专题 01 集合与常用逻辑用语的新定义及参数问题
目 录 导 航
01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系
02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点
▶基础梳理・自主夯基 考点05全称量词与存在量词
▶高阶思维・探究拓展
考点01集合与元素
考点02集合间的基本关系 难点解读01 集合新定义
考点03集合的基本运算
考点04充分条件与必要条件
03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养
▶高考解密・母题探究 ▶重难攻坚・考法深研
题型01 根据集合间的关系求参 重难点01定义新的集合性质
▶考点聚焦・解法深研 重难点02 定义新的集合关系
重难点03 定义新的集合运算
题型01 利用元素与集合的关系求参数
题型02 根据两个集合相等求参数
题型03 利用集合间的关系求参数
题型04根据集合的运算求参
题型05 根据充分必要条件求参
题型06 根据全称量词与存在量词求参
04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用知识脑图·核心脉络搭建
考点深研·知能分层突破
考点01 集合与元素
1．元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或
集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)．
2．集合的元素特征
确定性、互异性、无序性．
3．元素与集合的关系
若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；
若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A．
4．常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N*或N ；整数集，记作Z；
+有理数集，记作Q；实数集，记作 ．
5．集合的分类
有限集，无限集，空集∅．
6、集合的表示方法
列举法 、描述法、图像法
【新题对点练】（2026·上海嘉定·二模）已知集合 ，且 ，则 ___________．
【答案】
【详解】由题意可知， 或 ，即 或 ，
当 时，集合 ，不满足集合元素互异性，舍去；
当 时，集合 ，符合题意，所以 .
考点02 集合间的基本关系
1、子集、真子集、空集的概念
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系
集合A的所有元素都是集合B的
子集 A⊆B或B⊇A
元素（x∈A则x∈B）
基本
集合A是集合B的子集，且集合 A⫋B(B⫋A)
关系
真子集
B中至少有一个元素不属于A A⊂B(B⊃A)
相等 集合A，B的元素完全相同
不含任何元素的集合．空集是任
空集 ∅
何集合A的子集
2、常用的几个结论
① 空集是任何集合的子集：∅⊆A；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C；
【新题对点练】（2026·湖北·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解.
{ a∈{2,3,4}
【详解】由 可知 2a-2∈{2,3,4}，解得 .
a≠2a-2
此时 ，符合要求.
所以 .
考点03 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} A∩B={x|x∈A,且x∈B}∁ A={x|x∈U,且x∉A}
U
2、集合运算中的常用二级结论
（1）交集： ， ， ， ， ， ．
（2）并集： ， ， ， ， ， =B．
（3）补集的运算性质： ， ， ， ， ．
【新题对点练】（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集 ，集合 ， ，
则a的值是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【详解】已知全集 ， ，
则 ，又 ，所以 ，解得 ．
考点04 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p⇒q p⇏qp是q的充分条件 p不是q的充分条件
条件关系
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充分必要条件的概念
如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.
3、充分条件与必要条件和集合的联系
设p：x∈A，q：x∈B则
p是q的充分条件 p⇒q A⊆B
p是q的必要条件 q⇒ p A⊇B
p是q的充要条件 p⇒q 且 q⇒ p A=B
p是q的充分不必要条件 p⇒q 且 q⇒ p A⫋B
p是q的必要不充分条件 p⇒q 且 q⇒ p B⫋A
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q
且
q⇒ p A⊆B
且
B⊆A
【新题对点练】（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若“ ”是“ ”的充
分不必要条件，则 的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】BC
【分析】应用二倍角公式结合充分不必要条件定义计算求解.
【详解】当 时， ，则 ，得 ，
所以 ，则“ ”是“ ”的充分必要条件，A不正确；
当 时， ，则 ，得 ，所以 ，
当 ，则 ，得 ，
所以 或 ，则 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，B正确；
当 时， ，则 ，得 ，所以 ，当 ，则 ，得 ，
所以 或 ，则 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，C正确；
当 时，由 ，即 不成立，
且 时有 ，显然不成立，
所以“ ”不是“ ”的充分不必要条件，D不正确；
考点05 全称量词和存在量词
1．全称量词与存在量词的概念
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有、一切、任意、全部、每个等 ∀
存在量词 存在、至少、有个、某些、某个、有些等 ∃
2．全称命题与特称命题的概念
命题名称 命题结构 命题表示
全称命题 对M中任意x，有 p(x) 成立 ∀x∈M，p(x)
特称命题 存在M中 ，有 成立 ∃x 0 ∈M，p(x 0 )
3．全称量词命题和存在量词命题的否定
命题 命题的否定
∀x∈M，p(x) ∃x ∈M，¬p(x )
0 0
∃x ∈M，p(x ) ∀x∈M，¬p(x)
0 0
【新题对点练】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题 “ ，使得不等式 成立”为假
命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题意说明 ：“ ， 恒成立”是真命题，然后对 分类讨论可得.【详解】命题 “ ，使得不等式 成立”为假命题，则命题 ：“ ，
恒成立”是真命题，
时，不等式为 恒成立，满足题意，
时，则 ，解得 ，
综上， 的范围是 .
