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第三章 一元函数的导数及其应用
进阶篇 导数中的零点问题
进阶 2 隐零点
【高考考向预测】
近三年高考导数大题中隐零点考查频次居高不下，属于压轴高频难点，主要依托导数研究函
数单调性、极值最值、不等式证明与参数范围求解，侧重设而不求、整体代换、放缩化简等解题
思路，常作为区分高分段考生的核心题型；预测2027 年依旧会稳定作为导数压轴主流考法，命题
更趋向多阶隐零点结合、双变量隐零点融合以及与数列不等式联动设问，强化零点范围精准估测
与式子灵活变形，着重考查考生逻辑推导与综合构造论证能力。
重点解读 导数解决函数综合性问题最终都回归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导函数的
零点有着紧密的联系.导函数的零点，根据其数值计算上的差异，可以分为两类：一类是数值上能精确
求解，不妨称为“显零点”；另一类是能判断其存在但数值上无法精确求解的，称为“隐零点”.
【题型突破●明方向】
题型一 隐零点问题
lnx+1
例1 (2026·开封模拟)已知函数f(x)=aex- -1，a>0.
x
(1)当a=2时，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有唯一的零点，求a的值.
【跟踪训练】1 已知函数f(x)=sin x+ax2.
1
(1)若a= ，求f(x)在(0，π)上的值域；
2
(2)若a≤0，求f(x)在(0，π)上的零点个数.题型二 零点赋值
例2 已知函数f(x)=x(ln x-1)-aex+eax+1，a∈R.
(1)若a≤0，证明：f(x)≥0；
(2)若(x-1)f(x)≤0恒成立，求a的取值范围.
x+b
【跟踪训练】2 已知函数f(x)=ax- ，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线为y=-x+1.
ex
(1)求a，b的值；
(2)求证：函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增；
(3)求函数f(x)的零点个数，并说明理由.【限时训练】
（15分钟）
1.(17分)已知函数f(x)=ln x+ax+1(a∈R).
(1)当a=-1时，求f(x)的单调区间；(7分)
(2)对任意x∈(0，+∞)，都有f(x)≤xex成立，求实数a的取值范围.(10分)
2.(17分)设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f'(x)，且f'(x)在D上存在导函数f″(x)(其中f″(x)=[f'(x)]').定
义：若区间D上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凸函数.
( π)
(1)若函数f(x)=2xcos x-1，判断f(x)在区间 0， 上是否为凸函数，说明理由；(5分)
2
(2)若函数f(x)=asin x-x2，
[ π]
①若f(x)在 0， 上为“凸函数”，求实数a的取值范围；(5分)
2
②若a=2，判断g(x)=f(x)+1在区间(0，π)上的零点个数.(7分)
