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重难点培优01 复合函数的性质、嵌套函数的零点问题
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01 知识重构·重难梳理固根基.............................................................................................................1
02 题型精研·技巧通法提能力.............................................................................................................4
题型01 复合函数的单调性（★★★★★）...................................................................................................4
题型02 复合函数的最值、值域（★★★★★）...........................................................................................6
题型03 复合函数的奇偶性（含综合解不等式）（★★★★★）...............................................................9
题型04 内外自复合型f (f ( x))的零点问题（★★★★）.........................................................................14
题型05 内外双函数复合型f (g( x))的零点问题（★★★★）.................................................................18
题型06 二次型因式分解型a[f ( x)]
2+bf ( x)+c的零点问题（★★★★★）.........................................22
03 实战检测·分层突破验成效...........................................................................................................27
重难知识巩固......................................................................................................................................................27
创新能力提升......................................................................................................................................................42
知识重构·重难梳理固根基
知识点01 复合函数
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：
，令：
，则
转化为
其中叫作中间变
量.
叫作内层函数，
叫作外层函数.
2、求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数
分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在
上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增
增
增
增
减
减
知识点02 常见奇偶性函数模型与技巧
1、常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
.
（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
（3）若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
，
，则
.
（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
（5）复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
知识点03 函数的零点
一、函数的零点
1、函数零点的概念：对于一般函数
，我们把使
的实数
叫做函数
的零点．
即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值．
【注】（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
（2）函数的零点也就是函数
的图象与x 轴交点的横坐标；
（3）函数
的零点就是方程
的实数根．
2、函数的零点与方程的解的关系
函数
的零点就是方程
的实数解，也就是函数
的图象与
轴的公共点的横坐
标．所以方程
有实数根函数
的图象与
轴有交点函数
有零点．
二、函数零点存在定理
1、函数零点存在定理
如果函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，且
，那么，函数
在区间
内至少有一个零点，即存在
，使得
，这个
也就是方程
的解．
2、函数零点存在定理的重要推论
（1）推论1：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，
，且
具有
单调性，则函数
在区间
内只有一个零点．
（2）推论2：函数
在区间
上的图象是一条连续不断的曲线，函数
在区间
内有零
点，且函数
具有单调性，则
．
三、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令
，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点．
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间
上是连续不断的曲线，且
，结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
3、图象法：
①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数
的图象，函数
的图象与
轴交点的个数就
是函数
的零点个数．
②两个函数图象：将函数
拆成两个函数
和
的差，根据
，则函
数
的零点个数就是函数
和
的图象的交点个数．
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函
数，则只需解决在一个周期内的零点的个数．
题型精研·技巧通法提能力
题型01 复合函数的单调性
【技巧通法·提分快招】
在
上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增
增
增
增
减
减
1．函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先考虑
；其次将函数
拆成外层函数
和内层函数
，
根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得
的单调增区间.
【详解】由
可得
或
，
∵
在
单调递增，而
是增函数，
由复合函数的同增异减的法则可得，
函数
的单调递增区间是
.
故选：D.
2．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期末）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解.
【详解】由
，
，解得
或
，
所以函数
的定义域为
，
令
，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
而函数
在
上为增函数，由复合函数单调性可得
的单调递减区间为
．
故选：C.
3．若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数
在区间
上单调递增，且
单调递增，
可得
在区间
上单调递增，所以
.
故选:D.
4．已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由题设条件证明
，再验证
时条件满足即可.
【详解】若
在
上单调递增，
则必然在
处有定义，所以
，即
；
若
，则当
时
，所以
在
上有定义，
再由
知
在
上单调递增，所以
在
上单调递增.
故选：C.
5．已知
是定义域为
的减函数，则
是（ ）
A．定义域为
的增函数
B．定义域为
的增函数
C．定义域为
的减函数
D．定义域为
的减函数
【答案】B
【分析】先根据
的定义域求出
的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性.
【详解】因为
的定义域为
，所以
的定义域为
，
令
，则
，
是一次函数，在定义域
上是减函数；
已知
是定义域为
的减函数，所以
在定义域
上是减函数，
根据复合函数“同增异减”的单调性原则，
为减函数，
为减函数，两者单调性相同，因此
在定义域
上是增函数.
故选：B.
6．（多选题）在下列区间中，函数
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据反比例函数、正弦函数单调性，结合复合函数单调性的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】令
，则
在
，
上单调递减；
对于A，
在
上单调递增，
在
上单调递减，A 错误；
对于B，
在
上单调递减，
在
上单调递增，B 正确；
对于C，
在
上单调递减，
在
上单调递增，C 正确；
对于D，
在
上单调递增，
在
上单调递减，D 错误.
故选：BC.
