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培优专题 04 导数的综合应用问题
参考答案
题型01 利用导数讨论函数单调性
1．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析，理由见解析；
(2)函数 在 上严格单调递增，在 上严格单调递减．
【分析】（1）根据 、 两种情况分类讨论，结合奇偶函数的定义即可求解；
（2）求出 ，再进一步求出 和 的范围即可求解．
【详解】（1）记 ，定义域为 ，
①当 时， ，
因为 ，故函数 为偶函数，
②当 时， ，
取 ，因为 且 ，
即 且 ，所以函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
（2） ，
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上严格单调递增，在 上严格单调递减．
2．
【答案】(1)
(2) 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
【分析】（1）利用极值点处导数值为0，求得 的值，并检验，再根据极小值为 求得 的值；
（2）利用导数求解函数 的单调性即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
由题可得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，所以 ；
又极小值为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
（2）函数 的定义域为 ，
，
当 时， 的两根为 ，且 ，
所以当 或 时， ；当 时， ，所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
3．
【答案】(1) ， ； 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，根据 得到方程组，求出 ， ，验证后满足要求，并求出
的单调区间；
（2）求导，整体得到 ，当 时， ，所以当 时，导函
数大于等于0，故 在区间 上单调递增.
【详解】（1） ，由已知有 ，
即 ，又 ，解得 .
当 ， 时， ，
令 ，解得 ，定义域为 ，
，令 得 或0，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，所以 与 是函数 的两个极值点，所以 ， ，
的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
（2）证明： ，代入 ，有 ，
整理得 ，
当 时， ，
即 ，又 ，所以 ，因此 ，
所以当 时， 在区间 上单调递增.
4．
【答案】答案见解析
【分析】先求 ，再分类讨论 大于 和小于 时 的正负即可得到函数 的单调性.
【详解】函数 的定义域为 ，
又 ，
当 时， ，故函数 在区间 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表所示：
单调递增 单调递减故当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
当 时，函数 在区间 上单调递减.
题型02 利用导数求极值或最值
1．
【答案】(1)
(2) 且 .
【分析】（1）先求出 ，从而原不等式即为 ，构建新函数 ，由该函数为增函
数可求不等式的解；
（2）求出函数的导数，就 分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）因为 ，故 ，故 ，故 ，
故 即为 ，
设 ，则 ，故 在 上为增函数，
而 即为 ，故 ，
故原不等式的解为 .
（2） 在 有极大值即为有极大值点.
，
若 ，则 时， ， 时， ，
故 为 的极小值点，无极大值点，故舍；
若 即 ，则 时， ，时， ，
故 为 的极大值点，符合题设要求；
若 ，则 时， ， 无极值点，舍；
若 即 ，则 时， ，
时， ，
故 为 的极大值点，符合题设要求；
综上， 且 .
2．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的意义求出切线方程即可；
（2）利用导数的单调性分类讨论 的取值范围可得.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ，又 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，
即 .
（2） ，
易得当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ；当 时，令 ，
若 ，则 在 上单调递增，
所以 ，矛盾舍去；
若 ，即 ，则 在 上单调递减，
所以 ，矛盾舍去；
若 ，即 ，则 在 上单调递减，在 上递增，
，矛盾舍去.
综上 .
3．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，极小值点1，极大值点 ；
(3)是， .
【分析】（1）法一：由题意可得 是奇函数，由此计算可求得 ；法二：由题意可得
对任意实数 恒成立，据此计算可求得 ；
（2）求导可得 ，可得 有两个不等的解，进而可得有两个极值点，由题意可得 ，
求得 的值，验证即可；
（3）法一：当 时，由题意有 ，可得 ，求解即可.法二：由
题意可得 恒成立，求解即可.【详解】（1）法一：若函数 是点 奇函数，则 是奇函数，得 是
奇函数，
即 ，因为 ，
，比较两式右边，由
所以 ，解得 .
法二：若函数 是点 奇函数，则 的图像关于点 对称，
则 对任意实数 恒成立，
即 ，化简得 ，
所以 ，解得 ．
（2） ，从而 ，其中 ，
所以 恰有两解，即函数 恰有两个驻点，设为 ， ， ，
则 就是一元二次方程 ；
当 时， ，当 时， ，当 时 ，
从而 是 的极大值点， 是 的极小值点，所以函数 存在两个极值点，此外再无
极值点.
