，
所以直线 是曲线 的切线.
（2）因为 ， ，
令 ，解得 或 ，
若 ，由 解得 ，即 的定义域为 ，且 ，
当 时， ；当 时， ；
可知函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
若 ，由 解得 ，即 的定义域为 ，且 ，
当 时， ；当 时， ；
可知函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
综上所述：当 ，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（3） 无极值，理由如下：
因为 ，且 ，若 ，则 的定义域为 ，
当 时， ；当 时， ；则 ，
且函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，则 ，
即 ，可知 在定义域 内单调递增，所以 无极值；
若 ，则 的定义域为 ，
当 时， ；当 时， ；则 ，
且函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，则 ，
即 ，可知 在定义域 内单调递增，所以 无极值；
综上所述： 无极值.
3．【详解】（1）因为 ，所以 ，所以 .
又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为
当 时， ，
所以曲线 在点 处切线经过定点 .
（2）当 时， ，
令 ，得 ，
与 的变化情况如下表：
1
+ 0 0 +
↗ ↘ ↗所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）假设存在实数 ，使得函数 与 在 处同时取得极值，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
此时 恒成立，不存在极值，矛盾，
所以不存在实数 ，使得函数 与 在 处同时取得极值.
4．【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，
因为曲线 在 处的切线方程为 ，
故切点为 ，
因为 ，故切点 在曲线 上，
因为 ，所以 ，解得 ，
故 的值为 ；
（2）当 时，所以 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以函数 在 处有最小值，即 ，所以曲线 在定义域内 恒成立，
故 时，曲线 不存在斜率小于零的切线；
（3）当 时，函数 存在极值；
当 时，若函数 存在极值，则 有解，
即 ，
当 ，即 时，关于 的方程无解，
当 ，即 时，得 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以函数 在 处有极小值为 ，
因为 时， ，当 时， ，故函数 大致图象如下：
所以要使 有解，则 或 ，
下面，讨论 或 ，函数 是否存在极值，
令 ， ，当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
因为 时， ，所以 ，即 ， ，
所以当 时，函数 存在极值，
当 时，因为 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
所以 在 处有最小值，
因为 ， ，
所以当 时， ，故函数 存在极值，
当 时， ，故函数 不存在极值；
综上，若函数 存在极值，求 的取值范围为 .
5．【详解】（1）由 可得 ， ，
则 ，由题意，可得 ，解得 ，
即 ；
（2）由 在区间 上单调递增，可知 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，也即 在区间 上恒成立.
因函数 在区间 上为增函数，故 ，
则 的取值范围为 ；
（3）因 ，要使 存在极大值，需使关于 的方程 有正实根，而当 时， ，此时方程有两正根为 ，
由 可得 或 ，由 可得 ，
故函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时，函数 取得极大值.
不妨设 ，由 可得 ，即得 ，
则 的极大值为 ，且因 ，则得 ，
要证函数的极大值小于 ，只需证 ，
设 ，则 ，
因 ，则有 ，故函数 在 上单调递增，
则 ，
即 ，
故 时，函数 的极大值小于 .
6．【详解】（1）当 时， ， ，即切点为 ，
， ，即 在 处切线的斜率为 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；（2）
若 在 上单调递减，
则 在 上恒成立，即 ，
因为 在 单调递增，
在 单调递增，
所以 在 单调递减，
当 时， ，
所以实数 的取值范围为 ；
（3） ，
令 ， ， ，
在 单调递增，且 ，
在 单调递增，且 ，
在 单调递减，
， ，
即 ， ，
存在唯一的 ，使 ，即 ，当 时， ，即 ， 在 单调递增，
当 时， ，即 ， 在 单调递减，
在 处取得极大值，设极大值 ，
即 ，
令 ， ，
，
对勾函数 在 单调递增，
，
，
，
，
即 ， .
题型02恒成立问题
7．【详解】（1）由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，①当 时， ，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
②当 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
③当 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）由（1）知，当 时， ，符合题意；
当 时，由（1）知， ，故 等价于 ，
即 ，即 ，解得 ；
当 时， ，故 等价于 ，
即 ，即 ，可得 ，解得 ；综上，a的取值范围 .
