第41 讲统计（知识清单+14 典例精讲+方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
抽样方法、统计图表分析
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
分层抽样、频率分布直方图
单选/解答题
5 分/12 分
样本数字特征、统计案例
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
众数、中位数、平均数与频率直方图
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
系统抽样、茎叶图
单选/多选/填
空/解答题
5 分/6 分/12
分
频率分布表、样本均值与方差
单选/多选/填
空/解答题
5 分/6 分/12
分
【知识点01】总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应
指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称
样本量.
【例1】为调查某高中2000 名高一学生的身高情况，随机抽取100 名学生测量身高，指出该调查中的总体、个体、
样本、样本容量。
解：步骤1：确定研究核心
本次调查的研究对象是：高一学生的身高，而非学生本身。
步骤2：逐一界定概念
1. 总体：该高中2000 名高一学生的身高全体；
2. 个体：该高中每一名高一学生的身高；
3. 样本：抽取的100 名高一学生的身高；
4. 样本容量：100（纯数字，无单位）。
易错提醒：样本容量是数量，不带单位，区别于样本
【知识点02】简单随机抽样
抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
【例2】已知总体容量为80，采用简单随机抽样抽取容量为8 的样本，求每个个体被抽到的概率。
解：步骤1：明确已知量
总体容量N =80，样本容量 n=8。
步骤2：代入概率公式
P = n
N = 8
80 = 1
10
最终答案：每个个体被抽到的概率为 1
10
【知识点03】分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独
立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，
每一个子总体称为层.
【例3】某学校高一、高二、高三学生分别为400 人、300 人、300 人，现采用分层随机抽样抽取100 人的样本，求
各年级抽取的人数。
解：步骤1：计算总体容量与抽样比
总体容量：N = 400+300+300=1000
抽样比：k = 100
1000 = 1
10
步骤2：分层计算抽取人数
高一：400× 1
10 = 40 人
高二：300× 1
10 =30 人
高三：300× 1
10 =30 人
最终答案：高一40 人，高二30 人，高三30 人
【知识点04】统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图.
【例4】已知一组数据分组区间为[2,4)，组距为2，该区间 频率
组距=0.08，求该组数据的频率。
解：步骤1：代入频率计算公式
频率=组距×频率
组距=2×0.08=0.16
最终答案：该组频率为 0.16
【知识点05】百分位数
一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少
有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
【例5】已知数据：2,3,5,6,8,9，求该组数据的50 百分位数（中位数）。
解：步骤1：数据排序
原数据已排序，数据个数 n=6。
步骤2：计算指数
i=6×50 % =3，为整数。
步骤3：求解百分位数
取第3 项和第4 项数据的平均值：5+6
2
=5.5
最终答案：50 百分位数为 5.5
【知识点06】平均数、中位数和众数
(1)平均数：x＝1
n(x1＋x2＋…＋xn).
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中
间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
【例6】求数据1,2,2,3,4的平均数、中位数、众数。
解：步骤1：计算平均数
x = 1+2+2+3+ 4
5
= 12
5 =2.4
步骤2：确定中位数
数据共5 个（奇数），排序后第3 个数为中位数，即 2。
步骤3：确定众数
数据2出现次数最多，众数为 2。
最终答案：平均数2.4，中位数2，众数2
【知识点07】方差和标准差
(1)方差：s2＝1
n
n
Σ
i=1
(xi－x)2或1
n
n
Σ
i=1
xi
2－x
2.
(2)标准差：s＝❑
√
1
n
n
Σ
i=1
( xi- x)
2.
【例7】求样本数据1,3的方差与标准差。
解：步骤1：计算平均数
x = 1+3
2
=2
步骤2：计算样本方差
s
2= 1
2 [(1-2)
2+(3-2)
2]= 1
2 (1+1)=1
步骤3：计算样本标准差
s= ❑√1=1
最终答案：方差1，标准差1
【知识点08】总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y ，则总体方差S2＝1
N
N
Σ
i=1
(Yi－Y
)2.
(2)加权式：如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为
fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝1
N
k
Σ
i=1
fi(Yi－Y )2.
【例8】已知总体数据：2,4,6，求总体方差和总体标准差。
解：步骤1：计算总体均值
μ= 2+ 4+6
3
= 4
步骤2：代入总体方差公式
σ
2= 1
3 [(2- 4)
2+(4 - 4)
2+(6- 4)
2]= 1
3 (4+0+ 4)= 8
3 .
步骤3：计算总体标准差
σ = ❑√
8
3 = 2❑√6
3
最终答案：总体方差8
3，总体标准差2❑√6
3
【题型一】简单随机抽样
【例1】已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1 天去一次，乙每隔2 天去一次，丙每隔3 天去一次.
若2 月14 日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（ ）
A．2 月25 日
B．2 月26 日
C．2 月27 日
D．2 月28 日
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用列举法列出甲、乙、丙从2 月14 日开始的去锻炼的日期即可作答.
【详解】甲去的时间：2 月14 日，2 月16 日，2 月18 日，2 月20 日，2 月22 日，2 月24 日，2 月26 日，2 月28 日，
乙去的时间：2 月14 日，2 月17 日，2 月20 日，2 月23 日，2 月26 日，
丙去的时间：2 月14 日，2 月18 日，2 月22 日，2 月26 日，
所以下一次共同去锻炼的日期是2 月26 日.
故选：B
【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前n个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产
的零件以n个为一箱，成箱出售（n∈N
*）.每箱中的零件按照生产顺序，从1 到n连续编号.现从一箱中随机抽取6 个
零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4 个选项中，作为n的估计值，最合适的
一项是（ ）
A．61
B．70
C．98
D．120
【答案】B
【分析】根据统计估计计算求解.
【详解】根据已知从1 到n连续编号.现从一箱中随机抽取6 个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，
38，55，60，
则60
6 = n
7 ，所以n=70.
【变式2】某校高一共有10 个班，编号分别为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3 个班进行调查，设高一
（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则a=___________；b=___________.
【答案】 3
10/0.3 3
10/0.3
【分析】利用简单随机抽样的等可能性，即得解
【详解】由简单随机抽样的定义，知每个个体被抽到的可能性相等，
故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均为3
10．
故a= 3
10 ,b= 3
10
故答案为：3
10 , 3
10
【变式3】假设要考查某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500 支疫苗中抽取50 支进行检验，利用随机数
表抽取样本时，先将500 支疫苗按000，001，…，499 进行编号，如果从随机数表第7 行第8 列的数开始向右读，请
写出第3 支疫苗的编号______．
（下面摘取了随机数表第7 行至第9 行）
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
【答案】068
【分析】由题目给出的随机数表，按照读取随机数表的方法读取编号，可得答案．
【详解】从随机数表第7 行第8 列的数开始向右读，编号分别为331，455，068，
则第3 支疫苗的编号为068，
故答案为：068．
【题型二】系统抽样
【例1】某印刷厂为了保证图书的印刷质量，将每批次印刷出来的图书排放整齐，每隔20 本检查一下其封面和内文
的质量情况，则这样的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．系统抽样
C．分层抽样
D．以上三种方法都有
【答案】B
【分析】根据总体中个体数量较多，且分布均匀，抽取样本的间隔相等这些特点，判断是系统抽样．
【详解】从印刷出来的图书中，每隔20 本检查一下其封面和内文的质量情况，
这样的抽样方法为系统抽样.
故选：B
【点睛】本题考查了系统抽样的应用，属于基础题．
【变式1】某学校为响应“平安出行号召”，拟从2019 名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方
法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率
A．不全相等
B．均不相等
C．都相等，且为1
40
D．都相等，且为50
2019
【答案】D
【分析】先用简单随机抽样的方法剔除，剩下的再按系统抽样的抽取，故可得结论．
【详解】根据题意，先用简单随机抽样的方法从2019 人中剔除19 人，个体不被剔除的概率为2000
2019
则剩下的再按系统抽样的抽取时，每人入选的概率为50
2000，由相互独立事件的概率知每人入选概率为
2000
2019 × 50
2000 = 50
2019
故选D．
【点睛】本题考查系统抽样和简单随机抽样，等可能事件的概率，考查抽样方法，明确每个个体的等可能性是关键,是
基础题
【变式2】（2026·山东·一模）计划从560 袋某品牌食品中抽取8 袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他
们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1 个号码段中抽出的编号应是______．
【答案】60
【分析】由系统抽样操作步骤即可求解.
【详解】由560÷8=70，可知每组70 袋，且抽出的编号间距为70，
又550 为第8 组数据，
所以第一个号码段抽出的编号为550-70×7=60，
故答案为：60
【变式3】（2024·山东·二模）某中职学校计划从300 名学生中抽取30 名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为
此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽
取的号码应是______.
【答案】46
【分析】根据系统抽样的特征即可求解.
【详解】由题意可知，抽取的间距10，第一组抽取的数据是6，故接下来抽取的数据分别为16，26，36，46，......
故第五个号码段中抽取的号码应是46
故答案为：46
【题型三】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有3000名学生，为统计三校学
生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为74的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A．20人，24人，30人
B．30人，24人，20人
C．24人，30人，20人
D．20人，30人，24人
【答案】A
【详解】因为2000:2400:3000=10:12:15，所以甲校应抽取
10
10+12+15 ×74 =20，
乙校应抽取
12
10+12+15 ×74 =24，丙校应抽取
15
10+12+15 ×74 =30.
【变式1】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方
法作抽样调查，拟从高一高二高三三个年级中共抽取
､
､
87 名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校
高一高二高三年级学生人数分别为
､
､
600,580, x，则（ ）
A．x =560
B．从高一年级中抽取的学生人数为30
C．从高二年级中抽取的学生人数为27
D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是1
3
【答案】AB
【详解】A 选项，根据分层抽样，
x
600+580+ x = 28
87 ，解得x =560，正确；
B 选项，从高一年级中抽取的学生人数为600
560 ⋅28=30，正确；
C 选项，从高二年级中抽取的学生人数为580
560 ⋅28=29≠27，错误；
D 选项，从全校中任选一人，此人是高三学生的概率P= 28
87 ≠1
3，错误．
【变式2】（2026·山西太原·二模）一支田径队有男运动员56 人，女运动员35 人，按性别分层，采用样本量比例分
配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________.
