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培优专题 03 统计概率 5 大重难题型
题型01概率的应用
抓关键 · 破难点
（1）设事件：把题目中关键结果用A、B、C等字母表示，逻辑立刻清晰。
（2）定分布：判断是二项、超几何、条件概率还是全概率，不盲目算。
（3）算概率：分步列式，每一步只做一件事，不跳步、不口算。
刷经典 · 通方法
1．（2026·北京密云·一模）随着机器人的智能化､精细化发展，市场对其零部件的质量要求不断提高.现有
甲､乙两台车床分别加工某种机器人的同一型号的零件.为评估这两台车床加工零件的质量，随机抽取甲､乙
两台车床加工的零件各100个，记录零件质量检测结果，并整理得到数据如下表：
等级 优等品 非优等品甲车床加工的零件数 75 25
乙车床加工的零件数 80 20
假设不同零件的质量等级相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计甲､乙两台车床加工的零件是优等品的概率 ；
(2)从甲车床加工的零件中随机抽取1个，乙车床加工的零件中随机抽取2个.设 为这3个零件中优等品的
个数，估计 的数学期望；
(3)在某一时段内，甲､乙两台车床加工的零件数之比为 ，现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优
等品的概率估计值为 ，判断 与 的大小.（结论不要求证明）
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) .
【分析】
【详解】（1）甲车床：抽取100个零件，优等品有75个，则 ，
乙车床：抽取100个零件，优等品有80个，则 .
（2） 为这3个零件中优等品的个数， 则 的可能取值为 ，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品，
，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品，
或从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品且乙车床加工的零件中随机抽取2个非优等品，
，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个非优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品，
或甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品乙车床加工的零件中随机抽取1个优等品1个非优等品，，
，意味着从甲车床加工的零件中随机抽取1个优等品
且乙车床加工的零件中随机抽取2个优等品，
，
.
（3） ，
甲、乙两台车床加工的零件数之比为 ，
现从这些零件中随机抽取1个，设该零件是优等品的概率估计值为 ，
则 ，
， ， .
2．（2026·北京丰台·一模）为研究某大宗商品价格变化的规律，收集得到了该大宗商品连续30个交易日
的价格变化情况，如下表所示．在描述价格变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天价格比前一个交易日
价格高；用“↓”表示“下跌”，即当天价格比前一个交易日价格低；用“→”表示“不变”，即当天价
格与前一个交易日价格相同．
时段 价格变化
第 个交易日 ↓ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↑ ↑ ↓
第 个交易
↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑
日
用频率估计概率．
(1)试估计该大宗商品价格“上涨”的概率；
(2)假设该大宗商品每个交易日的价格变化是相互独立的，在未来的交易日里任取 天，试估计该大宗商品
价格在这 天中至少有 天“上涨”且至少有 天“不变”的概率；
(3)假设该大宗商品当日价格“上涨”、“下跌”、“不变”时，当日成交概率分别为 ，且
．若该大宗商品每个交易日的价格变化只受前一个交易日价格变化的影响，试比较第 个交易日的成交概率 与 的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）根据题中数据，该大宗商品价格在 个交易日中有 天“上涨”．
设事件 为“该大宗商品价格上涨”，
则 .
（2）设事件 为“该大宗商品价格“不变”，事件 为“该大宗商品价格“下跌”，事件 为“该大宗
商品价格在这5天中至少有3天“上涨”且至少有1天“不变”．
依题意可得， ．
.
（3）由于 ，且价格变化具有状态转移特性，
第 个交易日的成交概率 是各状态转移概率的加权平均，权重偏向高成交概率的状态,
由于前1个交易日状态对第 个交易日的影响具有正反馈性，且初始概率分布不均匀，
因此 大于三种状态成交概率的算术平均值.
所以 .
3．（2026·北京平谷·一模）根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单
位：秒）：50米跑单项等级 高一男生 高一女生
优秀 7.3及以下 8.0及以下
良好 7.4~7.5 8.1~8.6
及格 7.6~9.5 8.7~10.6
不及格 9.6及以上 10.7及以上
从某校高一男生和女生中各随机抽取15名同学，将其50米跑测试成绩整理如下：
男 7. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 7. 8.
9.6 9.7 9.7 9.8
生 0 1 2 3 3 4 5 5 5 5 6
女 7. 7. 7. 7. 7. 8. 8. 8. 9. 9. 9. 10. 10. 10. 10.
