第二章函数
第8 节 指数与指数函数
【考向预测】近三年高考数学指数与指数函数为年年必考、基础高频考点，小题常考查指
数幂运算、指数函数定义域值域、图像过定点、单调性、比较数值大小，常与对数函数、不
等式、函数奇偶性、零点问题交汇；大题多隐性融入导数综合、数列放缩、恒成立问题中作
为基础函数模型考查，运算与性质应用频次极高。预测 2027 年延续稳定考查态势，小题侧
重指数式化简求值、指数函数图像特征、单调性比大小、含参指数型函数范围辨析，强化指
对函数联动命题，大题继续以指数函数为载体结合导数研究单调性、最值与不等式证明，着
重考查指数运算素养、数形结合思想及指数函数模型的综合迁移与逻辑推理能力。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x－1是指数函数.( )
(2)函数y＝a
x
2＋1(a>1)的值域是(0,＋∞).( )
(3)2－3>2－4.( )
(4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.( )
【答案】(1)× (2)× (3)√ (4)×
【解析】(1)由于指数函数解析式为y＝ax(a>0,且a≠1),故y＝2x－1不是指数函数,(1)错误.
(2)由于x2＋1≥1,又a>1,∴a
x
2＋1≥a.
故y＝a
x
2＋1(a>1)的值域是[a,＋∞),(2)错误.
(4)m 与n 的大小关系与a 的取值有关,(4)错误.
2.(苏教必修一P165T5 改编)(多选)若函数y＝ax(a>0,a≠1)在区间[－1,1]上的最小值为1
2,则实
数a 的值为( )
A.2
B.2
3
C.3
2
D.1
2
【答案】AD
【解析】当a>1 时,y＝ax在[－1,1]上单调递增,
此时f(x)min＝f(－1)＝a－1＝1
2,解得a＝2,
当0<a<1 时,y＝ax在[－1,1]上单调递减,
此时f(x)min＝f(1)＝a＝1
2.
所以实数a 的值为2 或1
2,故选AD.
3.(人教B 必修二P13 练习A T2 改编)已知a＝0.750.1,b＝1.012.7,c＝1.013.5,则( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
【答案】C
【解析】因为函数y＝1.01x在(－∞,＋∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即
c>b>a.
4.(人教A 必修一P110T8 改编)已知a
1
2 ＋a
−1
2＝3,则a＋a－1＝ ;a2＋a－2＝ .
【答案】7 47
【解析】由a
1
2 ＋a
−1
2＝3,得a＋a－1＋2＝9,
即a＋a－1＝7,则a2＋a－2＋2＝49,
即a2＋a－2＝47.
【核心梳理●明考点】
1.根式
(1)概念:式子
n√a叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
(2)性质:①负数没有偶次方根.
②0 的任何次方根都是0,记作
n√0＝0.
③(
n√a)n＝a(n∈N*,且n>1).
④
n√a
n＝a(n 为大于1 的奇数).
⑤
n√a
n＝|a|＝{
a,a≥0,
−a,a<0(n 为大于1 的偶数).
2.有理数指数幂
规定:正数的正分数指数幂的意义是a
m
n ＝
n√a
m(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意
义是a
−m
n ＝1
n√a
m(a>0,m,n∈N*,且n>1);
0 的正分数指数幂等于0;0 的负分数指数幂没有意义.
3.实数指数幂的运算性质
aras＝a r ＋ s ;(ar)s＝a rs ;(ab)r＝a r b r ,其中a>0,b>0,r,s∈R.
4. 指数函数的概念、图象与性质
(1)概念:函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,定义域是R.
(2)图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0
, ＋
∞
)
性质
过定点(0
, 1)
,即x＝0 时,y＝1
当x>0 时,y >1
;
当x<0 时,0<
y <1
当x<0 时,y >1
;
当x>0 时,0<
y <1
在(－∞,＋∞)上是增
函数
在(－∞,＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝(
1
a)
x
的图象关于y 轴对称
1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(−1, 1
a).
2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关,要特别注意应分a>1 与0<a<1 来
研究.
3.如图所示是指数函数
(1)y＝ax,(2)y＝bx,
(3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0.