题型02 复合函数的最值、值域
【技巧通法·提分快招】
复合函数的值域求解
①指数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，将求原函数的值域转化为求
的
值域，但要注意“新元”的范围．
（2）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域，再利用
的单调性求出
的值域．
②对数型复合函数值域的求法
（1）形如
（
，且
）的函数求值域：令
，先求出
的值域
，再利用
在
上的单调性，再求出
的值域．
（2）形如
（
，且
）的函数的值域：令
，先求出
的值域，
再利用
的单调性求出
的值域．
1．函数
的定义域､值域分别是（ ）
A．
B．
C．
，且
D．
，且
【答案】C
【分析】直接求出函数定义域，再求复合函数值域.
【详解】要使
有意义，只需
有意义，即
.
令
，则
.
又
，
函数
的定义域为
，值域为
，且
.
故选：C
2．（2024·甘肃庆阳·一模）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二次函数与对数函数的性质即可得解.
【详解】对于
，有
，解得
，
对于
，其图象开口向下，对称轴为
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，即
，
又
在其定义域内单调递增，
所以
，则
，
则
的值域为
.
故选：D.
3．已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】换元后将原函数化为关于新变量的二次函数，其图象开口向上，最小值在顶点处取得，为使顶点
位于定义域内，需对称轴大于零，此时顶点函数值等于已知最小值，解方程求得参数值，并舍去使对称轴
非正的值.
【详解】设
，则
，函数
等价于函数
．
令
，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线
．
当
，即
时，
在
上单调递增，此时无最值，不满足题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
或
（舍去）．
所以实数
的值是
.
4．已知
，
，则函数
的最大值为（ ）
A．6
B．-3
C．22
D．13
【答案】D
【分析】先由函数
的定义域为
确定函数
的定义域
，再通过换
元法令
将原函数转化为关于新变量t 的二次函数，最后根据二次函数在闭区间上求出
最大值.
【详解】
因为
，的定义域为
；
所以
中
，解得
；
所以
，的定义域是
令
，
，则
，所以
，
在
上单调递增，当
时，即
时，
取得最大值为
.
故选：D
5．函数
在区间
的最大值为______.
【答案】
/3.5
【分析】先求复合函数的单调性，再根据函数单调性求最值即可
【详解】（1）由
，
所以
的定义域
令
，开口向下，对称轴
，
根据复合函数的单调性可知，
的单调递增区间是
；单调递减区间是
在区间
的最大值为
故答案为：
6．已知函数
，若
的值域为
，则实数
的最小值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用对数函数的图象性质，可得二次函数
值域包含正实数集，进而
列式求解.
【详解】由函数
的值域为
，得
的值域包含
，
当
时，
显然不满足题意，故
，
则函数
，图象开口向上，且与
轴有公共点，
于是
，解得
，所以实数
的最小值为
.
故答案为：
7．函数
的最小值为_____.
【答案】
【分析】利用指数幂的运算法则化简，再结合基本不等式求最值.
【详解】
.
等号成立时
，即
，
故函数
的最小值为
.
故答案为：
题型03 复合函数的奇偶性（含综合解不等式）
【技巧通法·提分快招】
1、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做偶函数
关于
轴对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对称
2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
在
上是奇函数，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
在
上是奇函数，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
②
在
上是偶函数，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不
变号加绝对值）；
在
上是偶函数，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（变号
加绝对值）；
③
关于
对称，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
关于
对称，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
④
关于
对称，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
关于
对称，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
1．（25-26 高三下·青海西宁·阶段检测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可.
【详解】因为函数
的定义域为
，且
，
可知函数
为偶函数，其图象关于y 轴对称，故BC 错误；
又因为
，则
，故D 错误；
故选：A.
2．（2026·山东青岛·三模）若函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义可得出关于
的等式，求出实数
的值，再结合奇函数的定义域验证即可.
【详解】因为函数
是奇函数，则
，
即
，所以
，即
，
所以
，解得
，
当
时，
，由
可得
，该函数的定义域为
，
此时函数
的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意；
当
时，
，由
可得
或
，
即函数
的定义域为
或
，定义域关于原点对称，符合题意.
综上所述，
.
3．设函数
，则使得
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】探讨函数
的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可.
【详解】函数
的定义域为R，
因为
，所以
是偶函数，
因为函数
，
在
上单调递增，
因此函数
在
上单调递增，
若
，则
，得
，解得
或
，
所以
的取值范围为
.
4．定义在
上的函数
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．[0，1]
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得
为奇函数，且为单调递增函数，把不等式转化为
，列出
不等式组，即可求解.
【详解】由函数
的定义域为
关于原点对称，
且
，所以函数
为奇函数，
又由
，可得函数
为递增函数，
则不等式
，即
，
所以
，解得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：B.