【答案】10
【详解】解：根据题意男、女运动员的比例为56:35=8:5，
所抽样本中男运动员的人数为16，
则该样本中女运动员的人数为16× 5
8 =10．
【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）2023 年被称为交互式AI元年.人工智能是今年的一大焦点，因为它的发展方
式很快就变得无处不在，并像电子邮件流媒体或任何其他曾经是未来主义现在成为日常的技术一样融入到我们的生
､
､
活中.公众反复讨论生成式人工智能对社会协作方式的影响.中学生是祖国科技发展之光，为了激发中学生对科技创新
的兴趣，现调查了某重点中学生高一年级学生对AI的了解情况.调查问卷主要设置了AI在以下六个方面的应用：传媒､
机器人办公医药自动驾驶军事
､
､
､
､
.已知该学校高一年级共600 人，随机选取30 名学生（其中男生16 人，女生14
人）做了一次调查，结果显示：对AI有较多了解的男生有12 人，女生8 人，其他均表示了解较少.其中表示有较多了
解的学生最感兴趣的应用领域具体人数情况如下表：
性别
传媒
机器人
办公
医药
自动驾驶
军事
男
1
4
2
1
3
1
女
3
2
2
0
1
0
(1)估计该学校高一年级对AI有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数；
(2)现学校从对机器人最感兴趣的这6 名学生中抽取2 名到某机器人基地研学，求参加机器人基地研学的至少有一名女
生的概率.
【答案】(1)120 人；(2)3
5.
【分析】（1）根据样本数据计算出频率，即可估计人数；
（2）记男生的4 人分别为A ,B ,C , D，女生的2 人分别为e，f ，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概
率公式及对立事件的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意样本中对AI有较多了解的频率为12+8
30
= 2
3，
对AI有较多了解的学生最感兴趣的应用领域为机器人的频率为2+ 4
20 = 3
10，
所以该学校高一年级对AI有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数约为600× 2
3 × 3
10 =120人.
（2）记男生的4 人分别为A ,B ,C , D，女生的2 人分别为e，f ，
从这6人中选取2人，基本事件是AB , AC , AD ,BC ,BD ,CD , A e, Af ,Be ,Bf ,Ce ,Cf , De , Df ,ef 共15 种，
这2人都是男生的事件是AB , AC , AD ,BC ,BD ,CD共6 种，
故所求概率P=1- 6
15 = 3
5.
【题型四】分层抽样的概率
【例4】（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为m(m≥3,m∈N )的总体中抽取一个容量为3 的样本，当选取简单随
机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是1
5，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个
体被抽中的可能性是（ ）
A．1
5
B．1
4
C．1
2
D．1
3
【答案】A
【分析】由简单随机和随机抽样，每个个体被抽中的概率相等的特点可得答案．
【详解】
随机抽样每个个体被抽到的概率相等，
选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为1
5，
故选：A
【变式1】已知某民营车企1 月份生产了A，B，C 三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，150.现用分层抽
样的方法从中随机抽取16 台车进行安全测试，则某一台B 型号的新能源汽车被抽取的概率为_______.
【答案】1
30
【解析】根据分层抽样的概率，即可容易求得.
【详解】由题可知，B型车辆与每一台新能源汽车被抽取的概率均相等，
则其概率P =
16
120+210+150 = 1
30.
故答案为：1
30.
【点睛】本题考查分层抽样的概率计算，属基础题.
【变式2】某省数学学业水平考试成绩共分为A、B、C、D四个等级，在学业水平考试成绩分布后，从该省某地区
考生中随机抽取60名考生，统计他们的数学成绩，部分数据如下：
等级
A
B
C
D
频数
24
12
频率
0.1
（1）补充完成上述表格的数据；
（2）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这60名考生中抽取10名.在这10名考生中，从成绩为A等和B等的所有考
生中随机抽取2名，求至少有1名成绩为A等的概率.
【答案】(1)见解析(2) P= 6
7
【分析】（1）根据频率=
频数
样本容量，即可求出相应数据；
（2）用分层抽样可得A、B 分别抽取到的人数为4 人、3 人，列举可得总的基本事件共21 个，由概率公式可得.
【详解】（1）
等级
A
B
C
D
频数
24
18
12
6
频率
0.4
0.3
0.2
0.1
（2）成绩为A等的考生应抽24
60 ×10= 4名，分别记为A1，A2，A3，A4，
成绩为B等的考生应抽18
60 ×10=3名，分别记为B1，B2，B3，
从这7名中抽取2名，有如下21种抽法：
A1 A2，A1 A3，A1 A4，A1B1，A1B2，A1B3；A2 A3，A2 A4，A2B1，A2B2，A2B3；A3 A4，A3 B1，A3 B2，
A3 B3；A4 B1，A4 B2，A4 B3，B1B2，B1B3；B2B3.
其中至少有1名成绩为A等的有如下18种抽法：
A1 A2，A1 A3，A1 A4，A1B1，A1B2，A1B3；A2 A3，A2 A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3 A4，A3 B1，A3 B2，
A3 B3；A4 B1，A4 B2，A4 B3.
∴至少有1名成绩为A等的概率为P = 18
21 = 6
7 .
【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题.
【变式3】4 月23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，
采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12 名学
生参加问卷调查．各组人数统计如下：
小组
甲
乙
丙
丁
人数
1
2
9
6
9
（1）从参加问卷调查的12 名学生中随机抽取2 人，求这2 人来自同一个小组的概率；
（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2 人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和数
学期望．
【答案】（1）13
66 （2）见解析， 4
3
【解析】（1）采用分层抽样的方法甲组抽取4 人，乙组抽取3 人，丙组抽取2 人，丁组抽取3 人，从参加问卷调查的
12 名学生中随机抽取2 人，基本事件总数为C12
2 =66，这两人来自同一小组取法共有C 4
2+2C3
2+C2
2=13，由此可求出
所求的概率；
（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2 人，而甲、丙两个小组学生分别有4 人和2 人，所以抽取的两
人中是甲组的学生的人数X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期
望.
【详解】（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人），
从参加问卷调查的12 名学生中随机抽取两名的取法C12
2 =66共有（种），
抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C 4
2+2C3
2+C2
2=13（种），
所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P = 13
66
（2）由（1）知，在参加问卷调查的12 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4 人、2 人，所以，抽取的两
人中是甲组的学生的人数X的可能取值为0，1，2,
因为P( X =0)= C4
0C2
2
C6
2
= 1
15
P( X =1)= C4
1C2
1
C6
2
= 8
15
P( X =2)= C4
2C2
0
C6
2
= 6
15
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
P
1
15
8
15
6
15
所求X的期望为0× 1
15 +1× 8
15 +2× 6
15 = 4
3
【点睛】此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查分层抽样、古典概型、排列组
合等知识，考查运算能力，属于中档题.
【题型五】条形统计图、折线统计图、扇形统计图
【例5】（2024·四川乐山·三模）为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取
30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1 和图2 所示，则样本容量和抽取的二年
级学生中满意的人数分别为（ ）
A．800，360
B．600，108
C．800，108
D．600，360
【答案】B
【分析】由扇形图求出三个年级的学生总人数，进而求出样本容量，求出抽取的二年级学生人数，再结合二年级学生
的满意率求解.
【详解】由扇形图可知，三个年级的学生总人数为400+600+1000=2000人，
所以样本容量为2000×30％=600人，
因为抽取的二年级学生人数为600×30％=180人，
所以抽取的二年级学生中满意的人数为180×60％=108人.
故选：B
【变式1】（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025 年1 月到11 月甲，乙两个车间的产量（单位：百万
件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（ ）
A．乙车间产量的中位数为6 月份的产量
B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差
C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值
D．甲车间产量的第80 百分位数大于乙车间产量的第80 百分位数
【答案】D
【详解】一共11 个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第11+1
2
=6个数据，
对乙车间产量排序后，第6 个数据是5月份的产量，不是6 月份，A 错误；
甲车间产量极差约为4.3-2.2=2.1，乙车间产量极差约为4.1-0.9=3.2，甲的极差小于乙的极差，B 错误；
观察折线图，除9 月、10 月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C
错误；
第80 百分位数为11×80 % =8.8，根据百分位数计算可知第80 百分位数是排序后的第9 个数据，
从小到大排序后，甲的第9 个数据约为3.85，乙的第9 个数据约为3.6，甲的第80 百分位数大于乙，D 正确.
【变式2】（2025·河南·模拟预测）（多选）2024 年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无
论是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图
所示，则（ ）
A．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长
B．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25 百分位数为24393 亿元
C．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为6.3 %
D．2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数超过10 %
【答案】ACD
【分析】通过分析条形图可直接判断B，根据百分位数的求解方式可得第25 百分位数为2021 年的经费支出可判断B
错误；由折线图可计算经费支出增长速度的极差确定C；计算出增长速度的平均数即可判断D.
【详解】本题考查统计，考查数据分析的核心素养.
2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长，A 正确.
5×0.25=1.25,2020至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25 百分位数为27956 亿元，B 错误.
2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为14.6 % -8.3 % =6.3 %，C 正确.
2020 至2024 年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数为
1
5 ×(10.2%+14.6 %+10.1%+8.4 %+8.3 %)=10.32%>10 %，D 正确.
故选：ACD.
【变式3】“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展
了新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品A，B，C的开发.
（1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100 名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图.若
饮品A的百件利润为400 元，饮品B的百件利润为300 元，饮品C的百件利润为700 元，请估计三种饮品的平均百件利
润；
（2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为4
5 ，
开发新饮品成功的概率为1
3，且工艺改进与饮品研发相互独立；
（ⅰ）求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；
（ⅱ）若工艺改进成功则可为企业获利80 万元，不成功则亏损30 万元，若饮品研发成功则获利150 万元，不成功则
亏损70 万元，求该企业获利ξ的数学期望.
【答案】（1）415 元；（2）（ⅰ）3
5；（ⅱ）184
3 .
【分析】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品A、选择饮品B、选择饮品C的频率，从而可计算总体的百件利润
平均值.
（2）（ⅰ）设饮品工艺改进成功为事件A，新品研发成功为事件B，事件M为工艺改进和新品研发恰有一项成功，
则P(M )= P( A B)+ P(B A)，从而可计算工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率.