8．【详解】（1）当 时， ，所以 ．
所以 ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）由 ，得 ，
令 ，则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数．
所以 的最小值为 ．
，
又 在 单调递减，在 单调递增，
故存在 ，使得 ，
所以，在区间 上 ，在区间 上 ．
所以，在区间 上 单调递增，在区间 上 单调递减，
故 是函数 的极大值点．
同理：存在 ，使得 ，
所以，在区间 上 ，在区间 上 ．所以，在区间 上 单调递减，在区间 上 单调递增，
故 是函数 的极小值点．
综上：函数 极值点有2个．
（3）对任意的实数 恒成立，
等价于 在 上恒成立，得 ，
令 ，则 ．
令 ，则 ．因为 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 ，所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 的最小值为 ．所以 ，
即实数 的取值范围 ．
9．【详解】（1）当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3）函数 的定义域为 ，
，不等式 恒成立，
令函数 ，求导得 ，
令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，
而 ， ，则 ，使得 ，即 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，
而 ，所以整数m的最小值为1.
10．【详解】（1）当 时， .
因为 ，
，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： 即 .
（2） ， .
当 时，由 ，此时 ，函数 在 上单调递减；
当 时，由 ，
此时由 ，由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.综上可知，当 时，函数 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3）设 ，问题转化为 在其定义域上恒成立，求 的值.
因为 .
若 ，则函数的定义域为 ，此时 ，即 ，
所以 在 上单调递增.
因为 .
设 ， .
则 .
由 ；由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
所以 恒成立，所以 在 不可能恒成立.
若 ，则函数的定义域为 ，此时 ，
由 ，由 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
要想 在 上恒成立，需要 .设 ， .
则 .
由 ，由 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
即当 时， .
所以 为所求.
11．【详解】（1）由题设， ，则 ，所以切点为 ，
由 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2）由题意知 的定义域为 ， ，
令 ，
当 时， ， 在 单调递增，无极值点，
当 时， ，
时， ， 在 单调递增，无极值点；
时， ，设方程 的两根为 ，
所以 ，此时 ，，
，
，
时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减.
函数有两个极值点；
当 时， ，设方程 的两根为 ，
所以 ，此时 ，而 ，
时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减.
函数有一个极值点；
综上：
当 时，函数 有一个极值点；
当 时，函数 无极值点；
当 时，函数 有两个极值点.
（3）由 成立等价于 在 上恒成立.
令 且 ，则 ，
令 且 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，故 ，所以 在 上单调递增， 时 ， 时 ，
所以 ，则 .
12．【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
则 ，即切线的斜率为 ，切点坐标为 ，
所以 在 处的切线方程为 .
（2）证明：由函数 ，可得 ，
当 时，可得 ，所以 ， 在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时， .
（3）解：由函数 ，可得其定义域为 ，且 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ；当 时， ，
设 ，要使得 恒成立，即 恒成立，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，即 ，解得 ，
下面证明：当 时， 恒成立，
由 ，可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增， ；当 时，设 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 在 单调递增，
又由 ，
所以存在唯一 ，使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 且 ，
所以当 时， 恒成立，
综上可得，当 时， ，即实数 的值为 .
题型03能成立（有解）问题
13．【详解】（1）对函数求导得 ，所以 .
因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）对函数求导得 ，因为函数 是 上的单调递增函数，
所以 在 上恒成立.
令 ，则 .
当 时， ，所以 ， 在 上单调递增.
又因为 ，当 时， ，不满足 在 上恒成立，所以 .
令 ，即 ，解得 .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
所以 在 处取得最小值 .
因为 在 上恒成立，所以 ，即 .
令 ，对 求导，可得 .
令 ，即 ，解得 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 在 处取得最大值 .
因为 ，且 ，所以 ，此时 .
（3）令 ，所以原问题变为存在 ，使得 成立，
对 求导得， ，令 .
求导得 ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 .
此时不存在 ，使得 成立，不符合题意；
当 时，令 ，则 .
当 时， ；当 时， ；
当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 .
所以 在 上单调递增，所以 ，即 .此时不存在 ，使得 成立，不符合题意；
当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以在区间 上 ，
因此 在 上单调递减，
又 ，故存在 ，使得 ，即 成立，
综上，所以 .
14．【详解】（1）根据题意， ，
则 ，且 ，
所以 在 处的切线方程为： ；
（2）令 ，得 或 ，
则当 和 时， ，则函数 单调递增，
则当 时， ，则函数 单调递减，
所以 为函数 的极大值点，极大值为 ，
为函数 的极小值点，极小值为 ，
所以函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为 和 ，
极大值为 ，极小值为 ；
（3）根据题意关于x的不等式 在 上有解，
即 在 上有解，
设 ， ， ， ，由于 ， 在 上单调递增，所以 ，
在 上单调递减，所以 ，
则 ，解得 .