【考点突破●明方向】
考点一 指数幂的运算
例1 化简:
(1)
a
4
3 −8a
1
3 b
4 b
2
3 ＋2
3√ab＋a
2
3
÷(1−2
3√
b
a)×3√a;
(2)(0.008 1)
−1
4 －[3×(
7
8)
0
]
−1
×[81
−0.25＋(3 3
8)
−1
3]
−1
2－10×0.027
1
3.
【解析】(1)原式＝
a
1
3(a−8b)
4 b
2
3 ＋2a
1
3 b
1
3 ＋a
2
3
÷a
1
3 −2b
1
3
a
1
3
×a
1
3
＝a
1
3(a
1
3 −2b
1
3 )(a
2
3 ＋2a
1
3 b
1
3 ＋4 b
2
3 )
4 b
2
3 ＋2a
1
3 b
1
3 ＋a
2
3
×
a
1
3
a
1
3 −2b
1
3
×a
1
3 ＝a
1
3×a
1
3×a
1
3＝a.
(2)原式＝[(
3
10)
4
]
−1
4－(3×1)－1×[3
−1＋(
3
2)
−1
]
−1
2－10×[(0.3)3]
1
3
＝(
3
10)
−1
－1
3×(
1
3 ＋2
3)
−1
2－10×0.3
＝10
3 －1
3－3＝0.
【名师点拨】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,
还应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加.
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【变式训练】1 (1)(多选)实数a 满足a＋a－1＝4,下列结论中正确的是( )
A.a2＋a－2＝14
B.a－a－1＝2❑√3
C.a
1
2 ＋a
−1
2 ＝❑√6
D.a
3
2 ＋a
−3
2
a
1
2 ＋a
−1
2
＝4
(2)(
81
16)
−1
4 ＋
8
2
3
❑√(−3)
2－2×(❑√6－2)－1＋(
❑√3
3 )
0
＋36
1
4＝ .
【答案】(1)AC (2)1
【解析】(1)∵a＋a－1＝4,∴(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝16,
∴a2＋a－2＝14,故A 正确;
∵(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－4＝42－4＝12,
∴a－a－1＝±2❑√3,故B 错误;
∵(a
1
2 ＋a
−1
2)2＝a＋2＋a－1＝4＋2＝6,
∴a
1
2 ＋a
−1
2 ＝❑√6,故C 正确;
∵a
3
2 ＋a
−3
2＝(a
1
2)3＋(a
−1
2)3＝(a
1
2 ＋a
−1
2)·(a＋a－1－1),
∴a
3
2 ＋a
−3
2
a
1
2 ＋a
−1
2
＝a＋a－1－1＝3,故D 错误.
(2)(
81
16)
−1
4 ＋
8
2
3
❑√(−3)
2－2×(❑√6－2)－1＋(
❑√3
3 )
0
＋36
1
4
＝[(
3
2)
4
]
−1
4 ＋4
3 －2×
❑√6＋2
2
＋1＋
❑√6
＝2
3 ＋4
3 －(
❑√6＋2)＋1＋
❑√6
＝1.
考点二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知a>0,则函数f(x)＝ax－2a 的图象可能是( )
(2)(2026·深圳质检)若直线y＝2a 与函数y＝|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a 的取
值范围是 .
【答案】(1)AD (2)(0, 1
2)
【解析】(1)当x＝1 时,f(1)＝a－2a＝－a<0,排除B,C;
当a＝2 时,f(x)＝2x－4,此时函数对应的图象可能为A;
当a＝1
2时,f(x)＝(
1
2)
x
－1,此时函数对应的图象可能为D.故选AD.
(2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1 个单位长度,再将x 轴下方的图象翻折到x
轴上方,保持x 轴上及其上方的图象不变得到的.
当a>1 时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;
当0<a<1 时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<1
2.
综上可知,a 的取值范围是(0, 1
2).