难点解读01 集合新定义
集合新定义问题是在题目中给出一个从未见过的集合概念、运算或关系，要求考生在理解定义的基础上，
运用集合的基本知识（元素、子集、交并补、互异性等）进行分析、推理或计算。这类问题重在考查阅读
理解、信息迁移和逻辑推理能力。
一、常见新定义类型
新定义元素性质：如“好元素”“孤立元”“相邻元”，规定元素满足某种条件。
新定义子集族性质：如“可拆分集”“无和集”“k-基集”，对子集的整体结构提出要求。
新定义运算：如定义集合的加法、乘法等，然后计算或证明封闭性，如“差集”“对称差集”“乘积集”
等，给出明确的集合构造规则。
新定义关系：如“集合A与B关联”，要求判断两个集合是否满足某种关系。
二、核心知识点
集合元素的互异性：集合中任意两个元素不同，这是检验参数取值是否合理的首要依据。
集合的表示法：列举法（离散元素）、描述法（属性描述）、区间法（连续范围）。
子集与真子集：理解包含关系的含义，能准确写出给定集合的所有子集。
集合的运算：并、交、补、差，以及韦恩图辅助分析。
分类讨论思想：新定义往往需要分情况讨论（如元素个数、元素大小关系、奇偶性等）。
构造与反例：证明存在性时构造具体集合；证明命题为假时构造反例。
集合新定义问题的核心是翻译和特例探路，在掌握基本集合知识的基础上，通过反复阅读、举例、转化、
分类，最终转化为常规集合问题求解。
难点破解（2026高三·全国·专题练习）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、 ，则 、、 ，且 时， ”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是
（ ）
A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则 ；
C．集合 是一个数域； D．有理数集Q是一个数域．
【答案】ABD
【分析】依据数域的定义逐项分析即可.
【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知 ，即0是任何数域中的元素，
A正确；
若域G中有非零元素a，则 ，所以 ， ，…， ，B正确；
记 则 ，但 ，所以集合 不是一个数域，故C错误；
因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集
Q是一个数域，故D正确．
故选：ABD
素养进阶·答题技法突破
题型01 根据集合间的关系求参
【典例1】（2026·上海·高考真题）已知集合 ， ，若 ，则 ____________.
【答案】
【分析】利用子集的定义求解.
【详解】 ， ， ，
集合 中所有的元素都在集合 中，
集合 中的元素 在集合 中，
.
故答案为： .【典例2】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合 ， ，若 ，则
（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分 和 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 ，则有：
若 ，解得 ，此时 ， ，不符合题意；
若 ，解得 ，此时 ， ，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
题型01 利用元素与集合的关系求参数
1、已知元素属于集合：将元素代入集合中的表达式，求解参数；若有多个可能值，需分别检验集合元
素的互异性。
2、已知元素不属于集合：利用补集思想，先求出使元素属于集合的参数范围，再取其补集（注意边界
是否可取）。
【典例1】（2026·安徽合肥·二模）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，
所以若 ，则 的取值范围为 .【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，代入得 ，解得 .
【变式1】（2026·江西·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．10或18 B． 或 C．18 D．
【答案】B
【分析】分 ， 两种情况结合题意讨论求解即可.
【详解】若 ，则方程 只有一个解，
则 ，得 ，
所以 或 ，此时 ，
若 ，则方程 有两相异实数解且 是方程 的其中一个解，
则 ，得 ，
所以方程可化为 ，则 ， ；
综上， 或 .
【变式2】（2026·湖北孝感·二模）如果集合 只有一个元素，则实数 的值是（ ）
A．0或4 B．4 C．0或 D．0
【答案】C
【分析】分 和 两种情况讨论，当 时 ，即可求出 的值.
