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2026 年高考数学一轮复习
专题5：指数运算与指数函数
知识点一 根式与指数幂
1. n次方根与分数指数幂
一般地，如果x
n=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N
*.
式子
n√a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
注意：① (
n√a)
n=a
②当n是奇数时，n√a
n=a 当n是偶数时，
n√a
n=|a|={
a,a≥0
-a,a<0 .
2.正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：a
m
n =
n√a
m(a>0,m,n∈N
*, 且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
Eg ❑√x = x
1
2，3√x
5= x
5
3.
② 正数的正分数指数幂的意义：a
- m
n = 1
a
m
n
= 1
n√a
m (a>0,m,n∈N
*, 且n>1)
③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
3.实数指数幂的运算性质
① a
s∙a
r =a
r + s (a>0,r ,s∈R) ② (a
s)
r =a
rs (a>0,r ,s∈R) ③ (ab)
r =a
r b
r (a>0,r ∈R)
知识点二 指数函数及其性质
1、指数函数的概念
一般地，函数
（
且
）叫做指数函数，
其中指数x 是自变量，定义域是R，a 是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
定点
过定点（0,1）
范围
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y=ax 与y=( 1
a )x 的图象关于y 轴对称
3、指数函数的常用技巧
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1）
；（2）
；（3）
；（4）
的图象，
底数
与1 的之间的大小关系为
；
规律：在
轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。
EG:函数y=2x, y=3x
y
和=( 1
2 )x, y=( 1
3 )x, y=( 1
4 )x 的图象如图所示：
一、指数幂运算
指数幂运算的一般原则
（1）有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算。
（2）负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数先确定符号；底数为小数先化成分数；底数是带分数的先化成假分数；
（4）若是根式，应化为分数指数幂，用幂的形式表示。
（5）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
二、指数函数的定义域和值域
1、定义域：
（1）指数函数y=ax(a>0
a
且≠1)的定义域为
（2）
的定义域与函数
的定义域相同
（3）
的定义域与函数
的定义域不一定相同.
2、值域
（1）指数函数y=ax(a>0
a
且≠1)的值域为
（2）求形如
的函数的值域，先求
的值域，然后结合y=ax(a>0
a
且≠1)得性质确定
的值域
（3）求形如
的值域，转化为先求
的值域，再将的取值范围代入函数
中.
三、利用指数函数的单调性解指数不等式的方法
1、解指数不等式时，若
，则
；
若
，则
.
如果不等号一端为常数，则利用指数运算性质将常数化为同底的指数值，再利用指数函数的单调性转
化为一般不等式求解；
2、解形如
（
为常数）的不等式，将常数转化为带有函数符号“
”的函数值，然后根据函
数
的单调性脱去
，将问题转化为具体的指数不等式求解。
考点一 指数幂的运算
【例1】计算：
（1）
. （2）
;
【解析】（1）
＝
＝
＝
＝
（2）原式=
=
=
=
.
【变式1】计算
.
【解析】
；
考点二 指数函数
【例2-1】下列函数中是指数函数的是________.
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.
【答案】①④因为形如
的函数为指数函数，所以函数
符合指数函数的定义，是
指数函数；
符合指数函数的定义，是指数函数；其它函数不符合指数函数的定义，不是指数函数，
故答案为：①④.
【例2-2】函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【例2-3】若指数函数
且
在
上的最大值为
，则
.
【答案】
或
【解析】若
，则
在
上为增函数，所以
，即
.若
，则
在
上为减函数，所以
，即
.综上
或
.故答案
为：
或
.
【例2-4】已知函数
，则不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D 因为
，所以
等价于
，在同一直角坐标系中作出
和
的图象如图：两函数图象的交点坐标为
，不等式
的解为
或
.所以不等
式
的解集为：
.故选：D.
【变式2-1】函数
的图像如图所示，其中
为常数，则下列结论正确的是
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
由函数
的图像可知，函数
在定义域上单调递减，
，排除AB 选项；
分析可知
【变式2-2】若函数
满足
，且
在
单调递增，则实数
的最
小值等于_______．
试题分析：根据
可知函数
的图像关于直线
对称，可知
，从而可以确定函
数
在
上是增函数，从而有
，所以
，故
的最小值等于.
