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培优专题 03 函数的性质及其综合应用
题型01 函数的值域（最值）
抓关键 · 破难点
上海卷对函数性质（单调性、奇偶性）的考查，强调定义域优先原则，利用函数在给定区间上的单调性
直接确定端点最值，或结合奇偶性简化对称区间上的值域问题。
1、若函数在区间上单调递增或递减，值域即为区间端点函数值构成的区间。对于复杂函数，需通过定义
法或导数法先确定单调区间，再分段求值域。
2、奇函数在对称区间上值域关于原点对称，最大与最小值互为相反数；偶函数在对称区间上值域相同。
常结合单调性判断最值位置。
3、若根据值域求参，将值域条件转化为函数最值的约束方程，利用单调性建立参数的不等式或等式。常
见题型包括：已知分段函数的值域求参数、已知二次函数在闭区间上的值域求参数范围。
关键技巧：换元法需注意新变量的范围；含参函数需根据对称轴与区间的位置关系分类讨论；复合函数
遵循"同增异减"法则判断单调性。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海闵行·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .(1)求 的值；
(2)若 ，求函数 的值域.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用奇函数的定义求解；
（2）由 的表达式求出 的表达式，利用换元法将 设为 ，求出 的取值范围，利用二次函数
的图象求值域即可得解.
【详解】（1） 函数 是定义在 上的奇函数，
，
当 时， ， ，
；
（2） 当 时， ， ，
，
令 ， ， ，
，
函数 图象开口向上，对称轴为 ，
，
函数 的值域为 .2．（2025·上海金山·二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .
(1)求 的值；
(2)若 ，求函数 的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可；
（2）计算 表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可.
【详解】（1）因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
所以 ；
（2） ，
令 ，问题等价于求 的值域，
函数 图象开口向上，对称轴为直线 ，
，
函数 的值域为 ．
3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 ，与函数 关于原点对称
(1)求函数 的解析式
(2)已知 ，求 的最大值及 取最大值时 的值．【答案】(1) ；
(2) 时， 取得最大值13
【分析】（1）在 任取一点 ，则 在函数 上，代入化简后即得
函数 的解析式；
（2）由题可得 ，结合题意可得 ，利用二次函数的性质即
可求得函数最大值.
【详解】（1）由题可得函数 与函数 关于原点对称，
则在 任取一点 ，则 在函数 上，
则得 ，故 .
（2）由题
函数 的定义域为 ，要使函数 有意义，
需使 ，解得 ，即 ，
所以 ，
当 ，即 时， .
故当 时，函数 取得最大值 .
4．（2025·上海闵行·一模）已知幂函数 满足 .
(1)求函数 的解析式；(2)已知函数 定义域内的 满足 ，求证： ；
(3)设函数 的定义域为 ，如果存在区间 ，使得 在 上的值域也为 ，
试求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义求出 或 ，再根据 即可求出答案；
（2）利用基本不等式得到 ，解不等式即可证明；
（3）根据题意得到 ，将 代入 得到 ，令
， ，则 ，求二次函数的值域即可求出答案.
【详解】（1）因为 为幂函数，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
故 .
（2）
，
所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
又 ，所以 .
（3）因为 在 上单调递减，
所以 ，
两式相减得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
将 代入 ，
得 ， ，
令 ， ，则 ， ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
题型02 利用函数性质解不等式
抓关键 · 破难点
将不等式转化为函数值的大小关系，利用函数的单调性去掉对应法则，直接比较自变量；利用奇偶性可
将不等式转化为对称区间上的关系。
1、若函数在区间上单调递增，则f(a)>f(b)等价于 a>b；若单调递减，则等价于a<b。关键是先确定
函数的单调区间，并确保自变量在定义域内。
2、偶函数可将f(x)>f(a)转化为∣x∣>∣a∣；奇函数需结合单调性处理。常用于分段讨论或简化绝
对值不等式。刷经典 · 通方法
1．（25-26高三上·上海嘉定·月考）已知 .