【名师点拨】1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通
过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a 与1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
【变式训练】2 (1)函数f(x)＝(
1
8)
|x ＋2|
的部分图象大致为( )
(2)(多选)已知实数a,b 满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为( )
A.a＝b
B.0<b<a
C.a<b<0
D.0<a<b
【答案】(1)B (2)ABC
【解析】(1)由题意得,f(x)的定义域为R,排除C,D;
当x≥－2 时,f(x)＝(
1
8)
x＋2
,
因为0<1
8<1,所以f(x)在[－2,＋∞)上单调递减,排除A.故选B.
(2)由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象,如图所示,
由图象知,当a＝b＝0 时,3a＝6b＝1,故A 正确;
作出直线y＝k,当k>1 时,若3a＝6b＝k,
则0<b<a,故B 正确;
作出直线y＝m,当0<m<1 时,
若3a＝6b＝m,则a<b<0,故C 正确;
当0<a<b 时,易得2b>1,
则3a<3b<2b·3b＝6b,
故D 错误.
考点三 指数函数的性质及应用
角度1 比较大小
例3 (1)若a＝1.010.5,b＝1.010.6,c＝0.60.5,则a,b,c 的大小关系为( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.b>a>c
(2)(2026·海口模拟)已知a＝1.30.6,b＝(
4
3)
−0.4
,c＝(
3
4)
0.3
,则( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.b<c<a
【答案】(1)D (2)D
【解析】(1)法一 因为函数f(x)＝1.01x是增函数,且0.6>0.5>0,
所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1;
因为函数g(x)＝0.6x是减函数,且0.5>0,
所以0.60.5<0.60＝1,即c<1.
综上,b>a>c.故选D.
法二 因为函数f(x)＝1.01x是增函数,且0.6>0.5,
所以1.010.6>1.010.5,即b>a;
因为函数h(x)＝x0.5在(0,＋∞)上单调递增,且1.01>0.6>0,
所以1.010.5>0.60.5,
即a>c.综上,b>a>c.故选D.
(2)a＝1.30.6>1.30＝1,b＝(
4
3)
−0.4
＝(
3
4)
0.4
,c＝(
3
4)
0.3
,
因为指数函数y＝(
3
4)
x
是减函数,
所以(
3
4)
0.4
<(
3
4)
0.3
<(
3
4)
0
＝1,
所以b<c<1,所以b<c<a.
角度2 解指数方程或不等式
例4 不等式22x－3>(
1
2)
7
的解集是 .
【答案】(－2,＋∞)
【解析】由题意知,22x－3>(
1
2)
7
＝2－7,
由指数函数y＝2x在R 上单调递增,
得2x－3>－7,解得x>－2,
即原不等式的解集为(－2,＋∞).
角度3 指数函数性质的综合应用
例5 已知函数f(x)＝8
x＋a·2
x
a·4
x
(a 为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数.
(1)求a 的值;
(2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0 成立,求实数m 的取值范围.
【解析】(1)f(x)＝1
a×2x＋1
2
x,
因为f(x)是奇函数,
所以f(－x)＝－f(x),
所以1
a× 1
2
x＋2x＝－(
1
a ×2
x＋1
2
x),
所以(
1
a ＋1)(2
x＋1
2
x)＝0,
即1
a＋1＝0,解得a＝－1.
(2)因为f(x)＝1
2
x－2x,x∈[1,2],
所以1
2
2 x－22x≥m(
1
2
x −2
x),
所以m≥1
2
x＋2x,x∈[1,2],
令t＝2x,t∈[2,4],
由于y＝t＋1
t 在[2,4]上单调递增,
所以m≥4＋1
4 ＝17
4 ,
即实数m 的取值范围是[
17
4 ,＋∞).
【名师点拨】1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调
性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“0 或1”等中间量比较大小.
2.指数方程(或不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及
值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【易错警示】在研究指数型函数的单调性时,当底数a 与“1”的大小关系不确定时,要分类讨
论.
【变式训练】3 (1)已知实数a,b,c 满足a＝(
1
2)
5
3,be＝1
2,(
1
2)
c
＝1
3,则( )
A.b<a<c
B.a<b<c
C.c<a<b
D.c<b<a
(2)(多选)(2026·青岛模拟)设函数f(x)＝3
x−3
−x
2
,g(x)＝3
x＋3
−x
2
,则( )
A.函数y＝f(x)·g(x)为奇函数
B.f(2x)＝2f(x)·g(x)
C.函数y＝f ( x)
g( x)的值域为(－1,1)
D.函数y＝g( x)
f ( x)在其定义域上为增函数
(3)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2x＋1)>f(4)的解集为 .