5．“
”是“函数
是奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用奇函数性质对充分性和必要性分别验证可得结论.
【详解】充分性：当
时，
，
易知
，所以
，因此其定义域为
；
则
,
可得
,即
是奇函数,即充分性成立；
必要性：因
是奇函数,所以
的定义域关于原点对称，则
,
即
所以
,
，因此
，可得
,经检验符合题意，即必要性不成立；
故选：A
6．已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性和
时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可.
【详解】函数
的定义域为R，
且满足
，
故
为偶函数；
当
时，
，其中
在
上单调递增，
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增；
由偶函数性质，
等价于
，
结合函数的单调性得
两边均非负，平方后不等号方向不变，
得
，展开整理得
，
即
，解得
，即
的解集为
.
题型04 内外自复合型f (f ( x))的零点问题
【技巧通法·提分快招】
对于嵌套型复合函数
的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数
和外层函数
；
（2）确定外层函数
的零点
；
（3）确定直线
与内层函数
图象的交点个数分别为，
则函数
的零点个数为
.
注意：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．
1．函数
，则函数
的所有零点之和为_________．
【答案】13
【分析】令
，根据
，求得
或
，再根据
和
，结合分段函数的解
析式，即可求解.
【详解】令
，
由
得
或
，所以
或
，
当
时，
或
，
当
时，则
或
，解得
，
所以函数
的所有零点之和为
．
2．已知函数
．若关于
的方程
有
个不同的实数根，则实数
的取值范围为
___．
【答案】
【详解】已知
，其值域为
，
令
，则原方程
可化为
，即：
，
要使
有
个不同实数根，
需满足
有两个不同的实数根，且这两实数根均大于
．
设
，即要使
的两实数根均大于
，则需满足：
，即
，得
．
所以
的取值范围为
．
3．已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数
的取值范围为
___________．
【答案】
【分析】据题意对实数
进行讨论，分
，
，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解．
【详解】当
时，
，对称轴为
.
当
时，函数
在
单调递增，函数图象如下：
令
，则由
，
结合图象可得
或
，即
或
.
结合图象可知，
有2 个解，
有1 个解，
此时函数
有3 个零点，不符合题意.
当
时，函数
在
单调递增，在
单调递减，函数图象如下：
令
，则由
，结合图象可得
或
或
，
即
或
或
.
由图可知，
有2 个解，
有3 个解，
又函数
有8 个零点，则需
有3 个解.
需使
，解得
.
综上，实数
的取值范围为
.
4．（多选题）已知函数
，下列是关于函数
的零点的判断，其中正确的
是（ ）
A．在
内一定有零点
B．在
内一定有零点
C．当
时，有
个零点
D．当
时，有个零点
【答案】CD
【分析】分
及
并画出相应
图象进行讨论即可得.
【详解】当
时，
，图象如图（1），
此时
即
，
若
，则
，
若
，则
，
又
有2 个零点，
也有2 个零点，
故
有4 个零点，故C 正确；
当
时，
，图象如图（2），
此时
即
，只有
一种情况，
此时
仅有1 个零点
，
所以当
时，有1 个零点，故D 正确；
由图象可得A、B 错误.
5．（多选题）（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
设
是三个不同
的实数，且满足
，
，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】AB
【分析】结合图像得出方程
有三个不同的实数根当且仅当
有两个不同的实根
，
根据方程
和
求出
，再逐个选项进行判断.
【详解】画出函数
的图像：
设
，即方程
有三个不同的实根
，
由于
在
上单调递增，且该部分值域为
，在
单调递增，且该部分值域为
，
，
令
，
结合图像可知，方程
有三个不同的实数根当且仅当
有两个不同的实根
，
即当且仅当
，且
，
，
再考虑方程
和
，注意
，
或
或
，
因为
，所以
，
对于A，
，
所以
，A 正确；
对于B，
，
，
令
，则
，当
时，
，
所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
，B 正确；
对于C，
，因为
，所以
单调递增，
因为
，所以
无最小值，C 错误；
对于D，
在
上单调递增，
所以
，所以
的最大值为
，D 错误.
题型05 内外双函数复合型f (g( x))的零点问题
1．已知函数
，则方程
实数根的个数为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5
【答案】C
【分析】设
，先解出
，再分别求解
即可.
【详解】设
，则
，
若
，则
，解得
或
，
则
或
，
当
时，
，不合题意，
则
，
或
，
解得
，此时方程
仅一个根；
若
，则
，解得
或
，即
或
，
当
时，
或
，
方程
即
在
仅一个根，
方程
，即
，
，且
，
，两根均为负，合题意，
当
时 ，
，解得
或
，方程有两根，
综上，方程
的实根个数为6.