【详解】集合 ，
表示关于 的方程 的解集，
当 时，解得 ，则 ，符合题意；当 时， ，解得 ，
此时 ，符合题意,
综上可得 或 .
题型02 根据两个集合相等求参数
集合相等即元素完全相同（无序、互异）。通过分析两集合中元素的对应关系，列出方程（组），并利
用互异性检验。
【典例1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得 ，进而可得所求值.
【详解】已知 ， ，所以一元二次方程 的两个根就是 和 .
设一元二次方程 的两根为 ，则： ， ，
所以 ，即 ，因此
【典例2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【详解】因为 ，且 ，所以 ，即 ，
所以 .【变式1】（2026·河南许昌·三模）已知 ， ， ， ，若
且 ，则 ____________．
【答案】 或
【分析】已知四个递增数两两之和构成集合 ,根据大小关系可确定最小两数和为6、最小
与第三数和为10、最大两数和为24、第二与最大数和为20,再分第二与第三数和为12或18两种情况,分别
联立前三个和的方程,通过整体代入求出 的两个可能取值.
【详解】由题意知 .
满足 ,因为 .
则必有 .
若 ,联立 ，两式相加得 ，
代入 得 ，解得 .
若 ,联立 ，两式相加得 ，
代入 得 ,解得 .
【变式2】（2026·江西九江·模拟预测）已知 为实数，集合 ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】因为 ，所以¿或¿，解得 ，或 ，（¿不符合集合元素的互异性，舍去）
所以 .
题型03 利用集合间的关系求参数
将集合间的包含、相等、交并补关系转化为关于参数的不等式（组），并特别注意端点取值及空集情
况。
1、化简集合：将已知集合用区间或具体元素表示。
2、转化关系：根据题意（如A⊆B、A∩B=∅、A∪B=B等）列出不等式（组）。
3、检查端点：判断参数在边界处是否满足条件（开闭区间影响参数能否取等）。
4、优先考虑空集：当集合可能为空集时（如含参不等式解集），需先讨论空集情况，再进行非空讨
论。
【典例1】（2026·河南·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，解得 或 ，所以 .
因为 ，所以 或 ，解得 或 或 .
经检验：当 时， 与集合中元素的互异性矛盾.
所以实数 的取值集合为 .
【典例2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】A
【详解】由 ，得 ，又由 ，根据集合元素的互异性，得x+2≠4，即 ，而集合 ，由 ，得 或 ，所以 或 .
故选A.
【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合 ， ，若 ，则由实数
组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分 和 ，两种情况讨论，结合 ，列出方程，即可求解.
【详解】当 时，方程 无解，即 ，满足 ；
当 时，由方程 ，解得 ，即 ，
因为 ，可得 或 ，解得 或 ，
所以由实数 组成的集合为 .
【变式2】（2026·湖南怀化·二模）已知集合 ， ．若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过解一元二次不等式得集合 ，再根据并集的定义可得.
【详解】由 ，解得 ，所以 .
因为 ，所以 ，如图：
所以 ．
题型04根据集合的运算求参集合的运算（并、交、补、差）对应于元素与集合的归属关系，常借助数轴、韦恩图或列举法进行求
解。
1、当集合为离散点集时，直接列举元素运算。
2、当集合为连续区间时，画数轴，注意端点开闭。
3、熟悉集合运算中常用的二级结论。
4、对于含参数集合，需讨论端点和空集。
【典例1】（2026·河南驻马店·三模）已知全集 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【详解】 全集 ，集合 ， ，
， ，故选项D正确.
【典例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 的最大
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据 列不等式，由此求得 的取值范围，进而求得 的最大值.
【详解】依题意， ，
由于 ，
所以 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
【变式1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 的值为
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【详解】已知 ， ，说明只有 是 和 的公共元素，
则 ，又因为 ，元素 ，因此 .
【变式2】（2026·上海·三模）已知集合 ， ，若 ，则实数 __________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 .
得 ，解得， .
当 时， ，满足 ；
当 时， ，满足 ；
综上所述， .
题型05 根据充分必要条件求参
1、将条件与结论分别转化为集合（或取值范围），利用充分、必要、充要条件对应的集合包含关系（p
对应的集合P，q对应的集合Q）：
p是q的充分不必要条件⇔P⫋Q
p是q的必要不充分条件⇔Q⫋P
p是q的充要条件⇔P=Q
2、根据题意确定集合间的包含或相等关系，列出不等式组（注意端点等号能否取到）。
3、解不等式组得到参数范围，并验证边界是否符合题意（如集合是否为空、端点是否满足包含关
系）。
4、若已知充要条件，可直接将两个条件转化为等价方程（组）求解。
【典例1】（2026·北京昌平·二模）设 ，函数 有最大值的一个充分不必要条
件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数 有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件.【详解】当 时： ，当 时， 单调递减， ；当
时， ，无最大值.