因为 是 的极小值点，所以 ，即 ，解得 或1.
当 时， ，
当 时 ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
因此 是 的极大值点(舍去)；当 时， ，
当 时 ， 单调递减，
当 时 ， 单调递增，
因此 是 的极小值点.
综上，可得 ，极小值点 ，极大值点 .
所以 的所有极值点为 和 .
（3）法一：由（2）可知，当 时， 是 的极大值点，
， 极大值点 ，极小值点 .
假设 是点 奇函数，则满足： ，
即 ，
等式左边展开计算： ，
要求与 无关，所以 的系数必须为0，所以 ，解得 .
.
即函数的对称中心是 ，函数 是点 奇函数.
法二：由（2）可知，当 时， 是 的极大值点， ，
此时 极大值点 ，极小值点 .符合题意；
假设 存在对称中心 ，则满足 恒成立，
即 ，化简得 恒成立，
所以 ，解得
所以函数 存在唯一的对称中心 ，
所以函数 是点 奇函数.
4．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）令 ，解得 或 ，再求 ，分别代入求解即可；
（2）求出 ，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值，分
类讨论即可得到答案.
（3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，可得 ，结合
导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论.
【详解】（1） ，令 ，解得 或 ，
由 或 ；由 .
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
所以 是函数 的极大值点； 是函数 的极小值点.
又 ，当 时， ；
当 时， .（2）因为 ，所以 ， ，
则 ，
令 ， ， ，
令 ，即 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 在上 严格递增，
当 时， ，所以 在上 严格递减，
所以函数在 处取得最大值 ；
当 时， ；当 时， ，
时， 的图象无交点；当 时， 的图象有 1 个交点；当
时， 的图象有 2 个交点，
所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方
程 有 2 个解；
（3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，
即 时 ，
由最大值的定义且 可导，且 ， ，
因为当 ， ，所以 ，
所以 ，由于 ，所以 ，所以 ，但 ，而 ，这与 矛盾，
因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得，
即
题型03 利用导数解决恒成立（能成立）
1．
【答案】
【分析】当 时， 恒成立，则对 求导，利用导数研究函数的单调性，求出 函数在
上不等式成立的必要条件，再验证充分性成立，即可求出 的取值范围.
【详解】 ，
设 ，
则 ，
当 时， ，
故 在 上为单调递增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为单调递减函数，故在 上 ，
即在 上 ，
即 为单调递减函数，
故在 上， ，不合题意，舍.
当 ，此时 在 上恒成立，
同理可得在 上 恒成立，不合题意，舍；
综上， 的取值范围为 .
2．
【答案】
【分析】分析可得 ，利用导数分析函数 在区间 上的单调性，求出 ，对实
数 的取值进行分类讨论，分析函数 在区间 上的单调性，求出 ，可得出关于 的不等式，
由此可解得实数 的取值范围
【详解】对任意的 ，总存在 ，使得 ，则 ，
因为 ，
则 对任意的 恒成立，
所以函数 在区间 上单调递增，
则 .
因为 ，所以当 时， ，不满足 ，故 ；
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，解得 ；
当 时， 在 上单调递减，
当x趋于 时， 趋于 ,
由 ,解得 ,与 矛盾，故舍去；
综上， 的取值范围为. .
3．
【答案】
【分析】由题意易知 恒成立，则可等价于对 ， 恒成立，利用参变分离，可
变形为 恒成立，易证 ，则可得 .
【详解】对 ，都 ，使得不等式 成立等价于 ，
因为当 时， ，则 ；当 时， ，则
所以 恒成立，当且仅当 时， ，
所以对 ， 恒成立，即 ，
当 时， 成立，
故当 时，由 可得 .
记 ，则 恒成立，所以 在 上单调递增，且 ，
则当 时， ，即 恒成立，
故 ，即
所以 .
所以a的取值范围为 .