（ⅱ）求出ξ的分布列后可求ξ的数学期望.
【详解】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品A的频率为35
100 =0.35，
选择饮品B的频率为45
100 =0.45，
选择饮品C的频率为20
100 =0.20；
由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品A的概率为35
100 =0.35，
选择饮品B的概率为45
100 =0.45
选择饮品C的概率为20
100 =0.20；
则可以得到总体的百件利润平均值为400×0.35+300×0.45+700×0.20= 415元.
（2）（i）设饮品工艺改进成功为事件A，新品研发成功为事件B，
依题意可知事件A与事件B相互独立，
事件M为工艺改进和新品研发恰有一项成功.
则P(M )= P( A B)+ P(B A)= 1
5 × 1
3 + 4
5 × 2
3 = 3
5.
（ⅱ）由题意知企业获利ξ的取值为-100，10，120，230，
则P(ξ =-100)= 1
5 × 2
3 = 2
15，P(ξ =10)= 4
5 × 2
3 = 8
15，
P(ξ =120)= 1
5 × 1
3 = 1
15，P(ξ =230)= 4
5 × 1
3 = 4
15.
故ξ的分布列如下：
ξ
-100
10
120
230
P
2
15
8
15
1
15
4
15
所以E (ξ)=-100× 2
15 +10× 8
15 +120× 1
15 +230× 4
15 = 184
3 .
【点睛】本题考查条形图的应用以及独立事件的概率公式的应用，还考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，本
题属于中档题.
【题型六】频率分布表
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）在2024年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经6场比赛，勇夺巴黎奥运会
女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有2000名学生，一机构在该校随机抽取了800名学生对郑钦文
奥运会期间6场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下：
观看场次
0
1
2
3
4
5
6
观看人数占调查
人数的百分比
15 %
5 %
5 %
m %
10 %
15 %
4 m %
从表中数据可以得出的正确结论为（ ）．
A．表中m的数值为15
B．观看场次不超过3场的学生的比例为30％
C．估计该校观看场次不超过2场的学生约为400人
D．估计该校观看场次不低于4场的学生约为1300人
【答案】D
【分析】对于A，根据数据百分比的和为1可以计算出m的值；对于B，计算出观看场次为1、2、3、4场的百分比和
即可得出所求比例；对于C、D，分别计算出符合问题的百分比和，再乘以总人数，即可求得结果.
【详解】由表可知，15％＋5％＋5％＋m％＋10％＋15％+ 4 m % =1，
解得m=10，选项A 错误；
观看场次不超过3场的学生的比例为15％+5％+5％+10％=35％，选项B 错误；
观看场次不超过2场的学生的比例为15％+5％+5％=25％，
则观看场次不超过2场的学生约为2000×25 % =500人，选项C 错误；
观看场次不低于4场的学生的比例为10％+15％+ 40％=65％，
则观看场次不低于4场的学生约为2000×65 % =1300人，选项D 正确．
故选：D
【变式1】（多选）在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000 名学生收看比赛的情况用随机
抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：
观看场数
0
1
2
3
4
5
6
7
观看人数占调查人数的百分
比
8%
10%
20%
26%
m%
12%
6%
2%
从表中可以得出正确的结论为（ ）
A．表中m 的数值为16
B．估计全年级观看比赛低于4 场的学生约为32 人
C．估计全年级观看比赛不低于4 场的学生约为360
D．估计全年级观看比赛场数的众数为2
【答案】AC
【分析】由频率分布表的性质，求出m=16；先由频率分布表求出观看比赛不低于4 场的学生所占比率，由此估计观
看比赛不低于4 场的学生人数；根据频率分布表读出众数．
【详解】解：由频率分布表的性质，得：
m=100-8-10-20-26-12-6-2=16，故A正确；
∵观看比赛低于4 场的学生所占比率为：8 %+10 %+20 %+26 % =64 %，
∴估计观看比赛低于4 场的学生约为：1000×64 % =640人，故B错误，
∵观看比赛不低于4 场的学生所占比率为：16 %+12%+6 %+2% =36 %，
∴估计观看比赛不低于4 场的学生约为：1000×36 % =360人，故C正确，
出现频率最高的为3．故估计全年级观看比赛场数的众数为3，故D错误；
故选：AC．
【变式2】将一个样本容量为50的样本数据分组如下：[10,20)，[20,30)，[30,40)，[ 40,50)，[50,60]，其中样本
数据在[10,20)和[ 40,50)内的频率之和为0.7，[20,30)，[30,40)对应的频数分别为4，5，则样本数据在[50,60]内
的频数为___________.
【答案】6
【分析】根据频率之和为1进行列式，结合频率和频数的关系求得样本数据在[50,60]内的频数.
【详解】由题可得，样本数据在[20,30)，[30,40)，[50,60]内的频率之和为1-0.7=0.3，又[20,30)，[30,40)对应
的频数分别为4，5，所以样本数据在[50,60]内的频数为50×0.3- 4 -5=6.
故答案为：6
【变式3】某校 1 200 名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为 100 分），为了分析这次数学测验的成绩，
从这1200 人的数学成绩中随机抽取200 人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：
成绩分组
频数
频率
平均分
[0,20)
3
0.015
16
[20,40)
a
b
32.1
[40,60)
25
0.125
55
[60,80)
c
0.5
74
[80,100)
62
0.31
88
(1)求 a，b，c 的值；
(2)如果从这1200 名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60 分及 60 分以上为及
格）.
【答案】(1)a=10,b=0.05,c =100
(2)0.81
【分析】（1）根据统计图中数据分析得到a，b，c 的值；
（2）计算出抽取的200 人的成绩中，数学测验及格的频率，从而估计出这名学生该次数学测验及格的概率.
【详解】（1）c
200 =0.5，解得c =100，
故a=200-3-25-100-62=10，b= 10
200 =0.05，
（2）抽取的200 人的成绩中，数学测验及格的频率为0.5+0.31=0.81，
故估计这名学生该次数学测验及格的概率P =0.81.
【题型七】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
【例7】（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100 名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100 名学生每月阅
读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100 名学生中随机抽取1 名学生，该学生每月阅读课
外书数量不少于4 本的概率为（ ）
A．0.15
B．0.25
C．0.4
D．0.6
【答案】C
【详解】从频率分布条形图中可得：阅读课外书为4 本的频率是0.25，
阅读课外书为5 本的频率是0.15.
每月阅读课外书数量不少于4 本，包含阅读4 本和阅读5 本两种情况.
总频率为0.25+0.15=0.4.
由频率估计概率，可知该学生每月阅读课外书数量不少于4 本的概率为0.4.
【变式1】（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100 个，测量其直径（单位：mm），将
所得数据分为5 组：[4.98,5.08),[5.08,5.18),[5.18,5.28),[5.28,5.38),[5.38,5.48]，并整理得到频率分布直方图如
图，记这100 个零件的直径的中位数为a，平均数为b，极差为c，众数为m，则（ ）
A．a≥5.18
B．b<5.28
C．c≤0.5
D．m>5.28
【答案】ABC
【详解】由图可知，这5 组的频率依次为0.1,0.2,0.35,0.3,0.05，
则这5 组的频数依次为10,20,35,30,5，
将这100 个零件的直径数据从小到大排序，
第31 个数大于或等于5.18，第65 个数小于5.28，第50 与第51 个数之和为2a，
所以a≥5.18，故A 正确；
若每个区间中的数都取最大值，
平均数b< 5.08×10+5.18×20+5.28×35+5.38×30+5.48×5
100
=5.28，故B 正确；
极差是最大数减去最小的数，所以c≤5.48- 4.98=0.5，故C 正确；
众数是指这100 个数中，相等的数的个数最多的那个，
而在[5.28,5.38)中最多有30 个数相等，[5.18,5.28)中最多有35 个数相等，
则众数m<5.28，D 错误.
【变式2】（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100 辆该商场到
访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：
则样本中停车时长在区间(400,500]上的车辆数为______辆.
【答案】3
【分析】利用频率直方图中频率之和为1 求得(400,500]的频率，进而求得(400,500]的频数，从而得解.
【详解】依题意，设(400,500]的频率为x，
则(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034)×100+ x =1，解得x =0.03，
所以样本中停车时长在区间(400,500]上的车辆数为100×0.03=3.
故答案为：3.
【变式3】（2024·四川成都·三模）某手机生产厂商要生产一款5G 手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺
寸进行社会调查，共调查了400 人，将这400 人按对手机屏幕的需求尺寸分为6 组，分别是：[5.0,5.5)，[5.5,6.0)，
[6.0,6.5)，[6.5,7.0)，[7.0,7.5)，[7.5,8.0)（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在
[5.5,6.0)的一组人数为50 人.
(1)求a和b的值；
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为[5.0,5.5)和[7.0,7.5)两组人中抽取6 人参加座谈，并在6 人中选择2 人做代表
发言，则这2 人来自同一分组的概率是多少？
【答案】(1)a=0.65，b=0.25
(2) 7
15
【分析】（1）可求得在[5.5,6.0)的一组的50
400 =0.125，可求b，利用概率和为1，可求得a；
（2）由已知可求得屏幕需求尺寸为[5.0,5.5)的人数与屏幕需求尺寸为[7.0,7.5)的人数，可求得在每组各抽了多少人，
利用古典概型概率公式计算可得2 人来自同一分组的概率.
【详解】（1）因为屏幕需求尺寸在[5.5,6.0)的一组人数为50 人，
所以其频率为50
400 =0.125.又因为组距为0.5，所以b= 0.125
0.5 =0.25.
又因为(0.1+0.25+0.7+a+0.2+0.1)×0.5=1，所以a=0.65，
即a=0.65，b=0.25.
（2）因为屏幕需求尺寸为[5.0,5.5)人数为：0.1×0.5×400=20，
屏幕需求尺寸为[7.0,7.5)人数为0.2×0.5×400= 40，
若要用分层抽样的方法抽取6 人
所以要在[5.0,5.5)组中抽2 人，设为x，y；
要在[7.0,7.5)组中抽4 人，设a，b，c，d，
因此样本空间Ω={(x , y),(x ,a),(x ,b),(x ,c),(x ,d),
( y ,a)，( y ,b)，( y ,c)，( y ,d)，(a,b)，(a,c)，
(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c ,d)}，共15 个基本事件，
而这2 人来自同一分组为事件A，
A ={(x , y),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c ,d)}，共7 个基本事件，
所以这2 人来自同一分组的概率P( A)= 7
15.