当 时： 时， 单调递增，当 时， ，无最大值.
当 时： 时， 单调递减，故 ；
时， ，开口向下，对称轴为 .
若 时，即 时， 在 上的最大值为 ，
则 ，解得 ；
若 时，即 时， 在 上单调递增，最大值为 ，
则 即 ，因为 ， ，不等式无解，函数此时无最大值；
综上 有最大值的充要条件为 .
因为 ，
所以 有最大值的一个充分不必要条件是 .
【典例2】（2026·江西南昌·三模）设 且 ，函数 的值域为 的一个充
分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别分析函数在不同区间上的单调性和值域，再根据函数的值域为 确定 的取值范围，最后根据充分不必要条件的定义判断选项.
【详解】当 时， ，因为函数 在 上单调递增，则 在 上单调
递增，
所以 ，即 在 上的值域为 ；
当 时， ， 且 .
①当 时， 在 上单调递减，所以 ，
即 在 上值域为 ，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值
域为 ，不合题意；
②当 时， 在 上单调递增，所以 ，
即 在 上值域为 ，
因为整个函数值域为 ，所以 ，解得 或 ，
又因为 ，所以 ，即 .
所以函数 的值域为 的一个充分不必要条件对应的 的取值范围应为
的真子集，所以B正确.
【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数 与双曲线 均存在的一个充分不
必要条件为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】若对数函数 存在，则底数 且 ；
若 表示双曲线，则 ，即 ，综上，若两者均存在，则 或 .
而2在上述区间内，
所以 是对数函数 与双曲线 均存在的一个充分不必要条件.
【变式2】（2026·江苏南通·三模）设集合 ，集合 ，则“
”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
若 ，则 ，所以 ，解得 ，
当 时， ，此时 ，
所以 是 的充要条件，
故“ ”的一个必要不充分条件是 .
题型06 根据全称量词与存在量词求参
先确定真命题，然后根据命题是任意问题还是存在问题，求参数范围。
【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）若“ ”是假命题，则 的取值范围为
__________．
【答案】
【分析】由 对任意 恒成立，变换 ，根据三角函数的值域即可得到答案.
【详解】由于“ ”是假命题，则有 对任意 恒成立，由于 时， ，因此 ，
又因为当 时， ，且 在 内可无限趋近 ，为满足 恒成立，
故 的取值范围是 .
【典例2】（2026·江西上饶·二模）若 ，且“ ， ”为假命
题，则 _________．
【答案】
【分析】根据题意得函数 与函数 在 有相同的零点，再求出零点，进
而得到 即可．
【详解】由题得函数 与函数 有相同的零点，
而 在 的零点为 ， ，
所以 ， 也是 的两个根，
即： ，
【变式1】（2026·青海西宁·二模）已知命题 ，若 为真命题，则 的取值范围为
______．
【答案】【分析】根据题意，分 、 两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解.
【详解】 可化为 ，
由题意可知， 恒成立，
当 时，原不等式为 ，解得 ，不合题意；
当 时，依题意得 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“ , ”为真命题，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由命题“ ”为真命题，利用判别式，即可确定实数 的取值范围．
【详解】由命题“ ”为真命题，
，
解得： ，
重难点01定义新的集合性质
新性质往往限制很严，多从小规模、特殊情况入手，往往能找到突破口
1、将新性质转化为元素之间的等式、不等式或关系。
2、按元素个数、数值大小、奇偶等标准分情况，避免遗漏。
3、需要找满足性质的集合时，从简单情况构造并逐步添加元素；判断真假时，举反例即可。
【典例1】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集 满足：如果 ，那么 且当时， 时，我们称 就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域
有非零元素，则 ；③集合 是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的
说法是（ ）.
A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①②
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可..
【详解】当 ，且 时， ，因此0是任何数域的元素，①正确；
当 ，且 时，由数域的定义知 ，
因此 ，②正确；
当 时， ，③错误；
如果 ，那么 ，且当 时， ，因此有理数集是一个数域，④正确.