(1)是否存在实数 ，使得函数 是偶函数？若存在，求实数 的值，若不存在，请说明理由;
(2)若 ，求解不等式 .
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据定义域的对称性求出 的值，再利用偶函数的定义检验即可；
（2）先化简 ，结合对数函数的单调性可得 ，再结合 的取值范围以及 、
两种情况即可求出.
【详解】（1）存在，证明如下：
由 ， ，则 且 ，
欲使 是偶函数，则其定义域 需关于原点对称，故 ，解得 ，
此时定义域为 ， ，
则 ，
故当 时，函数 是偶函数；
（2）因 ，则 ，
则 ， ， ， ①，
因 ，则 ，
即 ，
结合对数函数的单调性可得， ，即 ②，
若 ，则不等式②得 ，不等式组①得 ，
故 ；
若 ，则不等式②得 ，不等式组①得 ，故 ；
综上所述：
当 ，不等式 的解集为 ；当 ，不等式 的解集为 .
2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 ，函数 是定义在 上的奇函数，且
.
(1)求函数 的解析式；
(2)判断 的单调性（无需证明），并解关于 的不等式 .
【答案】(1)
(2) 在区间 上是增函数，
【分析】（1）由已知得 ，可求得b=0，再由已知的函数值，可求得a，得函数的解析式；
（2）判断函数单调性，利用函数单调性定义证明，由函数单调性及奇偶性解不等式.
【详解】（1）∵ 是奇函数，
,即 ，
∴
∴ ．
∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
（2） 在区间 上是增函数．证明如下:
任取 ， ，且 ，
,∵ ，∴ ，
∴ ，又 ， ， ，
∴ 即 ，
∴ 在区间 上是增函数．
是奇函数，且 ，
，
，解得 ，
故不等式的解集为 .
3．（2025·上海·三模）设 且 ，已知函数 ．
(1)判断 是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数 ，解关于 的不等式 ．
【答案】(1)偶函数，理由见解析.
(2)当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 .
【分析】（1）由偶函数的性质证明即可；
（2）由偶函数的性质，换元令 ，再分 和 结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即
可.
【详解】（1） 是偶函数.
理由如下：因为 ，
且 ，即定义域为 ，定义域关于原点对称.
，
是偶函数.
（2） 为偶函数，
令 .
当 时， 在 上单调递增， 在区间 上单调递减，
由 ，得 且 ，解得 .
当 时， 在 上单调递减， 在区间 上单调递增，
由 ，得 且 ，解得 .
综上所述：当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
4．（2025·上海崇明·二模）已知 ．
(1)是否存在实数a，使得函数 是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
(2)若 且 ，解关于x的不等式 ．
【答案】(1)存在实数 ，使得函数 是偶函数
(2)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的定义可求解.（2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合 且 ，分类讨论即可求解.
【详解】（1）存在实数 ，使得函数 是偶函数.
要使函数 有意义，须满足 ，即 ，
显然 ，即 ，函数 的定义域 .
当 时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在 且 ，此时函数 不是偶函数.
当 时， ，
函数 的定义域为 ，对于任意的 ，都有 ，
并且
因此函数 是一个偶函数
综上所述，存在实数 ，使得函数 是偶函数
（2）由 ，得
所以 且 ①．
由①得， .
因为 且 ，
所以当 时， ，
当 时， .
综上可得：当 时，不等式 的解集为 ；当 时，不等式 的
解集为 .
题型03 利用函数性质解恒成立问题抓关键 · 破难点
函数的性质大题中常考的几点：
1、根据函数奇偶性求参数，根据奇偶性的定义来求参数，由f(x)=f(-x)或f(x)=-f(x)
2、根据函数单调性的定义来证明函数的单调性，由定义域中任意x <x 由f (x )<f (x )或f (x )>f (x )
1 2 1 2 1 2
来证明。
3、函数恒成立或存在性问题，最终常转化为函数最值（或值域）问题来处理，但转化方向完全相反，恒
成立问题为大于最大值或小于最小值，存在性问题为大于最小值或小于最大值。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海浦东新·二模）已知函数 的表达式 ．
(1)若函数 是奇函数，求实数 的值；
(2)对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案；
（2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案.