【题型八】频率分布直方图的实际应用
【例8】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行
居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t），用水量不超过a 的部分按平价收费，超出a 的
部分按议价收费，如果当地政府希望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a 的数值，
政府采用抽样调查的方式，绘制出100 位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本数据
来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a 大约为（ ）
A．2.4
B．2.6
C．2.8
D．3.2
【答案】B
【分析】由直方图易知：a∈[2.5,3) ，由题意列出方程0.2×(a-2.5)=0.8-0.78，由此就可以求出月均用水量的
最低标准.
【详解】前5 组的频率之和为(0.12+0.20+0.30+0.44+0.50)×0.5=0.78<0.8
前6 组的频率之和为(0.12+0.20+0.30+0.44 +0.50+0.20)×0.5=0.88>0.8
2.5≤a<3 ，由0.2×(a-2.5)=0.8-0.78 ，解得a=2.6
故选：B
【变式1】（多选）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举
措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000 名学生中随机抽取100 名学生，将其前后两次联考成绩(满分150 分)分
别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．m=0.02
B．估计该年级第二次联考成绩在130 分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10 人
C．第二次联考学生的成绩波动更小
D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加
【答案】BCD
【分析】由频率和为1 列方程求参数判断A；再根据两次联考对应的直方图分析B、C、D 的正误.
【详解】因为20m+0.3+0.15+0.05+0.05=1，所以m=0.0225，A 错误．
因为第一次联考成绩在130 分以上的学生人数大约占5 %，
第二次联考成绩在130 分以上的学生人数大约占6 %，
所以增加1%，则增加的学生人数为10，B 正确．
第一次联考成绩集中于70～110 分的学生人数占比为75 %，
第二次联考成绩集中于90～130 分的学生人数占比为84 %，
第二次联考成绩数据更集中，所以方差更小，C 正确．
第一次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为35 %，在[110,150]内的学生人数占比为20 %，
第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数占比为10 %，在[110,150]内的学生人数占比为46 %，D 正确．
故选：BCD
【变式2】我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市
试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超
过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100 位居民某年的月用水量（单位：
吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),⋯[4,4.5]分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的
居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值为__________．
【答案】2.9
【分析】先建立方程求解得a=0.30，再判断x的取值范围2.5≤x<3，最后建立方程求解得x =2.9.
【详解】解：由题意：(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1，解得a=0.30，
因为前6 组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85，前5 组的频率之和为
(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
所以0.3×(x -2.5)=0.85-0.73，解得x =2.9，
因此，估计月用水量标准为2.9 吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
故答案为：2.9
【点睛】本题考查补全频率分布直方图、根据频率分布直方图估值，是基础题.
【变式3】（2026·江西新余·二模）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化
知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：¿，绘制了如下的频率分布
直方图．
(1)求a的值；
(2)若参赛学生共有2000 名，估计其中成绩小于70 分的人数；
【答案】(1)0.035
(2)1100
【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得答案.
（2）先求出成绩小于70 分的频率，根据总人数，即可得答案.
【详解】（1）由频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，
可得(0.005+0.025×2+a+0.01)×10=1，解得a=0.035.
（2）由图象可得，成绩小于70 分的频率为(0.005+0.025×2)×10=0.55，
则成绩小于70 分的人数为2000×0.55=1100.
【题型九】计算几个数的众数、中位数、平均数
【例9】（2026·福建漳州·三模）样本数据5,8,8,9,9,9的众数为（ ）
A．4
B．8
C．8.5
D．9
【答案】D
【详解】因为样本数据中9出现的次数最多，所以该样本数据的众数为9．
【变式1】（2026·湖南长沙·三模）一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【详解】数据共5 个，从小到大排列后中间第3 个数为7，即中位数是7.
【变式2】（2026·陕西·二模）中山大学X 同学参加了今年3 月组织的考研复试测试，共有5 名考官打分，如果去掉
一个最高分和最低分，则X 同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X 同学的平均成绩为96.6；如果仅去
掉一个最高分，则X 同学的平均成绩为94 分．如果5 位考官的成绩都保留，则X 同学的平均分为_____．
【答案】95
【详解】设5 名考官打分由高到低的排列为a,b,c ,d ,e，
因为去掉一个最高分和最低分，X 同学的平均成绩为95.8，
所以b+c +d =3×95.8=287.4 (1)，
因为仅去掉一个最低分，X 同学的平均成绩为96.6，
所以a+b+c +d = 4×96.6=386.4 (2)，
因为去掉一个最高分，X 同学的平均成绩为94 分，
所以b+c +d +e = 4×94 =376(3)，
(2)-(1)，得a=99，
(3)-(1)，得e =88.6，
X 同学的平均分为a+b+c +d +e
5
= 99+287.4+88.6
5
=95.
【变式3】某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用
电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15 天的数据作为样本，得到如图所示的统计表.若日用电量不
低于200 度，则称这一天的用电量超标.
分组
[170,180)
[180,190)
[190,200)
[200,210]
频数
3
6
3
3
(1)估计该企业日用电量的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）
(2)用分层抽样的方法从日用电量在[180,190)和[200,210]内的数据中抽取6 天的日用电量数据，再从这6 个数据中随
机抽取2 天的日用电量数据，求这2 天中至少有1 天的日用电量超标的概率.
【答案】(1)189（度）(2)3
5
【分析】（1）根据平均数公式进行求解即可；
（2）利用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】（1））估计该企业日用电量的平均值为：
x = 175×3+185×6+195×3+205×3
15
=189（度）.
（2）由题意可知应从日用电量在[180,190)内的数据中抽取6×
6
6+3 = 4个，记为a，b，c，d，
从日用电量在[200,210]内的数据中抽取6×
3
6+3 =2个，记为e，f .
从这6 个数据中随机抽取2 天的日用电量数据的情况有ab，ac，ad，ae，af ，bc，bd，be，bf ，cd，ce，cf ，de，
df ，ef ，共15 种；
其中符合条件的情况有ae，af ，be，bf ，ce，cf ，de，df ，ef ，共9 种.故所求概率P = 9
15 = 3
5.
【题型十】由频率分布直方图估计中位数、平均数
【例10】如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ）
A．众数=平均数=中位数
B．众数>中位数>平均数
C．众数>平均数>中位数
D．中位数>平均数>众数
【答案】B
【详解】平均数受极端值影响，中位数，众数不受极端值影响，
由于图象“左拖尾”，众数最大，平均数小于中位数，B 项满足.
【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80 名学生，其数学成绩
（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1）
【答案】73.3
【详解】根据频率分布直方图：前三个矩形频率和为(0.005+0.015+0.020)×10=0.4，
设中位数为x，则x -70
10
×0.3=0.5-0.4，解得x =73.3.
所以中位数为73.3
【变式2】某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100 辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对
测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
估计这100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米．
【答案】300
【分析】由频率分布直方图的意义可求.
【详解】50×(205×0.002+255×0.004+305×0.009+355×0.004+ 405×0.001)=300
故答案为：300
【变式3】藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频
率分布直方图.
(1)求参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)按分层抽样的方法从[70,80)，[80,90)，[90,100]中抽取6 名学生，再从这6 人中，抽取2 人，则求这两人都是在
[70,80)的概率.
【答案】(1)众数为65，中位数为65
(2)1
5
【分析】（1）根据频率分布直方图确定众数与中位数即可；
（2）根据古典概型求解基本事件总数与所求事件总数即可得答案.
【详解】（1）由题图可知众数为65，
因为[50,60)的频率为0.03×10=0.3；[60,70)的频率为0.04×10=0.4；
[70,80)的频率为0.015×10=0.15；[80,90)的频率为0.01×10=0.1；
[90,100]的频率为0.005×10=0.05；
所以设中位数为60+ x，则0.3+ x×0.04 =0.5，解得x =5，所以中位数为60+5=65；
（2）按分层抽样的方法从[70,80)，[80,90)，[90,100]中抽取6 名学生，则分别抽取了3 人，2 人，1 人.
设这6 人分别为A，B，C，D，E，F.
再从其中抽取2 人，这一共有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，
总共15 种情况.
两人都在[70,80)有AB，AC，BC三种情况，
则求这两人都是在[70,80)的概率为1
5.
【题型十一】计算几个数据的极差、方差、标准差
【例11】（2026·湖南株洲·模拟预测）一组数据0，1，3，4，5，6 的极差为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．5
【答案】A
【详解】确定该组数据0，1，3，4，5，6 的最大值为6，最小值为0；
所以极差是 6−0=6， 因此该组数据的极差为6.
【变式1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个
数据3 和9，则剩下的8 个样本数据的方差为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．2
D．11
4
【答案】A
【详解】设原样本为x1,⋯, x8,3,9，则去掉数据后x1,⋯, x8的平均值为6×10-3-9
8
=6，
又(x1-6)
2+⋯+(x8-6)
2+(3-6)
2+(9-6)
2
10
=2，所以(x1-6)
2+⋯+(x8-6)
2=2，
所以去掉数据后x1,⋯, x8的方差为(x1-6)
2+⋯+(x8-6)
2
8
= 1
4
.
【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据x1，x2，…，x15的平均数为6，方差为9．前五个数据x1，x2，
x3，x4，x5的平均数7，方差为6，则后十个数据x6，x7，…，x15的方差是__________．
【答案】9.75
【详解】由题意得，x1+ x2+⋯+ x15
15
=6，x1
2+ x2
2+⋯+ x15
2
15
-6
2=9，
x1+ x2+⋯+ x5
5
=7，x1
2+ x2
2+⋯+ x5
2
5
-7
2=6，
则x1+ x2+⋯+ x15=90，x1
2+ x2
2+⋯+ x15
2 =675，x1+ x2+⋯+ x5=35，
x1
2+ x2
2+⋯+ x5
2=275，
则x6+ x7+⋯+ x15
10
= 90-35
10
=5.5，
则x6
2+ x7
2+⋯+ x15
2
10
-5.5
2= 675-275
10
-5.5
2=9.75，
故后十个数据x6，x7，…，x15的方差是9.75
【变式3】（2024·宁夏银川·三模）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8 次测试成绩
记录如下：
甲：95 82 88 81 93 79 84 78
乙：83 92 80 95 90 80 85 75
(1)哪个工人的成绩较好？
(2)甲、乙成绩位于[ x - s, x + s]内的有多少？
【答案】(1)甲的成绩较好；
(2)4 个，5 个.