【典例2】（多选）（2026·辽宁大连·一模）已知集合 ，其中
.定义向量集 ，若对任意 ，存在 ，使
，称集合 具有性质 ，则（ ）
A．集合 具有性质
B．当 时，具有性质 的集合 有无数个
C．若集合 具有性质 ，且 ，则
D．已知集合 具有性质 ，且 ，若 ，则有穷数列 的通项公式为
【答案】ABD【分析】利用列举法来配对两两数量积为 ，即可判断A，利用 总满足性质 ，即可判断B，
利用分类列举，并通过数量积为 ，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配
对数量积为 ，即可判断D.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，
所以对任意 ，存在 ，使 ，即集合 具有性质 ，故A正确；
当 时，令 ， ，
则 ，
因为 ，
所以对任意 ，存在 ，使 ，即集合 具有性质 ，
因为正数 有无数个，所以具有性质 的集合 有无数个，故B正确；
若集合 具有性质 ，
则取 ，则 只可能是
根据 ，依次解得： ，
因为 ，且要满足集合 中元素互异性，所以 ,
检验：当 时，
，
因为
，所以对任意 ，存在 ，使 ，即集合 具有性质 ，
当 时，
，
因为
，
所以对任意 ，存在 ，使 ，即集合 具有性质 ，故C错误；
由C选项可知： 满足，此时
假设 满足题意，则取 ，要使其存在正交向量 ，
即 ，因为 ，所以 必须为负数，即 ，此时 ，
由 ，逐一检验可知，只有 时， ，符合 ，
以此类推可得：有穷数列 的通项公式为 ，
下证明充分性：
对于任意 且
不妨假设 ，总存在 满足 ，
有穷数列 的通项公式为 ,故D正确；
故选：ABD
【变式1】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集 满足： ，都存在 （其中
），使得 ，则称集合 是 的“理想集”．记集合 ，若集合 是的“理想集”，则实数 的取值范围为___________
【答案】
【分析】由题意可知关于b的方程 在 内有解，取 或 ，解方程并结合
零点存在性定理分析求解.
【详解】若集合 是 的“理想集”，
则关于b的方程 在 内有解，
若 ，即 ，
可得 ，解得 或 ，
则 或 ，解得 或 ，所以 ；
若 ，即 ，
令 ， ，
原题意等价于 在 内有零点，
则 ，解得 或 ，
因为 且 ，可得 或 ，
若 ，则 ，且 ， ，
可知 在 内有零点，符合题意；
若 ，则 ，且 ， ，
可知 在 内有零点，符合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【变式2】（2026·安徽合肥·一模）设集合 ，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则 的子集中有
___________个“TB集合”.
【答案】
【分析】化简集合 ，根据“ 集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解.
【详解】解方程 ，解得 ，结合 ，
因此： ，集合 共9个元素.
（1）2个元素的“ 集合”：设为 ，
当 时， 可取5，6，7，8，9，共5个；
当 时， 可取6，7，8，9，共4个；
当 时， 可取7，8，9，共3个；
当 时， 可取8，9，共2个；
当 时， 可取9，共1个；当 时，无满足条件的 .
则2个元素的“ 集合”总数： .
（2）3个元素的“ 集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4.
最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9.
（3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围，
因此不存在4个及以上元素的“TB集合”.
综上，“ 集合”总数 个元素的数量 个元素的数量： .
重难点02 定义新的集合关系
1、读懂关系：抓住新关系定义中的关键词（如“A与B有交”“A中每个元素都比 B中某个元素
大”），用符号或简单例子重述。
2、转化为已知：将新关系转化为集合的包含、相等、交非空、元素大小比较等常规条件。
3、分类验证：按集合是否为空、元素个数多少、元素取值范围等分类，逐类检验是否满足新关系。
【典例1】（2026·福建漳州·三模）已知 是集合 的非空子集，若 ，则称 是集合
的“互斥子集组”，并规定 与 为不同的“互斥子集组”．集合 的不同“互斥子集
组”的个数是___________．（用数字作答）【答案】50
【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可.
