第二章函数
第8 节 指数与指数函数
【考向预测】 近三年高考数学指数与指数函数为年年必考、基础高频考点，小题常考查指
数幂运算、指数函数定义域值域、图像过定点、单调性、比较数值大小，常与对数函数、不
等式、函数奇偶性、零点问题交汇；大题多隐性融入导数综合、数列放缩、恒成立问题中作
为基础函数模型考查，运算与性质应用频次极高。预测 2027 年延续稳定考查态势，小题侧
重指数式化简求值、指数函数图像特征、单调性比大小、含参指数型函数范围辨析，强化指
对函数联动命题，大题继续以指数函数为载体结合导数研究单调性、最值与不等式证明，着
重考查指数运算素养、数形结合思想及指数函数模型的综合迁移与逻辑推理能力。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(2)函数y＝a
x
2＋1(a>1)的值域是(0,＋∞).( )
(3)2－3>2－4.( )
(4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.( )
2.(苏教必修一P165T5 改编)(多选)若函数y＝ax(a>0,a≠1)在区间[－1,1]上的最小值为1
2,则实
数a 的值为( )
A.2
B.2
3
C.3
2
D.1
2
3.(人教B 必修二P13 练习A T2 改编)已知a＝0.750.1,b＝1.012.7,c＝1.013.5,则( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
4.(人教A 必修一P110T8 改编)已知a
1
2 ＋a
−1
2＝3,则a＋a－1＝ ;a2＋a－2＝ .
【核心梳理●明考点】
1.根式
(1)概念:式子
n√a叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
(2)性质:①负数没有偶次方根.
②0 的任何次方根都是0,记作
n√0＝0.
③(
n√a)n＝a(n∈N*,且n>1).
④
n√a
n＝a(n 为大于1 的奇数).
⑤
n√a
n＝|a|＝{
a,a≥0,
−a,a<0(n 为大于1 的偶数).
2.有理数指数幂
规定:正数的正分数指数幂的意义是a
m
n ＝
n√a
m(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意
义是a
−m
n ＝1
n√a
m(a>0,m,n∈N*,且n>1);
0 的正分数指数幂等于0;0 的负分数指数幂没有意义.
3.实数指数幂的运算性质
aras＝a r ＋ s ;(ar)s＝a rs ;(ab)r＝a r b r ,其中a>0,b>0,r,s∈R.
4. 指数函数的概念、图象与性质
(1)概念:函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,定义域是R.
(2)图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0
, ＋
∞
)
性质
过定点(0
, 1)
,即x＝0 时,y＝1
当x>0 时,y >1
;
当x<0 时,0<
y <1
当x<0 时,y >1
;
当x>0 时,0<
y <1
在(－∞,＋∞)上是增
函数
在(－∞,＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝(
1
a)
x
的图象关于y 轴对称
1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(−1, 1
a).
2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关,要特别注意应分a>1 与0<a<1 来
研究.
3.如图所示是指数函数
(1)y＝ax,(2)y＝bx,
(3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0.
【考点突破●明方向】
考点一 指数幂的运算
例1 化简:
(1)
a
4
3 −8a
1
3 b
4 b
2
3 ＋2
3√ab＋a
2
3
÷(1−2
3√
b
a)×3√a;
(2)(0.008 1)
−1
4 －[3×(
7
8)
0
]
−1
×[81
−0.25＋(3 3
8)
−1
3]
−1
2－10×0.027
1
3.
【名师点拨】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,
还应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【变式训练】1 (1)(多选)实数a 满足a＋a－1＝4,下列结论中正确的是( )
A.a2＋a－2＝14
B.a－a－1＝2❑√3
C.a
1
2 ＋a
−1
2 ＝❑√6
D.a
3
2 ＋a
−3
2
a
1
2 ＋a
−1
2
＝4
(2)(
81
16)
−1
4 ＋
8
2
3
❑√(−3)
2－2×(❑√6－2)－1＋(
❑√3
3 )
0
＋36
1
4＝ .
考点二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知a>0,则函数f(x)＝ax－2a 的图象可能是( )
(2)(2026·深圳质检)若直线y＝2a 与函数y＝|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a 的取
值范围是 .