【分析】（1）根据给定数据，求出甲乙工人成绩的平均数和方差，再比较大小作答.
（2）求出标准差及指定区间，再观察数据即得.
【详解】（1）甲工人成绩的平均数x1= 1
8 (95+82+88+81+93+79+84+78)=85，
乙工人成绩的平均数x2= 1
8 (83+92+80+95+90+80+85+75)=85，
甲工人成绩的方差s1
2= 1
8 [(95-85)
2+(82-85)
2+(88-85)
2+(81-85)
2+(93-85)
2
+(79-85)
2+(84 -85)
2+(78-85)
2]=35.5，
乙工人成绩的方差s2
2= 1
8 [(83-85)
2+(92-85)
2+(80-85)
2+(95-85)
2+(90-85)
2
+(80-85)
2+(85-85)
2+(75-85)
2]= 41，
显然x1= x2,s1
2<s2
2，所以甲的成绩较稳定，较好.
（2）由（1）知，s1=
❑√s1
2= ❑√35.5≈5.96,s2=
❑√s2
2= ❑√41≈6.40，
甲的成绩位于区间[ x1- s1, x1+ s1]，即[79.04,90.96]内的有4 个，
乙的成绩位于区间[ x2- s2, x2+ s2]，即[78.60,91.40]内的有5 个.
【题型十二】各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响
【例12】（2026·福建龙岩·三模）已知数据：1,2,2,3,3,3,5,5，将这组数据中的每个数值都加上3 后，与原始数据相
比，调整后的数据中不会发生改变的是（ ）
A．方差
B．众数
C．中位数
D．平均数
【答案】A
【分析】设原始数据为xi，新数据为yi，且yi=a xi+b，则y =a x +b,s y
2 =a
2sx
2，根据样本的数字特征的定义和计算
公式分析即可判断.
【详解】原始数据xi：1,2,2,3,3,3,5,5，将这组数据中的每个数值都加上3 后，
新数据yi：4,5,5,6,6,6,8,8，
对于A，由s y
2 =a
2sx
2知s y
2 =1
2×sx
2= sx
2，故A 正确；
对于B，原始数据的众数为3，新数据的众数为6，故B 错误；
对于C，原始数据的中位数为x4+ x5
2
=3，新数据的中位数为y4+ y5
2
=6，故C 错误；
对于D，由y =a x +b知y = x +3，故D 错误.
【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，令yi=2 xi-1，i=1，
2，…，n，则样本数据y1，y2，…，yn的方差为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【详解】由题可知x = 1
n (x1+ x2+⋯+ xn)= 1
n∑
i=1
n
xi，s
2= 1
n [(x1- x)
2+(x2- x)
2+⋯+(xn- x)
2]= 1
n∑
i=1
n
(xi- x)
2=2，
所以y = 1
n∑
i=1
n
yi= 1
n ((2 x1-1)+(2 x2-1)+⋯+(2 xn-1))=2 x -1，yi=2 xi-1，
S
2= 1
n∑
i=1
n
( yi- y)
2= 1
n∑
i=1
n
((2 xi-1)-(2 x -1))
2
= 1
n [(2 x1-1-2 x +1)
2+(2 x2-1-2 x +1)
2+⋯+(2 xn-1-2 x +1)
2]
= 4× 1
n [(x1- x)
2+(x2- x)
2+⋯+(xn- x)
2]= 4×2=8.
【变式2】（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16 的80%分位数是14
B．若数据x1, x2,⋅⋅⋅, xn的平均数为4，则数据3 x1+ 4,3 x2+ 4 ,⋅⋅⋅,3 xn+ 4的平均数为16
C．若数据x1, x2,⋅⋅⋅, x7的平均数为6，方差为9，现又加入3 个数据5，6，7，则这10 个数据的方差为6.5
D．若数据x1, x2,⋅⋅⋅, x9的平均数为7 , x1
2+ x2
2+⋅⋅⋅+ x9
2=501，则x1, x2,⋅⋅⋅, x9的方差为20
3
【答案】BCD
【详解】对于A 项，因为i=10×0.8=8，所以 80% 分位数为14 +16
2
=15，故 A 错误；
对于B 项，因为数据x1, x2,⋅⋅⋅, xn的平均数为4，
则数据3 x1+ 4,3 x2+ 4 ,⋅⋅⋅,3 xn+ 4的平均数为3×4 + 4 =16，故B 正确；
对于C 项，原7 个数据：x1=6，方差s1
2=9，
加入数据 5,6,7 后，新平均数为：x2= 7×6+5+6+7
10
=6，
s2
2=
∑
i=1
7
(xi-6)
2+(5-6)
2+(6-6)
2+(7-6)
2
10
= 7×9+1+0+1
10
=6.5
，故C 正确，
对于D 项，因为x =7,∑
i=1
9
xi
2=501，则方差为s
2= 1
9∑
i=1
9
❑xi
2- x
2= 1
9 ×501-7
2= 20
3 ，故D 正确.
【变式3】（2025·四川泸州·模拟预测）已知数据x1, x2, x3, x4, x5的平均数是4，数据x1
2, x2
2, x3
2, x4
2 , x5
2的平均数是
20，则2 x1-1,2 x2-1，2 x3-1,2 x4-1,2 x5-1的方差为__________.
【答案】16
【分析】先求出数据x1, x2, x3, x4, x5的方差后再利用方差的性质可得新数据的方差.
【详解】数据xi(1≤i≤5)的方差s
2= 1
5(∑
i=1
5
xi
2-5 x
2)= 1
5 (20×5-5×4
2)= 4，
所以数据2 xi-1(i=1,2,3,4,5)的方差为2
2×4 =16.
故答案为：16
【题型十三】用方差、标准差说明数据的波动程度
【例13】（2026·山东青岛·三模）为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5 块地作为试验田，这5 块地的亩产量（单
位：kg）分别为x1，x2，…，x5，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是（ ）
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
【答案】D
【详解】对于A，众数体现的是出现次数最多的数，故A 错误；
对于B，平均数是体现集中趋势的一项指标，故B 错误；
对于C，中位数将数据分为前后两部分，体现的是数据的“中等水平”，故C 错误；
对于D，标准差体现的是数据的离散程度，可以用来评估产量稳定程度，故D 正确.
【变式1】（2026·江苏·三模）在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个
数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（ ）
A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大
B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大
C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大
D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大
【答案】C
【分析】根据进球个数的平均数判断进攻能力强弱，根据标准差判断进球数波动大小．
【详解】因为甲队进球个数的平均数为2.1，乙队进球个数的平均数为1.4，
所以甲队进攻能力比乙队强，
又因为甲队进球个数的标准差为1.1，乙队进球个数的标准差为1.2，
所以乙队进球数波动较大．
【变式2】在2022 年世界技能大赛特别赛上，中国代表团共获得21 枚金牌，名列金牌榜第一.甲､乙两人在准备参选
制造与工程技术项目中进行了6 次比赛，每次的得分如下：
甲
7
7
9
8
6
8
乙
6
8
8
9
10
7
则平均成绩较高的是__________，成绩比较稳定的是__________
【答案】 乙 甲
【分析】根据题意分别计算出甲和乙的平均成绩，可知平均成绩较高的是乙；再计算出两成绩的方差可得甲的成绩比
较稳定.
【详解】计算可得甲的平均成绩为1
6
(7+7+9+8+6+8)=7.5，
乙的平均成绩为1
6
(6+8+8+9+10+7)=8，
因此平均成绩较高的是乙，
甲成绩的方差为s1
2= 1
6 [(7-7.5)
2+(7-7.5)
2+(9-7.5)
2+(8-7.5)
2+(6-7.5)
2+(8-7.5)
2]= 11
12；
乙成绩的方差为s2
2= 1
6 [(6-8)
2+(8-8)
2+(8-8)
2+(9-8)
2+(10-8)
2+(7-8)
2]= 5
3；
显然s1
2<s2
2，即成绩比较稳定的是甲.
故答案为：乙；甲.
【变式3】（2024·陕西渭南·模拟预测）某高中为配合爱国主义教育，开展国防科技知识竞赛，预赛后，将成绩最好
的甲、乙两个班学生（每班都是40 人）的得分情况做成如下的条形图（20 道单项选择题，每题5 分，满分100 分）.
记甲、乙两班学生得分的平均数分别为x1, x2，方差分别为S1
2,S2
2，已求得x1=90,S2
2=33.5 .
(1)分别求出甲、乙两班的学生得分为95 分及以上的频率；
(2)试计算S1
2，并判断哪个班的学生的成绩波动更小.
【答案】(1)0.3，0.425；
(2)S1
2=30，甲班学生的成绩波动更小.
【分析】（1）利用条形图计算频率即可；
（2）利用方差公式计算结合及方差的意义判定即可.
【详解】（1）甲班得分为95 分及以上的学生有8+ 4 =12人，故频率为f 1= 12
40 =0.3；
乙班得分为95 分及以上的学生有13+ 4 =17人，故频率为f 2= 17
40 =0.425 .
（2）因为x1=90，
所以方差
S1
2= 1
40 ×[(80-90)
2×4+(85-90)
2×8+0+(95-90)
2×8+(100-90)
2×4]=30；
显然S1
2<S2
2，所以，甲班学生的成绩波动更小.