生 4 6 6 8 9 0 1 8 0 2 7 4 4 5 8
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
(1)估计该校高一男生50米跑单项及格及以上的概率；
(2)从该校高一男生和女生中各随机抽取2人，估计4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的概率；
(3)通过一段时间锻炼，对该校在及格及以下成绩的学生进行再测试，结果又有 的男生达到良好及以上
的成绩，又有 的女生达到良好及以上的成绩，记最后男女达到良好及以上的概率分别为 ，判断
的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）样本中50米跑单项等级获得优秀的男生人数为5，获得良好的男生人数为5，获得及格的男
生人数为1，
所以估计该校高一男生50米跑单项的及格及以上的概率 ；
（2）记4人中恰有2人50米跑单项等级是优秀的事件为
记“高一男生50米跑单项等级是优秀”为事件 ；“高一女生50米跑单项等级是优秀”为事件 ；
其中 是独立事件
由（1）得 ； ．
记2名50米跑单项等级是优秀的人都是男同学的事件为
记2名50米跑单项等级是优秀的人都是女同学的事件为
记2名50米跑单项等级是优秀的人有1名是男同学1名是女同学的事件为
则 ．
（3）男生及格及以下成绩人数为5人，再次测试后良好及以上成绩约1人，
女生及格及以下成绩8人，再次测试后良好及以上成绩为2人，
两次测试后，良好及以上成绩的总人数男生多于女生，
所以 ．
4．（2026·北京延庆·一模）2024年联合国教科文组织第46届世界遗产大会上，我国申报的“北京中轴线
——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．北京中轴线坐落于北京老城中心，全长
7.8公里，始建于13世纪，是统领老城整体规划格局的建筑与遗址的组合体．它共包含15处遗产点，可分
为A、B、C、D、E五种类型，具体如下表：
E
居
类 A古代 B古代皇家 C古代城 中
皇家宫 市管理 D国家礼仪和公共建筑 道
型 苑建筑 祭祀建筑 设施 路
遗
存天 中
安 轴
中
门 线
轴 外
社 先 钟 万 天 广 正 永 南
线 故 景 太 天 端 金
稷 农 鼓 宁 安 场 阳 定 段
遗 宫 山 庙 坛 门 水
坛 坛 楼 桥 门 及 门 门 道
产 桥
建 路
点
筑 遗
群 存
某研学团队计划随机选取3处遗产点开展研学活动．
(1)若从15处遗产点中随机选取，求选取的3处遗产点均为D类的概率；
(2)若从A、B、C这三类遗产点中随机选取3处，设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数
学期望；
(3)该研学团队通过调查发现：所有参观北京中轴线的人群可分为老年人、中年人、青少年三个群体，其人
数比值为 ，同时，这三个群体选择参观A类或D类遗产点的频率分布如下表：
人群 老年人 中年人 青少年
只参观A类型遗产点 60％ 25％ 30％
只参观D类型遗产点 20％ 45％ 30％
两类遗产点都参观 20％ 30％ 40％
用频率估计概率，若从所有参观A类或D类遗产点的人群中随机选取1人，记“只参观A类型遗产点”的
概率为 ，“只参观D类型遗产点”的概率为 ，请根据表中信息，判断 与 的大小关系．（结论不要
求证明）
【答案】(1)
(2) 的分布列为：
1 2 3
(3)
【详解】（1）从15处遗产点中随机选取，选取的3处遗产点均为D类的概率为：.
（2）由题意， 的值可能为1,2,3，
且 ，
，
.
所以 的分布列为：
1 2 3
所以 .
（3）由题意 ,
.
所以 .
5．（2025·26高二上·北京顺义·期末）为践行五育并举，增强学生体质，某校开设体育选修课程，要求每
名学生从“排球”、“羽毛球”两门课程中任选一门．现从高二年级学生中用简单随机抽样的方式抽出50
名男生和30名女生作为样本，对样本中体育选修课程的选择情况作调查统计，得到数据如下：
男生 女生
排球 30 10
羽毛球 20 20
假设用频率估计概率，且所有学生是否选择排球、羽毛球相互独立．
(1)若该校高二年级共有500名男生，估计高二全体男生中选择排球课的人数；
(2)从该校高二年级全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰好有一人选择排球课的概率；
(3)记该校高二年级全体学生选择羽毛球的概率估计值为 ，其中男生选择羽毛球课的概率估计值为 ，试
比较 ， 的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由表中数据知样本中50名男生中有30男生选择排球，
故可得男生中选择排球的概率为 ，
所以该校高二年级500名男生中约有 名选择排球课；
（2）由表中数据知样本中30名女生中有10名女生选择排球，
故可得女生中选择排球的概率为 ，
由（1）可得男生中选择排球的概率为 ，
所以估计这3人中恰好有一人选择排球课的概率为 ；
（3）由表中数据知样本中50名男生中有20名男生选择羽毛球，
故可得男生中选择羽毛球的概率为 ，
由表中数据知样本中30名女生中有20名女生选择羽毛球，
故可得女生中选择羽毛球的概率为 ，
所以高二年级全体学生选择羽毛球的概率估计值为 ，
又由表中数据可得 .所以 .
6．（2025·26高三上·北京顺义·期末）某高中举办 “京剧脸谱体验展”，通过增强现实技术让学生沉浸式
感受京剧文化魅力.为了解全校学生的体验效果，研究团队在三个不同年级中各随机抽取 人作为样本，
统计其体验时长，并通过问卷方式调查认知度提升效果.已知体验时长 （单位：分钟）分为三段 ，
， ，各段人数及认知度显著提升人数如下表：
体验时长 体验时长 体验时长 认知度
人数年级
显著提升
高一年级 55人 30人 15人 70人
高二年级 40人 45人 15人 50人
高三年级 25人 30人 45人 30人
假设三个年级人数相同，以频率估计概率.