4．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，求出 的值，再利用导数的几何意义，求得曲线 在 处的
切线方程；
（2）分析函数 的单调性，求得其最小值为 ；令 ，并构造函数
，利用导数分析其单调性，结合其取值情况可求得 的取值范围.
【详解】（1） 的定义域为 .
若 ，则 ，
整理得 ，所以 .
所以 .
，所以 .
.
所以曲线 在 处的切线方程为 .（2） 的定义域为 .
.
因为 ，所以 .
又 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以函数 在 处取得极小值，即最小值，最小值为 .
因为当 时，不等式 恒成立，所以 .
令 ，则 .
因为 与 均为减函数，所以 是减函数.
因为 ， ，所以 在 上存在唯一零点，记作 ，即 ，
即 .
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
因为当 时， ，即当 时， ，且 ，
所以当且仅当 时， ，即 .
所以 的取值范围是 ．
5．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）根据 单调性可确定最小值点，由此可得最小值；
（2）将问题转化为 ，令 ，利用导数可求得 的单调性，由此可求
得 ，进而得到结果；
（3）将问题转化为 ，根据 单调性可求得 ，分离变量可得
，令 ，利用导数可求得 单调性，进而求得最小值，由此可得 取值范围.
【详解】（1）由题意知： ；
与 在 上均为增函数， 在 上单调递增，
.
（2）当 时，由 得： ，
若存在 ，使得 成立，则 ；
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增， ，
，即实数 的取值范围为 .
（3）由 得： ，
若对于任意的 ，总存在 ，使得 成立，则 ；
在 上单调递增， ， ， ，
当 时， ， ；令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
，即实数 的取值范围为 .
题型04 利用导数解零点问题
1．
【答案】1
【分析】讨论 在 上的零点个数，需先求 的导数，分析导数的单调性和零点，确定 的单
调性，结合端点值及零点存在定理判断零点个数.
【详解】由已知得 ，所以 .
令 ，则 ．
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减.
即 在 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， .
所以存在 ，使得 .
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．因为 ，故函数 在 上无零点，
又因为 ，由零点存在定理可得 在 上有且只有一个零点．
综上所述，当 时，函数 在 上的零点个数为1．
2．
【答案】答案见解析
【分析】将 零点问题转化为函数图象交点问题，设 ，求出函数的导数，判断单调性，作出
其大致图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】由 ，得 ,
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增；在 上单调递减，
所以 ，
据此可画出 大致图象如图，
所以①当 或 时， 无零点；
②当 或 时， 有一个零点；
③当 时， 有两个零点.
3．【答案】(1) ；
(2) ； .
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可；
（2）先利用导数 ，求得 ，再结合 求导判断函数 的单调性，求得极
值，判断函数图象趋势，利用函数与方程的思想即可求出 的范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
则 ，
故函数 在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）依题意， 在 处有极值，
因 ，
由 ，解得 ，
则 ， ，
由 可得 或 ，
由 ，可得 ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 时取得极大值为 ，
在 时，取得极小值为 ，
当 时， ，当 时， .由图可知，若关于 的方程 有3个不同的实根，
则必有 ，即 ，
故实数 的值为 ，实数 的取值范围为 .
4．
【答案】(1) 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点， ，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据极值点的求法，先求出导函数的零点，再判断零点两侧附近的符号即可求出 ，然后
根据 即可判断 的符号；
（2）根据定义先求出函数 的表达式，然后构造函数 ，分析其单调性与极值、端
点趋势，得到值域分布；最后根据直线与函数图像的交点个数分类讨论方程解的个数.
【详解】（1） ，令 ，解得 或 ，
由 或 ；由 .
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
所以 是函数 的极大值点； 是函数 的极小值点.
又 ，当 时， ；
当 时， .
（2）因为 ，所以 ， ，则 ，
令 ， ， ，
令 ，即 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 严格递增，
当 时， ，所以 在 严格递减，
所以函数在 处取得最大值 ；
当 时， ；当 时， ，
时， 的图象无交点；
当 时， 的图象有 个交点；
当 时， 的图象有 个交点，
所以当 时，方程 无解；
当 时，方程 有 个解；
当 时，方程 有 个解.
5．
【答案】
【分析】将问题转化为 与 ， 有两个不同的交点，通过求导，研究 的单调性即可.