【答案】(1)B (2)ABC
(3)(−∞,−5
2)∪(
3
2 ,＋∞)
【解析】(1)由y＝(
1
2)
x
在(0,＋∞)上单调递减,y＝log2x 在(0,＋∞)上单调递增,
可知(
1
2)
0
＝1>b＝(
1
2)
1
e>(
1
2)
5
3＝a,
c＝log1
2
1
3＝log23>log22＝1,
所以c>1>b>a.
(2)y＝f(x)·g(x)＝3
2 x−3
−2 x
4
,x∈R,
令h(x)＝3
2 x−3
−2 x
4
,
h(－x)＝3
−2 x−3
2 x
4
＝－h(x),
所以y＝f(x)·g(x)是奇函数,A 正确;
f(2x)＝3
2 x−3
−2 x
2
,
2f(x)·g(x)＝2·3
x−3
−x
2
·3
x＋3
−x
2
＝3
2 x−3
−2 x
2
,
所以f(2x)＝2f(x)g(x),B 正确;
y＝f ( x)
g( x) ＝3
x−3
−x
3
x＋3
−x ＝3
2 x−1
3
2 x＋1＝1－
2
3
2 x＋1,
其值域为(－1,1),C 正确;
y＝g( x)
f ( x) ＝3
x＋3
−x
3
x−3
−x ＝1＋
2
3
2 x−1,其定义域为{x|x≠0},
由函数单调性的性质知D 错误.
(3)由函数f(x)＝2|x|,可得其定义域为R,
且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x),
所以f(x)＝2|x|为偶函数,
当x∈[0,＋∞)时,f(x)＝2x,且在[0,＋∞)上单调递增,
根据偶函数的性质,不等式f(2x＋1)>f(4),
即为f(|2x＋1|)>f(4),
可得|2x＋1|>4,所以2x＋1<－4 或2x＋1>4,
解得x<－5
2或x>3
2,
所以f(2x＋1)>f(4)的解集为
(−∞,−5
2)∪(
3
2 ,＋∞).
【限时训练】
（30 分钟）
一、单选题
1.若指数函数f(x)满足f(2)＝81,则f(−1
2)的值为( )
A.±1
3
B.±3
C.1
3
D.3
【答案】C
【解析】设f(x)＝ax(a>0 且a≠1),
因为f(2)＝a2＝81,又a>0,
所以a＝9,从而f(x)＝9x,
f(−1
2)＝9
−1
2 ＝1
❑√9 ＝1
3.
2.下列结论中正确的是( )
A.若a>0,则a
4
3·a
3
4＝a
B.若m8＝2,则m＝±
8√2
C.若a＋a－1＝3,则a
1
2 ＋a
−1
2＝±❑√5
D.
4√(2−π )
4＝2－π
【答案】B
【解析】对于A,根据分数指数幂的运算法则,
可得a
4
3·a
3
4 ＝a
4
3 ＋3
4 ＝a
25
12,
当a＝1 时,a
25
12＝a;
当a≠1 时,a
25
12≠a,故A 错误;
对于B,m8＝2,故m＝±
8√2,故B 正确;
对于C,a＋a
−1＝3,则(a
1
2 ＋a
−1
2)
2
＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5,
因为a>0,所以a
1
2 ＋a
−1
2 ＝❑√5,故C 错误;
对于D,
4√(2−π )
4＝|2－π|＝π－2,故D 错误.
3.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】B
【解析】y＝ax(a>1)是增函数,经过点(0,1),
因为a>1,
所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1 个单位长度得到,
所以函数f(x)＝ax－a 的图象如图所示.
故函数f(x)的图象不经过第二象限.
4.已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c 的大小关系是( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>c>a
D.c>b>a
【答案】B
【解析】依题意,a＝1.050.6>1.050＝1,b＝0.60.8<0.60.4＝c<0.60＝1,所以a,b,c 的大小关系是
a>c>b.