(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生为高二年级学生且体验时长 的概率；
(2)从全校所有“认知度显著提升”的学生中随机抽取3人，记 为抽取的3人中高二年级学生的人数，求
的分布列和数学期望；
(3)假设学生的认知提升度只受年级与体验时长的影响，且当“体验时长 ”时，每个年级的学生“认
知度显著提升”的概率相等，当“体验时长 ”时，高一学生“认知度显著提升”的概率为 ；高三
学生“认知度显著提升”的概率为 ，判断 ， 的大小关系.（结论无需证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)
【分析】
【详解】（1）设从全校学生中随机抽取1人，该学生为高二年级学生且体验时长 为事件 ，
则 中包含的基本事件总数 ，所有参与体验的学生总数为 人，
所以 .（2）“认知度显著提升”的学生共有 人，其中高二年级有 人，所占比例为 ，
所以 的所有可能取值为 ，
， ，
， .
所以 的分布列为：
所以 的数学期望 .
（3） .
不妨设当“体验时长 ”时，每个年级的学生“认知度显著提升”的概率相等且为 ，
则可得 ①， ②，
由①得 ，由②得 ，
所以 = ，即 .
7．（2025·26高三上·北京朝阳·期末）某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的
人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，
且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表：
性能评分 行业评级 公司数
5 10
4
3
2 20
1 10
(1)当 时，在这100家公司中，（i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率；
（ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记 为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求
的分布列和数学期望 ；
(2)用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级
的平均值”为 ，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为 ．设“ ”的概率为 ，“ ”
的概率为 ，请根据表中信息比较 与 的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)（i） ；（ii）分布列见解析；期望为
(2)
【分析】
【详解】（1）解：（i）当 时，可得性能评分不低于80分的公司有 家，
其中行业评级为5级的公司有 家，
所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为 ；
由记 为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则 的可能取值为 ，
可得 ， ，
，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
所以期望为 .
（2）解：由题意，可得 ，可得 ，抽取100家公司的行业评级总和为 ，
所以 ，其取值范围为 ，
该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率，
则两家的评级都为2级的概率为 ，此时
两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为 ，平均级别为 ；
两家的评级都为5级的概率为 ，平均级别为 ，
因为 ，当且仅当 时，满足 ，此时 ，
又因为 且 ，当且仅当 或 ，满足 ，
此时 ，
所以 .
题型02 离散型随机变量及其分布列
抓关键 · 破难点
（1）先完整列出随机变量所有可能取值，做到不重不漏。
（2）根据题目条件，用概率公式计算每个取值对应的概率。
（3）列出分布列，并检验所有概率之和为1。
（4）再计算数学期望与方差，期望表示平均水平，方差表示波动大小。
刷经典 · 通方法
8．（2025·26高二上·北京昌平·期末）某学生参加研学活动，需依次前往3个打卡点，且每个打卡点遇到
排队的概率均为 ，若遇到排队，则每次排队均需额外耗时20分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独
立．
(1)求该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率；(2)设该生在上述3个打卡点排队的额外总耗时为 （单位：分钟），求 的分布列及数学期望 .
【答案】(1)
(2)分布列见解析，15
【分析】
【详解】（1）设这名学生首次遇到排队发生在第3个打卡点的事件为 ，
因为事件 等于事件“这名学生在第一和第二个打卡点没有遇到排队，在第三个打卡点遇到排队”，
所以 .
（2） 的所有可能取值为0，20，40， 60,(单位:分)，
， ,
， ，
故 的分布列为：
所以 .
9．（2025·安徽合肥·三模）某城市推广垃圾分类，设置智能回收箱（方式 ）和传统垃圾桶（方式 ）．
统计显示，60%的居民选择方式 ， 选择方式 ，若垃圾被正确分类，则垃圾被回收，不用填埋．智
能回收箱的正确分类率为 ，错误分类后需人工处理，人工处理可将错误分类垃圾的40%重新正确分类，
其余直接填埋；传统垃圾桶的正确分类率为75%，错误分类后直接填埋．
(1)求垃圾最终被填埋的概率；
(2)若某吨垃圾被填埋，求其最初通过传统垃圾桶投放的概率；
(3)现有一吨垃圾要整体处理，设 为其处理成本（单位：元），正确分类无需成本，人工处理成本为200
元，填埋成本为500元.求 的分布列及数学期望．
【答案】(1)0.154(2)
(3)分布列见解析，95
【分析】
【详解】（1）记 为事件“垃圾按照方式 分类”， 为事件“垃圾最终被填埋”，
则 ．
（2）由题意得， ．
（3）由题意， 的可能取值为0，200，500，700，
且 ，
，
，
，
故 分布列如下：
0 200 500 700
0.81 0.036 0.1 0.054
．
10．（2024·25高二下·北京大兴·期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正
确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得 分．已知这位同学回
答前两个问题正确的概率都是 ，回答第三个问题正确的概率为 ，且各题回答正确与否相互之间没有影
响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．
(1)求至少回答正确一个问题的概率；
(2)求这位同学回答这三个问题的总得分 的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析【分析】
【详解】（1）设至少回答正确一个问题为事件 ，则 ；
（2）这位同学回答这三个问题的总得分 的所有可能取值为 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
， ，
， ，
随机变量 的分布列是
0 10 20 30 40
11．（2024·25高二下·北京石景山·期末）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）
介于 之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.
(1)求 的值；
(2)若从高度在 和 中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在 内的株数
为X，求X的分布列及数学期望 ；
(3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在 的概率.
【答案】(1) ；(2)分布列见解析，
(3)
【分析】
【详解】（1）依题意可得 ，解得 ；
（2）由（1）可得高度在 和 的频率分别为 和 ，
所以分层抽取的5株中，高度在 和 的株数分别为2和3，
所以 可取0，1，2，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
所以 ；
（3）从所有花卉中随机抽取3株，
记至少有2株高度在 为事件 ，
则 .