【详解】（1）因为函数 是奇函数， 的定义域 关于原点对称，
由 ，则 ，
所以 .
（2）对任意实数 ，不等式 恒成立，即 恒成立，
设 ，
对任意实数 且 ，，
因为 ，所以 ，所以
所以函数 在 上单调递减；
，所以 .
2．（2025·上海奉贤·二模）函数 ，其中 ．
(1)若函数 是偶函数，当 时，求 的值；
(2)求函数 的值域并证明对任意的正实数 和实数 ，不等式 恒成立．
【答案】(1)
(2)值域为 ，证明见解析
【分析】（1）由偶函数的定义可求得 ，进而利用指数函数的单调性可求得 ；
（2）由题意可得 ，由基本不等式可得 ，可证结论.
【详解】（1）由已知，函数 的定义域为
函数 是偶函数， 对任意的 ，都有 ，
， ，
， ， ，
是 上的严格增函数， ，
， ；
（2） 又 是 上的严格增函数， ，
，当且仅当 时等号成立， 的最小值为2，， 对任意的正实数 和实数 ， 恒成立.
2．（2025·上海浦东新·三模）已知 .
(1)数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上，求数列 的通项公式；
(2)设 ；当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，根据 的关系求通项公式即可；
（2）求出 ，换元后，分离参数，转化为求函数的最小值，利用二次函数配方后得解.
【详解】（1）由题意， ，
当 时， ，
当 时， ，
则 .
（2） ，
设 ，当 时， ，
恒成立，
则 ，
因为 ，所以 .3．（2025·上海宝山·二模）已知函数 ，（ 且 ）
(1)若 ，求方程 的解；
(2)已知 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求实数 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由 求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关
系求解即可；
（2）由幂函数的单调性得到关于 的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1） 即 解得 ，于是 ，
方程 即为 ，
令 ，则有 即 ，
求得 （舍负） ，
所以方程的解为 .
（2）由已知 得 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，
从而 对任意 恒成立，
因为 （当且仅当 取等号），
所以 ，
即实数 的最大值为 .4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知函数 .
(1)若函数 为奇函数，求 的最大值.
(2)若函数 为偶函数，且 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)9
(2)
【分析】（1）由函数 为奇函数，得 ，则 ，然后由配方法得到 的最大
值；
（2）由函数 为偶函数，得 ，则 ，令 ，令
并由基本不等式求得 的范围，由题意得 ，分离常数后令 ，由函数单调性得到
的最大值，即可得到实数 的取值范围.
【详解】（1）当函数 为奇函数，
则 ，∵ ，则 ，
∴
故 的最大值为9.
（2）函数 为偶函数，
则 ，∵ 不恒为0，∴ ，
令 ，
，
令 中 ，∴ ，当且仅当 ，即 时取等号，
∴ ， ，
即 ，令函数 ，
∵ 在 上单调递减， 在 上单调递减，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
即 .
题型04 利用函数性质解零点（有解）问题
抓关键 · 破难点
将方程有解问题转化为函数零点问题，利用函数的单调性、奇偶性判断零点的个数或存在区间，再结合
端点函数值的符号确定参数范围。
1、利用单调性处理零点：若函数在区间上单调，则最多有一个零点。结合零点存在定理（端点值异
号），可确定唯一零点的位置或根据有解条件建立不等式求参数范围。
2、利用奇偶性处理零点：奇函数的零点关于原点对称（若原点在定义域内则必有一个零点）；偶函数的
零点成对出现（互为相反数）。据此可判断零点个数或转化为正半轴上的问题简化求解。
3、参数范围问题：将方程变形为a=g(x) 的形式，利用函数性质求g(x)的值域，则 a 的取值范围
即为该值域。若方程在指定区间上有解，则 a 需属于g(x)在该区间上的值域。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海·三模）已知函数 ，
(1)当 时，解不等式 ；
(2)已知函数 为偶函数，且函数 在区间 上有零点，求正实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】 根据函数单调性的性质判断 的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集；
根据 是偶函数求出 ，令 ，求出 的取值范围，令 ，将原题转化为方程有解问
题即可求解.