故选：C.
2．（25-26 高三上·北京海淀·阶段检测）设函数
，若函数
与
都没有零点，则函数
与
（ ）
A．恰有一个零点
B．至少有一个没有零点
C．至少有一个有零点
D．无法确定
【答案】B
【分析】通过定义
、
的值域，结合已知的无零点条件，分值域的包含（或相等）关系讨论，推
导
与
的零点情况.
【详解】设二次函数
的值域为集合
，
指数函数
的值域为集合
.
由“
无零点”，得方程
在
时无实根；
由“
无零点”，得方程
在
时无实根.
分三种情况讨论
与
的关系：
①若
：
的自变量
，
结合“
在
无实根”，得
无零点；
②若
：
的自变量
，
结合“
在
无实根”，得
无零点；
③若
：
的自变量
，
的自变量
，故两者均无零点.
综上，函数
与
至少有一个没有零点.
故选：B
3．（多选题）已知函数
，
，若方程
有且仅有5 个不
相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．最大的整数解是4
D．最小的整数解是
【答案】BCD
【分析】作出函数
的大致图象，令
，由方程
有且仅有5 个不相等的整数解，转
换成
有两个不等根
，且
有两个整数根，
有三个整数根，即可求解.
【详解】因为当
时，
，当且仅当
时取等号，
当
时，
，
因为
在
单调递减，而
单调递增，
所以
在定义域内单调递减，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数
的大致图象，如下：
令
，则
，即
，根据
的图象可知，
要满足题意必须
有两个不等根
，且
有两个整数根，
有三个整数根，
当且仅当
时，有两个整数根
或
．
要满足
有三个整数根，结合图象知必有一根大于0 小于2，
显然只有
符合题意，当
时，
，则
．
即
的两个不相等的根为4 和5，所以
，
．故A 错误，B 正确．
解方程
得
或
，解方程
得
，
此时五个整数根从小到大依次是
，
，，
，
，故C，D 正确．
故选：BCD．
4．已知函数
，若
有6 个零点，则
的取值范围为
_________
【答案】
【分析】作出函数图象，进行分析，因为
最多有两个零点，根据一个零点对应
最多4 个解，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】由题可得函数图象，当
或
时，
有两个解；
当
时，
有4 个解；当
时，
有3 个解；
当
时，
有1 个解；因为
最多有两个解.
因此，要使
有6 个零点，则
有两个解，设为
，
.则存在下列几种情况：
有2 个解，
有4 个解，即
或
，
，显然
，则此时应满足
，即
，解得
，
有3 个解，
有3 个解，设
即
，
，
则应满足
，
.综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
5．已知定义在
上的单调函数
满足
，若方程
有2 个
不相等的实数根，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【分析】由单调性求出
解析式，
转化为
与
图像有两个
交点，数形结合求
的取值范围即可.
【详解】由题意设
，则
，
因为函数
，
，
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
当
时，
，
所以
，
则
，
设
，则
与
的图象有2 个交点．
因为
在
单调递增且
，
所以当
时，
，则不会有两个交点；
当
时，
在
单调递增，在
单调递减，且
，可得
，
所以
．
故答案为：
.
题型06 二次型因式分解型a[f ( x)]
2+bf ( x)+c的零点问题
1．（2026·山西临汾·二模）已知函数
若方程
有三个不同
的实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解方程
得
或
，数形结合得方程
无解，进
而得到直线
与曲线
有个交点，结合图象可得出实数
的取值范围.
【详解】由
可得
或
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
作出函数
、
、
的图象如下图所示：
由图可知，直线
与曲线
有
个交点，即方程
无解，
所以由题方程
有个不同的解，即直线
与曲线
有个交点，则
.
2．已知函数
，若方程
有且仅有个不同实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先作出分段函数的图象，再通过对方程因式分解讨论分析，求解实数范围即可.
【详解】
原方程
因式分解得
，因此
方程等价于
或
.
分析
的实根个数，
是分段函数，所以
当
时，
，解得
或
，共
个正根；
当
时，
，得
（
无解），解得
，共个负根，
因此
总共个不同实根，题目要求总共有个实根，故
需要有
个不同实根.
分析
（
）的实根个数，
分区间讨论
的性质，
时，
，最大值为
，
时，
时无实根；
时，
时有个实根；
时，
时有个实根；
时，
时有
个实根；
时，
时有个实根；
时，
时无实根.
时，
，
时
个实根；
时个实根；
时
个实根。
要使得
总共有
个实根，只有两种情况：
，此时总根个数为
，符合要求，对应
；
时，此时总根个数为
，符合要求，对应
.
综上，
的取值范围是
.