12．（2026·北京房山·一模）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前
经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取 名城乡居民进行调查,并运用
数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市 年各季度消费者信心指数数据
如下：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.42024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7
2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数 时，消费者信心处于弱信心区间，信心
指数 时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计
概率．
(1)从上述 个季度中随机抽取 个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；
(2)从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为 ，求
的分布列和数学期望；
(3)2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第 季度消费者信心指数较上一季度的增长
率为 ．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于 中的
最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2) 的分布列为：
0 1 2
(3)111.4
【详解】（1）由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间( )的数据有：
2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个.
上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为 .
（2）由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；2025年有1个处于强信
心区间，3个处于弱信心区间.
设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件 ，则 ；从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件 ，则 ；
则 的可能取值为0，1，2.
，
的分布列为：
0 1 2
数学期望
（3）2025年各季度的增长率分别为：
， ，
， .
，即
2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783；
2026年第一季度消费者信心指数的估计值为： .
13．（2025·26高三上·北京丰台·期末）某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充
电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随
机抽取 个，记录并整理数据如下表：(1)从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取 个，估计该充电桩日均使用不超过 次的概率；
(2)假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为 元、 元、 元.从该公
司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取 个，设 为抽取的 个充电桩的日均维护费用之和，求 的分
布列和数学期望 ；
(3)电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充
电桩中，公用和专用充电桩数量之比为 .在日均使用不超过 次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为
；在日均使用超过 次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为 .试比较 与 的大小.（结论不要求
证明）
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)
【分析】
【详解】（1）随机抽取 个充电桩中，日均使用次数不超过 次的有： 个，
设事件 “从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取 个，估计该充电桩日均使用不超过 次”，
则 .
（2）设事件 “从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取 个，其所需维护费用为 元”，
依题意可得， ， ，
随机变量 的所有可能取值有 、 、 ，
， ， ，
所以随机变量 的分布列如下表所示：
故 .（3）快充充电桩共 个，公用和专用充电桩数量之比为 ，故公用充电桩的个数为 ，
日均使用超过 次的快充充电桩的个数为 个，其中公用占比为 ，
故公用充电桩的个数为 ，
日均使用不超过 次的快充充电桩的个数为 个，
设公用占比为 ，则公用充电桩的个数为 ，
由题意可得 ，解得 ，故 .
14．（2024·25高三上·北京通州·期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学
生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4
项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学
生通过前4项流程的概率依次约为 .假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生
甲､乙､丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为 ，设甲､乙､丙
三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为 ，且能否通过相互独立，
所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率 .
（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为 ，
所以甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率 .（3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为 ，且预估甲､乙､丙三人的高考成绩能被招飞院
校录取的概率分别为 ，
所以甲能被招飞院校录取的概率 ，
乙能被招飞院校录取的概率 ，
丙能被招飞院校录取概率 .
依题意 的可能取值为 ，
所以 ，
，
，
.
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
题型03 二项分布和超几何分布
抓关键 · 破难点
（1）二项分布：
1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其
一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了 次；
2.当 服从二项分布时,应弄清 中的试验次数 与成功概率
3.若 服从二项分布 ，则（2）超几何分布：无放回、总体有限
求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数 的值；②根据超几何
分布的概率计算公式 计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布
列
刷经典 · 通方法
15．（2024·25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元
荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入
围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣
获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”．
(1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率；
(2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为 ，求 的
分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】
【详解】（1）设事件 为 “从参赛作品中随机选取1部，恰好选到入围佳作”，
则 ．
（2）由题意知， 的可能取值为0，1，
的分布列如下表所示：
0 1
的均值为 ．
16．（2024·25高二下·北京丰台·期末）在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员
的上场情况如下表：胜负情况甲球员上场情况 获胜 未获胜
上场 40场 5场
未上场 2场 3场
(1)求甲球员上场时，该球队获胜的概率；
(2)从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记 为甲球员未上场的场数，求 的分布列和数学期
望 ．
【答案】(1) ；
(2)分布列见解析，数学期望 .
【分析】
【详解】（1）设事件 “甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”，
则 ．
（2）表中该球队未获胜的场次共有 场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场，
则 的可能取值为0，1，2，3．
，
， ．
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
所以 ．
17．（2025·26高二上·北京·期末）一个不透明的袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从袋子中摸一个红球的概率是 ，现在从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个．
(1)若一共摸3次球，设摸到红球的次数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望：
(2)若有3次摸到红球则停止摸球，求恰好摸5次停止的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1；
(2) .
【分析】
【详解】（1）随机变量 的可能取值为 ，则 ， ，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
数学期望 .
（2）有3次摸到红球则停止摸球，恰好摸5次停止的事件是前4次摸到红球2次，第5次摸到红球，
所以恰好摸5次停止的概率为 .
18．（2024·25高二下·北京房山·期末）某课题小组从某市中学生中随机抽取了100名学生，调查了他们平
时整理数学错题的情况，并绘制了学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.将一个星期有4天及以上整
理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.每名学生是否“经常整理”数学错题是相互独立的.用频率估计概率.
(1)从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率；
(2)从全市中学生中随机抽取4名学生，设其中“经常整理”数学错题的人数为 ，求 的分布列及数学期
望.