【详解】（1）当 时，函数 ，
函数是 和 都是R上的减函数，所以 为减函数，
所以不等式 等价于 ，
解得 或 ，
即原不等式解集为 ．
（2）由于 是偶函数，则 ，
代入化简得 ，解得 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上有解， ，
因为函数 在 上严格增，所以 ，
解得 ，故 的取值范围为 ．
2．（25-26高三上·上海·期中）已知 ．
(1)当 时，求函数 的定义域及不等式 的解集；
(2)若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围．【答案】(1) ， ；
(2) 或 .
【分析】（1）求出 的定义域，再求出 定义域；求出 的表达式，解对数不等式即可；
（2）求出 ，由函数 只有一个零点，得到 只有一解，由
得到 ，代入 ，得到 ，从而得到关于 的方程 只有一个正根，讨
论 和 两种情况求解即可.
【详解】（1） ， ， ， ，
， 的定义域 ， 中 ， ，
的定义域 .
， ， ， ， ，
不等式 的解集为 .
（2） ，
，
函数 只有一个零点，
只有一解， ， ，
， ， ，， 恒成立， 关于 的方程 只有一个正根，
当 时， 转化为 ，符合题意；
当 时，若 有两个相等的实数根，则 ，解得 ，
此时方程的根为 ，符合题意；
当 时，若 有两个相异的实数根，则 ，解得 ，
此时设方程的两个根为 ，则有 ，
方程的两个根只能异号， ， ，此时方程只有一个正根，符合题意.
综上可知，实数 的取值范围为 或 .
3．（2026高三·上海·专题练习）已知函数 ，若函数 为偶函数，且函数
在区间 上有零点，求正实数 的取值范围.
【答案】
【分析】根据 是偶函数求出 ，令 ，求出 的取值范围，令 ，将原题转化为方程有
解问题即可求解.
【详解】由于 是偶函数，则 ，
代入化简得 ，解得 ， ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上有解， ，
因为函数 在 上严格增，所以 ，解得 ，故 的取值范围为 .
4．（25-26高二上·上海·开学考试）设 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)设函数 是定义域为 的偶函数，当 时， ．若关于 的方程
（常数 ）在 上有实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据对数函数的定义求出函数 的定义域为 ，利用对数的运算性质化简整理得
不等式 ，再分别解分式不等式，最后取交集即可得结果；
（2）利用偶函数的性质求出 时， ，利用对数的运算性质化简整理原方程得
，结合分离参数法和换元法可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）由 可解得 ，所以函数 的定义域为 .
则有 ，解得 ，
，
原不等式可变形为 ，即 ，
解不等式 ，即 ， ，解得 ；解不等式 ，即 ， ，解得 或 ，
故解得 ，
综上， 的取值范围是 .
（2）由题意，当 时， ，
当 时， ， ，
时， ，
则方程 ，即 ，
即 在 上有实数解，
当 时，方程显然不成立；
当 时， ，
令 ，则 ， ，所以 ，
故实数 的取值范围是 .