【详解】∵方程 在区间 上有两个不相等的解，
即 在 上有两个不同的解，∴ 与 ， 有两个不同的交点，
，
由 得 ； 得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
又 ，则 ，
故 的取值范围是 .
6．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）由题意建立等式计算即可求解；
（2）求导，根据导数的几何意义求解即可；
（3）根据二次函数在闭区间上有解列不等式计算即可求解.
【详解】（1）由函数 的图象与 轴交于 可得 ，
由 可得 ，解得 ，
所以函数 ；
（2）由（1）可知 ，
求导可得 ，
所以函数 在点 切线斜率为 ，故切线方程为 ；
（3） ， 在 上有两个不同零点，
需满足：① 判别式 ；② 对称轴在区间 内；③ 区间端点函数值非负；
所以 ，解得 或 ；
对称轴为 ，故 ，即 ；
（恒成立）； ，解得 ；
综上， .
题型05 函数新定义
1．
【答案】(1)函数 具有性质，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，将问题转化为函数 的零点问题，进而结合单调性
与零点存在性定理求解即可；
（2）根据 函数定义，将问题转化为存在实数 ，使得 有三个实数根问题，再构造函数
求解即可.
（3）由题将问题转化为 存在实数根的充要条件为 充分性的证明方面，先验证
当 时，函数 具有性质 ，再讨论当 且 时，结合函数隐零点得存在 满足
，即 成立；再证必要性：先说明 不成立，再研究 的性质得函数 在严格减函数， 严格增函数，进而得 得矛盾即可证明.
【详解】（1）解：由 得，
设 ，
当 时， ，
又
则存在 ，使得 ，即
故函数 具有性质
（2）解：由 得， ，
因为函数 具有性质 ，
所以存在实数 ，使得 ，
即 ，即 ，
即存在实数 ，使得 有三个实数根
设 ，则 ，
令 ，解得 或 ，列表如下：
0
0 + 0
↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘
因为函数 具有性质 时， 的值恰有三个，所以满足条件的 的取值范围是 ．
（3）证明：由 得， ，
由 得， ，
设 ，
先证充分性：当 时， ，
考虑函数 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上严格单调递减，在 上严格单调递增，在 时有极小值 ，
所以，当 时， ，函数 具有性质 ，
当 且 时， ，
且当 时， ，则 ，
则存在 满足 ，即 成立，
所以函数 具有性质
再证必要性：即证函数 具有性质 ，则
由 得 ，
若 ，则 ，与已知矛盾；
若 ，设 ，则 ，即函数 是严格减函数，
所以函数 是严格增函数，
又 ， ，则存在 使得 ，即 ，
当 时， ，即函数 严格减函数，
当 时， ，即函数 严格增函数，
所以 ，
需证 ，
令 ，则 ， 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，
则不存在 ，使得 成立，与 具有性质 矛盾；
综上，函数 具有性质 的充要条件为 .
2．
【答案】(1)
(2)
(3) .
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）求出函数的导函数，依题意 在 上恒成立，分 ， ，
， 三种情况讨论，求出参数的取值范围，即可得解；
（3）首先说明 时函数 ， 都不具有性质 ，当 时说明 对任意的 且
都成立，两边取对数得 恒成立，即可求出参数的值.【详解】（1）因为 ，则 ，所以 ，
所以曲线 在点 处切线的方程为 ，即 ；
（2）因为 ，所以 ，
因为函数 ， 满足“性质 ”，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
当 时 ，此时 ，不符合题意；
当 时 ，
函数 开口向上，当 时 ，
则 ，不符合题意；
当 时 ，此时由 ，解得 ，
所以当 时 恒成立，即 符合题意；
当 时 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
若 在 上恒成立，
令 ，则 ，解得 ，
所以当 时 恒成立，
综上所述， 的取值范围为 .（3）①当 时， 在 上是增函数.
由于 ， 满足性质 ，
即 ，与 在 上是增函数矛盾，
故 时函数 ， 都不具有性质 .
②当 时，若函数 ， 具有性质 ，则不等式
即 对任意 恒成立，整理得 .