【题型十四】总体百分位数的估计
【例14】（2026·河南周口·模拟预测）已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40 百分位数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．12
【答案】A
【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40 百分位数．
【详解】首先将该组数据从小到大排列为：3,7,7,11,13,15，数据总个数n=6，
因为6×0.4 =2.4，
因此该组数据的第40 百分位数为排列后的第3 个数据7．
【变式1】（2026·陕西咸阳·三模）已知样本数据8，12，13，a，17 的第80 百分位数为16，则a=（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17
【答案】B
【详解】因为5×80 % = 4，所以第80百分位数为将数据从小到大排序后的第4 个数与第5 个数的平均数，
经讨论可知，为使第80 百分位数为16，排序后的数据必为8,12,13,a,17，
故有a+17
2
=16，解得a=15.
【变式2】（2026·甘肃张掖·二模）米兰冬季奥运会于2026 年2 月7 日至2 月23 日举行，奖牌榜前10 名金牌数如下：
18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80 百分位数为__________．
【答案】11
【分析】利用百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意得：10×0.8=8，所以这组数据的第80 百分位数为12+10
2
=11.
【变式3】（2024·陕西榆林·一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将100 个样本数据按[30,40),[ 40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分
成6 组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请通过频率分布直方图估计这100 份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30 %的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰
【答案】(1)68.3
(2)估计该市民能得到表彰
【分析】（1）用每组中点值为代表，估算平均值；
（2）估算排名在70 %的成绩，和78比较，得到结论.
【详解】（1）100 份样本数据的平均值为：
x =(35×0.005+ 45×0.010+55×0.010+65×0.020+75×0.032+85×0.023)×10= 68.3
（2）成绩低于70 分的频率为0.45，成绩低于80 分的频率为0.77，
则被表彰的最低成绩为70+ 0.7-0.45
0.32
×10=77.8125<78，
所以估计该市民能得到表彰.
【解题大招01】分层抽样比例速算技巧
技巧原理
分层抽样核心为全程比例相等，总体、各层、样本抽样比完全统一，无需分步求总人数，可直接列比例式速算，规避
分步计算出错。
核心公式
n
N = ni
N i
⇒ni= N i
N ⋅n
式中：N总体容量，n样本容量，N i单层总体数，ni单层抽取样本数
【例1】某单位老、中、青员工人数分别为120、180、240，采用分层抽样抽取容量为18 的样本，求中年员工抽取人
数。
解：步骤1：计算总总体容量
N =120+180+240=540
步骤2：代入分层抽样速算公式
n中年= 180
540 ×18= 1
3 ×18=6
答案：中年员工抽取人数为 6
【解题大招02】频率分布直方图三秒读数技巧
技巧原理
直方图核心：纵坐标不是频率，是频率/组距，频率=矩形面积，所有矩形面积和为1，中位数为左右面积各0.5 的分
界点。
核心公式
频率=组距×频率
组距,频数=总体容量×频率
【例2】一组数据分组区间[10,15),[15,20)，组距均为5，对应纵坐标分别为0.02、0.06，求两组数据的总频率。
解：步骤1：分别计算每组频率
f 1=5×0.02=0.1，f 2=5×0.06=0.3
步骤2：合并总频率
f 总=0.1+0.3=0.4
答案：总频率为 0.4
技巧总结：禁止直接用纵坐标当作频率，必须乘组距，是高考直方图第一易错点。
【解题大招03】百分位数快速定位计算技巧
技巧原理
固定两步秒杀：排序→算指数，整数取平均、非整数向上取整，适配所有百分位数题型，无需死记特例。
核心公式
i=n× p %
判定规则：
1. i∈Z，百分位数= xi+ xi+1
2
2. i∉Z，向上取整对应位置数据
【例3】数据：12,15,18,20,22,25,28，求70%百分位数。
解：步骤1：数据已排序，统计个数
n=7
步骤2：计算定位指数
i=7×70 % = 4.9
步骤3：规则判定
4.9 非整数，向上取整为5，第5 项数据为22。
答案：70%百分位数为 22
技巧总结：无论数据多少，严格按公式定位，杜绝主观估数。
【解题大招04】平均数平移速算技巧
技巧原理
一组数据全部加减同一个常数a，平均数同步加减a，方差、标准差不变，适合大数数据快速化简，规避大数运算出错。
核心公式
若新数据yi= xi+a，则：y = x +a
【例4】求数据102,104,106,108的平均数。
解：步骤1：数据平移简化
所有数据减100，得新数据：2,4,6,8
步骤2：计算简易平均数
y = 2+ 4 +6+8
4
=5
步骤3：平移还原
x =5+100=105
答案：平均数为 105
【解题大招05】方差缩放平移万能技巧
技巧原理
数据线性变换yi=a xi+b，均值、方差、标准差有固定变换规律，无需逐一代入计算，直接秒杀。
核心公式
已知原数据均值x，方差s
2，若yi=a xi+b：
y =a x +b,s y
2 =a
2sx
2,s y =|a|sx
【例5】已知数据xi均值为3，方差为2，求数据2 xi+1的均值与方差。
解：步骤1：确定变换参数
a=2,b=1, x =3,sx
2=2
步骤2：代入变换公式
均值：y =2×3+1=7
方差：s y
2 =2
2×2=8
答案：均值7，方差8
【解题大招06】众数、中位数快速判定技巧
技巧原理
1. 众数：统计图中最高矩形中点横坐标（直方图）、出现次数最多的数据；
2. 中位数：直方图中累计面积达0.5 的区间，无需精确计算可快速定位区间。
【例6】某直方图三组区间：[0,2)（面积0.2）、[2,4)（面积0.5）、[ 4,6]（面积0.3），快速判定中位数所在区间。
解：步骤1：累计面积判断
第一组累计面积0.2<0.5，未到中位数；
第二组累计面积0.2+0.5=0.7>0.5，中位数落在该区间。
答案：中位数在区间 [2,4)
【解题大招07】样本与总体方差区分答题技巧
技巧原理
高考答题核心规则：
1. 描述整体全部数据，用总体方差，分母n；
2. 抽取部分样本估计总体，无特殊说明高考统一用分母n计算。
核心公式
总体方差：σ
2= 1
n∑
i=1
n
( xi- μ)
2
样本方差（高考通用）：s
2= 1
n∑
i=1
n
( xi- x)
2
【例7】求全部数据3,5,7的总体方差。
解：步骤1：求总体均值
μ= 3+5+7
3
=5
步骤2：代入总体方差公式
σ
2= 1
3 [(3-5)
2+(5-5)
2+(7-5)
2]= 4+0+ 4
3
= 8
3
答案：总体方差为 8
3
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·江苏扬州·三模）已知一组数据1，2，x，6，7 的平均数为4，则该组数据的第70 百分位数为（ ）．
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
【答案】D
【详解】已知一组数据1，2，x，6，7 的平均数为4，
则1+2+ x +6+7
5
= 4，解得x = 4.
将这组数据按照从小到大的顺序排列，得1,2,4,6,7共5 个数据，
由5×70 % =3.5，所以该组数据的第70 百分位数为第4 项，即6.
2．（2026·广西桂林·模拟预测）高三（2）班有女生20 人，男生30 人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一
个容量为10 的样本，则男生应抽取（ ）
A．3 人
B．4 人
C．5 人
D．6 人
【答案】D
【详解】∵设男生应抽取x人，女生应抽取y人，
则x
y = 30
20 ,且x + y =10,
解得x =6, y = 4，
故男生应抽取6 人．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和分
层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1, p2, p3，三者关系可能是（ ）
A．p1= p2< p3
B．p1= p2= p3
C．p1= p3< p2
D．p2= p3< p1
【答案】B
【分析】根据抽样的概念，每个个体被抽中的概率是均等的，进而即可选择答案.
【详解】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为n
N ，
所以p1= p2= p3.
故选：B.
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市2026年1月11日至18日每日最高气温（单位：℃）的数据
（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则1月11日至18日最高气温的中位数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8.5
【答案】C
【分析】直接由中位数的定义计算可得.
【详解】由图知，1月11日至18日的最高气温由低到高排列为-1,1,5,5,9,10,12,12，共8个数据，
故中位数为5+9
2
=7.
二、多选题
5．（2026·山东东营·模拟预测）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（ ）
A．该组数据的极差为7
B．该组数据的中位数为3
C．该组数据的平均数为4
D．将每一个数据增加1，方差会变大
【答案】AC
【详解】样本的极差为8-1=7，所以A 选项正确；
样本的中位数为4，所以B 选项错误；
样本的平均数为1+2+2+ 4+5+6+8
7
= 28
7 = 4，所以C 选项正确；
样本原方差为s0
2= (1- 4)
2+(2- 4)
2+(2- 4)
2+(4 - 4)
2+(5- 4)
2+(6- 4)
2+(8- 4)
2
7
= 38
7 ，
数据全部加1后，新样本的平均数为2+3+3+5+6+7+9
7
= 35
7 =5，
新样本的方差为s
2= (2-5)
2+(3-5)
2+(3-5)
2+(5-5)
2+(6-5)
2+(7-5)
2+(9-5)
2
7
= 38
7 ，方差不变，所以D 选项
错误，
三、填空题
6．（2026·湖北黄冈·二模）一组数据x1，x2，x3，⋯，xn频率分布直方图如图所示．若yi= xi-1（i=1，2，⋯，n
），则估计数据y1，y2，y3，⋯，yn的中位数为__________．
【答案】47
7
【详解】由频率分布直方图估计x1，x2，x3，⋯，xn的中位数为7+ 0.5-(0.10+0.15)
0.35
= 54
7 .
若yi= xi-1（i=1，2，⋯，n），则估计数据y1，y2，y3，⋯，yn的中位数为54
7 -1= 47
7 .
四、解答题
7．（2026·湖南株洲·模拟预测）某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了
一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75 至100 之间．将数据分成以下5 组：第1
组[75,80)，第2 组[80,85)，第3 组[85,90)，第4 组[90,95)，第5 组[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4 组中随机抽取17 名学生座谈，求每组抽取的学生人数；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值．
【答案】(1)a=0.04；
(2)从第2，3，4组应依次抽取7人，6人，4人；
(3)87.25.
【分析】（1）利用频率分布直方图各小长方形面积和为1 列式求解.
（2）由分层抽样的抽样比求解.
（3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值.
【详解】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得(0.01+0.07+0.06+a+0.02)×5=1，
所以a=0.04.