题型05 求证函数性质
抓关键 · 破难点
1、证明单调性：严格遵循“取值、作差变形、定号、结论”四步法。关键是在作差后通过因式分解、通
分、配方或有理化等方式，转化为易于判断正负的乘积形式；若函数解析式复杂，也可考虑利用已知函
数的单调性（如一次函数、反比例函数、二次函数）进行推导。
2、证明奇偶性：首先验证定义域是否关于原点对称（这是函数具有奇偶性的必要前提），再计算f(-x)
并与f(x) 比较：若f(-x)=f(x)则为偶函数，若f(-x)=-f(x)则为奇函数。对于分段函数，需分别
在各段上验证f(-x)与f(x)的关系。
刷经典 · 通方法1．（25-26高三下·上海·月考）已知函数
(1)若 ，求x的值；
(2)是否存在实数k，使得函数 为偶函数？请说明理由．
【答案】(1) 或
(2)存在， ，理由见解析
【分析】（1）根据 的性质，求解方程即可；
（2）假设存在实数k，使得函数 为偶函数，根据偶函数的定义求出 的值，并检验
其成立性即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，且 .
由 ，得 ，即 ，即 .
所以 或 ，解得 或 .
（2）存在 .理由如下：
假设存在实数 ，使得函数 为偶函数.
则 恒成立
即 恒成立，
即 恒成立.
因为 不恒成立，所以 ，所以 .
当 时， ，其定义域为 .
因为 ，
所以函数 是偶函数.
故存在实数 ，使得函数 为偶函数.2．（25-26高三上·上海普陀·月考）设 是实数.已知定义在区间 上的函数 ，其
中
(1)若函数 是偶函数，求其表达式；
(2)若 ，讨论函数 的单调性，并简述理由.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的性质和定义进行求解即可；
（2）根据二次函数的对称轴与所给区间的位置关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为函数 的定义域为 ，且函数为偶函数，
此时函数 ，因为 是偶函数，所以 ，
即
；
（2）当 时， ，
函数图象开口向上，对称轴为
当 ，即 时:对称轴在定义域 左侧，根据二次函数单调性，函数在 上单调递增.
当 ，即 时:对称轴在定义域 内，函数在 上单调递减，在 上单调递增.
当 ，即 时:对称轴在定义域 右侧，函数在 上单调递减.所以当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递
增；当 时， 在 上单调递减.
3．（2024·上海·三模）已知 ，函数 是定义在 上的奇函数，且 .
(1)求 的解析式；
(2)判断 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
【答案】(1) （ ）
(2) 在区间 上为严格增函数，证明见解析
【分析】（1）根据函数为奇函数和 求出 ，即可得解；
（2）利用作差法求解即可.
【详解】（1）根据题意， 是定义在 上的奇函数，
则有 ，解得 ，
又由 ，解得 ，所以 ， 定义域为 ，
且 ，所以 （ ）；
（2） 在区间 上为严格增函数，
证明如下：设任意 ，
则 ，
由 ，得 ，
即 ， ， ，所以 ，即 ，故 在区间 上为严格增函数.
4．（2025·上海黄浦·二模）已知 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)是否存在实数 ，使函数 是奇函数？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)存在实数 ，使函数 是奇函数.
【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解.
（2）利用奇函数在 处的特殊性质求出 的可能值，再将 的值代回函数，根据奇函数的定义证明即
可.
【详解】（1）由题意， ，
令 ，则有 ，即 ，得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 .
（2）假设存在实数 ，使函数 是奇函数，
则 时， ，解得 .
当 时，函数 ，定义域为 .
设函数 .
对任意 ， ，故函数 为奇函数.
综上，存在实数 ，使函数 是奇函数.
题型06 函数性质的新定义
抓关键 · 破难点新定义问题的本质是“翻译”——将题目给出的新概念、新规则或新性质，转化为已学的函数知识（单
调性、奇偶性等），再用常规方法求解。先逐字逐句理解定义，通过举正例和反例明确新概念的内涵；
再将新定义“降维”转化为熟悉的数学语言，如将新运算转化为分段函数、将新性质转化为方程或不等
式。上海卷新定义题往往将函数的单调性、奇偶性、讨论值域等与新概念结合考查。
刷经典 · 通方法
1．（2026·上海·一模）定义：若函数 满足在 上的值域为 （ ），则称
为“根 域同函数”．
(1)试判断 是否为“根 域同函数”并说明理由；
(2)若“根 域同函数” 为偶函数，求： 的值域；
(3)已知奇函数 对任意 均满足 为“根 域同函数”，幂函数 是“根 域同函
数”的充要条件为点 在 上，求证：当 时， 的图象在 下方．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题设定义验证求解即可；
（2）先根据 为偶函数求得 ，再结合题设定义可得方程 在 上有两个不
相等的实数根，进而得到 ，再结合对勾函数的性质求解即可；
（3）根据题设定义及奇函数的性质可求得 ，结合幂函数的性质求得 ，进而分析求解即可.