【答案】(1)0.6
(2)分布列见解析，
【分析】
【详解】（1）从全市中学生中随机抽取1名学生，估计该学生“经常整理”数学错题的概率为
；
（2）由题意可得 ， 的所有可能取值为 ，
所以 ， ， ，
， ，
所有 的分布列为：
0 1 2 3 4
的数学期望为 .
19．（2025·北京·三模）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞
箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.
为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，
选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.
活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表.
壶1 壶2 壶3
投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中
高三年级 40 160 90 60 60 90假设用频率估计概率
(1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率.
(2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、
壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若
未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束.
某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生
在“过关比赛”中仅投中一次的概率.
(3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投
中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?
（只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动
中投中壶2的概率为 .
（2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，
则壶1投中的概率为 ，壶1未投中的概率为 ，
壶2投中的概率为 ，壶2未投中的概率为 ，
则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为 .
（3）用 表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则 ，
则 ，
假设投中壶2的次数为 时最大，则，即 ，
解得 ，因 ，则 ，
故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为 时，概率最大.
20．（2024·25高二下·北京通州·期末）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出
“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校随机抽取了100名学生，调查这
100名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如图所示的频率分布直方图．
(1)若该校共有2000名同学，试估计该校假期日均阅读时间在 内的人数；
(2)开学后，学校从日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取了6名学生作为代
表进行国旗下演讲．若演讲安排在第二，三，四周（每周两人，不重复）进行．求第二周演讲的2名学生
至少有一名同学的日均阅读时间处于 的概率；
(3)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，设这3人中日均阅读时间不低于60分钟人数为 ，求
的分布列与数学期望 ．
【答案】(1)800人；
(2) ；
(3)分布列见解析，期望为1.8.
【分析】
【详解】（1）由频率分布直方图知，各组频率依次为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，则100人的样本中假期日均阅读时间 的频率为 ，
估计该校学生假期日均阅读时间在 内的频率为0.4.
所以估计该校假期日均阅读时间在 内的人数为 人.
（2）阅读时间在 ， ， 的频率依次为：0.3，0.2，0.1，
则在 ， ， 抽取的人数依次为3人，2人，1人，
设第二周演讲的2名学生至少有一名同学的日均阅读时间处于 为事件A，
所以 .
（3）从该校学生中随机抽取1人，则此人假期日均阅读时间不低于60分钟的概率为 ，
随机变量 的可能取值为 ，得 ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
数学期望为 .
题型04 期望和方差
抓关键 · 破难点
解题时首先要准确识别随机变量的分布类型，再直接套用对应公式计算数学期望与方差，避免复杂的逐
项求和。二项分布直接使用期望 、方差 ，超几何分布、离散型分布则按定义
计算，算出结果后可通过概率和为1进行检验，确保数值正确。
进行方案选择或决策判断时，固定按照“先比期望，再比方差”的思路作答：期望越大，表示平均收
益、成功率或得分越高；方差越小，表示数据越稳定、风险越小、结果越可靠。若期望更大且方差更
小，则方案明显更优；若期望相近，则优先选择方差更小的方案，答题时只需结合题意，用一句话清晰
说明理由即可。刷经典 · 通方法
21．（2026·北京顺义·一模）顺义区的水稻种植历史悠久，最早可追溯到东汉初年.某农科所在顺义区 ，
两镇分别抽取3块试验田开展水稻种植方式实验.种植方式包括有机种植、机械种植、共生种植三种，测
得各试验田的平均亩产量如下表（单位： ）：
有机种植 机械种植 共生种植
镇 300 350 425
镇 300 375 400
用频率估计概率.
(1)从上述试验田中随机抽取2块，求其平均亩产量均不低于375的概率；
(2)从 ， 两镇中各随机抽取1块试验田，设 为平均亩产量不低于375的试验田的块数，求 的分布列
和数学期望；
(3)为了评估种植方式的综合效益，农科所进一步统计了三种种植方式在某年度的成本与市场售价：
有机种植：每亩成本约为800元，市场售价约为8元/kg；
机械种植：每亩成本约为500元，市场售价约为5元/kg；
共生种植：每亩成本约为1200元，市场售价约为6元/kg.
假设该年度 ， 两镇有机种植、机械种植、共生种植三种方式的种植试验田面积之比均为 ，记 镇
水稻种植试验田每亩平均利润为 ， 镇水稻种植试验田每亩平均利润为 ，试比较 与 的大小.（结
论不要求证明）
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】
【详解】（1）由题可得随机拿地的情况有： 种，平均亩产量均不低于375的情况有 种，故相应概率为： ；
（2）分别从 两地拿地有9种情况，将拿地情况用坐标表示，
横坐标表示A地平均亩产数，纵坐标表示B地平均亩产数.
的情况有 共2种；
的情况有 共5种；
的情况有 种，则分布列如下：
0 1 2
期望为： ；
（3）设 两地分别有土地面积为 亩.
对于A地，用于有机种植的地有 亩，有机种植总产量为 ，
则有机种植的总利润为： 元，
类似可得A地机械种植总利润为： 元，
A地共生种植总利润为： 元，
则A地平均利润为： 元；
类似可得B地平均利润为： 元.
则 .