5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝
e
x
e
x＋1
－1
2,则对任意实数x,下列结论正确的是(
)
A.f(x)是偶函数,且在R 上单调递增
B.f(x)是奇函数,且在R 上单调递增
C.f(x)是奇函数,且在R 上单调递减
D.f(x)是偶函数,且在R 上单调递减
【答案】B
【解析】f(x)的定义域为R,f(x)＝
e
x−1
2(e
x＋1),
则f(－x)＝
e
−x−1
2(e
−x＋1)＝－
e
x−1
2(e
x＋1)＝－f(x),
故f(x)是奇函数.
由于f(x)＝
e
x
e
x＋1
－1
2 ＝1
2 －
1
e
x＋1,函数y＝ex＋1 单调递增,
故f(x)在R 上单调递增.故选B.
6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞,0]满足x2－3x＋a<0(a∈R),则a 的取值范围是(
)
A.(－∞,1)
B.(1,＋∞)
C.(－∞,－1)
D.(－1,＋∞)
【答案】A
【解析】因为存在x∈(－∞,0],满足x2－3x＋a<0(a∈R),
即存在x∈(－∞,0],满足a<－x2＋3x,亦即
a<(－x2＋3x)max.
令f(x)＝－x2＋3x,x∈(－∞,0],
因为y＝－x2与y＝3x在(－∞,0]上均单调递增,
所以f(x)在(－∞,0]上单调递增,
所以f(x)max＝f(0)＝1,
所以a<1,即a 的取值范围是(－∞,1).故选A.
7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z 的大小关系不可能为( )
A.x>y>z
B.x>z>y
C.y>x>z
D.y>z>x
【答案】B
【解析】设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m,
所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5,
令m＝2,则x＝1,y＝3－1＝1
3,z＝5－3＝1
125,
此时x>y>z,A 有可能;
令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C 有可能;
令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125,
此时y>z>x,D 有可能.故选B.
二、多选题
8.下列化简中正确的有( )
A.(a
1
6)－1·(a－2)
−1
3 ＝a
1
2
B.(x
a
−1y)a·(4y－a)＝4x
C.[(1－❑√2)2]
1
2－(1＋❑√2)－1＋(1＋❑√2)0＝3－2❑√2
D.2a3b
2
3·(－5a
2
3 b
1
3)÷(4
3√a
4b
5)＝－5
2 a
7
3 b
−2
3
【答案】ABD
【解析】对于A,(a
1
6)－1·(a－2)
−1
3 ＝a
−1
6 ＋2
3 ＝a
1
2,正确;
对于B,(x
a
−1y)a·(4y－a)＝4x
1
a ×a·ya－a＝4xy0＝4x,正确;
对于C,[(1－❑√2)2]
1
2－(1＋❑√2)－1＋(1＋❑√2)0＝(❑√2－1)
2× 1
2 －
1
1＋❑√2＋1＝❑√2－1－(❑√2－1)＋1＝
1,故错误;
对于D,2a3b
2
3·(－5a
2
3 b
1
3)÷(4
3√a
4b
5)＝
[2×(－5)÷4]a
3＋2
3 −4
3 b
2
3 ＋1
3 −5
3＝－5
2 a
7
3 b
−2
3,正确.故选ABD.
9.下列是真命题的是( )
A.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,3)
B.函数f(x)＝2
1
sin x的值域是[
1
2 ,2]
C.函数f(x)＝
1
2
x＋1
－1
2为奇函数
D.函数f(x)＝2|2x－1|＋1 的图象的对称轴是直线x＝1
【答案】AC
【解析】对于A,令x－1＝0,则x＝1,当x＝1 时,f(1)＝a0＋2＝3,
所以函数恒过定点(1,3),故A 正确;
对于B,
因为f(x)的定义域为{x| x≠k π ,k ∈Z },
则sin x∈[－1,0)∪(0,1],
则1
sin x ∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),
令t＝1
sin x ,则t∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),
则y＝2t∈(0, 1
2]∪[2,＋∞),
即函数f(x)＝2
1
sin x 的值域是(0, 1
2]∪[2,＋∞),故B 错误;
对于C,因为函数f(x)＝
1
2
x＋1
－1
2的定义域为R,
关于原点对称,且f(－x)＝
1
2
−x＋1
－1
2 ＝
2
x
2
x＋1
－1
2,
则f(－x)＋f(x)＝0,
所以函数f(x)＝
1
2
x＋1
－1
2为奇函数,故C 正确;
对于D,函数f(x)＝2|2x－1|＋1 的图象的对称轴是直线x＝1
2,故D 错误.