【详解】（1）当 时， ，则 ，所以 为“根 域同函数”.
（2）由 为偶函数，则 ，
即 ，则 ，即 ，
所以 ，又 为“根 域同函数”，
则 在 上的值域为 ，且 ，
而函数 在 上单调递增，
则方程 在 上有两个不相等的实数根，
即方程 在 上有两个不相等的实数根，设 ，
则 ，解得 ，又 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
又 时， ， ，
则函数 的值域为 .
（3）因为 对任意 均为“根 域同函数”，
所以对任意 ，函数 在 上的值域为 ，且 ，
则函数 为单调函数，又 为奇函数，则 .
因为 为幂函数，设 ，而 为“根 域同函数”的充要条件为点 在 上，
若点 在 上，则 ；若 为“根 域同函数”，
则 在 上的值域为 ，且 ， ，
当 时，函数 在 上单调递增，
则 在 上有两个不相等的实数根，
即 在 上有两个不相等的实数根，即 ，
此时 ，不满足题意；
当 时，函数 在 上单调递减，
则 ，则 ，即 ，
此时 ，满足题意，则 .
设 ， ，
因为函数 在 和 上均为增函数，
所以函数 在 和 上为增函数，
因为 ， ，
则 时， ，即 ，
此时 的图象在 下方．
2．（2026高三下·上海·专题练习）对于定义域为 的函数 与实数 ，定义集合
.(1)若 ，求 ；
(2)若 ，且对任意实数 均有 ，求 的取值范围；
(3)是否存在定义域为 的连续函数 ，使得 ？若存在，给出一个满足要求的函数；
若不存在，请给出证明.
【答案】(1)
(2) ；
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）将 和 代入定义，计算出 与 的表达式，代入不等
式化简后解出 的范围；
（2）等价转化为 ，再根据二次函数性质得到最值，从而得到不等式，解出即可；
（3）根据反证法和连续函数的保号性即可得到证明.
【详解】（1）已知函数 ， ，
首先计算：
代入不等式：
因为 ，两边同除以 得：
利用平方差公式：
所以：
又 ，故： .因此， .
（2）
即 ，设 ，
对称轴 ，
故 有最大值 ，故 ，即 .
（3）假设存在连续函数 ，使得 ，
，
由于 连续，则 也连续，
即 ，
否则，由保号性可知与 矛盾.
同理，由 ，可知 ，
即 .
当 时，可得 ， .
，
因为 ，由连续函数保号性，
可得 且 ，
同理 ，
因为 ，由连续函数保号性，
可得 且 ，
即 ，
，
即 ，
使得 ，
此时有 ，这与 矛盾.
当 时，同理可得矛盾.
综上，故不存在连续函数 使之成立.