【点睛】关键点点睛：设 ， ， ， ，关于x的不等式 在
上有解，转化为函数 的最小值小于或等于 的最大值.
15．【详解】（1） 时， ，所以 ，故
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2） ．
令 ，则 ．
因为 ，所以当 变化时， 的变化情况如下表：
0
增 极大值 减
所以 ．
由 ，可知 在 上单调递减，
所以 .
（3）由题意，存在 ，使 成立，
即存在 ，使 成立，即 成立．
令 ，
则 ．
①当 时，在 上 ，故 在 单调递增，
所以 ，不合题意．
②当 时，令 ．
因为 ，所以 在 单调递增，
又因为 ，
所以存在 ，使 ．
所以当 变化时， 的变化情况如下表：
0
0
减 极小值 增
，取 ，故 在 上有解 ，
综上， 的范围是 .
16．【详解】（1）当 时， ， ，
，又 ，
曲线 在点 处的切线方程为： ；（2） ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，无极值；
当 时，令 ，即 ，
解得 ，
当 时， ，
0 0
极大值 极小值
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， 为函数的两个极值点，
故 符合题意；
当 时， ，
在 上单调递增，无极值.
综上，实数 的取值范围为 ；
（3）①当 时，由（2）知， 在 上单调递减，
令 ，则 ， ；
②当 时， 为极大值， 为极小值，
，令 ，则 ；
③当 时， 在 上单调递增，令 ，
， ；
综上，对任意 ，都存在 ，使 ．
17．【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
由 得 ； 得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 的极大值点为 ，极大值为 ，无极小值点和极小值；
（2）因 ，
令 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，
因 ，则 ， ，
则存在 使得 ，
故 时 ， ； 时 ， ；故 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，则 ，
故函数 在 上的最小值为 .
（3）由题意可知， 使得 成立，
即 使得 成立，
又 ，则 ，即 ，
故a的取值范围为 .
18．【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， ，
1
0
单调递减 极小值 单调递增
所以 在 处取得极小值1，函数没有极大值，
所以 的最小值为 ．
（2） ，
，
① 时，即 时，
在 上 ，在 上 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 ，即 时，在 上 ，
所以函数 在 上单调递增．
综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增．
（3）由题意可知在 上存在 ，使得 成立，
即在 上存在 ，使得 ，
即函数 在 上的最小值 ，由第（2）问可知：
①当 ，即 时， 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
②当 ，即 时， 在 上单调递增，
∴ ，
③当 ，即 时，∴ ，
∵ ，此时不存在 使 成立，
综上可得所求 的范围是： 或 ．
题型04不等式的证明
19．【详解】（1）由函数
可得 ，则 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
因为 ，所以 ，即 .
（2）由函数 ，
当 时，可得 ，
若 ，可得 恒成立；
若 ，由（1）知： ，
令 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ， 在 递增，
又由 ，
当 时，即 ，此时 ，即 ，
所以 在 递增，所以 ，满足 恒成立；
当 时，即 ，存在 ，使得 ，
当 时， ，即 ， 单调递减，则 ，
不满足 恒成立，舍去，
综上可得，实数 的取值范围为 .
（3）令 ，可得 ，其中 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，即 ，由（2）知，当 ， ，即 ，
即 ，
令 ，则 ，即 ，
可得 ，
所以 ，
又由对数的运算性质，可得 ，
所以对于任意正整数 ，总有 .
20．【详解】（1）当 时， ，则 ，
令 ，即 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
因此 在 处取得极大值， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，在 处取得极大值，且极大值为1；
（2）要证 ，即证 ，
因此设 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
因此 单调递减，且 ，
所以 时， ；当 时， ；
即 时， ；当 时， ；所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值也是最大值，且 ，
故 ．
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小或者证明的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
21．【详解】（1）当 时， ，
则 ，
，则 ，
即曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
（2） ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递减；
当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
（3）令 ，
，令 ，则 ，
令 ，则 恒成立，
故 在 上单调递增，
则 ，
故 在 上单调递增，
则 ，
故 在 上单调递增，
则 ，即 .