三、填空题
10.化简
❑√a
3b
2 3√ab
2
(a
1
4 b
1
2 )
4·
3√
b
a
(a>0,b>0)的结果是 .
【答案】a
b
【解析】
❑√a
3b
2 3√ab
2
(a
1
4 b
1
2 )
4·
3√
b
a
＝
a
3
2 b·a
1
6 b
1
3
(a
1
4 b
1
2 )
4·a
−1
3 ·b
1
3
＝a
3
2 ＋1
6 −1＋1
3 b
1＋1
3 −2−1
3＝ab－1＝a
b.
11.已知0≤x≤2,则函数y＝4
x−1
2－3×2x＋5 的最大值为 .
【答案】5
2
【解析】设2x＝t,0≤x≤2,则1≤t≤4,
y＝4
x−1
2－3×2x＋5＝1
2t2－3t＋5
＝1
2(t－3)2＋1
2,
故当t＝1,即x＝0 时,函数有最大值5
2.
12.已知a>0 且a≠1,函数f(x)＝{
a
x , x ≤1,
−x＋a, x>1,
若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大5
2,则a 的值为 .
【答案】1
2或7
2
【解析】①当0<a<1 时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上也单调递减.
∵f(0)＝a0＝1>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)＝1,
∵f(2)＝－2＋a<a＝f(1),
∴函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a,
∴－2＋a＋5
2＝1,解得a＝1
2∈(0,1),符合题意.
②当a>1 时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减.
∵f(1)＝a>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(1)＝a.f(2)＝－2＋a,f(0)＝a0＝1,
当a∈(1,3)时,－2＋a<1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a,
因此有－2＋a＋5
2＝a,无解;
当a∈[3,＋∞)时,－2＋a≥1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)＝1,
因此有1＋5
2＝a,解得a＝7
2∈(3,＋∞),符合题意.
综上所述,实数a 的值为1
2 或7
2.
四、解答题
13.已知函数f(x)＝ax＋a
−x(a>0,且a≠1),且f(1)＝5
2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－m 在[0,＋∞)上的最小值为0,求m 的值.
【解析】(1)因为f(1)＝5
2,
所以a＋1
a ＝5
2,解得a＝2 或a＝1
2,
所以f(x)＝2x＋2－x.
(2)g(x)＝(2x＋2－x)2＋(2x＋2－x)－m.
令u＝2x＋2－x,x≥0,
则2x＋2－x≥2√2
x·2
−x＝2,
当且仅当2x＝2－x,即x＝0 时,等号成立,
所以u＝2x＋2－x≥2,
因为函数h(u)＝u2＋u－m 在[2,＋∞)上单调递增,所以h(u)min＝h(2)＝6－m.
因为g(x)在[0,＋∞)上的最小值为0,
所以6－m＝0,解得m＝6.
综上,m 的值为6.
14.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)＋g(x)＝21－x.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)若对任意的x∈R,f(x)≥2
n
2−2n−2恒成立, 求实数n 的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)＋g(x)＝21－x,
所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝21＋x,
所以{
f ( x)−g( x)＝2
1＋x ,
f ( x)＋g( x)＝2
1−x ,
则f(x)＝2x＋2－x,g(x)＝2－x－2x.
(2)因为f(x)＝2x＋2－x≥2❑√2
x·2
−x＝2,
当且仅当2x＝2－x,即x＝0 时,等号成立,
所以f(x)min＝2.
所以对任意的x∈R,f(x)≥2
n
2−2n−2恒成立,
即2≥2
n
2−2n−2,则n2－2n－2≤1,
即n2－2n－3≤0,解得－1≤n≤3,
所以实数n 的取值范围为[－1,3].
