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第三章 一元函数的导数及其应用
进阶篇 导数中的零点问题
进阶 1 零点个数问题
【高考考向预测】
近三年高考零点个数问题考查频次很高，多集中在选择填空压轴与导数解答大题，常结合各
类初等函数、分段函数及导数工具判定零点数量，依托数形结合、单调性分析、极值符号判断解
题，还常融入参数讨论；预测2027 年仍为热门重难点，命题更侧重含参分类讨论零点个数、复合
函数与超越函数零点探究，强化区间取值探点与极限趋势分析，趋向和不等式证明、取值范围求
解结合出题，重点考查数形转化与严谨推理论证能力。
【核心梳理●明考点】
重点解读 导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的作用，而这些问题的解决都离不开
一个基本要点，即函数的零点.比如，导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点，也可能是原函
数的极值点，或是最值点.可以说，抓住了函数的零点，也就抓住了导数问题的要点.
【题型突破●明方向】
题型一 利用导数研究零点个数
例1 (2026·湛江模拟)已知函数f(x)=aln(x-1)+x2-2x，其中a∈R.
(1)若a=-8，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a<-2时，试判断f(x)的零点个数并证明.
【跟踪训练】1 已知函数f(x)=(x2-2x)ex.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若g(x)=f(x)-a(a∈R)，讨论函数g(x)的零点个数.题型二 利用零点个数求参数范围
例2 (2025·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=x2(ln x-1)-2ax.
(1)当a=0时，求f(x)的极小值；
(2)若函数g(x)=ex+f(x)有2个零点，求实数a的取值范围.
【跟踪训练】2 已知函数f(x)=aln x+bx2在点P(1，f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)+m在[1，e]上有两个零点，求实数m的取值范围.
【限时训练】
（15分钟）
1.(15分)已知函数f(x)=a(ex+a)-x-2.
(1)求函数f(x)的单调区间；(6分)
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.(9分)2.(15分)(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)=cos x+xsin x+a.
(1)若a=0，求函数f(x)在x=π处的切线方程；(5分)
(2)讨论函数f(x)在(0，π)上零点的个数.(10分)