3．（2025·上海闵行·一模）已知函数 的定义域为 ，对于 ，若 ，且 ，则称 为 的一个“ 点”，记 为 的所有“ 点”构
成的集合．
(1)若 ，分别判断 与1 是否正确；
(2)证明：“ ”的一个充要条件为“当 时， ”；
(3)已知 ， ，其中 、 ，记
， ．若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)0 ，正确； 不正确；
(2)证明见解析
(3) ．
【分析】（1）由题意可知，当 时， ，根据“ 点”的定义即可判断；
（2）分别从充分性和必要性讨论 ， 的情况即可得证；
（3）分类讨论 ， 下的 不存在“ 点”，得出 ，再分类讨论， ， ， 下
的 的“ 点”的情况，得出 ，求出 ，从而求出 ，即可求出
，从而求出 的取值范围．
【详解】（1）由题意可知，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，所以 ，正确；由 ，故 ，即1 不正确；
（2）充分性：因为 ，
故当 时， ，当 时， ，所以 ；
必要性：当 时，
由 得 ；
由 得 ；
所以 时， 恒成立；
综上，命题得证；
（3）当 时， ， ； ， ，
此时 不存在 点；
当 时， ， ； ， ，
此时 不存在“ 点”；所以 ；
所以， ，
①当 时， ，不存在“ 点”；
②当 时， ，不存在“ 点”；③当 时， ， ，
此时 ，
故 ，
ⅰ．当 时， ，此时 在R上单调递增，故 与 矛盾；
ⅱ．当 时，由 0得 ，
由 得
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
此时
所以 或 ，解得 ；
ⅲ．当 时，由 0得 ，
由 ，得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
此时 ，
所以 或 ，解得 ，
所以 ；综上， 的取值范围 ．
4．（2025·上海金山·一模）现给出“ 函数”的定义与性质．
定义：若函数 在区间 上连续，且对于区间 内任意两数 ，如果都有
成立，则称函数 为区间 上的“ 函数”；
性质：若函数 为区间 上的“ 函数”，则对于任意 和满足
的正数 ，有 成立．
(1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“ 函数”（不需要说明理由）
① ；
② ．
(2)若函数 为区间 上的“ 函数”，求实数 的取值范围；
(3)若 ，记 为函数 的图像与 轴所围成的图
形面积，当 且 时，求 的最小值．
【答案】(1) 不是；②是；
(2) ； ①
(3) .
【分析】（1）设 ， ，由“U函数”定义，比较以及 与0的大小关系，可完成判断；
（2）设 ，由题可得 ，据此可得答案；
（3）由题可得 ， ， ，
，据此可得 大致图像以及
，设 ，由题可得 为区间 上的“U函数”.然后由题干提供信
息结合取 可得答案.
【详解】（1）设 ，取
则 ，
，
则 ，
因 ，则 ， ，
从而 ， ，则 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
则 不是定义域上的“U函数”；设 ， ，
， ，
，
当且仅当 时取等号，则 是定义域上的“U函数”；
（2）设 ，因 是 上的“U函数”，
则对 ， ，
注意到 ，则 ；
（3）由题可得 ，
当 时， ，则 ；
当 ， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 ， ，则 ；
依次类推可得： ， ，
， .
据此可得 大致图像如下：
则 ，则 .
设 ，则
取 ，
因 ，则 ， ， ，
，从而 ，
即 为区间 上的“U函数”.
由题干提供信息可得：取 ，
则
5．（2025·上海虹口·一模）已知函数 的定义域为 （ ），记 ，其中
，且 ．
(1)当 ， ， ，求函数 的零点；(2)当 ， ，若恒有 ，求实数 的取值范围；
(3)当 ，求证：“对于任意的正有理数 ，函数 在 上均是严格增函数”的充要条件是“任
取 中两个不相同的元素 和 ，均有 ”．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出 ，令 解方程即可得到答案；
（2）求出 并根据题意化简得到 ，令 ，根据题意得到
，解得 ，再结合二次函数图象即可求得答案；
（3）利用充要条件的定义，结合函数严格递增的概念进行证明.
【详解】（1）当 ， ， 时， ，
令 ，解得 ，
所以函数 的零点为 .
（2） ，
若 ，当 时 的二次项系数为负导致当 时， ，
当 时， ，均不满足 恒成立，故 ，
所以 ，设 ，
则 ，解得 或 （舍去），即 ，此时 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
（3）必要性：对于 ，取 ，
因为函数 在 上是严格增函数且 ，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 .
充分性： ， 且 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，又 ，
所以函数 在 上是严格增函数.