（2）由频率分布直方图知，第2，3，4 组的学生人数之比为0.35:0.30:0.20=7:6:4，
所以每组抽取的人数分别为：第2 组抽7
17 ×17=7人；第3 组抽6
17 ×17=6人；第4 组抽4
17 ×17= 4人.
（3）抽取学生测试分数的平均值为(77.5×0.01+82.5×0.07+87.5×0.06+92.5×0.04+97.5×0.02)×5=87.25.
8．作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的
历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017 年12 月25 日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016
年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9 亿元，比上年增长17.4 %，下面给出的是通州区2011~2016 年全社会固
定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018 年1 月25 日发布：2017 年通州区全区完成全社会固定资产
投资1054.5 亿元，比上年增长12.2%．
(1)在图二中画出2017 年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017 这7 年的平均增长率约为17.2%，现从2011~2017 这7 年中随机选取2 个年份，记X 为“选取
的2 个年份中，增长率高于17.2%的年份的个数”，求X 的分布列及数学期望；
(3)设2011~2017 这7 年全社会固定资产投资总额的中位数为x0，平均数为x，比较和x0与x的大小（只需写出结论）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)x0< x
【分析】（1）根据“2017 年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5 亿元，比上年增长12.2%”补全折线图
（2）根据题意写出X的取值并计算对应的概率，写出分布列即可
（3）根据题意分别计算x0, x，直接写出答案即可
【详解】（1）
（2）依题意，X的可能取值为0,1,2
P( X =0)=C4
2
C7
2 = 2
7 ；P( X =1)=C3
1C4
1
C7
2
= 4
7 ；P( X =2)=C3
2
C7
2 = 1
7
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
2
7
4
7
1
7
∴X的数学期望E( X )=0× 2
7 +1× 4
7 +2× 1
7 = 6
7
（3）x0< x
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2025·广东广州·模拟预测）某学校高三学生共有900 人，其中男生500 人，为获取该校高三学生的身高信息，现
采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为90 的样本.计算得男生样本的身高均值为170，方差为
19，女生样本的身高均值为161，方差为19，则下列说法正确的是（ ）
A．抽取男生的样本量为40
B．估计该校高三学生身高的均值为165
C．抽样时女生甲被抽到的概率为1
10
D．估计该校高三学生身高的方差为19
【答案】C
【分析】应用分层抽样判断A，应用分层抽样的均值及方差计算判断B，D，再应用分层抽样的概率计算判断C.
【详解】某学校高三学生共有900 人，其中男生500 人，采用按性别比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为
90 的样本.
则抽取男生的样本量为90
900 ×500=50，A 选项错误；
男生样本的身高均值为170，方差为19，女生样本的身高均值为161，方差为19，
则估计该校高三学生身高的均值为500
900 ×170+ 400
900 ×161=166，B 选项错误；
抽样时女生甲被抽到的概率为90
900 = 1
10 ，C 选项正确；
估计该校高三学生身高的方差为500
900 ×[19+(170-166)
2]+ 400
900 ×[19+(161-166)
2]= 5
9 ×35+ 4
9 ×44 =39，D 选项
错误；
故选：C.
2．（2024·四川·模拟预测）某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，
随机抽取了1000 名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在A ,B ,C , D , E五个层次内，分男女生统计得
､
到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（ ）
A．样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多
B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小
C．D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等
D．样本中B层次的学生数和C层次的学生数一样多
【答案】B
【分析】频率分布直方图，得女生学业达成在各层次的频率，对选项中的频率频数问题进行判断.
【详解】对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为Δx，
由(a+1.5a+2a+2.5a+3a)Δ x =1，得aΔ x =0.1，
所以女生学业达成频率分布直方图中A层次频率为20 %，B层次频率为30 %，
C层次频率为25 %，D层次频率为15 %，E层次频率为10 %，
因为男女生样本数未知，所以
､
A层次中男女生人数不能比较，即
､
A 选项错误；
同理，D层次女生在女生样本数中频率与E层次男生在男生样本数中频率相等，都是15 %，
但因男女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即
､
C 选项错误；
对于D，设女生人数为n，男生人数为1000-n，但因男女生人数可能不相等，
､
则B层次的学生数为0.3n+0.25×(1000-n)=0.05n+250，
C层次的学生数为0.25n+0.3×(1000-n)=300-0.05n，
因为n不确定，所以0.05n+250与300-0.05n可能不相等，即D 选项错误；
对于B，女生A ,B两个层次的频率之和为50 %，
所以女生的样本学业达成的中位数为B，C 层次的分界点，
男生A ,B两个层次的频率之和为35 %，显然中位数落在C 层次内，
所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B 选项正确．
故选：B．
二、多选题
3．（2026·重庆渝中·三模）某大模型用于处理两类推理任务：代码生成与数学证明，任务数量分别为 5000 个与
3000 个.现按比例分层抽样， 共抽取 160 个任务进行延迟测试 （单位： ms）.经计算， 代码生成样本均值为
212ms，方差为 80ms
2 ；数学证明样本均值为 180ms ，方差为 50ms
2 ，下列说法中正确的有（ ）
A．每个数学证明任务被抽中的概率为 3
8 B．代码生成任务应抽取 100 个
C．总样本的均值为 200ms
D．总样本的方差为 65ms
2
【答案】BC
【详解】对于A 选项，数学证明的样本容量为 160×
3000
5000+3000 =60，
所以每个数学证明任务被抽中的概率为 60
3000 = 1
50，故A 选项错；
对于B 选项，代码生成任务的样本容量为160×
5000
5000+3000 =100，故B 选项对；
对于C 选项，因为样本容量是 160 ，
且100 个代码生成样本均值为 212ms，60 个数学证明样本均值为 180ms，
所以总样本的均值是212×100+180×60
160
=200 ms，故C 选项对；
对于D 选项，因为代码生成样本均值为 212ms，方差为 80ms
2 ；
数学证明样本均值为 180ms ，方差为 50ms
2 ；
总样本的均值是200ms，所以总样本的方差为
S
2= 100
160 [80+(212-200)
2]+ 60
160 [50+(180-200)
2]=308.75 ms
2，故D 选项错.
三、填空题
4．（2024·云南楚雄·模拟预测）以“塑造软件新生态，赋能发展新变革”为主题的第二十五届中国国际软件博览会于
2023 年8 月31 日在天津开幕.本次参会人员分不同区域落座，其中某个区域的男性参会人员有25 人，女性参会人员有
15 人，现按性别比例进行分层抽样，若从该区域随机抽取16 位参会人员，则女性参会人员应抽取的人数为______.
【答案】6
【分析】利用分层抽样的分层比直接计算即可.
【详解】由题意得分层比为5:3，则女性参会人员应抽取的人数为16×
3
5+3 =6.
故答案为：6
四、解答题
5．（2026·甘肃金昌·三模）某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100 人进行问卷调查，每人给出一个
评分，分数都不低于60，满分100 分．统计出这100 人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100 人中，
男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80 分的男、女市民人数相等．
(1)求满意度评分低于80 分的市民中，男、女人数的比例；
(2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分；
(3)在满意度评分低于80 分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5 人进行座谈，再在这5
人中选出3 人作为座谈会主讲人，求3 位主讲人中至少有1 位男性市民的概率．
【答案】(1)2：3
(2)79.5
(3) 9
10
【分析】（1）先计算出不低于80 分的男生、女生人数，再求满意度评分低于80 分的市民中，男、女人数的比例；
（2）由概率和为1 列方程求a,再求平均值；
（3）先分层抽样，再求概率.
【详解】（1）评分不低于80 分的人数为100×10×(0.04 +0.01)=50，
因为评分不低于80 分的男、女市民人数相等，所以评分不低于80 分的男、女市民人数都是25，
因为这100 人中，男、女市民人数之比为9：11，所以100 人中，男市民45 人，女市民55 人，
所以满意度评分低于80 分的市民中，男、女人数分别为20，30，男、女人数的比例为2：3．
（2）由10(a+0.035+0.04+0.01)=1得a=0.015，
因为65×10×0.015+75×10×0.035+85×10×0.04 +95×10×0.01=79.5，所以满意度的平均分为79.5．
（3）因为评分低于80 分的被调查的人员中，男、女人数的比例为2：3，所以用分层随机抽样方法选出5 人，男性为
2 人，女性为3 人，
再在这5 人中选出3 人，3 人至少有1 位男性的事件为A，
则P( A)=C2
1C3
2+C2
2C3
1
C5
3
= 9
10．
6．（2024·新疆·三模）某教育部门印发的文件《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天
睡眠时间应达到10 小时，初中生应达到9 小时，高中生应达到8 小时”.现调查了1 万个当地学生的时间利用信息，
得出下图.
(1)根据上图分别计算小学、初中两个学段睡眠时长的平均值及方差；（结果保留两位小数）
(2)从学习时间大于睡眠时间的年级中随机挑选两个年级进行问卷调查，求选出的两个年级均来自高中的概率；
(3)与高中生相比，大学生在时间管理方面有哪些变化，据此提出一条对大学生的建议.
【答案】(1)平均值9.63，8.64，方差0.03，0.05、(2) 3
10、(3)
与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4 个小时，睡眠时间增加了近一个小时，
建议大学生充实在校生活，增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一）
【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可；
（2）应用古典概型计算；
（3）根据图中信息判断提出建议即可.
【详解】（1）设小学生的平均睡眠时间为x1，方差为s1
2；设初中生的平均睡眠时间为x2，方差为s2
2.
x1= 9.84+9.66+9.81+9.57+9.63+9.29
6
≈9.63，
s1
2= 1
6 (0.21
2+0.03
2+0.18
2+0.06
2+0+0.34
2)≈0.03
x2= 8.95+8.56+8.40
3
≈8.64，
s2
2= 1
3 (0.31
2+0.08
2+0.24
2)≈0.05.
（2）设事件A为两个年级均来自高中，则P( A)=C3
2
C5
2 = 3
10.
（3）与高中生相比，大学生的学习时间减少了近4 个小时，睡眠时间增加了近一个小时，建议大学生充实在校生活，
增加学习时间以更好地提升自己.(答案不唯一）
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·广东广州·三模）小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5 次，约定若6 点不出现，则该同学在毕业典
礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以
确定（ ）同学不用上台表演.