22．（2025·26高二上·北京昌平·期末）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，
此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数
据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图：
(1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为
0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生
各多少人？
(2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为 ，
求 的分布列和数学期望；
(3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为 ， ，试比较 ， 的大小.（只需写出结论）
【答案】(1)甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人
数为4人
(2)分布列见详解， 的数学期望为2
(3)
【分析】
【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为 人，
乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为 人.
（2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为 ，易得随
机变量 符合超几何分布， 的取值为
则有 ，
则 ， ， ，
则分布列为：1 2 3
0.2 0.6 0.2
则 ，即 的数学期望为2.
（3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙
班数据波动较大，方差较大，则有 .
23．（2025·26高三上·北京通州·期末）开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达 年，是当时世界上最
大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，
打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东
京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社
组织了一个 人的“宋文化研学团”，其中 人购买了景点联票（深度体验游客）， 人只购买了部分景
点门票（精选游览游客）.为增强文化体验，旅行社准备从 人中随机抽取 人，赠送珍贵的《大宋御河夜
游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动.
(1)求抽到的 人中恰有 人为“深度体验游客”的概率；
(2)如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为 ，且是否参与相互独立.设 “抽到的 人中实际参加蹴
鞠体验的游客人数”，求 的分布列及数学期望 .
(3)该旅行社对某天 位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据：
景点编号 一 二 三 四
清明上河
景点名称 开封府 大相国寺 龙亭公园
园
游览人数（人）
假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用 表示第 个景点得到游客喜欢，用
表示第 个景点没有得到游客喜欢 .结合上表数据，写出方差 、 、 、 的
大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)(2)分布列答案见解析，
(3)
【分析】
【详解】（1）记事件 “抽到的 人中恰有 人为“深度体验游客””，
由古典概型的概率公式可得 .
（2）由题意可知， ， ， ，
， ，
所以随机变量 的分布列如下表所示：
故 .
（3）设 表示第 个景点得到游客喜欢的概率，则 服从两点分布，
则 ， ，
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由表格中的数据可知 ， ， ， ，
因为 ，
即 ，故 .24．（2025·26高三上·北京海淀·期末）某科技公司统计了过去连续30个月 两个小组每月所需专用服
务器台数，获得数据如下表：
小组
所需专
11 12 13 14 15 16 17
用服务
器台数
月数 1 1 2 3 18 4 1
B小组所
需专用
6 8 10 12 14 16 18
服务器
台数
月数 1 2 6 11 6 2 2
为了更好地支持自主研发，该公司计划给 小组长期租赁 台专用服务器，给 小组长期租赁 台专用服
务器.
假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率.
(1)估计 小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率；
(2)若 ，在未来的某个月，为满足 小组的需求，该公司还需要为 小组临时租赁 台专用服务器.
特别地，当该月不需要为 小组临时租赁专用服务器时，记 .估计 的数学期望 ；
(3)经公司讨论，有以下三种备选租赁方案：
方案一： ， ；
方案二： ， ；
方案三： ， .
在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁 台专用服务器，特别地，当该月
不需要临时租赁专用服务器时，记 .在上述三种方案中， 的数学期望估计值 最小的方案是哪种？
（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)
(3)方案三的数学期望最小
【详解】（1）根据题中数据，在30个月的数据中，小组所需专用服务器不超过14台的月数为 ，
故 小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率可估计为 ；
（2）由题意知，当 时，随机变量 的所有可能取值集合为 ，
根据题中数据，由（1）知 可估计为 ，
可估计为 ，
可估计为 ，
可估计为 ，
因为 ，
所以 可估计为 ；
（3）方案三的数学期望最小.
提示：对于 小组，当 时，由（2）知 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 .
对于 小组，当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 .
综上，方案一： ， ，此时 ；
方案二： ， ，此时 ；
方案三： ， ，此时 .因为 ，所以方案三的数学期望最小.
25．（2025·26高三上·北京房山·期末）2025年11月23日，人民日报发表题为《电车续航有望突破1000
公里》的文章．目前市面上不同品牌新能源汽车续航里程有较大差异，冬季汽车之家对12款纯电轿车在低
温区（ ）和寒冷区（ ）两种不同测试环境下的实际续航里程（单位： ）进行了
测试，结果如下表：
汽车品
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
牌
厂家标
注续航 816 806 800 710 665 660 606 567 515 510 410 405
里程
低温区
实际续 717 681 737 569 584 486 550 566 480 489 356 303
航里程
低温区
续航达
87.9 84.5 92.1 80.1 87.8 73.6 90.8 99.8 93.2 95.9 86.8 74.8
成率
（%）
寒冷区
实际续 319 331 385 293 301 295 234 313 236 269 189 178
航里程
寒冷区
续航达
39.1 41.1 48.1 41.3 45.3 44.7 38.6 55.2 45.8 52.7 46.1 44.0
成率
（%）
续航达成率 .
(1)从上述12款纯电轿车中随机抽取一款，估计这款车在低温区续航达成率超过90%的概率；
(2)从上述12款纯电轿车中随机抽取3款，记这3款纯电轿车在寒冷区续航达成率超过45%的个数为 ，
求 的分布列与数学期望；
(3)若上述12款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为 ，现又有一款纯电轿车参与测试，其在低温区
的续航达成率为72.5%，将这个数据加入之后，记这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值为 ，试
比较 与 的大小.（结论不要求证明）【答案】(1)
(2)分布列见详解，期望为
(3)
【分析】
【详解】（1）由题，12款纯电轿车中在低温区续航达成率超过90%的有： ，共5
个，
所以这款车在低温区续航达成率超过90%的概率为 .
