文档文本内容
培优专题 03 函数的性质及其综合应用
题型01 函数的值域（最值）
抓关键 · 破难点
上海卷对函数性质（单调性、奇偶性）的考查，强调定义域优先原则，利用函数在给定区间上的单调性
直接确定端点最值，或结合奇偶性简化对称区间上的值域问题。
1、若函数在区间上单调递增或递减，值域即为区间端点函数值构成的区间。对于复杂函数，需通过定义
法或导数法先确定单调区间，再分段求值域。
2、奇函数在对称区间上值域关于原点对称，最大与最小值互为相反数；偶函数在对称区间上值域相同。
常结合单调性判断最值位置。
3、若根据值域求参，将值域条件转化为函数最值的约束方程，利用单调性建立参数的不等式或等式。常
见题型包括：已知分段函数的值域求参数、已知二次函数在闭区间上的值域求参数范围。
关键技巧：换元法需注意新变量的范围；含参函数需根据对称轴与区间的位置关系分类讨论；复合函数
遵循"同增异减"法则判断单调性。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海闵行·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .(1)求 的值；
(2)若 ，求函数 的值域.
2．（2025·上海金山·二模）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .
(1)求 的值；
(2)若 ，求函数 的值域.
3．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 ，与函数 关于原点对称
(1)求函数 的解析式
(2)已知 ，求 的最大值及 取最大值时 的值．
4．（2025·上海闵行·一模）已知幂函数 满足 .
(1)求函数 的解析式；
(2)已知函数 定义域内的 满足 ，求证： ；
(3)设函数 的定义域为 ，如果存在区间 ，使得 在 上的值域也为 ，
试求实数 的取值范围.
题型02 利用函数性质解不等式
抓关键 · 破难点
将不等式转化为函数值的大小关系，利用函数的单调性去掉对应法则，直接比较自变量；利用奇偶性可
将不等式转化为对称区间上的关系。
1、若函数在区间上单调递增，则f(a)>f(b)等价于 a>b；若单调递减，则等价于a<b。关键是先确定
函数的单调区间，并确保自变量在定义域内。
2、偶函数可将f(x)>f(a)转化为∣x∣>∣a∣；奇函数需结合单调性处理。常用于分段讨论或简化绝
对值不等式。刷经典 · 通方法
1．（25-26高三上·上海嘉定·月考）已知 .
(1)是否存在实数 ，使得函数 是偶函数？若存在，求实数 的值，若不存在，请说明理由;
(2)若 ，求解不等式 .
2．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 ，函数 是定义在 上的奇函数，且
.
(1)求函数 的解析式；
(2)判断 的单调性（无需证明），并解关于 的不等式 .
3．（2025·上海·三模）设 且 ，已知函数 ．
(1)判断 是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数 ，解关于 的不等式 ．
4．（2025·上海崇明·二模）已知 ．
(1)是否存在实数a，使得函数 是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
(2)若 且 ，解关于x的不等式 ．
题型03 利用函数性质解恒成立问题
抓关键 · 破难点
函数的性质大题中常考的几点：
1、根据函数奇偶性求参数，根据奇偶性的定义来求参数，由f(x)=f(-x)或f(x)=-f(x)
2、根据函数单调性的定义来证明函数的单调性，由定义域中任意x <x 由f (x )<f (x )或f (x )>f (x )
1 2 1 2 1 2
来证明。
3、函数恒成立或存在性问题，最终常转化为函数最值（或值域）问题来处理，但转化方向完全相反，恒成立问题为大于最大值或小于最小值，存在性问题为大于最小值或小于最大值。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海浦东新·二模）已知函数 的表达式 ．
(1)若函数 是奇函数，求实数 的值；
(2)对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
2．（2025·上海奉贤·二模）函数 ，其中 ．
(1)若函数 是偶函数，当 时，求 的值；
(2)求函数 的值域并证明对任意的正实数 和实数 ，不等式 恒成立．
2．（2025·上海浦东新·三模）已知 .
(1)数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上，求数列 的通项公式；
(2)设 ；当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
3．（2025·上海宝山·二模）已知函数 ，（ 且 ）
(1)若 ，求方程 的解；
(2)已知 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求实数 的最大值.
4．（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知函数 .
(1)若函数 为奇函数，求 的最大值.
(2)若函数 为偶函数，且 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
题型04 利用函数性质解零点（有解）问题抓关键 · 破难点
将方程有解问题转化为函数零点问题，利用函数的单调性、奇偶性判断零点的个数或存在区间，再结合
端点函数值的符号确定参数范围。
1、利用单调性处理零点：若函数在区间上单调，则最多有一个零点。结合零点存在定理（端点值异
号），可确定唯一零点的位置或根据有解条件建立不等式求参数范围。
2、利用奇偶性处理零点：奇函数的零点关于原点对称（若原点在定义域内则必有一个零点）；偶函数的
零点成对出现（互为相反数）。据此可判断零点个数或转化为正半轴上的问题简化求解。
3、参数范围问题：将方程变形为a=g(x) 的形式，利用函数性质求g(x)的值域，则 a 的取值范围
即为该值域。若方程在指定区间上有解，则 a 需属于g(x)在该区间上的值域。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海·三模）已知函数 ，
(1)当 时，解不等式 ；
(2)已知函数 为偶函数，且函数 在区间 上有零点，求正实数 的取值范围．
2．（25-26高三上·上海·期中）已知 ．
(1)当 时，求函数 的定义域及不等式 的解集；
(2)若函数 只有一个零点，求实数 的取值范围．
3．（2026高三·上海·专题练习）已知函数 ，若函数 为偶函数，且函数
在区间 上有零点，求正实数 的取值范围.