A．小吴：平均数为3，中位数为2
B．小温：中位数为3，众数为2
C．小蔡：平均数为2，方差为2.4
D．小龙：中位数为3，方差为2.8
【答案】C
【详解】若小吴的5个点数分别是1,1,2,5,6，满足选项A；
若小温的5个点数分别是2,2,3,4,6，满足选项B；
若小龙的5个点数分别是2,3,3,6,6，平均数为4，其方差为(2- 4)
2+(3- 4)
2+(3- 4)
2+(6- 4)
2+(6- 4)
2
5
=2.8，满足选
项D；
若小蔡的平均数为2，又有点数6，则5个点数为1,1,1,1,6，方差
s
2= 1
5 [(6-2)
2+(1-2)
2+(1-2)
2+(1-2)
2+(1-2)
2]= 4，不可能满足C，因此小蔡不会出现点数6，
故选：C．
2．（2026·山东烟台·一模）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近100天通过直
播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则x的第80百分位数为（ ）
A．4.8
B．5
C．5.2
D．5.4
【答案】D
【分析】根据频率和为1可解得a，再根据百分位数的定义及公式求解.
【详解】设销售额的第80百分位数为m，
由已知1×(0.16+a+0.26+a+0.12+0.06)=1，解得a=0.2，
又1×(0.16+0.2+0.26)=0.62<0.8，
1×(0.16+0.2+0.26+0.2)=0.82>0.8，
所以m∈[4.5,5.5)，
且1×(0.16+0.2+0.26)+(m- 4.5)×0.2=0.8，
解得m=5.4，
即销售额的第80百分位数为5.4.
二、多选题
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能(Artificial Intelligence，简称AI)已然成
为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元．某地区随机调查了经常使用某AI 工具的360 名
用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
项目
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
年龄
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60]
人数
30
150
90
60
30
为了分析数据，小组甲、小组乙分别使用不同的办法解决一些统计问题．
【小组甲】用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记抽到第
一组的人数为m，第二组的人数为n．
【小组乙】通过查阅资料，该AI 工具对某20 个问题能准确答对其中的t(3≤t ≤12，t ∈N)个，其余20-t个问题均无
法答对．若从这20 个问题中随机抽取10 个对该工具提问，不妨记事件At为“抽取的10 个问题中，AI 恰好答对3 个
问题”．
则下列说法正确的有（ ）
A．该AI 工具用户的平均年龄为32.5 岁
B．P(m<n)=7
9
C．使At概率最大的t值为6
D．使At概率最大的t值为7
【答案】ABC
【分析】对于A 项，以每组数据的区间中点值为该组数据的代表值进行估算；对于B 项，先确定人数，再根据古典概
率计算即可；对于C、D 项，恰好答对3 题的概率P( At)=Ct
3C20-t
7
C20
10
，分析f (t )=Ct
3C20-t
7
的单调性即可.
【详解】对于A 项，估计平均年龄为1
360 ×(30×15+150×25+90×35+60×45+30×55)=32.5，故A 项正确.
对于B 项，由题意得，这12 人中，年龄在第一组内的有12
360 ×30=1 (人)，年龄在第二组内的有12
360 ×150=5 (人)，
设“m<n”为事件A，则当m=0时，n=1,2,3,4；当m=1时，n=2,3，
所以P( A)=C1
1C5
3+C1
1C5
2C6
1+C5
1C6
3+C5
2C6
2+C5
3C6
1+C5
4
C12
4
= 385
495 = 7
9，故B 项正确.
对于C、D 项，从这20 个问题中随机抽取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率为P( At)=Ct
3C20-t
7
C20
10
，
设f (t )=Ct
3C20-t
7
，由3≤t ≤12，且t ∈N，得f (t )>0，
所以f (t +1)
f (t )
=Ct +1
3 C19-t
7
Ct
3C20-t
7
=
(t +1)!
3!(t -2)! ⋅
(19-t )!
7!(12-t )!
t !
3!(t -3)! ⋅
(20-t )!
7!(13-t )!
= (t +1)(13-t )
(t -2)(20-t ) =-t
2+12t +13
-t
2+22t - 40
，
由二次函数的性质可知当3≤t ≤12时，-t
2+12t +13>0,-t
2+22t - 40>0，
令q =(-t
2+12t +13)-(-t
2+22t - 40)=53-10t，
当3≤t ≤5时，有q>0, f (t +1)
f (t )
=-t
2+12t +13
-t
2+22t - 40
>1，即f (t +1)>f (t )，此时f (6)>f (5)>f (4)>f (3)；
当6≤t ≤11时，有q<0, f (t +1)
f (t )
=-t
2+12t +13
-t
2+22t - 40
<1，即f (t +1)<f (t )，此时f (6)>f (7)>⋯>f (12)，即f (t )max = f (6)，
所以使At概率最大的t值为6，故C 项正确，D 项错误．
三、填空题
4．（2026·江西九江·一模）已知成对样本数据(x1, y1),(x2, y2),⋯,(x10, y10)中x1, x2,⋯, x10互不相等，且所有样本
点(xi, yi)(i=1,2,⋯,10)都在曲线y = x
2-2 x上.若x1, x2,⋯, x10的平均值与方差均为5，则y1, y2,⋯, y10的平均值为
__________.（其中s
2= 1
n∑
i=1
n
(xi- x)
2= 1
n(∑
i=1
n
xi
2-n x
2)）
【答案】20
【分析】先根据已知条件求出∑
i=1
10
xi与∑
i=1
10
xi
2的值，再结合yi= xi
2-2 xi求出∑
i=1
10
yi即可得解.
【详解】因为x1, x2,⋯, x10的平均值为5，即x = 1
10∑
i=1
10
xi=5，所以∑
i=1
10
xi=50，
因为x1, x2,⋯, x10的方差为5，即s
2= 1
10(∑
i=1
10
xi
2-10 x
2)=5，解得∑
i=1
10
xi
2=300.
因为所有样本点(xi, yi)(i=1,2,⋯,10)都在曲线y = x
2-2 x上，
所以yi= xi
2-2 xi(i=1,2,⋯,10)，
所以∑
i=1
10
yi=∑
i=1
10
(xi
2-2 xi)=∑
i=1
10
xi
2-2∑
i=1
10
xi=300-2×50=200，
所以y1, y2,⋯, y10的平均值为1
10∑
i=1
10
yi= 1
10 ×200=20，
故答案为：20.
四、解答题
5．（2026·广东深圳·模拟预测）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然
成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek 开启了我国AI 新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI 工具的360
名用户，统计他们的年龄都位于[10,60]，得到如下直方图：
(1)利用直方图中的数据，求m的值，并估计该AI 工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360 名用户中随机抽取了12 人，现从这12 人中随机抽取4 人，记抽到第一组
的人数为s，第二组的人数为n．设X =|s-n|，求X的分布列及其期望；
(3)已知该AI工具对某20 个问题能准确答对其中的t（3≤t ≤12，且t ∈N）个．若从这20 个问题中随机抽取10 个对
该工具提问，当t 变化时，要使得恰好答对3 个问题的概率取到最大值，求此时t的取值．
【答案】(1) 1
120，32.5
(2)
X
0
1
2
3
4
P
2
11
4
11
32
99
4
33
1
99
E (X )= 140
99
(3)t =6
【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求m即可，利用平均数的求解公式求解即可；
（2）根据题意得到各组抽取的人数，进而可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，结合组合数求出对应概率，列出
分布列并得到期望即可；
（3）由题可得恰好答对3 个问题的概率为P=Ct
3C20-t
7
C20
10
，设f (t )=Ct
3C20-t
7
，求出f (t +1)
f (t )
，进而分析得出最值及t的值．
【详解】（1）根据频率直方图的性质可得10×(m+5m+3m+2m+m)=1，解得m= 1
120,
利用中点值可估计平均年龄为1
12 ×15+ 5
12 ×25+ 3
12 ×35+ 2
12 ×45+ 1
12 ×55=32.5；
（2）由题意得，这12 人中，年龄在第一组[10,20)内的有1
12 ×12=1（人），
年龄在第二组[20,30)内有5
12 ×12=5 人，年龄在第三组[30,40)内有3
12 ×12=3 人，
年龄在第四组[40,50)内有2
12 ×12=2 人，年龄在第五组[50,60]内有1
12 ×12=1 人，
则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以P(X =0)=C6
4+C5
1C1
1C6
2
C12
4
= 2
11，P(X =1)=C5
1C6
3+C1
1C6
3+C5
2C1
1C6
1
C12
4
= 4
11，
P(X =2)=C5
2C6
2+C5
3C1
1
C12
4
= 32
99，P(X =3)=C5
3C6
1
C12
4
= 4
33，P(X = 4)=C5
4
C12
4 = 1
99 ,
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
2
11
4
11
32
99
4
33
1
99
所以E (X )=0× 2
11 +1× 4
11 +2× 32
99 +3× 4
33 + 4× 1
99 = 140
99 ；
（3）从这20 个问题中随机抽取10 个对该工具提问，恰好答对3 个问题的概率为P=Ct
3C20-t
7
C20
10
，
设f (t )=Ct
3C20-t
7
，由3≤t ≤12，且t ∈N得f (t )>0，
所以f (t +1)
f (t )
=Ct +1
3 C19-t
7
Ct
3C20-t
7
=
(t +1)!
3!(t -2)! ⋅
(19-t )!
7!(12-t )!
t !
3!(t -3)! ⋅
(20-t )!
7!(13-t )!
= (t +1)(13-t )
(t -2)(20-t ) =-t
2+12t +13
-t
2+22t - 40
，
显然-t
2+12t +13>0，-t
2+22t - 40>0，
令m=(-t
2+12t +13)-(-t
2+22t - 40)=53-10t，
当3≤t ≤5时，有m>0，f (t +1)
f (t )
=-t
2+12t +13
-t
2+22t - 40
>1，即f (t +1)>f (t )，
此时f (3)<f (4)<f (5)<f (6)；
当6≤t ≤12时，有m<0，f (t +1)
f (t )
=-t
2+12t +13
-t
2+22t - 40
<1，即f (t +1)<f (t )，
此时f (6)>f (7)>⋯>f (12)，即f (t )max= f (6)，所以t =6．