22．【详解】（1）依题意， ．
又 ，
所以 .
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）由（1）知， ， ，
所以 .
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，所以 是 上的单调递减函数.
（3）令 ，
则 ，由（2）知， 在 上单调递减，
所以当 时， ，此时 ，即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
当 时， ， ， .
所以 即 ，
所以 即 ，
综上可得：当 时， .
23．【详解】（1）当 时，有 ，故 ，而 ，故 .
从而函数 的图象在 处的切点坐标为 ，切线斜率为 .
则切线方程为 ，即 .
（2）①若 ，则有 ，不满足条件；
②若 ，设 ，
则对 时有 ，对 时有 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 ，
故对任意的 都有 ，满足条件.
综合①②两方面，可知 的取值范围是 .
（3）设 ， ，
则 ，所以 在 上单调递减.
由 ， ，得 ，
假设 ，则对 或 均有 ，所以 在 和
上单调递增.
从而 在 上单调递增，不可能有极大值点，矛盾.
所以 ，此时 .
从而根据 的符号可知 在 和 上单调递增，在
上单调递减.
所以 的极大值点 ，同时 ，即 ，
从而
.
所以
.
【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化
为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数
的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
24．【详解】（1）由 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2） ，令 ，所以 ，
当 ， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以 ，
即 对 恒成立，所以 在 单调递减，
又 ，所以 的零点个数为1个；
（3）要证函数 的图象在直线 的下方，
即证 ，即证 ，
即证 ，又 ，所以即证 ，
即证 ，
令 ，求导得 ，
当 ， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，要证 ，可证 ，即证 即可，
令 ，求导可得 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 在 成立，
所以函数 的图象在直线 的下方.
题型05零点与方程根
25．【详解】（1）① ，则 ，
则 ，又 ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
②令 ，则 ，
则 在 上单调递减，
又 ， ，
故存在 ，使得 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减；
故 在 上有唯一极大值点；
（2） ，令 ，则 ；
①若 ，则 ， 在 上是增函数，
因为 ， ，
所以 恰有一个零点 ，
要想 的零点 不是 的零点，
则需满足 ，即有 ，
代入 ，得 ，解得 ，
所以当 时，此时 无零点，符合题意；
②若 ，此时 的定义域为 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，又 ，
由题意，当 ，即 时， 无零点，符合题意；
综上， 的取值范围是 .
26．【详解】（1）当 时，函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）对任意 ，不等式 ，
当 时，令 ，求导得 ，函数 在 上递增，，因此 ，当 时， ， ，即 恒成立，则 ；
当 时， ，由 ，得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ，不符合题意，
所以实数 的取值范围是 .
（3）由 ， ，得 ，
令 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，
函数 在 上单调递减，而 ，
则存在 ，使得 ，当 时， ，即 ，
函数 在 上单调递增， ，取正数 ，
则直线 与函数 在 上的图象有交点，此交点横坐标在区间 ，
所以存在实数 ，使方程 有正实根.
【点睛】关键点点睛：借助恒成立的不等式 ，再借助不等式的性质及导数分类求解是关键.
27．【详解】（1）当 时，函数 ，
所以 ， .
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数 ， .
令 ， ， .
①若 时， ，所以 在 上单调递增，且 ，
即 在 上单调递增，且 ，
所以函数 在 上单调递增，函数 无极值点；
②当 时， ， ，
当 ，所以 .
所以函数 在 上单调递增且有唯一零点 ，
即函数 在 上单调递增且有唯一零点 ，
当 ；当 ，
所以函数 在 有唯一的极小值点 ，无极大值点；
③当 时，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，无极值点.
综上所述：当 或 时，函数 在 上无极值点；
当 时，函数 在 上有唯一的极小值点，无极大值点.
（3）由（2）可知，当 时，函数 在 上单调递减，且 ，
所以函数 在 上无零点；当 时，函数 在 上单调递增，且 ，
所以函数 在 上无零点；
当 时，函数 在 有唯一的极小值点 ，且 ，
要使函数 在区间 上有唯一零点 ，所以 .
所以 ，
令 ，得 ，即 .
再令 ， ，
所以 在 上单调递增，
且 .
所以函数 在 上有唯一零点 ，
所以 ，即 .
28．【详解】（1）由 ，得 ，
，
，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为0，切线方程为 ，
所以曲线 在点 处的切线总与直线 平行.