4．（25-26高二上·上海·开学考试）设 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)设函数 是定义域为 的偶函数，当 时， ．若关于 的方程
（常数 ）在 上有实数解，求实数 的取值范围．题型05 求证函数性质
抓关键 · 破难点
1、证明单调性：严格遵循“取值、作差变形、定号、结论”四步法。关键是在作差后通过因式分解、通
分、配方或有理化等方式，转化为易于判断正负的乘积形式；若函数解析式复杂，也可考虑利用已知函
数的单调性（如一次函数、反比例函数、二次函数）进行推导。
2、证明奇偶性：首先验证定义域是否关于原点对称（这是函数具有奇偶性的必要前提），再计算f(-x)
并与f(x) 比较：若f(-x)=f(x)则为偶函数，若f(-x)=-f(x)则为奇函数。对于分段函数，需分别
在各段上验证f(-x)与f(x)的关系。
刷经典 · 通方法
1．（25-26高三下·上海·月考）已知函数
(1)若 ，求x的值；
(2)是否存在实数k，使得函数 为偶函数？请说明理由．
2．（25-26高三上·上海普陀·月考）设 是实数.已知定义在区间 上的函数 ，其
中
(1)若函数 是偶函数，求其表达式；
(2)若 ，讨论函数 的单调性，并简述理由.
3．（2024·上海·三模）已知 ，函数 是定义在 上的奇函数，且 .
(1)求 的解析式；
(2)判断 的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
4．（2025·上海黄浦·二模）已知 ．
(1)若 ，求 的值；(2)是否存在实数 ，使函数 是奇函数？请说明理由．
题型06 函数性质的新定义
抓关键 · 破难点
新定义问题的本质是“翻译”——将题目给出的新概念、新规则或新性质，转化为已学的函数知识（单
调性、奇偶性等），再用常规方法求解。先逐字逐句理解定义，通过举正例和反例明确新概念的内涵；
再将新定义“降维”转化为熟悉的数学语言，如将新运算转化为分段函数、将新性质转化为方程或不等
式。上海卷新定义题往往将函数的单调性、奇偶性、讨论值域等与新概念结合考查。
刷经典 · 通方法
1．（2026·上海·一模）定义：若函数 满足在 上的值域为 （ ），则称
为“根 域同函数”．
(1)试判断 是否为“根 域同函数”并说明理由；
(2)若“根 域同函数” 为偶函数，求： 的值域；
(3)已知奇函数 对任意 均满足 为“根 域同函数”，幂函数 是“根 域同函
数”的充要条件为点 在 上，求证：当 时， 的图象在 下方．
2．（2026高三下·上海·专题练习）对于定义域为 的函数 与实数 ，定义集合
.
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，且对任意实数 均有 ，求 的取值范围；
(3)是否存在定义域为 的连续函数 ，使得 ？若存在，给出一个满足要求的函数；
若不存在，请给出证明.3．（2025·上海闵行·一模）已知函数 的定义域为 ，对于 ，若 ，
且 ，则称 为 的一个“ 点”，记 为 的所有“ 点”构
成的集合．
(1)若 ，分别判断 与1 是否正确；
(2)证明：“ ”的一个充要条件为“当 时， ”；
(3)已知 ， ，其中 、 ，记
， ．若 ，求 的取值范围．
4．（2025·上海金山·一模）现给出“ 函数”的定义与性质．
定义：若函数 在区间 上连续，且对于区间 内任意两数 ，如果都有
成立，则称函数 为区间 上的“ 函数”；
性质：若函数 为区间 上的“ 函数”，则对于任意 和满足
的正数 ，有 成立．
(1)判断下列两个函数是否为其定义域上的“ 函数”（不需要说明理由）
① ；
② ．
(2)若函数 为区间 上的“ 函数”，求实数 的取值范围；(3)若 ，记 为函数 的图像与 轴所围成的图
形面积，当 且 时，求 的最小值．
5．（2025·上海虹口·一模）已知函数 的定义域为 （ ），记 ，其中
，且 ．
(1)当 ， ， ，求函数 的零点；
(2)当 ， ，若恒有 ，求实数 的取值范围；
(3)当 ，求证：“对于任意的正有理数 ，函数 在 上均是严格增函数”的充要条件是“任
取 中两个不相同的元素 和 ，均有 ”．