【详解】解法一：若 中各含1个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有 个，
若 中各含2个元素时，“互斥子集组”有 个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50个．
解法二：当集合 中有1个元素时，有 ，共4种情况，
集合 是由集合 中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集，
可得这样的“互斥子集组”有 个，
当集合 中有2个元素时，有 ，
共6种情况，而集合 是由集合 中去2个元素后，
剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有 个，
当集合 中有3个元素时，有 ，共4种情况，
而集合 是由集合 中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集，
则此时“互斥子集组”有 个，
综上，不同“互斥子集组”的个数是50个．
【典例2】（25-26高三下·北京·开学考试）对于集合 ，若存在集合 的 个两两不同的子集
，且满足： ，则称其为集合 的一条“链”，称 为这条“链”的长度．当集
合 的元素个数为 时，有以下四个结论：
①集合 的最长“链”的长度为 ；
②任意两个集合都可以出现在同一个“链”中；
③当 时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合；④集合 的最长“链”的总数为 ．
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①④
【分析】①，对于集合 ，先说明一条链最多包含 个集合，再举例满足条件的“链”存在，从而得
到结论；②举出反例得到结论；③举出反例得到结论；④，集合 的最长“链”的长度为 ，从空集
开始，进行分步求解，每次增加一个元素，第一个位置有 种选择，第二个位置有 种选择，以此类推，
直到最后一个位置只有 中选择.根据分步计数的乘法原理，得到结论.
【详解】①，设 ，
对于链 ，由于各子集两两不同，故其元素个数满足 ，
因为 的子集元素个数最少为0（空集），最多为 （全集 ），所以一条链最多包含 个集合，
例如，取 ，且后续每个子集比前一个子集恰好多一个元素，直到 ，
可构成一条长度为 的链，因此，最长“链”的长度为 ，①正确；
②，不妨设 ， ，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，②错误；
③，当集合 的元素个数为 时，
不妨设 ，
，
上面两个均为长为4的“链”，不具有相同集合，③错误；
④，集合 的最长“链”的长度为 ，从空集开始，
每次增加一个元素，第一个位置有 种选择（从 个元素中选一个放入第一个非空子集），
第二个位置有 种选择（从剩下的 个元素中选一个放入下一个子集），以此类推，
直到最后一个位置只有 种选择.根据分步计数的乘法原理，
的最长“链”的总数为 ，④正确.
故选：①④.
【变式1】（2026·北京顺义·二模）已知集合 ，集合 是集合 的一个含 个元素
的子集.若集合 满足如下两个性质，则称集合 为集合 的完美子集：
①集合 的任意两个不同子集的元素之和不相等；②对任意 且 ，令 ，且集合 存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
(1)若 ，判断 是否为集合 的完美子集；
(2)若集合 为集合 的完美子集，证明：集合 的元素之和的最小值为16；
(3)若集合 为集合 的完美子集，证明： .
【答案】(1) 不是 的完美子集， 是 的完美子集
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）验证两个条件即可；
（2）用反证法证明；
（3）根据集合的新定义结合反证法证明即可.
【详解】（1） 中任意子集之和可以是 ， ， ， ， ，
均互不相等，满足性质①，
是 再添一个不在 中但在 中的元素，取 ， ，
的不同子集元素和分别为：
，
没有和相等的子集，所以不满足性质②， 不是 的完美子集；
的任意子集之和可以是 ，
均互不相等，满足性质①，
对于性质②，对任意 ， ， 任意子集之和组成的集合为
当 ,存在 的子集 的元素和等于 ，只要取 的两个子集为 ，
即可满足条件，而当 ， ，取子集 和 即可，
所以 是 的完美子集；
（2）反证法：设A的元素和为S,若 ,考察包含A的 元子集 .
由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大，
从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而 .
又 满足条件，此时 ，从而 的最小值为16.
（3） ，
假设若 ，则 的非空子集有 个，
而其中每个子集元素和不超过 ，但 ，必有两个子集的和相等，矛盾．
假设若 ，考虑 的一、二、三、四元子集，共有 个不同的子集，其元素和都在区
间 内
(因为任意一个这样的和小于 ，且由 知： ， ， ， 不同时属于
)
若 ，则由 知， ， 不同时属于 ，
由 知， ， 不同时属于 ，
由 知， ， 不同时属于 ，
所以此时最大的和不大于
而 ，则必有两个子集的和相等，矛盾．
若 则由 知． ， 不同时属于 ，
由 知， ， 不同时属于 ，
由 知， ， 不同时属于 ，
所以此时最大的和不大于
而 ，则必有两个子集的和相等，矛盾，
若 和 都不属于 ，则最小的和不小于 于是，其和都属于区间 ，最多有 个不同的和．
而 ，则必有两个子集的和相等，矛盾．
综上所述， ．
【变式2】（25-26高三上·山东·阶段检测）已知集合 ，设非空集合 ，记
为 中的最小元素， 为 中的元素个数.若集合 满足 ，则称 是 的
一个“膨胀子集”.记 的“膨胀子集”的个数为 .