3．（25-26 高三上·福建泉州·期中）函数
，若
恰有6
个不同实数解，则正实数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把问题转化为
与
或
的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求
出参数取值范围即可.
【详解】由题意可知
的实数解可以转化为
或
的实数解，
即
与
或
的图象交点的横坐标，
当
时，
，则
，
所以
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，可得
在
上单调递减，
所以当
时，
取得极大值，也是最大值，且
；
作出函数的大致图象如下图所示：
所以当
时，由图可知
与
无交点，即方程
无解；
与
有两个不同的交点，即
有两个实数解；
当
时，
，
令
，则
，则
，
作出大致图象如下图所示：
因为当
时，
与
有两个不同的交点，
所以
与
及
共有四个交点，
所以
，解得
，
即可得正实数
的取值范围
.
故选：B
4．已知函数
，若有另一函数
有且仅有5 个不同零点，则
常数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先分析函数
的图象和性质，再令
，得当
时，方程
有两个不同的根；当
时，方程
有三个不同的根；再将函数
有5 个零点转化为函数
有2 个零
点，且一个零点在
，另一个零点在
，再由二次函数的零点分布可得结果.
【详解】由函数
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在
上单调递增；函数图象如下：
令
，由函数
的图象及性质可知，
当
时，方程
有两个不同的根；当
时，方程
有三个不同的根；
函数
有且仅有5 个不同零点，
就等价于函数
有2 个零点，且一个零点在
，另一个零点在
.
当
时，
只有一个零点，不符合题意；
所以
，此时二次函数
，且
恒
成立.
当
时，对称轴
，
，
，解得
；
当
时，此时对称轴
，二次函数
在
上至多有一个根，故不符合题
意.
综上可知，常数a 的取值范围为
.
故选：C.
5．已知函数
，
，若关于x 的方程
有19 个不等实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简题目所给方程，对
进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得
的取值范
围.
【详解】原方程可化为
，
而
的解为
或
或
，若
，则
或
或，
由图象可知此时有10 个实数解．当
时，显然
无解，
当
时，
，此时有3 个实数解，不合题意．
当
时，显然
有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然
．
当
时，
有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意．
当
时，
有三解，此时对于满足
的解，易知其满足
，
故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当
时，
注意到
，且
，
故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意.
故选：B
实战检测·分层突破验成效
重难知识巩固
1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，则
，
是指数函数，且在
上单调递增，
是二次函数，图象开口向下，对称轴为
，且在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，
的单调递增区间为
．.
2．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据
时，
可排除A.
【详解】由
，可得
，排除C，
则
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，排除D；
当
时，
，则
，排除A，则B 符合题意.
故选：B
3．函数
在区间
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数进行换元，把原函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值．
【详解】
，令
，则
，
原函数化为
，函数开口向上，对称轴为
，
，
在对称轴处取得最小值，最小值为
,
所以
的最小值为1．
故选：D．
4．（25-26 高三上·浙江温州·期末）已知
是奇函数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义
计算即可.
【详解】要使
有意义，则
，即
，解得
或
.
所以函数
的定义域为
，关于原点对称.
.
因为
，所以
，
即
，也即
，
因为
，所以
.
故选：C.
5．已知函数
在
单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数
的单调递增区间，再借助集合的包含关系求
出范围.
【详解】函数
中，
，解得
或
，
而函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
在
上单调递增，因此函数
的单调递增区间是
，
依题意，
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
故选：D
6．关于函数
的结论正确的是（ ）
A．值域是
B．单调递增区间是
C．值域是
D．单调递增区间是
【答案】D
【分析】求出
的定义域，根据
在
内的单调性与值域判断
的单调性与值域.
【详解】因为
有意义，所以
，解得
，即函数
的定义域为
，
函数
，在
上单调递增，在
上单调递减，
根据复合函数的单调性可知
在
上单调递增，在
上单调递减，故B 错误，D 正确；
在
上有最大值4，最小值
故
的值域为
，故A、C 错误.
故选：D.
7．已知函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性可得
在区间
上单调递减，且
在区间
上恒为正数，由此列不等式组求解即可.
【详解】由题意得函数
在
上单调递减，且在
上
恒成立，
所以
，解得
，
故a 的取值范围是
.
故选；B.
8．函数
，
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，
，由换元法可得
，利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】令
，因为
，所以
，
因为
，
所以
，
，
函数
在区间
上单调递增，
所以
，
，
所以函数
，
的值域为
.
故选：
.
9．已知函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的图象关于
轴对称
C．
在定义域上是减函数
D．
的值域为
【答案】C
【分析】根据对数函数的定义域可判断A；根据函数的奇偶性可判断B，根据复合函数的单调性可判断
C，根据复合函数的值域可判断D.