（2）（i）由（1）知 ，因为 ，所以 ，令 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，且 ，
所以 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
在区间 上单调递增，无极值点.
当 时， 在区间 上递减，令 ，得 .
若 ，即 时， 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立， 在区间 上单调递减，无极值点.
若 ，即 时，
当 时， ，则 ， 单调递增；
当 时， ，则 ， 单调递减，
所以 在 处取得极大值，满足函数 在区间 上存在极值点.
综上， 的取值范围是 .
（ii）由（i）知当 时，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，且 ，
当 时，函数 的趋势由起决定作用的项 决定，
因为 ，所以 ，
因此 在区间 上有且仅有1个零点.
29．【详解】（1）由题意可知： ，所以 ， ，所以曲线 在 处的切线方程为 ；
（2）（i）易知 ，
则 ，由题意 ，
得 ，设 ，则有 ，
又 ，且 在 上单调递增，
根据零点存在定理得 ，即 的取值范围是 的子集；
（ii）由（i）知 ，所以 ，得 ，
即 是一个零点；
易知 ，设 ，则 ，
当 时， ，故 ， 单调递增，
所以 ，故函数 单调递减， ，
故函数在 上无零点；
当 时， ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
且 ， ， ，故存在 ，使 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减， ，
故 ， ，
故函数在 上有1个零点.
综上所述， 在区间 内的零点个数为2.
30．【详解】（1）因为 ，
所以切线斜率为 ，
又因为 ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，
所以当 在 上单调递减；
当 在 上单调递增；
所以 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 ；
（3）因为函数 有2个零点，所以 有两个解，
转化为函数 图象与直线 有两个交点，
由（2）知， 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 ；
所以 ，又因为 时 ， 时 ，
且 ； ，
所以当 时，函数 图象与直线 有两个交点，
即函数 有2个零点时， .
题型06双变量问题
31．【详解】（1）当 时， ， ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2） ，
令 ，得 ，令 ，则 ，
原方程可化为 ①，则 是方程①的两个不同的根，
所以 ，解得 ，
由韦达定理得 ，
所以 ，
所以
，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以 .
32．【详解】（1）设 ， ，
由 可得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 的最大值为 .
（2）因为 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
设 ， ，
由（1）可知， 在 上单调递增，而 ，
所以，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，且 ，
而当 时， ，所以总有 ， 单调递增
故 ，从而命题得证；
（3）解法一：由题意，直线 ，直线 ，所以 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，
所以
，
由（1）可得当 时， ，
所以 ，
所以 .
解法二：由 可设 ，又 ，所以 ，即 ，
因为直线 的方程为 ，易知 ，
所以直线 的方程为 ,
， .
所以,由（1）知,当 时， ，所以 ,
所以 .
33．【详解】（1）当 时， ，
故 在 处的切线斜率为 ，而 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由题意得 ，则 ，
令 ，即 ，
令 ，即 ，
时，单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
（3）证明：由（2）可知，当 时， 在 上单调递增，而 ，
即 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
设 ，则 ，
因为 ，则 ，故 ，
所以 在 上单调递增，而 ，
则 ，即 ，而 ，
故 ，即 .
【点睛】关键点点睛：证明不等式 时，关键是构造函数，利用函数的单调性进行证明；因为 可变形为 ，由此可构造函数
，从而利用（2）的结论证明该函数为递增函数，从而利用函数的单调性证明不等式.
34．【详解】（1） 时，
令 或 （舍去）或 （舍去）
（0,2） 2 （2,4）
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
极大值为 ，函数 无极小值；
（2）法 1：
所以 时， ，所以 ．
当 时， ，
．
综上， 的取值范围是 ．
法 2： 因为 ，
所以 关于 对称，
所以 时， 等价于 时， ．
首先：由 时， 得 ．
其次：证明 时， 时， ，当 时， 在 递增， ．
当 时，
① 当 ，即 时，
递增．
② 当 ，即 时，
存在唯一 使得 ，即 ．
递增： 递减．
③ 当 ，即 时，
递减．
综上， 最小值为 ，
因为 ，
所以 时， ．
综上， 的取值范围是 ．
法 3：令 ，
．
令 ，
时， ，等价于 时， ，
．① 当 时， 递增．
② 当 时，存在唯一 使得 ．
递增， 递减．
③ 当 时， ， 在 上递减，其最小值为 ，
欲满足题意，需 ，即 ，
结合条件，此情况下 的范围是 ，
综上 时， ，
因为 ，
所以 时， ，当且仅当 ．
综上， 的取值范围是 .