(1)请写出 的“膨胀子集”以及 的含有 但不含 的“膨胀子集”；(2)当 时，求数列 的递推公式（用 ， 表示 ）；
(3)求 的值.
【答案】(1) 的“膨胀子集”为 ， 的含有 但不含 的“膨胀子集”为
(2)
(3)
【分析】（1）根据“膨胀子集”的定义，代入数据，分别写出满足条件的“膨胀子集”即可.
（2）由题意可知，集合 不含元素 的“膨胀子集”的个数为 ，再分析集合 含有元素 的“膨胀子
集” ，分别讨论 和 两种情况，根据所给定义，分析求解，即可得答案.
（3） ，根据（2）结果，分组求和，化简计算，
即可得答案.
【详解】（1）由题意， ， ，
所以 的“膨胀子集”为 共3个；
则 的含有5但不含1的“膨胀子集”为 共3个；
（2）由题意可知，集合 的“膨胀子集”均为集合 的“膨胀子集”；
故集合 不含元素 的“膨胀子集”的个数为 ；
下面分析集合 含有元素 的“膨胀子集” ：①若 ，则此时 ，满足题意，共有 个；
②若 ，则设 ，
将 中 去掉，剩余的所有元素减去1，得到新集合 ，
则此时 ，且 中最大元素不超过 ，
所以 为 的“膨胀子集”，共有 个，
由于任意一个满足条件的 都对应一个满足条件的 ，且任意一个满足条件
的 都对应一个满足条件的 ，所以满足条件的 共有 个.
所以
（3）由（2）得 ，
则
重难点03 定义新的集合运算
将新运算理解为集合中元素之间的某种代数运算（如加法、乘法、乘幂）所生成的新集合，通过元素间的对应关系描述结果集合。
1、明确运算定义：弄清运算是针对两个集合还是单个集合。
2、枚举或推导元素：若集合有限，直接枚举所有可能的运算结果；若无限，分析元素满足的代数条件
（如奇偶性、范围）。
3、关注运算性质：判断新运算是否封闭、交换、结合，可用于简化计算。
4、分类讨论参数：当集合中含有参数时，根据参数取值讨论结果集合的变化。
【典例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合 ，且 ，定义这个集合的
“复合乘幂和”： ，其中 ，设 表示集合 的所有非空子集的“复合乘
幂和”的总和，则 ______．
【答案】
【分析】求出 前面的系数和为 后可求 .
【详解】考虑 前面的系数和，由题设 前面的系数可为 ，
故 前面的系数和为 ，
所以 前面的系数和为 ；
前面的系数和为 ；
前面的系数和为 ；
前面的系数和为 ；
前面的系数和为 ；
前面的系数和为 ；
前面的系数和为 ；
故
.
【典例2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：
将M中每个元素m都乘以 后再求和．若集合 ，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______．
【答案】
【分析】根据题意，将 中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可
求其和，同理求得含有 的部分的和，问题即可解决.
【详解】 ，
中所有非空子集含有1的有2026类：
单元素集合只有 含有1，即1出现了 次；
双元素集合含有1的有 ，即1出现了 次；
三元素集合中含有1的有 ，即1出现了 次，
……
有2026个元素的集合中含有1的有 ，1出现了 次；
1共出现 ，
同理 都出现 次，
的所有非空子集中，这些和的总和是
.
【变式1】（2026·安徽蚌埠·二模）对于数集 ， ，定义 ，
，若集合 ，则集合 中所有元素之和为（ ）
A．5 B． C． D．【答案】D
【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和.
【详解】根据新定义，集合 ，则 ，
则 ，则可知所有元素之和为 .
故选：D
【变式2】（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合
，定义集合
，则 中元素的个数为__________.
【答案】
【分析】用列举法列出集合 、 ，再根据所给定义列出 即可判断.
【详解】 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， 共 个元素.优题精练·专题实战通关
1．（2026·上海·三模）若 ， ，且A∪B={1,2,3,4}，则实数 取值的集合是
____________.
【答案】
【分析】根据并集的定义可得 是集合 中的元素，再结合集合元素的互异性排除 ，即可得
到实数 的取值集合.
【详解】因为 ， ，且A∪B={1,2,3,4}，则A⊆(A∪B)，
所以a∈(A∪B)且由互异性知 ，
则有 或 或 ，
所以实数 取值的集合是 .