【变式2-3】函数
的单调递增区间为________．
【答案】
【解析】因为复合函数
是由
与
复合而得，而
在
上单调递
减，
所以
的单调减区间即为
的单调增区间，因为
开口向下，对称
轴为
，所以
的单调减区间
.则答案为：
考点三 指数型复合函数的值域
【例3-1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解：令
，可得
，
可得函数的对称轴为：
，故函数在
上单调递增，
当
时，
，故函数的值域为
，
【例3-2】函数
且
的值域是
，则实数
____.
【答案】或
当
时，函数
且
是增函数，
值域是
，
；当
时，函数
且
是减函数，
值域是
，
.综上所述，可得实数
或
.
【变式3-1】已知函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 解：因为
,所以
所以函数
的值域是
【变式3-2】已知函数
，
，则函数
的值域为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
依题意，函数
，
，令
，则
在
上单调递增，即
，
于是有
，当
时，
，此时
，
，
当
时，
，此时
，
，
所以函数
的值域为
.
【变式3-3】已知函数
．
(1)若
，求函数
的值域；
(2)若
，使
成立，求a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据参数的值求解出函数的解析式，再根据复合函数的性质求解值域即可；
（2）先将函数看成关于
的一次函数，运用不等式恒成立问题的处理方法将问题转化为只含
一个变量
的函数问题，再运用存在性问题的处理方法求解参数的取值范围．
【详解】（1）解：
，
时，
，
令
，
，
，
可写出关于的二次函数
，
根据二次函数的性质可得
，
所以当
，
时，函数
的值域为
．
（2）解：
，
可看成关于
的一次函数，且函数单调递减，
,
不等式
成立，
成立，
又
,
，
成立，
,
使得不等式
成立，
令
,
，又
，
，问题转化为函数
最大值不小于4．
①
，
,
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
当且仅当
时等号成立，故
恒成立，又
，
，所以
，
此时函数
的最大值为
，
，解得
；
②
，
,
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，所以
，此时函数
的最大值为
，
，解得
，
综上，
的取值范围为
．
1.函数
是指数函数，则（ ）
A．
或
B．
C．
D．
且
【答案】C【解析】由指数函数定义知
，同时
，且
，所以解得
.
2.已知函数
（
且
）的图象恒过定点A，若点A 的坐标满足关于x，y 的方程
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．24
【答案】A【解析】因为函数
图象恒过定点
又点A 的坐标满足关于
，
的方程
，所以
，即
所以
，当且仅当
即
时取等
号；所以
的最小值为4．故选：A．
3.已知函数
，则
（ ）
A．是偶函数，且在
是单调递增
B．是偶函数，且在
是单调递减
C．是奇函数，且在
是单调递增 D．是奇函数，且在
是单调递减
解：
定义域为
，且
，所以
为奇
函数，又
与
在定义域上单调递增，所以
在
上单调递增；故选：C
4.（多选题）已知函数
，则（ ）
A．函数
是增函数 B．曲线
关于
对称
C．函数
的值域为
D．曲线
有且仅有两条斜率为
的切线
【答案】AB【解析】根据题意可得
，易知
是减函数，
所以
是增函数，即A 正确；由题意可得
，所以
，即对于任意
，满足
，所以
关于
对
称，即B 正确；由指数函数值域可得
，所以
，即
，
所以函数
的值域为
，所以C 错误；易知
，令
，整理可得
，令
，即
，易知
，又因
为
，即
，所以
，即
，因此
；
即关于的一元二次方程
无实数根；所以
无解，即曲线
不存在斜率为
的切线，即D 错误；故选：AB
5.已知函数
，
，则其值域为_______．
【答案】
【解析】令
，∵
，∴
，∴
，
又
关于
对称，开口向上， 所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
时，函数取得最小值，即
，
时，函数取得最大值，即
，
.故答案为：
.
6.不等式
的解集是_____________.
【答案】
由
，得
，所以
，解得
，所以不等式的解集为
，故答案为：
7.设函数
，
是定义域为R 的奇函数
(1)确定
的值
(2)若
，判断并证明
的单调性；
(3)若
，使得
对一切
恒成立，求出
的范围.
(1)因
是定义域为
的奇函数，则
，
而
，解得
，所以
的值是2.
(2)由（1）得
，
是定义域为
的奇函数，而
，则
，即
，又
，解得
，则函数
在
上单调递增，
，
，
，因
，则
，
，于是得
，即
，所以函数
在定义域
上单调递增.
(3)当
时，
，
，
，而函数
在
上单调递增，
，
于是得
，令
，函数
在
上单调递减，当
，即
时，
，因此，
，解得
，所以
的范围是
.