【详解】令
，所以
的定义域为
，故A 错误；
，所以
的图象不关于
轴对称，故B 错误；
令
，则函数
在
上单调递减，又因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递减，故C 正确；
因为
，所以
的值域为
，故D 错误.
故选：C
10．（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化复合函数
为
，
，根据已知条件
，确定
的取
值范围，再根据
的取值范围确定
的取值范围即可.
【详解】因为
，令
，所以
；
令函数
的值域为
，因为
，
所以
，所以
必须能取到
上的所有值，
，解得
.
故选：B
11．（2026·山东威海·一模）已知函数
且
的值域为
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，分析可知函数
的值域包含
，利用导数分析该函数的单调性与极值，
可知
，即可解出实数
的取值范围.
【详解】令
，因为函数
的值域为
，故函数
的值域包含
，
求导得
，又因为
且
，由
可得
，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：D.
12．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再由解析式及对数函数、复合函数的单调性判断
的单
调性，应用奇偶性、单调性解不等式即可.
【详解】由解析式知，函数的定义域为
，
且
，
所以
在
上为奇函数，且为连续函数，
由
在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，
结合奇函数的对称性，
在
上单调递增，
由
，
所以不等式的解集为
.
故选：B
13．（2026·重庆·一模）已知函数
，若关于
的不等式
成立，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.
【详解】
，即
，
，
令
，解得：
，
当
时，
，
，则
在区间
单调递增；
当
时，
，
在区间
单调递减；
，
即
，
关于
对称，
，
，即
，
两边平方得
，
解得
，
则实数
的取值范围是
.
14．已知函数
，若函数
恰有5 个不同的零点，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，令
，可得
或
.
作出函数
的大致图象，结合图象和题意求解
的取值范围.
【详解】设
，令
，得
，
即
，解得
或
.
作出函数
的大致图象如图所示：
由图可知，直线
与函数
的图象有3 个交点，又因为原方程恰有5 个不同的实数根，
所以直线
与函数
的图象有2 个交点，由图可得
，所以实数
的取值范围是
.
15．已知函数
，若
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得
，得到
的图象关于直线
对称，令
，证得
在
上为增函数，结合复合函数的单调性的判定方法，得到
在
上为增函数，将不等
式转化为
，求得
的取值范围.
【详解】对任意的
，
，即函数
的定义域为
，
且
，
因为
，
所以函数
的图象关于直线
对称，
令
，其中
，
任取
且
，所以
，故
，且
，
，
则
，即
，
所以函数
在
上为增函数，
又因为函数
为增函数，由复合函数的单调性知，函数
在
上为增函数，
因为
，则
，即
，
即
，整理得
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
16．已知函数
，则函数
的零点个数不可能为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】A
【分析】令
得
，令
，则
，画出
的图象，分
和
两种情况，结合
的解的个数和各个解的范围，以及
的图象，求出零点个
数，得到答案
【详解】令
得
，
令
，则
，
其中
，
当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
当
时，
为单调递增函数，
，
令
得
，令
得
，
故当
时，
有三个解，
分别为
，
，
，
其中
，画出图象如下：
令
，若
，则
有0 个零点，
若
，则
有1 个零点，
若
，则
有两个零点，
观察图象，
与
均有两个零点，
综上，
的零点个数可能为
，
可能为
，可能为
，
当
时，
有2 个解，分别为
，
，
观察图象，
与
均有两个零点，
此时
共有4 个零点，
综上，不可能为3 个零点.
故选：A
17．已知函数
若关于
的方程
恰有6 个不同的实数
解，则正实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用换元法、分段函数性质、三角函数性质对方程的根的分布进行分类讨论建立不等式解出即可.
【详解】令
，则方程变为
，解得：
或
，
即
或
，
当
时，
，
若
，则
，若
，则
，均满足题意，此时方程有两个解，
当
时，
，令
，则
，
由
，所以
，要使原方程有6 个不同的实数解，
只需要
和
在
上有4 个不同的实数解，
因为
，故
不满足题意，
所以只要
在
上有4 个不同的实数解即可，
此时
在
上的解依次可以为：
所以要使得
在
上有4 个不同的实数解则：
，解得：
.
18．（2026·吉林延边·三模）已知函数
，若函数
有
4 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助导数确定函数
的性质并作出图象，再由函数零点的意义变形，将问题转化为直线与函数
图象有4 个交点求解.