当 时， ，不满足 ；
说明 对任意的 且 都成立，
两边取对数得 恒成立.
令 ，则 ，说明 是 的极大值点.
而 ，所以 解得 .
当 时， ，
当 时 ，则 在 上严格增，
当 时 ，则 在 上严格减，
所以 恒成立.
所以 的取值集合为 .
3．
【答案】(1)0 ，正确； 不正确；
(2)证明见解析
(3) ．【分析】（1）由题意可知，当 时， ，根据“ 点”的定义即可判断；
（2）分别从充分性和必要性讨论 ， 的情况即可得证；
（3）分类讨论 ， 下的 不存在“ 点”，得出 ，再分类讨论， ， ， 下
的 的“ 点”的情况，得出 ，求出 ，从而求出 ，即可求出
，从而求出 的取值范围．
【详解】（1）由题意可知，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，所以 ，正确；
由 ，故 ，即1 不正确；
（2）充分性：因为 ，
故当 时， ，当 时， ，所以 ；
必要性：当 时，
由 得 ；
由 得 ；
所以 时， 恒成立；
综上，命题得证；
（3）当 时， ， ； ， ，此时 不存在 点；
当 时， ， ； ， ，
此时 不存在“ 点”；所以 ；
所以， ，
①当 时， ，不存在“ 点”；
②当 时， ，不存在“ 点”；
③当 时， ， ，
此时 ，
故 ，
ⅰ．当 时， ，此时 在R上单调递增，故 与 矛盾；
ⅱ．当 时，由 0得 ，
由 得
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
此时
所以 或 ，解得 ；ⅲ．当 时，由 0得 ，
由 ，得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
此时 ，
所以 或 ，解得 ，
所以 ；
综上， 的取值范围 ．
4．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)存在，理由见解析.
【分析】（1）求导，设“ 点”为 ，解方程组 ，可得结论．
（2）假设存在“ 点”为 ，解方程组 ，应用等式无解可得结论；
（3）设“ 点”为 ，由 ，用 表示出 ，由 求得 的范围，利用导数求得 的范围
即可求解.
【详解】（1）设 ， ，则 ， ，
由题意得： 需同时满足： ，故 ，所以 ，
得 ，所以 .
（2）由题意 需同时满足： ，
令 ，
函数 有 ，函数 ，有 ，
令 ，所以 得 ，
因为 ，所以 无解，
故函数 与 不存在“ 点”；
（3）对任意的 ，存在 ，使得函数 和 在区间 内存在“ 点”.
设 ， ，则 ， ，
函数 与 在区间 内存在“ 点”，
则 且需同时满足： ，即 ，
得： 且 ，
联立得： ，因为 ，
所以 ，
由 得： ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
此时 ，当 ，所以 ，
当 ，设 ， ，
故 在 为增函数，且 ，而 时， ，
故对于任意 ，总存在 ，使得 ，
令 ，
求导得 ，
，
故函数 在 单调递增，故 ，
所以存在 满足题意；
所以存在 ，使得函数 和 在区间 内存在“ 点”.
5．【答案】(1) 或
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义，求得 在 处的切线方程 ，得到 ，由
，得出 ，即可求解；
（2）求得点 和 处的切线方程，得到 和
，结合题意，化简得到 ，由 ，得到
，转化为证明 ，即可得证；
（3）求得 ，得到 的解集为 ，令
，求得 ，分 和 ，两种情况讨论，求得
其单调性和极值，结合 ，即可求解.
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
则 且可得 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
又由 ，可得 ，解 ，
解得 或 ，所以 或 .
（2）解：因为函数 是偶函数，所以 ，且 ，
则在点 处的切线方程为 ，即 ，在点 处的切线方程为 ，
即 ，
又因为 且 ，所以 ，
因为 ，则 ，即 ，
要证明 ，即证明 ，
因为 ，
所以 ，即 .
（3）解：由函数 ，可得 ，
当 时，可得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
因为集合 ，所以 的解集为 ，
即 的解集为 ，
令 ，则 的解集为 ，且 ，
又由 ，
若 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值 ，满足 的解集为 ；
若 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
则当 时， ，则不满足 的解集为 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
