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培优专题 05 导数压轴大题综合 8 大重难题型
题型01 利用导数解决不等式恒（能）成立问题
抓关键 · 破难点
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题:对于含有参数的不等式来说，要求参数的取值及取值范围.一般采用
参编分离的思想，将参数移到一边，从而重新构造函数，求出函数的单调性，从而求出参数的取值范围.
对于含有两个参数的，一般是将两个参数转换成一个参数处理.利用参变量分离法求解函数不等式恒
（能）成立，可根据以下原则进行求解:
（1） ， ;
（2） ， ;
（3） ， ;
（4） ， ;
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变
换有：对于某一区间I;
(1) ;
2)
( ;
3)
(刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 不等式恒（能）成立问题的解题策略
1．（2026·天津东丽·一模）设函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)在（2）的条件下，记 的最大值为 ，若对任意的 ，使得关于a的不等式
恒成立，求实数 的取值范围．
2．（2026·天津和平·一模）已知函数
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知实数 ，且 ．
（i）证明： ；
（ii）若 与 是函数 的两个极值点，证明： ．3．（22-23高三上·天津滨海新·期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若存在 时，使 成立，求a的取值范围.
(3)若不等式 对任意 恒成立，求实数a的取值范围.
🎯命题方向二 双变量的恒（能）成立问题的解题策略
4．（25-26高三下·天津·期中）已知函数
(1)求 的单调区间和极值；
(2)若 在 单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 时，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．5．（25-26高三上·天津河东·期中）已知函数 ．
(1)当 时， 在区间 上存在极值，求 的取值范围；
(2)若 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围；
(3)设 ，当 时，若对任意给定的 ，总存在唯一的 ，使得
成立，求 的取值范围．
🎯命题方向三 洛必达法则
1．用洛必达法则处理 型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现 型式子；(3)运用洛必达法则求值.
2．用洛必达法则处理 型函数的步骤：(1)分离变量；(2)出现 型式子；(3)运用洛必达法则求值.
【注意】：
1．将上面公式中的 换成 ，洛必达法则也成立.
2．洛必达法则可处理 型求极限问题.
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足 型定式，否则滥用洛必达法则会出
错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
，如满足条件，可继续使用洛必达法则.
6．（2026·天津·一模）已知 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)已知 是 的导函数，若存在 ，使得 对任意 成立，求 的取值范
围；
题型02 利用导数证明不等式
抓关键 · 破难点
利用导数证明不等式问题，方法如下：
秒杀技巧与性质1：直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明
（或 ），进而构造辅助函数 ；
秒杀技巧与性质2：适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
秒杀技巧与性质3：构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造
辅助函数.
秒杀技巧与性质4：对数单身狗，指数找基友
秒杀技巧与性质5：凹凸反转，转化为最值问题
秒杀技巧与性质6：同构变形
刷经典 · 通方法
7．（2026·天津和平·一模）已知函数
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知实数 ，且 ．
（i）证明： ；（ii）若 与 是函数 的两个极值点，证明： ．
8．（2026·天津河东·一模）已知函数 （ ）.
(1)函数 在定义域内无极值，求a的取值范围；
(2)函数 （ ）， 有三个不同的极值点 ， ， ， ；
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明 .
9．（2026·天津南开·一模）已知函数 ， .
(1)若曲线 在点 处的切线 的斜率为 ，求 的方程；
(2)在（1）的条件下，若 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，证明：函数 有两个零点 ， （ ），且满足 .10．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）已知 ， ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)对一切 ， 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切 ，有 成立．
题型03 对称化构造解决极值点偏移
抓关键 · 破难点
1、和型 （或 ）问题的基本步骤：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，
得 与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
2、积型 问题的基本步骤：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结论.
刷经典 · 通方法
11．（2026·天津河西·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若 有三个不同的零点 ， ， ，且 ，
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证 ．
12．（2026·天津·一模）设函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)设 为 的导函数，若 在 上有两个不同的零点 ， ，求证：
．13．（25-26高三上·天津·期中）已知函数 （ ）.
(1)当 时
（ⅰ）求 在 处的切线方程；
（ⅱ）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围；
(2)若存在两个不等正实数 ， ，使 且 ，求实数 的取值范围.
题型04 利用导数研究隐零点问题
抓关键 · 破难点
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程 , 并结合 的单调性
得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到 的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程 适当变形, 整体代入 最值式子进行化简:
（1）要么消除 最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到 最值式的估计.刷经典 · 通方法
14．（25-26高三上·天津·期中）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(3)当 时，记函数 的最大值为 ，证明： .（参考数据： ，
）
15．（25-26高三·天津·模拟预测）设函数 ，其中 .
(1)若 a=−1，求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 ，
（i） 证明: 函数 恰有两个零点;
（ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: .
题型05 导数与数列的综合问题
抓关键 · 破难点
1 在证明与数列有关的不等式时，若遇到其含有某数列的前n项和的形式，可利用数列求和的方法先把那
部分进行化简再证明不等式；
2 求和的方法中累加法较为常见；3 在部分解答题中，第一二问里往往含有对证明不等式有效提示，注意利用好；
4 在不等式证明中，也会利用第一二问提示想到放缩法，再结合累加法会达到证明不等式的效果。
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 圆锥曲线中的证明问题
16．（2026·天津红桥·一模）已知 为正实数，函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明： ．
17．（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，且 .
(1)求 ;
(2)已知 为函数 的导函数，证明：对任意的 ，均有 ；
(3)证明：对任意的 ，均有 .