（2）在寒冷区续航达成率超过45%的有： 共6个，未超过的有6个，
的可能取值为 ，服从超几何分布，则 ，
所以 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
数学期望 .
（3）12款纯电轿车在低温区的续航达成率的和：
，
所以原均值 ，
加入的达成率为 ，
因此这13款纯电轿车在低温区的续航达成率的均值 .26．（2025·26高三上·北京昌平·期末）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学
校开展了历史知识竞赛.决赛设置A、B两类题型，每位选手先抽取两道A类题，再抽取一道B类题.A类题
答对一道得10分，B类题答对得20分.已知选手甲答对A类题的概率为 ，答对B类题的概率为 ，且各
题是否答对相互独立.
(1)求甲恰好答对一道题的概率；
(2)设X为甲的总得分，求X的分布列和数学期望 ；
(3)若选手乙答对A类题的概率为 ，答对B类题的概率为 ，设Y为乙的总得分，比较 和 的大
小.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】
【详解】（1）由题意可知甲答对一道A类题且答错B类题的概率为 ，
答错两道A类题且答对B类题的概率为 ，
故甲恰好答对一道题的概率为 ；
（2）由题意可知X的取值为 ，
则 ，
，
，,
,
故X的分布列为：
X 0 10 20 30 40
P
故 ；
（3）由题意可知Y的取值为 ，
则 ，
，
，
,
,
故Y的分布列为：
Y 0 10 20 30 40
P
故 ；
结合（2）可知27．（2025·26高三上·北京东城·期末）某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、
乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的
每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初
始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为 ，正确回答乙类问题的概率为 ．
(1)若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率；
(2)若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为 ，求 的分布列与数学
期望 ；
(3)若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计
得分为 ；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为 ．试判断数学期望 与 的大小.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】
【详解】（1）设事件 “两轮比赛累计得分不低于20分”，
由已知该选手正确回答甲类问题的概率为 ，
所以 ．
所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为 ．
（2） 的所有可能取值为 ．
，
，
的分布列为10 50 70
的数学期望 ．
（3） ．
每轮选甲、乙的概率均为 ，因此，两轮都选甲的概率为 ，两轮都选乙的概率为 ，先甲
后乙的概率为 ，先乙后甲的概率为 .
两轮都选甲：
的可能取值为
.
两轮都选乙：
的可能取值为
故 .
先甲后乙：
由（2）可知， ，
先乙后甲：同理可得，
故 ，
所以 .
题型05 条件概率、全概率公式
抓关键 · 破难点
条件概率：已知A发生，求B发生的概率，公式 。
全概率公式：将样本空间划分为若干互斥且完备的事件，分别计算概率再求和。
解题时先划分情况，再依次计算，确保分类不重不漏。
刷经典 · 通方法
28．（2025·北京海淀·三模）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”
模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自
由选择．为了调查用户对不同模式的使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近
提出的共10000个问题作为样本，得到如下表格．
学习类问 其他类问
问题类别模式 生活类问题
题 题
深度思考 1100 600 300
联网搜索 1200 1500 300
兼用 1500 2500 1000
假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率．(1)在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率．
(2)在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数
的概率．
(3)不同模式处理问题的时间可以大致分为三组： ， ， （单位：秒）．在网络正常的
时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型的同一
种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间 ，另一个问题的处理时间 ．若不
考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明）
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)小明使用兼用模式的概率最大．
【分析】
【详解】（1）由表，样本数量为10000，问题处理模式是“兼用”模式的样本数量为
．
在样本中随机抽取一个问题，设事件 ：“该问题的处理模式是‘兼用’”，则 ；
（2）在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取1个，该问题是生活类问题的概率估计为
，是学习类问题的概率估计为 ，是其他类问题的概率估计为 ．
在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，设事件 ：“生活类问题的个数不超过学习类
问题的个数”
方法1：事件 包含两种情况：①0个生活类问题和2个非生活类问题；②1个生活类问题，1个学习类问
题，0个其他类问题，
所以 ．
方法2：事件 包含两种情况：①0个生活类问题和0个学习类问题，2个其他类问题；②0个生活类问题
和1个学习类问题，1个其他类问题；③0个生活类问题和2个学习类问题，0个其他类问题；④1个生活
类问题，1个学习类问题，0个其他类问题，；
方法3：事件 包含两种情况：①2个生活类问题和0个非生活类问题；②1个生活类问题，0个学习类问
题，1个其他类问题，
；
（3）法一：由图可知，用深度思考模式处理两个问题分别用时在 和 的概率为
；
用联网搜索模式处理两个问题分别用时在 和 的概率为 ；
用兼用模式处理两个问题分别用时在 和 的概率为 ．
所以用兼用模式处理两个问题分别用时在 和 的概率最大，故小明最有可能使用兼用模式．
法二：记事件 ：“小明处理两个问题，其中一个用时在 ，另一个用时在 ”；
事件 分别表示“小明使用深度思考模式”，“小明使用联网搜索模式”，“小明使用兼用模式”．
则有 ， ， ，
，
则 ，
同理 ，
，所以 ，
即已知事件 发生的条件下，小明使用兼用模式的概率最大．
29．2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中
采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C
三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，
0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过
程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率.