【详解】当
时，
在
上单调递减，函数值域为
，
在
上单调递增，函数值集合为
，在
上单调递减，函数值集合为
，
当
时，
，求导得
，由
，得
；
由
，得
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
当
从大于0 的方向趋近于0 时，
，当
时，
，函数
的图象如图：
由
，得
，则
或
，
显然方程
无解，要函数
有4 个零点，当且仅当方程
有4 个解，
即直线
与函数
的图象有4 个交点，则
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
19．（2026·福建三明·二模）已知函数
与
的图象关于直线
对称，函数
，若方程
在区间
上有两解，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
，设
，推导出
，转化为方程
在区间
上有两解，参变分离，
在区间
上有两解，构造函数，得到函数单调性，数形结合得到结论.
【详解】由题意得函数
与
的图象关于直线
对称，故
，
，设
，
则方程
，即
均在函数
图象上，
假设
，因为
在
上单调递增，故
，
又
，故
，与假设矛盾，舍去；
假设
，因为
在
上单调递增，故
，
又
，故
，与假设矛盾，舍去；
综上，
，即方程
在区间
上有两解，
即
，
在区间
上有两解，
令
，
，则
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
其中
，即
，
画出函数
在
上的图象如下：
要想
在区间
上有两解，需要
，
解得
.
20．若函数
（
且
）有最小值，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分
和
两种情况讨论，结合对数函数的单调性可求得实数a 的取值范围.
【详解】当
时，函数
在
上单调递增，
要使
（
且
）有最小值，
需使
的最小值大于0，则
，
解得
，又
，所以
；
当
时，
在
上单调递减，
又
没有最大值，
所以
（
且
）没有最小值，不合题意；
综上，实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
21．（25-26 高三下·北京·阶段检测）已知函数
，则函数
的零点为______；
若函数
有3 个零点，则实数
的取值范围为________．
【答案】
或
或
【详解】当
时，由
得
，解得
或
，
当
时，由
得
，解得
（舍），
作出
的图象如图，由
得
或
，
即
或
，
当
，即
时，
无实根，此时
，
最多两个实根，与题意不符；
当
，即
时，
有一个实根，
有两个实根，符合题意；
当
，即
时，
有两个实根，此时
，
至少有两个实根，
不符合题意；
当
，即
时，
有三个实根，
至少有一个实根，不符合题意；
当
，即
时，
有两个实根，此时
，
有4 个实根，不符合题意；
当
，即
时，
有两个实根，此时
，
有一个实根，符
合题意；
当
，即
时，
有两个零点，
有一个零点，符合题意；
当
，即
时，
有一个零点,
有一个零点，不符合题意；
综上所述，
有3 个零点时，
或
.
22．（25-26 高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数
，若
，则函数
的零点个数是___________．
【答案】
【分析】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通
过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题.
【详解】函数
的定义域为
，由
，得
，
所以函数
是偶函数，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，
上单调递减，
又
为偶函数，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，又
时，
，所以
的值域为
．
令
，则
，由
，得
，
因为
，所以
，画出
与
的图象如图所示，
所以
在区间
有唯一零点
，
令
，
,函数
的图象与函数
的图象有4 个交点，故函数
的零点个数是4．
23．已知函数
，若
有6 个零点，则实数m 的取值
范围为______.
【答案】
【分析】令
，由题意可得
有两不同的实数根
，作出函数
的图象，
根据分
及
或
分别求解即可.
【详解】因为当
时，
，
可知函数
在
内单调递减，且
，
作出函数
的图象，如图所示：
令
，
因为
有6 个零点，可知
有两不同的实数根
，
所以
，解得
或
，
令
，
结合函数
的图象可知：
当
，
时，则
，解得
；
当
时，则
，解得
；
综上所述：实数m 的取值范围为
.
故答案为：
.
创新能力提升
1．（2026·山西晋中·三模）已知
且
，若函数
的值域为
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
单调递增，则
，
当
时，
，要使函数
的值域为
，
则需
在
时的值域包含
，故需满足
，
解得
.
2．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）已知函数
，若满足
，则实数m 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】证明函数
为偶函数，利用导数证明
在
上单调递增，结合偶函数性质，
单调性性质解不等式可求结论.
【详解】函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
所以函数
为偶函数，
对
求导数，得
，
当
时，
，
，
所以
，
，故
，当且仅当
时取等号，
所以
，函数
在
上单调递增，
不等式
，可化为
，
所以
，又
，
所以
，因为函数
为偶函数，
所以
，
因为函数
在
上单调递增，
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
故选：C.
3．已知函数
，有
成立，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用对数型函数的单调性求出
的值域，令
，根据值域关系建立不
等式求解
，解指数不等式即可求解.
【详解】令
，则该函数在
上单调递减，
又
在定义域上单调递增，所以函数
在
上单调递减，
所以
，即函数
在
上的值域为
，
令
，则
，令
，
，
因为
，
，有
成立，
所以
值域为
值域的子集，即
为函数
值域的子集，
当
时，
，显然不满足题意；
当
时，
的对称轴
，且开口向上，
所以
在
上单调递增，且
，
所以
，
，即
，所以
，所以
，
所以
或
（与
矛盾舍去），所以
，
所以
，即实数
的取值集合为
.