【名师点拨】1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通
过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
【变式训练】2 (1)函数f(x)＝(
1
8)
|x ＋2|
的部分图象大致为( )
(2)(多选)已知实数a,b 满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为( )
A.a＝b
B.0<b<a
C.a<b<0
D.0<a<b
考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例3 (1)若a＝1.010.5,b＝1.010.6,c＝0.60.5,则a,b,c 的大小关系为( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
(2)(2026·海口模拟)已知a＝1.30.6,b＝(
4
3)
−0.4
,c＝(
3
4)
0.3
,则( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.b<c<a
角度2 解指数方程或不等式
例4 不等式22x－3>(
1
2)
7
的解集是 .
角度3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝8
x＋a·2
x
a·4
x
(a 为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数.
(1)求a 的值;
(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0 成立,求实数m 的取值范围.
【名师点拨】1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调
性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“0 或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(或不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及
值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【易错警示】在研究指数型函数的单调性时,当底数a 与“1”的大小关系不确定时,要分类讨
论.
【变式训练】3 (1)已知实数a,b,c 满足a＝(
1
2)
5
3,be＝1
2,(
1
2)
c
＝1
3,则( )
A.b<a<c
B.a<b<c
C.c<a<b
D.c<b<a
(2)(多选)(2026·青岛模拟)设函数f(x)＝3
x−3
−x
2
,g(x)＝3
x＋3
−x
2
,则( )
A.函数y＝f(x)·g(x)为奇函数
B.f(2x)＝2f(x)·g(x)
C.函数y＝f ( x)
g( x)的值域为(－1,1)
D.函数y＝g( x)
f ( x)在其定义域上为增函数
(3)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2x＋1)>f(4)的解集为 .
【限时训练】
（30 分钟）
一、单选题
1.若指数函数f(x)满足f(2)＝81,则f(−1
2)的值为( )
A.±1
3
B.±3
C.1
3
D.3
2.下列结论中正确的是( )
A.若a>0,则a
4
3·a
3
4＝a
B.若m8＝2,则m＝±
8√2
C.若a＋a－1＝3,则a
1
2 ＋a
−1
2＝±❑√5
D.
4√(2−π )
4＝2－π
3.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c 的大小关系是( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>c>a
D.c>b>a
5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝
e
x
e
x＋1
－1
2,则对任意实数x,下列结论正确的是(
)
A.f(x)是偶函数,且在R 上单调递增
B.f(x)是奇函数,且在R 上单调递增
C.f(x)是奇函数,且在R 上单调递减
D.f(x)是偶函数,且在R 上单调递减
6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞,0]满足x2－3x＋a<0(a∈R),则a 的取值范围是(
)
A.(－∞,1)
B.(1,＋∞)
C.(－∞,－1)
D.(－1,＋∞)
7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z 的大小关系不可能为( )
A.x>y>z
B.x>z>y
C.y>x>z
D.y>z>x
二、多选题
8.下列化简中正确的有( )
A.(a
1
6)－1·(a－2)
−1
3 ＝a
1
2
B.(x
a
−1y)a·(4y－a)＝4x
C.[(1－❑√2)2]
1
2－(1＋❑√2)－1＋(1＋❑√2)0＝3－2❑√2
D.2a3b
2
3·(－5a
2
3 b
1
3)÷(4
3√a
4b
5)＝－5
2 a
7
3 b
−2
3
9.下列是真命题的是( )
A.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,3)
B.函数f(x)＝2
1
sin x的值域是[
1
2 ,2]
C.函数f(x)＝
1
2
x＋1
－1
2为奇函数
D.函数f(x)＝2|2x－1|＋1 的图象的对称轴是直线x＝1
三、填空题
10.化简
❑√a
3b
2 3√ab
2
(a
1
4 b
1
2 )
4·
3√
b
a
(a>0,b>0)的结果是 .
11.已知0≤x≤2,则函数y＝4
x−1
2－3×2x＋5 的最大值为 .
12.已知a>0 且a≠1,函数f(x)＝{
a
x , x ≤1,
−x＋a, x>1,
若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大5
2,则a 的值为 .
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ax＋a
−x(a>0,且a≠1),且f(1)＝5
2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－m 在[0,＋∞)上的最小值为0,求m 的值.
14.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)＋g(x)＝21－x.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈R,f(x)≥2
n
2−2n−2恒成立, 求实数n 的取值范围.