（3）当 时， 只有一个极值点．
当 时， ，
令 或 ．
若函数有两个极大值点 ，
则 在 有两个不等实根 ，
所以 ，且 ．+ 0 - 0 + 0 -
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可知，函数 的两个极大值点为 ，极小值点为 ，
， ，
35．【详解】（1）由题意得， ，所以 ，又 ，所以曲线
在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）由（1）得 ，
因为 在 上单调递减， 在 上也单调递减，
所以 在区间 上单调递减，
因为 ， ；
所以 在 上有且只有一个零点，记为 ，
所以当 时， ；当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而函数的最小值在 或 上取到，又因为 ，而 ，
所以 在区间 上的最小值为 .
（3）由 ，得 .
对任意的 ，且 ，令 ，则
只需证明
设 ，
则
所以 在 单调递增，于是 .
又因为 ，当 时， ，由此可得
，
所以原不等式得证.
题型07与面积结合问题
36．【详解】（1）由 ，解得 ，
即函数 的零点为 .（2） ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，∴ ，
故 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，即 .
（3）由题可知 ，故切点为 ，
∵ ，∴ ，
所以切线方程为： ，
交 轴于 ，交 轴于 ，
设切线交函数于点 ，因为 ，故 ，
又 ，故B的位置只能在C的上方.
如图，则 的面积为 ，或 （舍），故 ，
所以函数 过点 ，
∴ ，∴ .
【点睛】关键点点睛：根据切线方程，设出切线和函数交点坐标，据此能表示出三角形的面积，利用面积
求出交点坐标，即可代入函数解析式求解.
37．【详解】（1）定义域： ，函数 求导得 .
令 ，得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
综上所述, 单调递减区间为： ，单调递增区间为： .
（2）由题可知 ，
所以研究函数 的零点个数等价于研究 的零点个数.
，令 得 .
， ， 单调递减；
， ， 单调递增.
所以函数 有极小值同时也为最小值 .
故 恒成立，所以 无零点.
（3）函数 求导得 .所以 ，切线 ： .
化简得 .
所以由题可知分别令 可得 ， .
为等腰直角三角形，且 ，故 .
即 ，
因为 ，所以化简得 .
若 即 .
代入：左边 ,右边 .
此时 都与原点重合,不能构成三角形,舍去.
若 两边约去 ,得：
令 ,则 ,方程变为： .
情况1: ,即 ,
设 ,
时, , , 单调递增.
因为 ,故唯一解 即 ,此时 , .
等腰直角三角形面积 .情况2: ,即 ,
设 ,
单调递增;
, , 单调递减。
函数 有极大值同时也为最大值 .
所以 恒成立,方程 无解.
综上,方程只有唯一解 , , ,面积 .
38．【详解】（1）当 ， （ 为自然对数的底数）时，
， ，
， ，
所以直线l的方程为 ，即 .
（2）因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以直线l的方程为 .
因为l经过点 ，所以 ，化简得 .
设 ，由题意知，存在 ，使得 .又因为 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增；
所以 在 时取得最小值.
因为 ，所以 ，解得 .
此时 .
因为 ，
所以只需 .所以a的取值范围是 .
（3）当 时， ， ，
， ，
直线l的方程为 .
令 ，得 ，即 ，
所以 .
由（2）知，当 时， 在 时取得最小值，
因为 ，所以 恒成立，
所以当 时， 取得最小值 .
39．【详解】（1）当 时， ，定义域为则 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增.
（2）由题意可知 ，
则切线 的斜率 ，切线点斜式方程为 ，
把 代入切线方程得 ，
若切线过 ，等价于方程 在 上有解，
设函数 ，则 ，
可知当 时， ，函数 在 上单调递减，
可得 ，
即方程 在 上无解，即切线不过 .
（3）当 时， ，则 ，
可知当 时， ，
由（2）可知当 时，切线方程为 ，
当 时， ，即点 ，
由（2）可知 ，则 ，当 时，即 ，
化简得 ，即 ，
令 ，则 ，
可知当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
在 时，函数取得极小值， ，即 ，
在 时，函数取得极大值， ，即 ，
当 时， ，
可知在 上函数 恒成立，即方程 在 无解，
所以不存在点 使得 成立.