故选：B
4．已知函数
，关于
的方程
有且仅有4 个不同的实根，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先换元将原方程转化为关于
的二次方程，求出的解，再结合
的单调性、极值分析
的根的个数，最终根据总实根为 4 个确定
的取值范围.
【详解】令
，则方程
可化为
，即
，
解得
或
，即
或
.
已知
，求导得
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
；当
时，
.
对任意
，
在
总有1 个根；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
所以当
时，
取得极大值也是在
的最大值
，
因此
在
的最小值为
，且
时，
，
时，
，
所以当
时，
在
上无根；
当
时，
在
上有且仅有1 个根；
当
时，
在
上有2 个根.
综上，当
时，
有1 个根，当
时，
有2 个根；当
时，
有3 个
根.
所以当
时，
，
有且仅有1 个根，
有且仅有1 个根，共有2 个不同的
实根，不合题意；
当
时，
，
有且仅有1 个根，
有2 个根，共有3 个不同的实根，不合题意；
当
时，
，
有且仅有1 个根，
有3 个根，共有4 个不同的实根，符
合题意；
当
时，
，
有2 个根，
有3 个根，共有5 个不同的实根，不合题意；
当
时，
，
有3 个根，
有3 个根，共有6 个不同的实根，不合题意.
综上，实数
的取值范围为
.
【点睛】本题核心考查利用导数研究函数的单调性与极值，结合换元法、分类讨论思想，通过分析绝对值
函数方程的根的个数，求解参数的取值范围，是函数与导数综合应用的经典题型.
5．（多选题）已知函数
，
，若函数
有3 个不同的零点
，
，
，且
，则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】函数
有3 个不同的零点，令
（
），转化为方程
，求解出
，等价于方程
和
的实根总数为 3，求解出
或
，分类讨论求得，
的取值范围是
，
再对选项进行验证.
【详解】函数
的定义域为
，
，
令
，解得
,
当
时，
，
，
单调递减，
当
时，
，
，
单调递增，
因此，
在
处取得极小值（也是最小值），
，
当
时，
；当
时，
，
综上，
的值域为
，且：
当
时，方程
有2 个不同实根；
当
或
时，方程
有1 个实根；
当
时，方程
无实根；
因为
，
，令
（
），
则方程变为
整理得
解得两个根：
，
因为
有 3 个不同零点，等价于方程
和
的实根总数为 3，
结合
的根的分布规律，需满足一个对应 2 个根，另一个对应 1 个根，分两种情况：
①
对应 2 个根，
对应 1 个根，
需满足
（对应 2 个根）且
（对应 1 个根），
当
时，
，条件成立；
②
对应 1 个根，
对应 2 个根，
需满足
（对应 1 个根）且
（对应 2 个根），解得
，条件成立，
设
，根据根的分布：
①若
，则
（2 个根），
（1 个根），
因此
，此时
，
②若
，则
（2 个根），
（1 个根），
因此
，此时
综上，
的取值范围是
A.
，符合；
B.
，符合；
C.
，不符合；
D.
，符合.
6．（多选题）已知函数
，若方程
有四个实数根
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由题意有
，得
或
，由
解得
，即
有3
个不等的实根，作出
的函数图像，利用数形结合即可求解.
【详解】由
，所以
，所以
或
，
由
有，
，解得
，即
，故A 正确；
所以
有3 个不等的实根，
作出
的函数图像：
由图可知：
，故B 正确；
，故C 正确；由
，
，所以
，
由
，所以
，故D 错误，
故选：ABC.
7．已知函数
若函数
恰有5 个零点，则实数
的取值范围为
________．
【答案】
【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即
可求解.
【详解】当
时，
，由
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，且其值域为
，
作出函数
的示意图，由图知：
当
时，
有1 个解；当
时，
有2 个解；
当
时，
有3 个解；当
有2 个解.
若
恰有5 个零点，
即
与
的解的总个数为5 个，
因为
值域为
，所以可知
，
情况一：
有2 个解，即
或
，且
有3 个解，则
，
即
或
，解得
；
情况二：
有3 个解，即
，且
有2 个解，则
或
，
即
或
，解得
.
综上可知，
的取值范围为
.
8．（2026·河北沧州·二模）已知函数
，若函数
恰有10
个不相等的实数根，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【详解】作出函数
的图象，如图，
令
，则方程
可化为
，
因为方程
恰有10 个不相等的实数根，
所以方程
有两个不等实根
，
，
设
，则
，
，
令
，则
，解得
，
故实数
的取值范围为
.