2．（2026·陕西西安·三模）已知集合 ， ，若 ，则a的取值集合是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到 ，列出关系式，即可求解.
【详解】因为 ，即 ，结合集合元素的互异性，可得 或 ，解得 或
．
3．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合 ， 且 ，则实数a的取值范
围是_________.
【答案】
【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可.
【详解】解：由 ，则 集合中的所有元素必须属于 集合，
所以 ，即a的取值范围为 .
4．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集 满足： ，都存在 （其中 ），使得 ，则称集合 是 的“理想集”．记集合 ，若集合 是 的“理
想集”，则实数 的取值范围为___________
【答案】
【分析】由题意可知关于b的方程 在 内有解，取 或 ，解方程并结合
零点存在性定理分析求解.
【详解】若集合 是 的“理想集”，
则关于b的方程 在 内有解，
若 ，即 ，
可得 ，解得 或 ，
则 或 ，解得 或 ，所以 ；
若 ，即 ，
令 ， ，
原题意等价于 在 内有零点，
则 ，解得 或 ，
因为 且 ，可得 或 ，
若 ，则 ，且 ， ，
可知 在 内有零点，符合题意；
若 ，则 ，且 ， ，
可知 在 内有零点，符合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合 ， ，若 恰有4个子集，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若 恰有4个子集，则 中恰有2个元素，所以 .
6．（2026·山东烟台·二模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】由 可知 中元素 必属于 ，故 或 ；分别求解后，结合集合元素的互异性排
除 ，最终得 或 ．
【详解】由 ，得 或 ，
若 ，则 ， ，满足 ，
若 ，则 或 ，
时， ， ，满足 ，
时， ，不满足集合元素的互异性，
综上， 或 ．
7．（2026·云南怒江·模拟预测）已知 ，使得不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，
则 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于 的不等式求解即可.
【详解】由 ，可得 且 .
因为 ，所以 ，故不等式的解集为 .
由 是不等式成立的充分不必要条件，可得 是 的真子集，
故 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
8．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合 共有 个三元子集.任意一个三元子集
，定义 .则 __________.
【答案】660
【分析】结合分步乘法计数原理分析可得在三元子集中， 出现的次数为 ，进而求解即可.
【详解】对于集合 中的元素 ，要使 在三元子集 中，
则 可以从1到 这 个元素中任选1个，
可以从 到10这 个元素中任选1个，
根据分步乘法计数原理，
作为三元子集 的中间数出现的次数为
则 .
9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 ， .若集合 中有
且仅有一个元素，则 的所有取值之积为（ ）
A．4 B． C． D．9
【答案】D
【分析】将复数模的条件转化为复平面上的圆，根据两圆相切的充要条件求出 的所有正取值，再计算乘
积即可.
【详解】由 ，则在复平面内，复数 对应的点到点 的距离为 ，
则集合 表示在复平面内，以 为圆心，半径为 的圆；
由 ，若 ， ，不合题意；
若 ，则 ，即 ，此时 ，即 ，不合题意；
故 ，则在复平面内，复数 对应的点到点 的距离为 ，
即集合 表示在复平面内，以 为圆心，半径为 的圆；
由集合 中有且仅有一个元素，则两圆相切，
若两圆相内切，则有 ，解得 （负值舍去）；
若两圆相外切，则有 ，解得 ；
故 的所有取值之积为 .
10．（2026·福建·一模）若实数 使得命题：“ ，使得 ，均有 ”
是假命题，则 的取值范围是___________．
【答案】
【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于 的方程，利用判别式得到关
于 的不等式，最后分 和 两种情况分析，确定 的取值范围.
【详解】由题意可知，原命题的否命题：“ ，使得 ”是真命题．
所以对任意实数 ，方程 都有实数解 ．
故而 对任意固定的实数 都有解．
即关于 的不等式 对任意固定的实数 都有解．
对不等式 分情况讨论：
.若 ,即 .当 时,不等式为 ,对任意 显然有解.
①
当 时,关于 的二次函数 开口向上,
其值域包含正数,故对任意 ,总存在 使得 .所以 符合题意.
.若 ,即 .关于 的二次函数 开口向下,
②其最大值为 .
要使不等式 对任意 都有解,则需要其最大值对任意 都非负,
即 对任意 恒成立,这显然是不可能的.故 不符合题意.
因此， 的取值范围是 ．
故答案为：