(1)若只取1块，求它是由B队所采的概率；
(2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利
用率有显著提升？你有什么好的建议？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)不能，建议见解析
【分析】
【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块
中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.
因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5，
所以若只取1块，它是B队所采的概率为 .
（2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响，
即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取.
设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的，
与（1）同理可求得若只取1块，则 ，
由B，C两队所采的概率为 .依题意可知 的取值为0，1，2，且 .
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
P
数学期望 .
（3）设事件 表示冰块被利用，由（2）知 ， .
所以 ， ， .
又
，即今年冰块的利用率约为0.67.
可见，今年冰块的利用率比往年提升了约 .
但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著，
可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断.
30．（2024·北京海淀·三模）某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾
分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在
试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表：
编
号
正 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号
确
率
试
讲
讲 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60%
座
前
试 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90%讲
讲
座
后
根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：
答卷正确率p
垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀
假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率．
(1)正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概
率；
(2)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良
好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计X的
分布列和数学期望；
(3)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．
从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知
识水平的概率最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大.
【分析】
【详解】（1）正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾
分类知识水平位“一般”的频率为： ，
所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为： .
（2）由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”
的概率估计为： ；
正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为： .
由题意， 的值可以为：0,1,2,3且： ，
.
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
（3）从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件 ，则 ，讲座后，知
识水平为“良好”的概率估计为 ；
从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件 ，则 ，讲座后，知识水平
为“良好”的概率估计为 ；
从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件 ，则 ，讲座后，知识水平
为“良好”的概率估计为 ；
从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件 ，则 .
因为 ， ， .所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大.
31．（2024·25高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的
参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板
滑雪”超过30人的概率；
(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，
设“基地学校”的个数为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个
动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为
“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为 ，每个动作互不影响，
每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行
多少轮测试？（结果不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】
【详解】（1）由题设可得如下数据：
自由
单板
设 为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”，为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则 ，
而 ，故 .
故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，
该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为 .
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所， 的所有可能取值为 ，
所以 ， ， ，
所以 的分布列如下表：
0 1 2
所以 .
（3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件 ，则 ，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布 ，
由题意列式 ，得 ，
因为 ，所以 的最小值为 ，故至少要进行 轮测试.
32．（2025·26高二上·北京·期末）甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，
3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球．
(1)若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到
红球的概率是___________．
(2)若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率；
(3)若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的
概率．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）解：设事件 “第1次取到白球”， “第2次取到红球”，
因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球，
基本事件的总数为 种取法，
则 ， ，可得 ，
所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为 .
（2）解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个，
可得基本事件的总数为 种取法，
设事件 “所取的2个球中至少有一个红球”，则 “所取的2个球中全是白球”
则 ，可得 ，
所以所取的2个球中至少有一个红球的概率 .
（3）解：设事件 “取到的2个球中恰有1个红球”，事件 “从甲袋中取到红球”，
事件 “从甲袋中取到白球”，
从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得 ，
若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球，
则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为 ；
若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球，则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为 ，
根据全概率公式，可得 ，
所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为 .
33．（2024·25高二下·北京东城·期末）甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否
相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为 ， ， .
(1)从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率；
(2)从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率；
(3)若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）因为甲机器生产的产品的合格率为 ，所有产品合格与否相互独立，
设甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格为事件 ，
所以 .
（2）设从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格为事件 ，
从甲机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件 ，
从乙机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件 ，
从甲丙机器生产的产品中各任取1件产品为合格产品为事件 ，
从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，
恰有2件产品合格的情况有： ， ， ，所以
,
所以从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率为 .
（3）因为三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，
设该产品为甲机器生产为事件 ，该产品为乙机器生产为事件 ，
该产品为丙机器生产为事件 ，这件产品合格为事件 ，
根据已知条件有： ，
根据全概率公式有：
.
34．（2025·北京大兴·三模）为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的
数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：
软件 软件
试题类别
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量
函数试题 30 24 20 18
几何试题 20 16 30 20
(1)估计 软件能正确解答数学问题的概率；
(2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，
几何1道；使用 软件解答2道函数试题，使用 软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解
答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用 表示3道类似试题被正确解答的个数，求 的
分布列与数学期望；
(3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），
但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为 ，几何题的概率为 ．假设用频率估计概
率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明）【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
(3)答案见解析
【分析】
【详解】（1）记 软件能正确解答数学问题为事件 ，
结合题中数据以及古典概型的概率公式可得 ．
（2）解法一：使用 软件解答函数试题正确的概率为 ，
使用 软件解答几何试题正确的概率为 ；
的可能取值为0、1、2、3，
，
，
，
，
则其分布列为：
0 1 2 3
其期望为： ；
解法二：函数试题用 软件解答，几何试题用 软件解答．
用 、 分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，因为 ， ，
0 1 2
0 1
的可能取值为0、1、2、3，
， ，
， ，
则其分布列为：
0 1 2 3
由二项分布的期望公式可得 ，
因为 ， 相互独立，则
．
（3）小明应该使用 软件来解决这道试题．
记“ 软件能正确解答这道题”为事件 ，“ 软件能正确解答这道题”为事件 ，
“该题为几何题”为事件 ．
则 ， ， ，
， ， ，
由全概率公式可得．
．
因为 ，所以 软件能够正确解决这道试题的概率更大，
故小明应该使用 软件来解决这道试题．
